數(shù)理經(jīng)濟學(xué) 總論及第一篇

第一篇導(dǎo)論第1章數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的實質(zhì)1.1數(shù)理經(jīng)濟學(xué)與非數(shù)理經(jīng)濟學(xué)1.2數(shù)理經(jīng)濟學(xué)與經(jīng)濟計量學(xué)第2章經(jīng)濟模型2.1數(shù)學(xué)模型的構(gòu)成2.2實數(shù)系2.3集合2.4關(guān)系與函數(shù)2.5函數(shù)的類型2.6兩個或兩個以上自變量的函數(shù)2.7一般性水平第二篇靜態(tài)（或均衡）分析第3章經(jīng)濟學(xué)中的均衡分析3.1均衡的含義3.2局部市場均衡：線性模型3.3局部市場均衡：非線性模型3.4一般市場均衡3.5國民收入分析中的均衡第4章線性模型與矩陣代數(shù)矩陣與向量矩陣運算對向量運算的注釋交換律、結(jié)合律、分配律單位矩陣與零矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置與逆有限馬爾科夫鏈第5章線性模型與矩陣代數(shù)(續(xù))矩陣非奇異性的條件用行列式檢驗非奇異性行列式的基本性質(zhì)求逆矩陣克萊姆法則克萊姆法則在市場模型和國民收入模型中的應(yīng)用里昂惕夫投入-產(chǎn)出模型靜態(tài)分析的局限性第三篇比較靜態(tài)分析第6章比較靜態(tài)學(xué)與導(dǎo)數(shù)的概念比較靜態(tài)學(xué)的性質(zhì)變化率與導(dǎo)數(shù)，曲線的斜率極限，極限定理關(guān)于不等式和絕對值的討論函數(shù)的連續(xù)性與可微性第7章求導(dǎo)法則及其在比較靜態(tài)學(xué)中的應(yīng)用求導(dǎo)法則偏微分導(dǎo)數(shù)在比較靜態(tài)分析中的應(yīng)用雅可比行列式的注釋第8章一般函數(shù)模型的比較靜態(tài)分析微分，全微分，微分法則全導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般函數(shù)模型的比較靜態(tài)分析比較靜態(tài)學(xué)的局限性第四篇最優(yōu)化問題第9章最優(yōu)化：一類特殊的均衡分析最優(yōu)值與極值相對極大值和極小值：一階導(dǎo)數(shù)檢驗二階及高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)檢驗麥克勞林級數(shù)與泰勒級數(shù)一元函數(shù)相對極值的n階導(dǎo)數(shù)檢驗第10章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)自然指數(shù)函數(shù)與增長問題進一步應(yīng)用第11章多于一個變量的情況最優(yōu)化條件的微分形式兩個變量函數(shù)的極值二次型具有多個變量的目標(biāo)函數(shù)與函數(shù)凸性，凹性相關(guān)的二階條件經(jīng)濟應(yīng)用第12章具有約束方程的最優(yōu)化約束的影響求穩(wěn)定值二階條件擬凹性和擬凸性效用最大化與消費需求齊次函數(shù)投入的最小成本組合第13章最優(yōu)化問題的其他主題非線性規(guī)劃和庫恩-塔克條件約束規(guī)范經(jīng)濟應(yīng)用非線性規(guī)劃中的充分性定理極大值函數(shù)和包絡(luò)定理對偶和包絡(luò)定理一些結(jié)論性的評論第五篇動態(tài)分析第14章動態(tài)經(jīng)濟學(xué)與積分學(xué)動態(tài)學(xué)與積分不定積分定積分廣義積分積分的經(jīng)濟應(yīng)用多馬增長模型第15章連續(xù)時間：一階微分方程具有常系數(shù)和常數(shù)項的一階線性微分方程市場價格的動態(tài)學(xué)可變系數(shù)和可變項恰當(dāng)微分方程一階一次非先行微分方程定性圖解法索洛增長模型第16章最優(yōu)控制理論最優(yōu)控制的特性其他終止條件自治問題經(jīng)濟應(yīng)用無限時間跨度動態(tài)分析的局限性第1章數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的實質(zhì)數(shù)理經(jīng)濟學(xué)不是經(jīng)濟學(xué)的分支學(xué)科經(jīng)濟學(xué)的分支學(xué)科很多，諸如，公共財政，國際貿(mào)易等等數(shù)理經(jīng)濟學(xué)是一種經(jīng)濟分析方法！利用數(shù)學(xué)符號描述經(jīng)濟問題，運用已知的數(shù)學(xué)定理進行推理分析對象可以是宏觀或者微觀經(jīng)濟理論，也可以是公共財政、城市經(jīng)濟學(xué)或者其他經(jīng)濟學(xué)科數(shù)理經(jīng)濟學(xué)運用的數(shù)學(xué)工具不僅是簡單幾何學(xué)矩陣代數(shù)，微積分，微分方程，差分方程……1.1

數(shù)理經(jīng)濟學(xué)與非數(shù)理經(jīng)濟學(xué)數(shù)理方法與非數(shù)理方法的分析目的相同從一些給定的假設(shè)或公理出發(fā)，通過推理過程得出一組結(jié)論或定理數(shù)理經(jīng)濟學(xué)與“文字經(jīng)濟學(xué)”(literaryeconomics)的主要區(qū)別在于下列事實表達方式不同：前者用的是數(shù)學(xué)符號、方程描述假設(shè)和結(jié)論，運用大量數(shù)學(xué)定理進行推理；而后者則主要采用語句描述和文字邏輯運用數(shù)學(xué)推理有優(yōu)勢數(shù)學(xué)定理按照“如果-那么”的形式陳述，為導(dǎo)出“那么”,分析者必須保證每個分析階段中“如果”與其采納的假設(shè)相一致超越幾何學(xué)分析方法是完全有必要的：方程工具打破維數(shù)限制，分析更一般的情況,如無差異曲線的一般圖形討論時，標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)是消費者只能得到2種商品，因為要繪出3維或更多維的圖形是基本不現(xiàn)實的數(shù)學(xué)方法具有如下優(yōu)點：運用的“語言”更為簡練、精確有大量的數(shù)學(xué)定理可為我所用迫使我們明確陳述所有假設(shè)，作為運用數(shù)學(xué)定理的先決條件，這能使我們戒除不自覺地采用不明確假設(shè)的缺點使我們能夠處理n個變量的一般情況本課程的目的就是將經(jīng)濟學(xué)文獻中相關(guān)的數(shù)學(xué)方法匯聚到一處，按邏輯順序組織，完整地解釋，并闡述其在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用1.2

數(shù)理經(jīng)濟學(xué)與經(jīng)濟計量學(xué)根本區(qū)別經(jīng)濟計量學(xué)主要與經(jīng)濟數(shù)據(jù)的量度有關(guān)，運用估計和假設(shè)檢驗的統(tǒng)計學(xué)方法進行經(jīng)驗觀測的研究數(shù)理經(jīng)濟學(xué)則是把數(shù)學(xué)應(yīng)用于經(jīng)濟分析的純理論方面，基本不關(guān)心也不涉及諸如所研究的變量的度量誤差這類統(tǒng)計問題相關(guān)性：經(jīng)驗研究和理論分析相輔相成理論在有把握地應(yīng)用之前必須用經(jīng)驗數(shù)據(jù)進行有效性檢驗要確定關(guān)系最為密切和最富有成效的研究方向，統(tǒng)計工作必須有理論作為指南數(shù)理經(jīng)濟學(xué)更具有基礎(chǔ)性！第2章經(jīng)濟模型經(jīng)濟理論是對現(xiàn)實世界的必要抽象由于現(xiàn)實經(jīng)濟的極端復(fù)雜性，我們不可能一下子理解其全部內(nèi)在聯(lián)系內(nèi)部關(guān)聯(lián)對于我們所研究的特殊經(jīng)濟現(xiàn)象也不具有同樣的重要性合理的研究程序根據(jù)我們的目的選擇與我們研究問題相關(guān)的基本因素和基本關(guān)系，然后將我們的研究集中于這些因素這種精心簡化的分析結(jié)構(gòu)被稱為經(jīng)濟模型，是現(xiàn)實經(jīng)濟的結(jié)構(gòu)性的粗略表示2.1數(shù)學(xué)模型的構(gòu)成經(jīng)濟模型僅僅是一種理論框架，而當(dāng)模型是數(shù)學(xué)模型時，那么它通常包括一組用以描述模型結(jié)構(gòu)的方程，這些方程以某種方式把一定數(shù)量的變量聯(lián)系在一起，并給出所采用的一組分析假設(shè)的數(shù)學(xué)形式，然后通過對這些方程進行相應(yīng)的數(shù)學(xué)計算，可推導(dǎo)出一系列在邏輯上服從這些假設(shè)的結(jié)論.變量、常數(shù)和參數(shù)變量是大小可以變化的量，即可以取不同的值經(jīng)濟學(xué)中經(jīng)常使用的變量包括：價格、利潤、收益、成本、國民收入、消費、投資、進口、出口等等.常用P表示價格,

表示利潤,R表示收益,C表示成本,Y表示國民收入,等等.通過解一個適當(dāng)構(gòu)建的經(jīng)濟模型，我們可以得到一組變量的解值如市場出清時的價格水平、利潤最大化時的產(chǎn)出水平等其解值可以通過模型求出的變量稱為“內(nèi)生變量”(源于模型內(nèi)部)；但模型也包含一些由模型外部因素所決定的變量，其大小僅被視為給定的數(shù)據(jù)，這樣的變量稱為“外生變量”(源于模型之外)一個模型中的內(nèi)生變量可能是另一個模型的外生變量，如分析小麥?zhǔn)袌鰞r格(P)的決定時，變量P無疑是內(nèi)生的；但在消費者支出理論的分析框架內(nèi)，P對于個別消費者而言是常數(shù)，因此必然被視為外生的常數(shù)與參數(shù)與變量結(jié)合在一起的常量常被稱為該變量的系數(shù)，系數(shù)可以是符號也可以是數(shù)字在模型中常用

代表給定常數(shù)，但我們并沒有賦予其具體的數(shù)值，它實際上可以取任何值，即它是一個可變的常數(shù)，我們稱它為常參數(shù)（簡稱為參數(shù)）.盡管參數(shù)可以取不同的值，但在模型中仍要將其視為已知數(shù)！符號說明：參數(shù)通常用字母a,b,c，或相應(yīng)的希臘字母

,,表示；外生變量則與內(nèi)生變量相區(qū)別，用加下標(biāo)0的方式來表示，如P表示價格，則P0表示外生的價格方程和恒等式在經(jīng)濟學(xué)范圍內(nèi)我們需要三種類型的方程定義方程：在兩個具有完全相同含義的不同表達式之間建立恒等式，通常用恒等符號表示，如總利潤定義為總收益與總成本之差，寫作行為方程：規(guī)定當(dāng)其他變量變化時某一變量相應(yīng)的變化方式.這可能包括人類行為，比如當(dāng)國民收入變化時總消費模式的變化；也可能不包括人類行為，比如廠商的總成本如何隨產(chǎn)出的變化而變化.廣義上，行為方程可以用于描述一般的制度性模型，包括技術(shù)方面(如生產(chǎn)函數(shù))的模型，也包括法律方面的模型(如稅收結(jié)構(gòu)),但在寫出行為方程前必須對所研究的變量的行為模式做出明確的假設(shè)！正是通過歸行為方程形式的設(shè)定，我們才給出模型所采納的假設(shè)的數(shù)學(xué)表達式均衡條件：如果模型中包含均衡這一概念，則均衡條件就是描述現(xiàn)實均衡前提條件的方程經(jīng)濟學(xué)中人們最為熟悉的兩個前提條件是：Qd=Qs[需求量=供給量]（市場均衡模型）S=I[合意儲蓄=合意投資]（國民收入均衡模型）類似地，一個優(yōu)化模型則推導(dǎo)和應(yīng)用了一個或更多的最優(yōu)化條件，如廠商理論中的MC=MR[邊際成本=邊際收益]2.2實數(shù)系整數(shù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)無理數(shù)實數(shù)2.3集合集合的書寫方法：列舉法和描述法集合間的關(guān)系：相等，子集，交集，不相交集合的運算及其法則：并，交，補并和交的交換律：并與交的結(jié)合律：并與交的分配律：2.4關(guān)系與函數(shù)有序偶與笛卡兒集（直積）令x,y包括所有的實數(shù)，則相應(yīng)的笛卡兒積為：x

y={(a,b)|a

R且b

R}上述笛卡兒積中的有序偶集與平面直角坐標(biāo)系中的點集之間存在一一對應(yīng)！關(guān)系與函數(shù)關(guān)系可用有序偶表示函數(shù)是一類特殊的關(guān)系，稱為映射或變換，意味著將一對象與另一對象聯(lián)系起來的行動在經(jīng)濟模型中，行為方程通常以函數(shù)形式引入例：廠商每日的總成本C為其日產(chǎn)出Q的函數(shù)：C=150+7Q.該廠商日最大產(chǎn)出為100單位，那么成本函數(shù)的定義域和值域是什么？因為Q可以在0到100之間變化，所以定義域為集合0

Q

100或記為{Q|0

Q

100};因為函數(shù)的圖形為一條直線，C的最小值為150(當(dāng)Q=0),最大值為850(當(dāng)Q=100)，所以值域為{C|150

C

850}注：當(dāng)未特別設(shè)定時，我們將定義域和值域理解為僅包括使函數(shù)具有經(jīng)濟意義的那些數(shù)值.2.5函數(shù)的類型常值函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中這樣的函數(shù)表現(xiàn)為一條水平線在國民收入模型中，當(dāng)投資（I）為外生決定的，可以有下述形式的投資函數(shù)：I=1億美元，或I=I0多項式函數(shù)具有一個變量x的多項式函數(shù)的一般形式為：y=a0+a1x+a2x2+…+anxn依賴于整數(shù)n的值，可以有以下幾種多項式函數(shù)的子類別當(dāng)n=0,y=a0[常值函數(shù)]當(dāng)n=1,y=a0+a1x[線性函數(shù)]當(dāng)n=2,y=a0+a1x+a2x2[二次函數(shù)]有理函數(shù)變量x的兩個多項式的比率：經(jīng)濟學(xué)中重要的特殊有理函數(shù)：等軸雙曲線表達式：y=a/x或xy=a,即兩個變量之積為固定常數(shù)可以用于表達一種特定的需求曲線，價格P和需求量Q作為兩軸，在所有價格水平上，總支出不變.曲線上每一點都有單位需求彈性.另一個應(yīng)用是平均固定成本曲線(AFC)，令A(yù)FC為一個軸，產(chǎn)出Q為另一個軸，由于總固定成本（=AFC

Q）恒定，所以AFC曲線一定為等軸雙曲線非代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)：任何以多項式和多項式的根表示的函數(shù)均是代數(shù)函數(shù)非代數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)……2.6兩個或兩個以上自變量的函數(shù)兩個自變量的函數(shù)函數(shù)y=f(x)是一個有序偶的集合，而函數(shù)z=g(x,y)是一個有序三元組的集合在經(jīng)濟領(lǐng)域中，假設(shè)產(chǎn)量由資本K和勞動L的數(shù)量決定，則生產(chǎn)函數(shù)可以寫成Q=Q(K,L)三個自變量的函數(shù)可以用來表示消費者效用函數(shù)，即消費者的效用是其消費的三種不同商品的函數(shù)2.7一般性水平為獲得高層次的一般性描述，可以運用一般函數(shù)形式y(tǒng)=f(x)或z=g(x,y)，這樣的形式下，函數(shù)不局限于某種具體類型，因此，基于這種一般公式的分析結(jié)論更具有一般性為了獲得具有經(jīng)濟意義的結(jié)果，常需要對納入模型的一般函數(shù)施加某些性質(zhì)上的約束，如，需求函數(shù)的斜率應(yīng)為正，消費函數(shù)具有小于