高等數(shù)學（財經類） 課件 第四章 定積分

§4.1

定積分的概念和性質

第四章定積分CONTENT1

引例2

定積分的概念目錄3

定積分的性質引例Chapter1

一、曲邊梯形的面積曲邊梯形是指由連續(xù)曲線,直線及

x

軸所圍成的平面圖形.問題：如何計算曲邊梯形的面積

A？

一、曲邊梯形的面積1.分割：在區(qū)間

中用

n-1個點分成

n

個小區(qū)間,記

將曲邊梯形分成

n個小曲邊梯形.令每個小曲邊梯形的底邊長為

一、曲邊梯形的面積2.近似：討論第i個小曲邊梯形,記面積為,在區(qū)間

上任取一點,以

為高作一個小矩形,矩形的長為,高為,那么曲邊梯形的面積

近似等于矩形面積,即

一、曲邊梯形的面積3.作和：對于大曲邊梯形來說,用同樣的方法,將剩下的

n-1個小曲邊梯形面積計算出來,然后作和即為大曲邊梯形的面積,即

4.取極限：當分割越來越細,且每個小區(qū)間的長度越來越小時,上述近似值就越來越接近于精確值

A.記,則當

時,所有小區(qū)間的長度

都趨于零,于是

二、收益問題問題：設某商品的價格是購買量Q的函數(shù)(其中Q為連續(xù)變量),當購買量從

a

變動到

b時的收益

R

是多少？1.分割：用

n-1個點

把區(qū)間[a,b]分成

n

個小區(qū)間,每個購買量段

上的購買量為,相應的收益為

從而總收益為

二、收益問題2.近似：當

很小時,在小區(qū)間

上變化也很小,可近似看作價格不變,任取一點,把

作為該段的近似價格,因此該段的近似收益為3.作和：將n

段的收益加起來,即得收益R

的近似值4.取極限：當分割越來越細,且每個小區(qū)間的長度越來越小時,上述近似值越來越接近于精確值

R.記,于是

二、收益問題共同點：曲邊梯形的面積和收益問題的計算,都采取了“分割—近似—作和—取極限”這些步驟,從而轉為相同結構和式的極限定積分的概念Chapter2

一、定積分的定義

一、定積分的定義積分和

一、定積分的定義

二、定積分存在定理

三、定積分的幾何意義幾何意義：

三、定積分的幾何意義幾何意義：定積分的性質Chapter3

一、定積分的性質性質1、2(線性性質)

(其中

為常數(shù)).性質3(積分可加性)

一、定積分的性質性質4如果在區(qū)間

上,,則

性質5如果在

上,,則

性質7性質6如果在區(qū)間

上,,則

一、定積分的性質性質8如果在區(qū)間

上,,則

一、定積分的性質性質9(積分中值定理)設

在區(qū)間

上連續(xù),則在區(qū)間

內至少存在一點

c,使得

注：數(shù)

稱為函數(shù)

在區(qū)間

上的平均值.

幾何解釋

積分中值定理的幾何意義在區(qū)間

上至少存在一點

使以區(qū)間

為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為

的矩形的面積.

練習例1

練習例2

小結小結小結謝謝！

§4.2

微積分基本定理

CONTENT1

積分上限函數(shù)及其導數(shù)目錄2

微積分基本定理

引言積分學要解決的兩個問題：一是原函數(shù)的求法問題；

二是定積分的計算問題.

如果我們要按定積分的定義來計算定積分,那將是十分困難的.因此,尋求一種計算定積分的有效方法便成為積分學發(fā)展的關鍵.

引言

不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個概念,但是,牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)并找到了這兩個概念之間的內在聯(lián)系,即所謂的“微積分基本定理”,并由此巧妙地開辟了求定積分的新途徑——牛頓—萊布尼茨公式.從而使積分學與微分學一起構成變量數(shù)學的基礎學科——微積分學.積分上限函數(shù)及其導數(shù)Chapter1

一、積分上限函數(shù)變上限定積分

二、微積分基本定理

二、微積分基本定理

練習例3

練習例4

微積分基本定理Chapter2

一、微積分基本定理注：該定理稱為微積分基本定理.

一、微積分基本定理

練習例5

練習例5

練習例6

練習例7

小結謝謝！

§4.3

換元積分法和分部積分法

CONTENT1換元積分法目錄2

分部積分法

積分法換元積分法Chapter1

一、換元積分法

一、換元積分法

一、換元積分法例8

一、換元積分法例9

一、換元積分法例10

二、練習例11

一、換元積分法換元公式可以反過來使用:

二、練習重要結論對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分例12

二、練習例13分部積分法Chapter2

一、分部積分法

二、練習例14

二、練習例15

二、練習例16小結1、換元積分法2、分部積分法謝謝！

§4.4

定積分的應用

CONTENT1平面圖形的面積目錄2旋轉體的體積3在經濟上應用平面圖形的面積Chapter1

一、元素法用定積分解決的問題的特點:所求量聯(lián)系著一個基本區(qū)間所求量對區(qū)間具有可加性應用定積分解決實際問題的常用方法元素法元素法的主要步驟:選取積分變量,確定積分區(qū)間求出所求量對應于一個小區(qū)間的元素寫出所求量積分表達式元素的求法:在微小的局部以直代曲以不變代變曲線與直線及x

軸所圍曲邊梯形面積元素法:積分變量:x積分區(qū)間:[a,b]面積元素:

一、元素法所求面積:定積分幾何意義

二、平面圖形的面積

二、平面圖形的面積

二、平面圖形的面積

三、練習例17例18

三、練習較繁！

三、練習例19

三、練習例20旋轉體的體積Chapter2

一、旋轉體的體