2023版新教材高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.1數(shù)列基礎(chǔ)5.1.1數(shù)列的概念課時(shí)作業(yè)新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

5．1.1數(shù)列的概念必備知識(shí)基礎(chǔ)練1．設(shè)an＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n2)(n∈N＋)，則a2＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)D．eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)2．?dāng)?shù)列－1，3，－7，15，…的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是()A．a(chǎn)n＝(－1)n·(2n－1)B．a(chǎn)n＝(－1)n·(2n－1)C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·(2n－1)D．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·(2n－1)3．(多選題)下列說(shuō)法正確的是()A．?dāng)?shù)列1，2，3，5，7可表示為{1，2，3，5，7}B．?dāng)?shù)列1，0，－1，－2與數(shù)列－2，－1，0，1是不同的數(shù)列C．1，1，1，…可以構(gòu)成一個(gè)數(shù)列D．0，2，2，4，4，6，8，…構(gòu)成數(shù)列4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，則257是這個(gè)數(shù)列的()A．第6項(xiàng)B．第7項(xiàng)C．第8項(xiàng)D．第9項(xiàng)5．函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N＋)，則{f(n)}是()A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．不能確定6．已知an＝eq\f(n－\r(2018),n－\r(2017))(n∈N＋)，則在數(shù)列{an}的前100項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是()A．a(chǎn)1，a100B．a(chǎn)100，a44C．a(chǎn)45，a44D．a(chǎn)44，a45關(guān)鍵能力綜合練7．已知n∈N＋，給出四個(gè)表達(dá)式：①an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，n為奇數(shù)，,1，n為偶數(shù)；))②an＝eq\f(1＋（－1）n,2)；③an＝eq\f(1＋cosnπ,2)；④an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2))).其中能作為數(shù)列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通項(xiàng)公式的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④8．如圖所示，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝3n－1B．a(chǎn)n＝3nC．a(chǎn)n＝3n－2nD．a(chǎn)n＝3n－1＋2n－39．(多選題)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n－1，則下列說(shuō)法正確的是()A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列{nan}是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是遞減數(shù)列D．?dāng)?shù)列{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}是遞減數(shù)列10．在數(shù)列{an}中，已知an＝n2＋λn(n∈N＋)，則“a1<a2”是“{an}是單調(diào)遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件11．(多選題)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)，則當(dāng)an取最大值時(shí)n＝()A．2B．3C．4D．512．已知an＝eq\f(an,n＋2)，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________；若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．核心素養(yǎng)升級(jí)練13.如圖(1)是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(2)中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝n，n∈N＋B．a(chǎn)n＝eq\r(n＋1)，n∈N＋C．a(chǎn)n＝eq\r(n)，n∈N＋D．a(chǎn)n＝n2，n∈N＋14．已知數(shù)列{an}滿足an＝eq\f(n2＋2n＋18,n＋1)，則{an}的最小項(xiàng)的值是()A．2eq\r(17)B．8C．eq\f(33,4)D．eq\f(42,5)5．1.1數(shù)列的概念必備知識(shí)基礎(chǔ)練1．答案：C解析：因?yàn)閍n＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n2)(n∈N＋)，所以a2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4).故選C.2．答案：A解析：數(shù)列各項(xiàng)正、負(fù)交替，故可用(－1)n來(lái)調(diào)節(jié)，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·(2n－1).故選A.3．答案：BCD解析：因?yàn)閧1，2，3，5，7}是一個(gè)集合，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列的項(xiàng)是有順序的，所以B正確；C正確；根據(jù)數(shù)列的定義，0，2，2，4，4，6，8，…構(gòu)成數(shù)列，所以D正確．故選BCD.4．答案：C解析：令2n＋1＝257，則2n＝256＝28，解得n＝8.故選C.5．答案：A解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N＋)，所以f(n＋1)－f(n)＝3，即{f(n)}是遞增數(shù)列．故選A.6．答案：C解析：an＝1＋eq\f(\r(2017)－\r(2018),n－\r(2017))(n∈N＋)，an＋1－an＝eq\f(\r(2018)－\r(2017),（n＋1－\r(2017)）（n－\r(2017)）)，當(dāng)且僅當(dāng)n＝44時(shí)，an＋1－an<0.當(dāng)n≤44時(shí)，數(shù)列{an}遞增，且an>1，當(dāng)n≥45時(shí)，數(shù)列{an}遞增，且an<1，所以在數(shù)列{an}的前100項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是a45，a44.故選C.關(guān)鍵能力綜合練7．答案：A解析：逐一寫出表達(dá)式的前幾項(xiàng)，檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式．故選A.8．答案：A解析：因?yàn)閍1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，所以an＝3n－1.故選A.9．答案：AB解析：A選項(xiàng)，an＝n－1為關(guān)于n的一次函數(shù)，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，故A正確；B選項(xiàng)，nan＝n2－n為關(guān)于n的二次函數(shù)，對(duì)稱軸n＝eq\f(1,2)<1，數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列，故B正確；C選項(xiàng)，eq\f(an,n)＝1－eq\f(1,n)為關(guān)于n的反比例函數(shù)，易知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝(n－1)2為關(guān)于n的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為n＝1，該數(shù)列是遞增數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選AB.10．答案：C解析：an＝n2＋λn(n∈N＋)，若a1<a2，即λ＋1<2λ＋4，解得λ>－3.若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，對(duì)任意的n∈N＋，an<an＋1，即n2＋λn<(n＋1)2＋λ(n＋1)，所以λ>－2n－1對(duì)任意的n∈N＋恒成立，故λ>－3，因此，“a1<a2”是“{an}是單調(diào)遞增數(shù)列”的充要條件．故選C.11．答案：AB解析：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)，顯然an>0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(an,an－1)≥1，,\f(an,an＋1)≥1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n),（n－1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n－1))≥1，,\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n),（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n＋1))≥1，))得2≤n≤3.此時(shí)數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a2＝a3＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,9).故選AB.12．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))(0，1]解析：因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以a>0.則an－an－1>0(n≥2)，即an－an－1＝eq\f(an,n＋2)－eq\f(an－1,（n－1）＋2)＝eq\f(an－1[（a－1）（n＋1）－1],（n＋2）（n＋1）)>0，即a>1＋eq\f(1,n＋1)恒成立，故a>eq\f(4,3)；若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，則an－an－1<0(n≥2)，即an－an－1＝eq\f(an,n＋2)－eq\f(an－1,（n－1）＋2)＝eq\f(an－1[（a－1）（n＋1）－1],（n＋2）（n＋1）)<0，即a<1＋eq\f(1,n＋1)恒成立，由1<1＋eq\f(1,n＋1)，故0<a≤1.核心素養(yǎng)升級(jí)練13．答案：C解析：因?yàn)镺A1＝1，OA2＝eq\r(2)，OA3＝eq\r(3)，…，OAn＝eq\r(n)，…，所以a1＝1，a2＝eq\r(2)，a3＝eq\r(3)，…，an＝eq\r(n).故選C.14．答案：C解析：an＝eq\f(n2＋2n＋