6.3.1平面向量基本定理3題型分類

6.3.1平面向量基本定理3題型分類一、平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.二、基底的性質(zhì)(1)不共線性平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量才可以作為一組基底.由于零向量與任何向量共線，所以零向量不可以作為基底．(2)不唯一性對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任一向量a都可被這個(gè)平面的一組基底{e1，e2}線性表示．(3)如果對(duì)于一組基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，則可以得到．（一）平面向量的基底考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否不共線.此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出來.題型1：平面向量基底的判斷11．（2023下·上海浦東新·高一?？计谀┤粝蛄颗c是平面上的兩個(gè)不平行向量，下列向量不能作為一組基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【分析】根據(jù)向量共線定理逐一判斷.【詳解】對(duì)于A，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，A不選；對(duì)于B，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，B不選；對(duì)于C，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，解得，即與共線，選C；對(duì)于D，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，D不選；故選：C12．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省震澤中學(xué)期中）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】能作為平面的一個(gè)基底的兩個(gè)向量必不共線，因此只需要判斷選項(xiàng)中向量是否共線即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋院凸簿€，則這組向量不能作為平面內(nèi)的一組基底，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)和共線，則，故，所以共線，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，則和能作為平面內(nèi)的一組基底，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)和共線，則，即，由于與不能同時(shí)為，所以共線，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，則和能作為平面內(nèi)的一組基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)和共線，則，即，由于與不能同時(shí)為，所以共線，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，則和能作為平面內(nèi)的一組基底，故D錯(cuò)誤.故選：A.13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】判斷選項(xiàng)中各組向量是否共線，即可得答案.【詳解】由為不共線向量，可知與，與，與必不共線，都可作為平面向量的基底，而，故與共線，不能作為該平面所有向量的基底.故選:D.14．（2023下·江西·高一校聯(lián)考期中）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，則下列說法正確的是（

）A．，是該平面所有向量的一組基底，B．，是該平面所有向量的一組基底，C．，不是該平面所有向量的一組基底，D．，不是該平面所有向量的一組基底，【答案】A【分析】根據(jù)基底的概念及平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：由圖可知，平面向量，不共線，是該平面所有向量的一組基底，且，故選：A.（二）用基底表示向量1．用基向量表示向量的三個(gè)依據(jù)(1)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；(2)向量減法的幾何意義；(3)數(shù)乘向量的幾何意義．2．關(guān)于基底的一個(gè)結(jié)論設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一個(gè)基底，當(dāng)λ1e1＋λ2e2＝0時(shí)，恒有λ1＝λ2＝0.題型2：用基底表示向量21．（2023上·北京順義·高三牛欄山一中?？计谥校┰谄叫兴倪呅沃?，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)三點(diǎn)共線，即共線，可設(shè)，用表示出關(guān)系，即可解出結(jié)果.【詳解】.設(shè)，則,又，且三點(diǎn)共線，則共線，即，使得，即，又不共線，則有，解得，所以，.故選：D.22．（2023下·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，、分別為、的中點(diǎn)，設(shè)，，則向量=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可得出，，將等式相加結(jié)合向量加法的平行四邊形法則可得出關(guān)于、的表達(dá)式.【詳解】由向量加法的平行四邊形法則可得，由已知，同理可得，所以，，因此，.故選：B.23．（2023下·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┪覈鴸|漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可.【詳解】由題意,即，所以故選：A.24．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知分別是矩形的邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)G，若，，用基底，表示.【答案】【分析】由題知，再根據(jù)三點(diǎn)共線得，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)榉謩e是矩形的邊，的中點(diǎn)，所以，，，設(shè)，所以，由向量加法的平行四邊形法則可得.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，即，所以，，所以.（三）平面向量基本定理的應(yīng)用利用平面向量基本定理解題的策略：（1）先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的運(yùn)算．（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式．題型3：平面向量基本定理的應(yīng)用31．（重慶市銅梁區(qū)20222023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中，點(diǎn)線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)且，結(jié)合向量數(shù)乘、加法的幾何意義可得，再由已知條件即可得的值.【詳解】由題意，且，而，所以，即，由已知，，則.故選：D32．（2023下·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）如圖，分別是邊上的中線，與交于點(diǎn)F，設(shè)，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知有是的重心，由重心的性質(zhì)及向量加法、數(shù)乘的幾何意義，用、表示，即可得結(jié)果.【詳解】由題意，是的重心，=，，故.故選：D33．（2023下·上海嘉定·高一?？计谀┤鐖D，三角形ABC中，，D是線段BC上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，AD交CF于點(diǎn)M，若，則.【答案】/【分析】由于F為線段AB的中點(diǎn)，結(jié)合已知條件可得，再由直線與相交于點(diǎn)，設(shè)，則,從而得，進(jìn)而求出的值【詳解】因?yàn)镕為線段AB的中點(diǎn)，所以,因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?由直線與相交于點(diǎn)，設(shè)，則,所以，所以，解得故答案為：34．（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）銳角三角形ABC中，D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)O滿足，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算表示出，由此求得，再根據(jù)基本不等式求得的最小值.【詳解】依題意，設(shè)，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：D35．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C．2 D．6【答案】D【分析】將以為基底表示，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得數(shù)量積.【詳解】，，∴.故選：D.36．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（

）.

A． B． C． D．【答案】C【分析】由P、C、D三點(diǎn)共線及，可求m的值，再用、作基底表示，進(jìn)而求即可.【詳解】∵，，即且，∴，又C、P、D共線，有，即，即，而，∴∴=.故選：C37．（2023上·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谥校c(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)平面向量共線定理得推理求出，從而可確定的位置，即可得出答案.【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)楣簿€，所以，解得，所以，，則，由，得，即，所以，所以，所以.故選：D.一、單選題1．（2023下·湖南·高一湖南師大附中校考期中）如圖，在中，D為AB的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，設(shè)，，以向量，為基底，則向量（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的加減法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則.因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，則.所以.故選：D.2．（2023高一練習(xí)）設(shè)是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】根據(jù)向量是否成倍數(shù)關(guān)系可判斷是否共線,即可確定是否可作為基底向量.【詳解】∵，是平面內(nèi)的一組基底，∴，不共線，而，則根據(jù)向量共線定理可得，與共線，根據(jù)基底的定義可知，選項(xiàng)D不符合題意.其他三組中的向量均為不共線向量，故可作為基底向量.故選:D.3．（2023下·四川南充·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若，則λ＋μ等于（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【分析】以為基底表示出，即可確定參數(shù).【詳解】因?yàn)镋為AO的中點(diǎn)，所以，所以，即，所以，，所以D正確.故選：D.4．（2023上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可求的表示形式.【詳解】因?yàn)?，故，故，故選：A.5．（2023下·上海普陀·高一曹楊二中校考期末）在四邊形中，，若，且，則（

）A． B．3 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性表示以及運(yùn)算結(jié)合圖形求解.【詳解】如圖，過作，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以又因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所?所以.故選:D.6．（2023上·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)在邊上，.記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的共線定理表示即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，，所以，即，所以.故選:B.7．（2023下·福建三明·高一三明一中校考階段練習(xí)）已知向量是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中也能作為平面向量的一組基底的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)于選項(xiàng)ACD，可以判斷選項(xiàng)的向量共線，所以不能作為基底；對(duì)于選項(xiàng)B,,不共線，所以可以作為基底.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，所以共線，所以不能作為基底；對(duì)于選項(xiàng)B,,所以不共線，所以可以作為基底；對(duì)于選項(xiàng)C,共線，所以不能作為基底；對(duì)于選項(xiàng)D,，所以共線，所以不能作為基底.故選：B8．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：A9．（2023下·重慶巴南·高一重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰谥?，，，若點(diǎn)滿足，以為基底，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量基本定理求解即可【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，故選：D10．（2023下·河南新鄉(xiāng)·高一新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能做基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】根據(jù)共線定理判斷兩個(gè)向量是否共線即可.【詳解】A選項(xiàng)：令，因?yàn)?，不共線，所以，無實(shí)數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；B選項(xiàng)：令，因?yàn)椋还簿€，所以，無實(shí)數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；C選項(xiàng)：令，因?yàn)椋还簿€，所以，無實(shí)數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；D選項(xiàng)：易知，即與共線，不能作為平面向量基底.故選：D11．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）在平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，得到，結(jié)合，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，且，則，又因?yàn)?，所以，解得，所?故選：B.12．（2023下·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若，則等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算及平面向量基本定理求解即可.【詳解】由題意知，因?yàn)?，所以，?故選：B.13．（江蘇省徐州市邳州市20222023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖所示，已知AD，BE分別為的邊BC，AC上的中線，=，=，則（

）A．+ B．+ C． D．+【答案】B【分析】以為基底表示出，然后解向量方程組可得.【詳解】因?yàn)镈、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，所以…①，…②①+2②得，所以故選：B14．（2023·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所?故選：C.15．（2023下·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，下列向量中能作為平面的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基底的意義，逐項(xiàng)判斷即可作答.【詳解】是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，對(duì)于A，，即向量共線，A不是；對(duì)于B，，即向量共線，B不是；對(duì)于D，，即向量共線，D不是；對(duì)于C，因?yàn)?，即向量與不共線，則向量與能作為平面的一個(gè)基底，C是.故選：C16．（2023下·河南商丘·高一校聯(lián)考期末）已知D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AD交BC于點(diǎn)E，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用題給條件求得BE與EC的長(zhǎng)度關(guān)系及AD與DE的長(zhǎng)度關(guān)系,即可得到的值【詳解】如圖，AD交BC于點(diǎn)E，，設(shè).由B，E，C三點(diǎn)共線可得，解之得∴，則∴.設(shè)，則，又，則∴，∴.故選：C17．（2023下·河北邢臺(tái)·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，是平面內(nèi)的一組基底，則下面的四組向量中不能作為一組基底的是（

）．A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的基底的概念：平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量可以作為平面的一組基底，結(jié)合共線向量的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚瞧矫鎯?nèi)的一組基底，可得向量，為平面內(nèi)不共線向量，對(duì)于A中，設(shè)，可得，此時(shí)方程組無解，所以向量和不共線，可以作為平面的一組基底；對(duì)于B中，設(shè)，可得，解得，所以向量和為共線向量，不能作為平面的一組基底；對(duì)于C中，設(shè)，可得，此時(shí)方程組無解，所以向量和不共線，可以作為平面的一組基底；對(duì)于D中，設(shè)，可得，此時(shí)方程組無解，所以向量和不共線，可以作為平面的一組基底.共線：B.18．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（

）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到，對(duì)于①，故兩向量共線；對(duì)于②，故兩向量共線；對(duì)于③不存在實(shí)數(shù)滿足，故不共線.【詳解】對(duì)于①，，，故兩向量共線；對(duì)于②，，，故兩向量共線；對(duì)于③，，假設(shè)存在，因?yàn)?，是不共線向量，故得到無解.故選：A.19．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如果表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，那么下列四組向量，不能作為一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面基底的定義和判定，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)平面基底的定義知，向量為不共線非零向量，即不存在實(shí)數(shù)，使得，對(duì)于A中，向量和，不存在實(shí)數(shù)，使得，可以作為一個(gè)基地；對(duì)于B中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得，此時(shí)方程組無解，所以和可以作為基底；對(duì)于C中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得，解得，所以和不可以作為基底；對(duì)于D中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得，此時(shí)方程組無解，所以和可以作為基底；故選：C.20．（2023下·重慶·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在梯形中，且為上靠近點(diǎn)處的三等分點(diǎn)，則向量（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可【詳解】由題意，故選：A21．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的加減法法則和平面向量基本定理求解.【詳解】因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，所以，所以.故選：B22．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】不共線的向量能作為基底，逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】不共線的向量能作為基底，因?yàn)?，所以向量，共線，故排除A；假設(shè)，解得，無解，所以向量，不共線，故B正確；因?yàn)?，所以，共線，故排除C；因?yàn)?，所以，共線，故排除D，故選：B23．（2023上·吉林·高三吉化第一高級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形圖中的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．和能構(gòu)成一組基底【答案】B【分析】根據(jù)正八邊形的幾何特點(diǎn)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可判斷.【詳解】在正八邊形中，對(duì)于A，，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在正八邊形中，因?yàn)?，，所以以向量和向量為鄰邊的平行四邊形為正方形，?duì)角線長(zhǎng)度為，因?yàn)椋缘姆较蚺c向量方向相同，且長(zhǎng)度為向量長(zhǎng)度的倍，所以，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由圖可知向量和為相等向量，所以向量和不共線，故和能構(gòu)成一組基底，所以選項(xiàng)D正確.故選：B.24．（2023下·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）如圖，O是△ABC的重心，D是邊BC上一點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，延長(zhǎng)AO交BC于E，由向量的加法運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理將用，表示，可求出的值，即可求出的值.【詳解】如圖，延長(zhǎng)AO交BC于E，由已知O為△ABC的重心，則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且由3，得：D是BC的四等分點(diǎn)，則，所以，所以.故選A．25．（2023下·山東·高一階段練習(xí)）已知G是的重心，點(diǎn)D滿足，若，則為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由，可得為中點(diǎn)，，又由G是的重心，可得，代入，求得，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，又因?yàn)镚是的重心，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以.故選：A26．（2023下·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作的平行線交于，得到，再根據(jù)，得到，再利用向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作的平行線交于，則是的中點(diǎn)，且，，又，所以，即，所以，又，故選：B27．（2023上·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量線性運(yùn)算可得，進(jìn)而得到，根據(jù)平面向量基本定理可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，，，三點(diǎn)共線，，即.故選：B.28．（2023下·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）中，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】選定基向量，根據(jù)向量的加減法，用基底表示出向量，結(jié)合條件即可求得，可得答案.【詳解】由題意可得,又，故，故，故選:B29．（2023·重慶江北·?？家荒＃┤鐖D，在中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)且，E是邊BC的中點(diǎn)，直線AE和直線CD交于點(diǎn)F，若BF是的平分線，則（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】首先根據(jù)BF是的平分線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得，再替換向量和，利用平面向量基本定理的推論，即可求解.【詳解】因?yàn)锽F是的平分線，所以存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得，（根據(jù)角平分線的條件，選擇合適的基底）因?yàn)镋是邊BC的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)A，E，F(xiàn)共線，所以①．（三點(diǎn)共線的應(yīng)用：（，為實(shí)數(shù)），若A，B，C三點(diǎn)共線，則）因?yàn)?，所以，又點(diǎn)C，F(xiàn)，D共線，所以②，聯(lián)立①②，得，則，即.故選：C．30．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平行四邊形中，?分別在邊?上，，與相交于點(diǎn)，記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意過點(diǎn)作平行于，交于點(diǎn)，先利用三角形相似求出，然后利用向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】過點(diǎn)作平行于，交于點(diǎn)，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)?，所以，由可得：，所以，因?yàn)?，所以，故選：.31．（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，，為線段的中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，兩條直線與相交于點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題知，，進(jìn)而得，故，再計(jì)算數(shù)量積即可得答案.【詳解】解：由題知，，∴，解得∴∴，故選：A.32．（2023下·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)?？计谥校┰诮o出的下列命題中，錯(cuò)誤的是（

）A．設(shè)是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，若，則點(diǎn)必共線B．若向量是平面上的兩個(gè)向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的C．已知平面向量滿足，則為等腰三角形D．已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形【答案】B【分析】對(duì)A，化簡(jiǎn)得出，根據(jù)向量共線定理可判斷；對(duì)B，根據(jù)平面向量基本定理可判斷；對(duì)C，根據(jù)可得，根據(jù)可得為的角平分線即可判斷；對(duì)D，由平方可求得的夾角，即可判斷.【詳解】對(duì)A，若，則，即，則，且有公共點(diǎn)，故共線，故A正確；對(duì)B，根據(jù)平面向量基本定理可得若共線，則不滿足題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，即，所以，又，所以為的角平分線，所以為等腰三角形，故C正確.對(duì)D，若，且，則，則，即，則，則的夾角為，同理的夾角為，的夾角為，所以是等邊三角形，故D正確.綜上，錯(cuò)誤的選項(xiàng)為B.故選：B.33．（2023下·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）在中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn)且，若，，則的值為（

）A．12 B．6 C． D．【答案】B【分析】由平面向量的基本定理與數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】因?yàn)椋?所以，故選：B34．（2023下·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E在線段BD上，點(diǎn)F在線段AC上，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求得，，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算求解即可【詳解】，，，，，．故選：D二、多選題35．（2023下·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎瞧矫鎯?nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（

）A．若實(shí)數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以表示成，其中m，n為實(shí)數(shù)C．對(duì)于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量，存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)m，n，使【答案】AB【分析】根據(jù)基底的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；對(duì)于C，對(duì)于m，，在該平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，m，n是唯一的，故D錯(cuò)誤.故選:AB.36．（2023下·廣東湛江·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，且向量與共線，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B． C．4 D．3【答案】AD【分析】依題意可得向量，可以作為平面內(nèi)的一組基底，則，即可得到方程組，解得即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，是兩個(gè)不共線的向量，所以向量，可以作為平面內(nèi)的一組基底，又向量與共線，所以，即，解得或；故選：AD37．（2023下·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┰O(shè)是已知的平面向量，向量在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，下列說法正確的是（

）A．給定向量，總存在向量，使；B．給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；C．給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；D．若，存在單位向量和正實(shí)數(shù)，使，則.【答案】ABD【分析】根據(jù)向量減法說明A；根據(jù)平面向量基本定理判斷B；舉例說明C；根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合三角形的性質(zhì)，即可判斷D.【詳解】對(duì)A，給定向量，總存在向量，使，即，顯然存在，所以A正確.對(duì)B，因?yàn)橄蛄?，，在同一平面?nèi)且兩兩不共線，由平面向量的基本定理可得：總存在實(shí)數(shù)和，使，故B正確．對(duì)C，給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使，當(dāng)分解到方向的向量長(zhǎng)度大于時(shí)，向量沒辦法按分解，所以C不正確.對(duì)D，存在單位向量、和正實(shí)數(shù)，，由于，向量、的模為1，由三角形的三邊關(guān)系可得，所以D成立.故選：ABD三、填空題38．（2023上·河南安陽·高三統(tǒng)考期中）在平行四邊形中，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù).【答案】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，，∵，，三點(diǎn)共線，∴，解得.故答案為：.39．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是不共線的向量，若，則用與表示為.【答案】【分析】結(jié)合平面向量基本定理求解即可.【詳解】解：由題知：不共線，由平面向量基本定理知有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，所以，從而，解得，所以.故答案為：40．（2023下·四川眉山·高二仁壽一中?？茧A段練習(xí)）已知下列四個(gè)命題：①若，，則；②設(shè)是已知的平面向量，則給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；③第一象限角小于第二象限角；④函數(shù)的最小正周期為.正確的有.【答案】④【分析】舉例說明判斷命題①②③，④化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正余弦函數(shù)的周期性求解作答.【詳解】對(duì)于①，若與都是非零向量，并且它們不共線，，滿足，，而結(jié)論不成立，①不正確；對(duì)于②，若給定向量和滿足，而已知向量與不共線，則不存在實(shí)數(shù)和，使成立，②不正確；對(duì)于③，是第一象限角，是第二象限角，顯然，③不正確；對(duì)于④，函數(shù)，而正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最小正周期都是，所以函數(shù)的最小正周期為，④正確.故答案為：④41．（2023·全國·高一專題練習(xí)）平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使＝.我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.【答案】【分析】平面向量的分解定理填空即可【詳解】平面向量的分解定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使.我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.故答案為：42．（2023下·吉林長(zhǎng)春·高一統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點(diǎn)，若，則【答案】/0.4【分析】利