內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市阿旗天山蒙古族中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市阿旗天山蒙古族中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則這個球的表面積為（

）A．2 B．4 C．8 D．16參考答案：B2.在△ABC中，已知，B=，A=，則等于(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.拋物線的焦點坐標(biāo)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C即,,焦點在y軸負(fù)半軸上，所以焦點坐標(biāo)為.故選C.

4.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則S4=（）A．7 B．8 C．16 D．15參考答案：D【考點】等比數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】利用a1=1，4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，求得等比數(shù)列的公比，即可求出S4的值．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則∵a1=1，4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，∴4q=4+q2，∴q=2∴S4=1+2+4+8=15故選D．5.如果10N的力能使彈簧壓縮10cm，為在彈性限度內(nèi)將彈簧從平衡位置拉到離平衡位置6cm處，則克服彈力所做的功為(

)A.0.28J

B.

0.12J

C.

0.26J

D.

0.18J

參考答案：D6.已知等比數(shù)列{an}，滿足a1+a2+a3+a4+a5=2，=，則a3=(

)A．﹣2 B．2 C．±2 D．±4參考答案：C【考點】等比數(shù)列的通項公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；整體思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a1a5=a2a4=，分別通分即可得出．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}，滿足a1+a2+a3+a4+a5=2，=，∴++=，∴++=，∴2=，解得a3=±2．故選：C．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7.如圖，在一個邊長為2的正方形中隨機(jī)撒入200粒豆子，恰有120粒落在陰影區(qū)域內(nèi)，則該陰影部分的面積約為（） A． B． C． D．參考答案：B【考點】概率的應(yīng)用． 【專題】計算題． 【分析】先求出正方形的面積為22，設(shè)陰影部分的面積為x，由概率的幾何概型知，由此能求出該陰影部分的面積． 【解答】解：設(shè)陰影部分的面積為x， 則， 解得x=． 故選B． 【點評】本題考查概率的性質(zhì)和應(yīng)用，每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型．解題時要認(rèn)真審題，合理地運用幾何概型解決實際問題． 8.直線y=x﹣3與拋物線y2=4x交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為（）A．48 B．56 C．64 D．72參考答案：A【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計算題．【分析】依題意聯(lián)立方程組消去y，進(jìn)而求得交點的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)|AP|，|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB的面積【解答】解：直線y=x﹣3與拋物線y2=4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，聯(lián)立方程組得，消元得x2﹣10x+9=0，解得，和，∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形APQB的面積為48，故選A．【點評】本題主要考查了拋物線與直線的關(guān)系．常需要把直線與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理找到解決問題的途徑．9.已知命題p：存在實數(shù)使，命題q：對任意，若p且q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為（

）．A． B． C． D．參考答案：C10.若隨機(jī)變量X～B（n，0.6），且E（X）=3，則P（X=1）的值是（）A．2×0.44 B．2×0.45 C．3×0.44 D．3×0.64參考答案：C【考點】二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型．【專題】常規(guī)題型．【分析】根據(jù)隨機(jī)變量符合二項分布，根據(jù)期望值求出n的值，寫出對應(yīng)的自變量的概率的計算公式，代入自變量等于1時的值．【解答】解：∵隨機(jī)變量X服從，∵E（X）=3，∴0.6n=3，∴n=5∴P（X=1）=C51（0.6）1（0.4）4=3×0.44故選C．【點評】本題考查二項分布，本題解題的關(guān)鍵是寫出變量對應(yīng)的概率的表示式和期望的表示式，根據(jù)期望值做出n的值，本題是一個基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖算法中，輸出S的值是

參考答案：52略12.已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．現(xiàn)給出如下結(jié)論：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正確結(jié)論的序號是．參考答案：②③【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，確定函數(shù)的極值點1，3及a、b、c的大小關(guān)系，由此可得結(jié)論【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c設(shè)f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故答案為：②③13.有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位。現(xiàn)在安排甲、乙2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且甲、乙不能左右相鄰，則一共有多少種不同安排方法？__________

（用數(shù)字作答）.

參考答案：346略14.設(shè)a＞b＞0，則a2++的最小值是．參考答案：4【考點】基本不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】變形可得a2++=ab++a（a﹣b）+，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2++=a2﹣ab+ab++=ab++a（a﹣b）+≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)ab=且a（a﹣b）=即a=且b=時取等號．故答案為：4．【點評】本題考查基本不等式求最值，添項并變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．15.有下列五個命題：①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題．②若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為．③在中，“”是“三個角成等差數(shù)列”的充要條件．④已知△ABC的周長為20，且頂點B(0，4)，C(0，4)，則頂點A的軌跡方程是．⑤已知向量是空間的一個基底，則向量也是空間的一個基底．其中真命題的序號是___▲___．參考答案：①③⑤略16.，經(jīng)計算的，推測當(dāng)時，有__________________________.參考答案：17.曲線在點處的切線方程為★★★★★★．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，為圓的直徑，點、在圓上，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積；參考答案：（Ⅰ）證明：平面平面，,平面平面，平面，

∵AF在平面內(nèi)，∴，又為圓的直徑，∴，

∴平面.

（Ⅱ）解：由（1）知即，∴三棱錐的高是，∴,連結(jié)、，可知∴為正三角形，∴正的高是，∴，略19.在正方體中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值；（2）若λ=2，求證：平面CDE⊥平面CD1O.參考答案：解:(1)不妨設(shè)正方體的棱長為1，以,,為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E，于是，.由cos＝＝.所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為.

（2）設(shè)平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0得取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).

由D1E＝λEO，則E，.又設(shè)平面CDE的法向量為n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.得取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).

因為平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2． 20.某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個數(shù)10304020

（1）若將頻率視為概率，從這100個水果中有放回地隨機(jī)抽取4個，求恰好有2個水果是禮品果的概率.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）（2）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考.方案1：不分類賣出，單價為20元/kg.方案2：分類賣出，分類后的水果售價如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(元/kg）16182224

從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？（3）用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機(jī)抽取3個，X表示抽取的是精品果的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).參考答案：（1）；（2）第一種方案；（3）詳見解析【分析】（1）計算出從100個水果中隨機(jī)抽取一個，抽到禮品果的概率；則可利用二項分布的概率公式求得所求概率；（2）計算出方案2單價的數(shù)學(xué)期望，與方案1的單價比較，選擇單價較低的方案；（3）根據(jù)分層抽樣原則確定抽取的10個水果中，精品果4個，非精品果6個；則服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率計算公式可得到每個取值對應(yīng)的概率，從而可得分布列；再利用數(shù)學(xué)期望的計算公式求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)從100個水果中隨機(jī)抽取一個，抽到禮品果的事件為，則現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4個，設(shè)抽到禮品果的個數(shù)為，則恰好抽到2個禮品果的概率為：（2）設(shè)方案2的單價為，則單價的期望值為：從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用第一種方案（3）用分層抽樣的方法從100個水果中抽取10個，則其中精品果4個，非精品果6個現(xiàn)從中抽取3個，則精品果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為：則；；；的分布列如下：

【點睛】本題考查二項分布求解概率、數(shù)學(xué)期望的實際應(yīng)用、超幾何分布的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)抽取方式確定隨機(jī)變量所服從的分布類型，從而可利用對應(yīng)的概率公式求解出概率.21.已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+b，且方程f（x）=17有兩個實根﹣2，4（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤λx在區(qū)間[2，4]上恒成立，試求實數(shù)的取值范圍．參考答案：【考點】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)；3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）由題意可得﹣2，4是x2+ax+b﹣17=0的兩根，運用韋達(dá)定理，可得a，b，進(jìn)而得到f（x）的解析式；（2）運用參數(shù)分離可得λ≥x+﹣2在[2，4]的最大值，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，求得最大值，即可得到所求實數(shù)的范圍．【解答】解：（1）方程f（x）=17有兩個實根﹣2，4，即為﹣2，4是x2+ax+b﹣17=0的兩根，可得﹣2+4=﹣a，﹣2×4=b﹣17，解得a=﹣2，b=9，則f（x）=x2﹣2x+9；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤λx在區(qū)間[2，4]上恒成立，即為λ≥=x+﹣2在[2，4]的最大值，由y=x+﹣2在[2，3]遞減，在[3，4]遞增，可得ymin=3+3﹣2=4，x=2時，y=；x=4時，y=．即有y的最大值為．則λ的取值范圍是[，+∞）．【點評】本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運用韋達(dá)定理，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性解決，考查運算能力，屬于中檔題．22.（本小題滿分13分）已知命題：在上是增函數(shù)；命題函數(shù)存在極大值和極小值。