安徽省蕪湖市蕪湖一中2023-2024學年高二年級上冊12月教學質量診斷測試數學試題

安徽省蕪湖市蕪湖一中2023-2024學年高二上學期12月教學

質量診斷測試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.準線方程為y=2的拋物線的標準方程是（）

A.y2=-4xB.y2=8xC.x2=4yD.x2=-Sy

22

2.雙曲線土-工=1的焦點到其漸近線的距離為（）

412

A.4B.招C.2A/3D.2

3.若無窮等差數列&｝的公差為d,則“d>0”是“弘eN*,q>0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.班級物理社團同學在做光學實驗時，發(fā)現了一個有趣的現象：從橢圓的一個焦點發(fā)

出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據橢圓的光學性質解決下

22

面問題：已知橢圓C的方程為二+匕=1,其左、右焦點分別是月，K,直線/與橢圓

2512

C切于點P,且歸耳|=6,過點P且與直線/垂直的直線m與橢圓長軸交于點Q,則陰=

22

5.若圓。：Y+y2=4過雙曲線「一上=1的實軸端點，且圓O與直線/：y=x相

ab

切，則該雙曲線的離心率為（）

A.72B.73C.272D.2

6.已知｛%｝為等差數列，4+4+%=24,則gg+/n（）

A.12B.24C.26D.36

22

7.設3是橢圓C:[+A=l的上頂點，點尸在C上，則|尸邳的最大值為（）

A.16B.4C.3D.5

8.已知｛4｝的通項公式為%=-附2+彳”（2GR）,若數列｛%｝為遞減數列，則實數2的

取值范圍是()

A.(0,+oo)B.(-8,0)C.(-8,3)D.(-3,+8)

二、多選題

9.曲線C的方程為A?+By2=],則下列命題正確的是（）

A.若曲線C為雙曲線，則AB<0

B.若曲線C為橢圓，則A>0,8>0且AHB

C.曲線C不可能是圓

D.若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則3>A>0

22

10.設橢圓會+《=1的右焦點為人直線y="o<〃7<網與橢圓交于A8兩點，則

（）

A.|/用+忸同為定值

B.AAB/的周長的取值范圍是[6,12]

C.當m=g時，AAB/為銳角三角形

2

D.當m=1時，△ABR的面積為后

11.已知4（占,%）1（々,%）是拋物線C:y2=x上不同于原點。的兩點，點下是拋物線c

的焦點，下列說法正確的是（）

A.點月的坐標為

B.|AZ?|=+無2+—

C.若04,03,則直線48經過定點（1,0）

D.若點尸（-2,1）,私尸8為拋物線C的兩條切線，貝|直線A3的方程為了—2〉-2=。

12.若數列｛%｝滿足％=%=1，an=a?-l+an-2>3,6N*）,則稱該數列為斐波那契

數列.如圖所示的“黃金螺旋線”是根據斐波那契數列畫出來的曲線.圖中的長方形由以

試卷第2頁，共4頁

斐波那契數為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為90。的扇形，連接起

來的曲線就是“黃金螺旋線”.記以句為邊長的正方形中的扇形面積為"，數列｛2｝的前

〃項和為S,?下列結論正確的是()

B.出024是奇數

,202371

C.。2+“4+〃6++”2024—“2025D.

“2023,“20244

三、填空題

13.在，ABC中，A(-3,0),B(3,0),3sinB-3sinA=sinC,則頂點。的軌跡方程

是.

14.一個正實數的小數部分的2倍，整數部分和自身成等差數列，則這個正實數是.

22

15.已知橢圓,+芯=l(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x-y+5=0,弦的中點

坐標是M(-M),則橢圓的離心率是.

16.已知拋物線的方程為V=4無，過其焦點廠的直線交此拋物線于M、N兩點，交y

軸于點E,^EM=\MF,EN=%NF,則4+%=.

四、解答題

17.已知數列｛%｝是等差數列，且為=-25,2%+生=-5。.

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)若數列｛%｝的前n項和為S“，求S"及其最小值.

3

18.已知點A(-2,0)與點2(2,0),p是動點，且直線AP與B尸的斜率之積等于;

4

(1)求動點P的軌跡方程；

⑵點。為原點，當|OPk亨時，求第二象限點尸的坐標

19.已知動圓P與圓M:(x+3)2+y2=l外切，與圓N:(x-3y+y2=81內切.

⑴求動圓圓心尸的軌跡方程；

11

Q)求同7]+網的取值范圍，

20.已知過點加(2,2)的直線/與拋物線C:/=2py(。>0)交于A,8兩點，且當/的

斜率為1時，/恰為AB中點.

⑴求P的值；

(2)當/經過拋物線C的焦點時，求“OAB的面積.

21.已知數列｛%｝的前"項和S“=/+附+1.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵設么=^—,1為數列也｝的前〃項和，求證：Tn<^-.

anan+l24

22

22.在平面直角坐標系宜刀中，橢圓E:?+'=l,過點尸(0』)的動直線/與橢圓相交

于A,8兩點.

⑴求面積的最大值；

(2)是否存在與點P不同的定點Q,使笑■恒成立？若存在，求出點。的坐標；若

QB

不存在，說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.D

【分析】根據題意可設拋物線的標準方程為r=_2py(p>0),從而可得亨=2,求解即可.

【詳解】由拋物線的準線方程為y=2,可知拋物線是焦點在y軸負半軸上的拋物線，

設其方程為丁=-2外(0>0),則其準線方程為y=5=2,得。=4.

???該拋物線的標準方程是V=一8y.

故選：D.

2.C

【分析】找到焦點與漸近線，利用點到直線的距離求解即可.

22

【詳解】由題可知：雙曲線上-匕=1,其中一個焦點為(4,0),

412

其中一條漸近線為居-y=0,

Mr

所以焦點到漸近線的距離為d=I,=2W,

g+F

故選:c.

3.A

［分析】利用等差數列的通項公式和存在量詞的性質即可判斷.

【詳解】等差數列的通項公式%=%+(〃一1)1,當d>0時，ak=al+(k-l)d>0f

真命題，即充分行成立；

若?！?—2〃+3,則〃i=l>0,但d<0,所以，當士EN*,以>。時d>0,假命題，必要

性不成立.

故選：A.

4.C

【分析】由入射光線與反射光線的關系，結合角平分線定理可解.

【詳解】由橢圓定義可得歸閭=2-|尸耳|=10-6=4,

由光學性質可知，PQ為/耳尸鳥的角平分線，

所以優(yōu)。\F2P\42'

答案第1頁，共13頁

故選：c

5.B

【分析】根據圓的方程先求。=2,再利用相切可得6=20，從而可得離心率.

【詳解】圓。：Y+y2=4的圓心o（o,o）,半徑為廠=2,

22

因為圓。：Y+y2=4過雙曲線三一2=1的實軸端點，所以。=2,

ab

又圓O與直線/：y=x+z?相切，所以=2,貝心=2百，故c=2?.

所以雙曲線的離心率為6.

故選:B.

6.A

【分析】根據等差數列的性質即可求解.

【詳解】因為4+%+〃4=%+。3+/=%+2a3—24,

所以5%+。3=12.

故選：A.

7.B

【分析】設戶（x°,幾）得J+[=利用閥=#0）2+（%一2）2,配方后利用先的范圍可

得答案.

【詳解】3（0,2）,設產（如九）,則-24％42,所以今+￡=1,

|%-2『=卜:J+（%一2『=舊（%+8『+25,

因為-2V%V2,所以當先=-2時，|尸耳有最大值為4.

故選：B.

答案第2頁，共13頁

1

8.C

【分析】根據單調數列的定義，an-an+l>0,即可求4的取值范圍.

22

【詳解】%一??+1=-W+2n-[-(n+l)+2(n+l)]

—2rl+1—A9

由數列｛叫為遞減數列，貝

即;1<2〃+1恒成立，即;l<(2〃+l"n，

當”=1時，2"+1的最小值為3,

即4<3.

故選：C

9.ABD

【分析】根據A,8的取值結合圓、橢圓、雙曲線方程的特點逐項分析曲線C的方程.

【詳解】A.因為AB<。，所以A,B一正一負，所以曲線C是雙曲線，則AB<。,故A正確；

B.因為1，A>Q,B>O,A^B,所以曲線C是橢圓，則A>0,8>0且AHB,

AB

故B正確；

C.因為4=民。:/+/=[且]>o,所以曲線C是半徑為、口的圓，故C錯誤；

AAVAA

22

u土+Z_=]ii

D.因為曲線。為焦點在x軸上的橢圓，C-11一,所以:>百>0,，。<4<5,故D正

——AB

AB

確；

故選：ABD.

10.AD

【分析】利用橢圓對稱性及其定義可知A正確，由0<相<若可知|e(0,6),即可得AABF

答案第3頁，共13頁

的周長的取值范圍是(6,12),所以B錯誤；利用向量可知角4狂B為直角，即可得C錯誤;

當〃2=1時可求得|AB|=2"，即可知的面積為后，即D正確.

【詳解】設橢圓左焦點為耳，如圖所示：

由橢圓對稱性可知，A8兩點關于＞軸對稱，可知|裕|=忸同，

所以由橢圓定義可得|人同+忸同=|AF|+|A￡|=2a=6為定值，即A正確;

的周長為|+|AF|+忸尸H+2。=|鉆|+6,

易知當＞=相(0＜根＜6)時，|/叫《0,6),因此△口的周長的取值范圍是(6,12),即B

錯誤；

當「立時，可得A[一半用d乎當,

2I22JI22)

又網跖0),可得AP=p^+W，-乎],8尸=[#-乎,-"],

I22)(22J

所以A尸出尸二"+上￡痛一3f+[=6-=■+■!■=。，即NAFB是直角，

(2人2J444

即可知AAB尸為直角三角形，所以C錯誤；

當相=1時，易知|AB|=2",頂點下到AB邊的距離為1,

所以△ABE的面積為S=gx|AB|xl="，即D正確.

故選：AD

11.ACD

【分析】根據拋物線的方程可得焦點坐標可判斷A,根據焦點弦的性質可判斷B,根據垂直

關系得％必=T，由兩點坐標求解直線方程即可判斷C,根據切線方程求出切點坐標，進而

根據兩點求解直線方程即可求解D.

答案第4頁，共13頁

【詳解】因為拋物線C：y=x,故F的坐標為故A正確;

由于當直線A5過焦點時，由拋物線定義可得卜邳=再+%+；，但直線A8不一定過焦點，

故B錯誤；

若OA_LO3,故不尤?+%%=(%%)2+%%=0,即％%=-1或=°(舍去)，

yy

因為直線—+BPJ=',~\(x-yf)+yl=—^—x+^^,得

占一3%f'M+%%+%

y="7(xT),故直線A8經過定點(1,0),故C正確；

設過點P(-2,l)的切線方程為x=a(y-l)-2,聯立］無？“"02^>y2-my+/n+2=0,

U=尤

所以A=1-4相-8=0,故根=2+26或加=2-26，所以方程的根為丫=￡,

故切線PA,必方程中加分別為町=2+26和網=2-26，故%+%=也愛=2,

^^^-y=^^(x-y^+yl=—^—x+^^=\x-\,即A2y_2=0,故D正

確.

故選：ACD.

12.ABD

【分析】根據數列遞推關系以及特征，即可判斷選項AB,利用累加法即可判斷選項C,利

用定義直接求解，表示出$2023,即可判斷選項D.

【詳解】該數列為1,1,2,3,5,8,13,21,34,,所以佝=34,A正確；

由斐波那契數列得每三個數中，前兩個為奇數后一個為偶數，

且2024=3x674+2,/.?2024是奇數,B正確；

=aa

由1n~n-2，得：％=〃314，〃4=。5一。3，

L，02024=02025—02023，

累加得出+。4++“2024="2025—a1，C錯；

由4=%+%("23),

答案第5頁，共13頁

：a；+a：+a；++^2023="i%+++^2023

二。2+2）+"；++。^）23=。2。3+。；++0423

=43（/+/）++蠟。23=%々4++4）23==%。23%。24,

所以§2023=1+%+%++”2023）=]〃2023〃2024,

=9D對.

〃2023。20244

故選：ABD

13.尤2-匕=1（X>1）

8

【分析】由正弦定理化角為邊后確定點的軌跡，由雙曲線的標準方程求解.

【詳解】：4-3,0）,B（3,0）,：.c=\AB\=6,

3sinB-3sinA=sinC,；.由正弦定理得3b-3a=c,即匕一口二女二？，CA-CB=2,

所以C點軌跡是以4,8為焦點的雙曲線的右支（除去頂點）.

該雙曲線的半焦距為3,實半軸長為1=1,虛半軸長為斤丁=2血，

2

所以軌跡方程為爐_2L=1（%>1）.

8

2

故答案為：x2——=1（%>1）.

8

「4T8

14.1或大

33

【分析】根據等差數列的知識列方程，化簡求得這個正實數.

【詳解】設這個正實數的小數部分是M°〈x<l），整數部分是?。↗^N*）,自身是x+y,

貝42y=2x+x+y,所以y=3x,

由于0Vx<l,ywN*,

14

當y=l時，x=-,x+y=~；

2Q

當y=2時，x=-,x+y=-.

當yN3時，x=j>l,不符合.

綜上所述，這個正實數是|4■或本8

答案第6頁，共13頁

、4、8

故答案為：]或§

15.B

2

【分析】先利用點差法應用弦中點，再求橢圓離心率.

【詳解】設直線與橢圓交于A,3兩點，其中4（不乂）,3（々，%），

將A,8兩點代入橢圓可得￡及,兩式作差可得匚亂=忙支

蕓+求=1J匕

,二b「

即（…2）-2）=乎+M），又A3中點坐標是M（Y,1）,

ab

玉+x

2=-4

2如二（%一%）（%+%）1_1

所以,所以=一左x

a2（再+無）（再一女）^4~4

=1

I2

令廿二t,則。之=4,，所以。?=々2_廿=3才，

所以e2=4=Le=g,

a242

故答案為：B

2

16.-1

【分析】設直線MN的方程為元=73+1,與拋物線方程聯立，由=EN=%NF,

分別表示出,利用根與系數關系即可算得答案.

【詳解】由拋物線的方程為V=4x,得打1,0）,

由題意可得直線MN的斜率存在且不等于零，

則可設直線腦V的方程為彳=沖+1（加/0）,加（%,兇）川（々,％），

[x=my+1,

聯立；，消X得/一4:?一4=0,

[y2=4x

貝1JA=16根2+16>0恒成立，

貝1）%+%=4根,%必=—4,故3K.*=（乂%）=],

由直線%=沖+1（加0。），令1=0,得y=-L貝”]。,一~-L

m<m）

答案第7頁，共13頁

由得,

EM=4MF,二4（1一/，一%），

所以改=4（1一%），所以4=言］

由EN=4NF,得(%,必■(—

—辦(l-x2,-y2),

所以々=久（1一%），所以4=4,

1一%2

工+x2_Xx-XYX2+X2-玉％2

所以4+4=

1一%l-x2(1—%)。一%)

$+%—2再+%—2

-------------------------------------------——1

玉％2—(芯+%2)+12—(須+12)

故答案為：-1.

17.⑴?！?5幾-35

(2)S?=|13|-言，最小值為-105

n―--

【分析】（1）設｛%｝的公差為d,即可得到關于4、d的方程組，解得q、d,從而求出其

通項公式；

（2）根據等差數列求和公式計算可得.

"2=4+d=—25

【詳解】（1）設｛4｝的公差為d,則

2%+%=2(%+2d)+a1+4d-—50

a=—30

解得1

d=5

答案第8頁，共13頁

所以為=q+=5〃-35.

（2）由（1）可得S=（30+5"35）——陋

所以當〃=6或〃=7時，S〃取得最小值，最小值為-105.

22

18.⑴3-3=1（"土2）

（2）（-后回

【分析】（1）設P的坐標為（x,y）,根據斜率公式把條件表示出來，化簡即可，要注意斜率

存在的條件;

（2）可以轉化為求兩曲線的交點問題解決.

【詳解】（1）設點尸的坐標為（羽為，

由題意得了?曰=3（中±2）,化簡得工-其=1.

x+2x-2443

22

故動點尸的軌跡方程為工-工=l（xw±2）

43v7

（2）*.*\OP\=y/x2+y2=,故/+J?=__①

22

又由（1）知土—^=1②

43

%2=5x=±?

由①②得{23=>{G，又點P在第二象限內，

y=—Y=+——

4'-2

一、（廠⑹

；?點尸的坐標為一小,f.

I2）

19.（1）—+^=1

2516

【分析】（1）利用圓與圓的位置關系結合橢圓的定義可知，動圓圓心尸的軌跡是橢圓，求出

。、b.。的值，結合橢圓焦點的位置可得出動圓圓心尸的軌跡方程；

答案第9頁，共13頁

（2）設點P（尤,y）,貝|-54尤W5,利用兩點間的距離公式求出|加|的取值范圍，利用橢圓

11

的定義結合二次函數的基本性質可求得向+網的取值范圍.

【詳解】（1）解：圓M:（x+3y+y2=l的圓心為M（—3,0）,半徑4=1.

圓N:（x-3）2+/=81的圓心為N（3,0）,半徑4=9,

\MN\=6<r2-rx,所以圓Af內含于圓N.

設動圓圓心為P（x,y）,動圓半徑為r,

由于歸閘+|叫=廠+1+9-「=10>刖，

所以尸點的軌跡是以M、N為焦點，長軸長為10的橢圓，

從而c=3,a=5,所以6=4,所以點P的軌跡方程為1+4=1.

2516

（2）解：設點P（x,y）,則一5Vx<5,貝Ijy2=16-g|d,

貝I］阿|=J（x+3「+y2=x2+6X+9+16-—x2=J—x2+6x+25=-.r+5,

j25y255

所以，2<|PM|W8,所以，1PM卜|尸^=|尸"卜(10—|9|)=-盧”0+10|9|

=-(|PM|-5)2+25e[16,25],

111PMi+|PN|10F25-

\PM\|P2V|~\PM\-\PN\~\PM\-\PN\SLs；8.,

答案第10頁，共13頁

11

所以麗|+網的取值范圍為

20.(1"=2

⑵君

【分析】(1)求出直線方程后設出交點坐標，代入拋物線方程即可求解；

(2)給出直線方程后和拋物線方程聯立，韋達定理結合面積公式即可求解.

【詳解】(1)當/斜率為1時，由加(2,2)得/:y=x-2+2=x,恰好經過坐標原點,

不妨設40,0),則8(4,4)為拋物線上的點.

代入拋物線的方程得16=8。，解得p=2.

(2)由(1)可知拋物線的焦點尸。1).當/經過產時，其方程為y=gx+l.

將其與拋物線C的方程聯立得X2-2X-4=0.

設4占，〉1),8(無2,%)，則%+無2=2,尤1尤2=-4.

7

因止匕Q43的面積S=；|OFH/一無21=：向右不二二止.

[3,〃=1

⑴％

21.=\2n,,n>2

(2)證明見解析

【分析】(1)利用數列的通項和前〃項和之間的關系求解；

’1?

——,n=1

(2)由％=121,利用裂項相消法求解.

7-----[，曉2

4n(n+l)

【詳解】(1)解：當〃=1時，％=3,

當時，_S〃T=〃2++(n—l)+lj=In,

當〃=1時，％=3不適合上式，

3,n=l

所以4=

2n,n>2

答案第11頁，共13頁

12

(2)由(1)知：bn=<]

7------7，"學2

4M(H+1)

當I時,4=?顯然成立;

1lfl__LLA一_]_<±

=12+412n+\)244(?+1)24

結論成立.

22-1)0

⑵存在，2(0,2)

【分析】（1）設直線/為、=履+1與橢圓方程聯立，將鼠。尸9出-引表達為々的函數，由

基本不等式求最大值即可.

（2）先討論直線水平與豎直情況，求出。（0,2）,設點3關于y軸的對稱點夕，證得Q,A8'

QA_PA

三點共線得到成立.

QB一詬

【詳解】（1）依題意，設人（不,）,3（和％），直線/的斜