山東省多校2023-2024學(xué)年高三年級上冊12月聯(lián)合質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)試題

高二年級教學(xué)質(zhì)量檢測聯(lián)合調(diào)考

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

L答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.以點(diǎn)A(2,—1)為圓心，3為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-2)2+(y+l)2=3B.(x-2)2+(y+l)2=9

C.(x+2)2+(y-l)2=3D.(X+2)2+(J-1)2=9

2.在空間直角坐標(biāo)系。沖z中，點(diǎn)在平面。町上的投影的坐標(biāo)為()

A.(0,1,1)B.(l,0,l)C.(0,0,1)D.(1,1,0)

3.已知直線如-3y=0的傾斜角是直線丁=氐+1的傾斜角的兩倍，則相=()

A.—3石B.-V3C忑D.3A/3

22

4.“加>4”是“方程^—+二一=1表示橢圓''的()

m+3m-4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.一束光線從點(diǎn)M(3,2)射到x軸上，經(jīng)反射后反射光線與V軸交于點(diǎn)N(0,4),則反射光線所在直線的方程

為()

A.x+2_y—2=0B.2%+y—4=0

C.x+y-4=0D.2x+3y-12=0

6.已知拋物線C:犬=2加(2>0)的焦點(diǎn)為F,P(%,8)是C上一點(diǎn)，且P到尸的距離與尸到C的對稱軸

的距離之差為2,則夕=()

A.-B.lC.2或4D.4或36

2

7.在棱長為2的正方體ABC?！狝4G2中，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)人到平面EC。的距離為（）

A1B小C2亞雇

5555

8.己知產(chǎn)是拋物線C：V=12X的焦點(diǎn)，過/的直線/與C交于兩點(diǎn)，貝|1|￡41|￡8|的最小值為

（）

A.36B.24C.18D.9

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在空間直角坐標(biāo)系中，向量a=（2,—1,加），6=（—4,2,4）,下列結(jié)論正確的是（）

A.若“〃人，則m=-2B.若“〃少，則〃z=2

C.若aJ_Z?，則根=-]D.若。人，則加=5

10.已知圓G:x~+—2x+2y—7=0,圓C2：x~++2x—4y—44=0,貝！|（）

A.直線C]C2與直線4x+6y=0垂直

B.C]與。2沒有公共點(diǎn)

C.G與。2的位置關(guān)系為外離

D.若尸，。分別為圓C]與圓上的動點(diǎn)，貝iJIPQI的最大值為10+而

222

已知橢圓。：=+（〉〉）與雙曲線?！耙?有相同的焦點(diǎn)耳，且它們的離心率互為

11.27=14602—1F2,

ab3

倒數(shù)，P是。與。的一個公共點(diǎn)，則（）

A.|P周一|「閶但閭

B.|W|+|P/=2|4閶

C..「耳鳥為直角三角形

D.C上存在一點(diǎn)。，使得。耳,。鳥

12.數(shù)學(xué)探究課上，小王從世界名畫《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時光》.已知

《垂直時光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個標(biāo)準(zhǔn)的圓形鐘沿著直徑MN折成了直二

面角（其中〃對應(yīng)鐘上數(shù)字3,N對應(yīng)鐘上數(shù)字9）.設(shè)的中點(diǎn)為。，|MN|=46,已知長度為2的時

針。4指向了鐘上數(shù)字8,長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12,現(xiàn)在小王準(zhǔn)備安裝長度為3的秒針0C

（安裝完秒針后,不考慮時針與分針可能產(chǎn)生的偏移，不考慮三根指針的粗細(xì)）,則下列說法正確的是

A.若秒針0C指向了鐘上數(shù)字5,如圖2,則5c

B.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字5,如圖2,則NA〃平面OBC

C.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字4,如圖3,則8c與AM所成角的余弦值為巫

7

103

D.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字4,如圖3,則四面體。ABC的外接球的表面積為一71

3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若雙曲線E：=-y2=l（q>0）的一條漸近線的斜率大于1,則。的取值范圍為.

CT

14.若直線乙：ax—2y+2=0與4：2x—40+。+3=0平行，則它們之間的距離為.

15.已知向量3=（1,0,1）,6=（-2,0,—2）,|c|=2,且3―a）-c=6,則人在2方向上的投影向量的模為

16.若A,8是平面內(nèi)不同的兩定點(diǎn)，動點(diǎn)尸滿足蹙|=左（左>0且左W1）,則點(diǎn)P的軌跡是一個圓，這

個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知P是圓

。1：必+〉2=4上的動點(diǎn)，點(diǎn)。（4,0）,。（4,9）,則2|PD|—|PC|的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知a,b為常數(shù)，直線/1:y=ax+b與直線4：y="x+a垂直，垂足為

（1）求/+〃的最小值；

（2）若直線/3：y=〃x—1經(jīng)過點(diǎn)“，求。的值.

18.（12分）

如圖，在棱長為4的正四面體ABCD中，E是的中點(diǎn)，BF=3FC，記ER=xD4+yD3+2。。.

(1)求x+y+z的值;

(2)求EF?DF-

19.(12分)

22i

已知橢圓E:5+與=l(a〉6〉0)的離心率為不，小工分別是E的左、右焦點(diǎn)，E上的動點(diǎn)P滿足

ab2

「耳工面積的最大值為4逝.

(1)求E的方程；

(2)過點(diǎn)「2且斜率為1的直線/與E交于A，8兩點(diǎn)，求耳A3的面積.

20.(12分)

如圖，在五面體ABCOEF中，四邊形ABCD為矩形，平面ADE,平面ABCD,且43=4，正三角形AOE

的邊長為2.

(2)若EF<AB,且直線AE與平面BCF所成角的正弦值為立^,求EP的值.

7

21.(12分)

己知圓O:爐+J?=64,直線I:(m+2n)x-(m-n)y+2m—8n=0(m,〃eR)與圓O相交于A,B兩點(diǎn),

記弦A8的中點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)已知M,N是C上兩點(diǎn)，點(diǎn)P(4,6),若四邊形OMW為平行四邊形，求|MN|的值.

22.(12分)

已知雙曲線C:工—三=l(a>0/〉0)的焦距為2s，點(diǎn)M(4,3)在。上.

ab

(1)求。的方程；

(2)K，為分別為C的左、右焦點(diǎn)，過C外一點(diǎn)尸作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,若直線PA,PB互

相垂直，求.「耳耳周長的最大值.

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數(shù)學(xué)參考答案

1.B以點(diǎn)4(2,—1)為圓心，3為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2y+(>+1)2=9.

2.D點(diǎn)M(1,1,1)在平面Oxy上的投影的坐標(biāo)為(1,1,0).

3.A因?yàn)橹本€y=gx+l的斜率為石，所以它的傾斜角為60，所以直線加x-3y=0的傾斜角為120，

斜率為—=—,解得m=-3有-

m+3>0,

22

4.C若方程+上一=1表示橢圓，則機(jī)-4〉0,解得m>4,故'加>4”是“方程

m+3m-4。

4加+3w加一4,

22

二一+二一=1表示橢圓”的充要條件.

m+3m-4

5.B點(diǎn)以(3,2)關(guān)于X軸對稱的點(diǎn)為河'(3,-2),因?yàn)榉瓷涔饩€與y軸交于點(diǎn)N(0,4),所以反射光線所在

直線的方程為2x+y—4=0.

I1=8+——2,

6.D由題可知,<1012解得夕=4或7=36.

5o=16。,

7.c如圖，以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為左軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，則A（2,。，0），￡（2,1,2）,C（0,2,2）,q（0,2,0）,4^=（0,1,2）,EC=（-2,1,0）,EC1=（-2,1,-2）.

m-EC=0,-2x+y=0,

設(shè)平面ECG的法向量為加=(%y,z),則由"得1令x=l,得

m-EC]=0,—lx+y—2z—0,

上，故點(diǎn)A到平面ECG的距離為冬后.

m=（1,2,0）-

ImlA/55

y2=12%,

8.A由題可知/（3,0）,設(shè)/的方程為x=3+3,4（玉,%）,3（%,%）?聯(lián)立方程組＜整理得

%=Zy+3,

,2—12)—36=0,則/+%=12%,x%=—36,|FA|=再+3=^-+3,|我M=%+3=^~+3=—^-+3,

=18+曰+%..36,當(dāng)且僅當(dāng)%2=36時，等號成立.

4K

r\1〈

9.AD若a//b,則工^=萬=1，解得加=-2.若a，則2x（—4）+（—1）x2+4加=0,解得/n=萬.

10.BD由題意可知圓C]:（x—1）2+（＞+1）2=9,圓。2：（》+1）2+（'—2）2=49,則￡（1,一1）,睡（―1,2）,

-1-23______

則左GG=匚W=-54不正確?因?yàn)?6|=422+32=屈＜7-3,所以G與02的位置關(guān)系為內(nèi)含為

正確，C不正確.由題易知|尸的最大值為|GQ|+3+7=10+巫Q正確.

11.BC由題可知，￡（—2,0）,瑪（2,0）,。的離心率為2,則。的離心率為;，則

a=4,匕=2?,||「4||P6||=，耳用,伊耳|+|P閭=2閨閭4不正確，B正確.根據(jù)對稱性，不妨設(shè)P在

]尸耳|+-劇=8,1|尸耳|=5,,,,

第一象限，則jp＜_jpjj=2解得jjp/|=3則儼周12=w閭12+閨用12'所以/可心為直角三角形（正

確.設(shè)|。耳|=x，則|。閶=8—x,若。耳，。工，則|Q片「+口閭2=1片閭2,即》2+（8_勸2=16,方程

無解.￡）不正確.

12.ACD如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。加,。8所在直線分別為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（l,—6,0）,3（0,0,3）,M（0,2A/3,0）,N（0,—2百,0）,.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字5,則

C[乎(,o],OA=(l,-石,O),BC=3

,-,-3,03=(0,0,3),則OABC=0，OA-OB=0,所

I22J

以。故OA是平面03c的一個法向量.因?yàn)榧?=(1,G，。)，所以

0A.M!=_2w0,所以。4與N4不垂直，從而N4與平面03c不平行4正確，8不正確.若秒針。。指

(33石133百。

向了鐘上數(shù)字4,則C-,^-,0,AM=

[22J

/.“廿\AMBC12714門5石、??l

cos〈AM,BC、=西網(wǎng)=2g30=亍，.由「卜丁0；得國卜加.因?yàn)?/p>

AC、后

/AOC=120，所以,Q4C外接圓的半徑廠=—\I~I\—=半，則四面體Q4BC的外接球的半徑

ZsmZAOC6

R=Jr2+-,貝UR2=W1,故四面體Q4BC的外接球的表面積為4乃A??.C,。正確.

V4123

13.(0,1)E的漸近線方程為y=±^x,則工〉1,解得0<a<l.

aa

因?yàn)椤丁▋核?/+4=0,解得。=1或a=—l.當(dāng)。=1時，4與乙重合，不符合題意.當(dāng)

a=-L時，4:x+2y—2=0,4：x+2y+l=0之間的距離d==

Vl2+225

15.2因?yàn)閍=(1,0,1),Z?=(—2,0,—2),所以Z?=-2a,b-a=-3a.又(6—a)，c=6,所以一3a?c=6,則

.\b-c\

a-c=-2,則0.c=4，所以匕在c方向上的投影向量的模為^^=2.

同

M2

=①2=L故

16.6V10設(shè)尸(蒼y),4(1,0),則|PC|Fd)2+y2

20-8%2

2\PD\-\PC\=2(|PD|-|PA|)?2|AD|=6V10,當(dāng)且僅當(dāng)A。,P三點(diǎn)共線，且A在DP之間時取得最大

值.

17.解：(1)因?yàn)樗詀b=T，即匕=—工，

a

則/+/=/+二..2,當(dāng)且僅當(dāng)。=土1時，等號成立,

a

故"+/的最小值為2.

1

y=ax——,JV—■1,

(2)聯(lián)立方程組＜i°解得W1

1y=a——

y=—x+a,

、a

、a

因?yàn)?經(jīng)過點(diǎn)”，所以?！?。2-1,

a

解得a=1或a=-1.

18.解：(1)因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，BF=3FC，所以EF=DF—DE

131

=-DB+-DC——DA,

442

一_.__113

又EF=xDA+yDB+zDC,所以x=y=^,z=^，

1

則x+y+z=-.

13113n13

(2)因?yàn)镺E=—OB+—OC,所以取?？?一一DA+-DB+-DC--DB+-DC

441244八44

1312392

=——DADB——DADC+—DB+-DBDC+—DC

8816816

12

由正四面體ABCD的棱長為4,可得。DC=?DC=4x4x—=8,DB

2

?2

=DC=16)

故=

19.解：（1）當(dāng)P在E的上（下）頂點(diǎn)處時，P4心的面積取得最大值,

15，

be=4^3,

tz=4,

解得《

b=2y/3,

則E的方程為土+乙=1.

1612

（2）I的方程為兀=丁+2,4（%，

■匕=1

聯(lián)立方程組《1612'整理得7y2+12y-36=0,

x=y+2,

則X+%=_7，乂%=--，

s即=g閨8月-%|=2，（乂+%）2-4m％

20.（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛3CD為矩形，所以48〃CD.

又A5<Z平面CDEQCDu平面CDEF,所以〃平面CZ）防.

因?yàn)槠矫鍭BEEc平面CDEF=EF,ABu平面ABFE，所以AB〃所.

又所U平面ABCD,ABu平面ABCD,所以所〃平面ABCD.

y

B

X

（2）解：分別取ARBC的中點(diǎn)0,",連接。E,OM,因?yàn)槠矫鍭QE

，平面ABC。,ADE為正三角形，所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,

OM,OE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，則4（1,0,0）,3（1,4,0）,。（-1,4,0）,網(wǎng)0,0,鳥

設(shè)/倒，也也)，則AE=(―1,0,6)，3C=(-2,0,0),BF=(-l,m-4,石)，

BC-m=0,—2x=0,

設(shè)平面3c戶的法向量為和=（x,y,z）,則由＜得

BF-m=0,-x+(m-4)y+A/3Z=0,

令Z=G，得〃2=[o,--三,

Im-4

AE-m^

因?yàn)橹本€AE與平面3b所成角的正弦值為"i,所以cos(AE,m

7AE||m|

解得根=2或根=6（舍去）