四年級下冊數(shù)學競賽試題第04講-格點圖形面積計算（人教版）含詳解

第第頁第四講格點圖形面積計算在平面幾何知識中，面積計算是最重要的組成部分之一．我們已經(jīng)學過了長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形面積公式，你還記得這些公式嗎？這一講我們將學習格點圖形的面積．用線段連結(jié)格點圍成的封閉圖形稱之為格點圖形．雖然我們已經(jīng)學習了基本直線形的面積公式，然而大多數(shù)的格點圖形都無法直接計算面積，需要我們通過這節(jié)課的探索學習去找到方法．常見的格點有正方形格點和三角形格點．例題1圖中每個最小正方形的面積都是1平方厘米，那么三個陰影圖形的面積分別是多少平方厘米？「分析」這幾個多邊形都不規(guī)則，我們能不能把它們切成很多規(guī)則的小塊，一塊一塊地求面積呢？或者給它們添補一些規(guī)則的小塊，使得它們變成規(guī)則可求的大圖形．

練習1圖中相鄰兩格點間的距離均為1厘米，那么陰影圖形的面積分別是多少平方厘米？

通過例1中的第1小題我們學會了將大塊不規(guī)則圖形“分割”成許多規(guī)則的圖形，這種方法稱為“分割法”；但是不一定每個圖形都很容易分割，第2小題我們學會了把不好算的圖形“添補”成規(guī)則的大圖形，計算時用大圖形的面積減去空白部分的面積，這種方法稱為“添補法”．分割法，正所謂“大事化小”，把不規(guī)則的大圖形化為規(guī)則的小圖形．添補法則正好相反，是“以小見大”，把不規(guī)則圖形周圍添上規(guī)則的小圖形，使總面積便于計算．使用割、補法的時候，一般應該從圖形的頂點出發(fā)，盡量沿著格線劃分，以便與小方格的面積找到聯(lián)系或者利用垂直等性質(zhì)．接下來我們用分割、添補的方法計算一下三角形格點圖形的面積．例題2①②③④⑤下圖是一個三角形點陣，其中能連出的最小等邊三角形的面積為1平方厘米．那么這①②③④⑤「分析」前三個圖是可以直接計算的，④、⑤是無法直接計算的，試著用分割、添補的方法解決吧！我們發(fā)現(xiàn)：如果一個三角形的兩邊都沿三角形格線方向，并且分別是最短線段的m倍和n倍，那么這個三角形的面積就是最小等邊三角形面積的倍．練習2①②③④①②③④要計算格點圖形的面積，我們只需要應用合適的方法，數(shù)一下要求的圖形占了幾個單位面積即可．當單位面積不為1時，我們就要格外小心了，千萬不能在數(shù)完后再乘單位面積！對于復雜的格點圖形，使用割補法一定能計算面積．但是割補法有時顯得有些繁瑣，有沒有更簡單明了的方法呢？那么我們接下來看一個簡單快捷的方法．例如，我們要計算如下圖的格點多邊形的面積（假設最小的正方形面積是1）．我們可以用割補的方法求出圖形的面積，現(xiàn)在還有另一種方法，從格點數(shù)入手．圍成陰影部分的邊線，經(jīng)過了一些格點．這些邊界上的格點叫做邊界格點，一共有12個；格點圖形還完全蓋住了一些格點，這些圖形內(nèi)部的格點叫做內(nèi)部格點，一共有1個．一般的，在最小正方形面積為1的正方形網(wǎng)格中，我們有：這樣，按公式計算：，我們就得出圖中陰影部分的面積了．例題3如圖，相鄰兩格點間的距離均為1厘米，求陰影部分的面積？「分析」嘗試著用格點圖形面積公式計算一下把！先數(shù)數(shù)邊界格點、內(nèi)部格點分別有多少個呢？練習3如圖，每一個最小正方形的面積都是2，陰影部分的面積是多少？類似地，在最小正三角形面積為1的三角形網(wǎng)格中，三角形格點圖形也有面積計算公式：仔細比較這兩個公式，可以發(fā)現(xiàn)：三角形格點的公式正好是正方形格點公式的2倍．大家想一下，為什么是這樣呢？例題4如圖，每個最小等邊三角形的面積都是1平方厘米．陰影部分的面積是多少平方厘米？「分析」嘗試著用格點圖形面積公式計算一下把！先數(shù)數(shù)邊界格點、內(nèi)部格點分別有多少個呢？

練習4如圖，每個最小等邊三角形的面積都是1平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？例題5如圖，每一個最小正方形的面積都是3平方厘米．陰影部分的面積是多少平方厘米？「分析」試著比較分割法、添補法、公式法，這三個方法哪個更合適呢？

例題6（1）左圖中每個最小正三角形的面積是2平方厘米．陰影部分面積是多少平方厘米？

（2）右圖中每個最小正三角形的面積是4平方厘米．陰影部分面積是多少平方厘米？「分析」試著比較分割法、添補法、公式法，這三個方法哪個更合適呢？對于大部分格點圖形而言，分割法和添補法都可以用來求面積．對于特殊的格點圖形，如果不易分割，可以試試添補；如果不易添補，可以試試分割．如果用分割法和添補法都不易解決，那么格點公式就派上用場了！在使用格點公式時，有以下幾點需要注意：注意是正方形格點還是三角形格點；按照順序來數(shù)邊界格點和內(nèi)部格點；用格點公式計算出來的不是面積，而是最小的正方形或正三角形的面積的倍數(shù)．看似這一講的題目不是很難，怎么保證計算的準確性呢？如果你用分割法計算面積，不妨再用添補法驗算一下．如果你用割補法計算面積，不妨再用格點公式算一算．用不同方法得到的都是同樣的結(jié)果，基本上就不會出錯了．課堂內(nèi)外幾何的起源古埃及人聚居在尼羅河附近，以在河邊的農(nóng)田耕作為生．可是尼羅河每隔一段時間會泛濫，河水涌上岸，把河邊的農(nóng)田淹沒，沖毀農(nóng)田的邊界．所以，每次河水泛濫后，埃及人都要重新劃分農(nóng)田的范圍和界限．埃及人在劃分土地時，發(fā)現(xiàn)很多不同形狀的農(nóng)田，都可以分割為幾塊較細小的三角形農(nóng)田，例：1塊長方形農(nóng)田2塊大小相同的三角形農(nóng)田1塊梯形農(nóng)田3塊三角形農(nóng)田這些不同形狀的農(nóng)田，其實就是不同的幾何圖形；把農(nóng)田分割為幾塊較細小的農(nóng)田，即是把幾何圖形分割．原來古埃及人是研究幾何圖形的先鋒呢！作業(yè)如圖，每相鄰兩個格點的距離都是1，那么兩個陰影圖形的面積分別是________、________．

下圖中三角形點陣所能連出的最小正三角形面積為1，圖中兩個圖形的面積分別是________、________．

如圖，最小正三角形的面積是4平方厘米，那么陰影部分的面積是________平方厘米．

右圖中，每個最小正方形面積為2，則圖中陰影部分的面積是________．

下圖三角形點陣所能連出的最小正三角形面積為2，圖形的面積是_________．

BB 第四講格點圖形面積計算例題1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米詳解：如圖所示，用分割法、添補法．

三個圖形的面積分別是：平方厘米；

平方厘米；

平方厘米．

例題2答案：6；12；4；7；9④：⑤：或：或：詳解：①：平方厘米；②：平方厘米；③：平方厘米；

④：⑤：或：或：例題3答案：6.5平方厘米詳解：內(nèi)部格點：3個，邊界格點：9個．面積=平方厘米．

例題4答案：34平方厘米詳解：內(nèi)部格點：7個；邊界格點：22個．面積：平方厘米．例題5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米詳解：可以分割、添補，也可以用公式法：

（1）內(nèi)部格點：4個；邊界格點：7個．面積：平方厘米；

（2）內(nèi)部格點：8個；邊界格點：7個．面積：平方厘米．例題6答案：28平方厘米；56平方厘米詳解：可以分割、添補，也可以用公式法：

（1）內(nèi)部格點：4個；邊界格點：8個．面積：平方厘米；

（2）內(nèi)部格點：3個；邊界格點：10個．面積：平方厘米．練習1答案：3平方厘米；10平方厘米詳解：如圖，分別用分割法、添補法．

練習2③：④：答案：12；20；5；18

詳解：

①：平方厘米；

②：直接數(shù)，每層4個，共5層，平方厘米；

③：④：練習3答案：13簡答：內(nèi)部格點：1個，邊界格點：13個．面積=．練習4答案：17平方厘米簡答：內(nèi)部格點：1個；邊界格點：17個．面積：平方厘米．作業(yè)1答案：6；6.5簡答：可用分割或添補法完成．

作業(yè)2答案：