數(shù)學(xué)建模實(shí)習(xí)論文《飛行員計(jì)劃》

飛行員方案摘要在甲、已雙方的一場戰(zhàn)爭中，一局部甲方部隊(duì)被乙方部隊(duì)包圍長達(dá)4個(gè)月。由于乙方封鎖了所有水陸交通通道，被包圍的甲方部隊(duì)將采用飛機(jī)來執(zhí)行飛行任務(wù)，投送物資。問題=1\*GB3①：此題要求為甲方擬定飛行方案，主要考慮資費(fèi)問題，應(yīng)如何合理規(guī)劃，使得總的費(fèi)用最少。針對(duì)提出的論點(diǎn)，我們進(jìn)一步分析，將總費(fèi)用R分成三局部。=1\*ROMANI：購置新飛機(jī)數(shù)量與飛行員有簡單的正比關(guān)系，但在飛行員人數(shù)滿足的情況下，可以將購置新飛機(jī)獨(dú)立出來作為第一局部，設(shè)其費(fèi)用為R1。=2\*ROMANII：接著我們分析飛行員，根據(jù)給出的題目，我們變換數(shù)據(jù)得到了每月執(zhí)行任務(wù)的人數(shù)，犧牲人數(shù)，進(jìn)而求解出下月的休假人數(shù)。由于執(zhí)行任務(wù)的費(fèi)用與休假的費(fèi)用是固定值，因此我們作為第二局部R2。=3\*ROMANIII：最后我們把閑置人數(shù)費(fèi)用、教練與培訓(xùn)的新飛行員作為第三局部R3。求總費(fèi)用最少，。針對(duì)R1我們對(duì)其建立了線性規(guī)劃模型，采用LINGO軟件求解出了它的最優(yōu)解為33050〔見附件1〕；針對(duì)R2我們構(gòu)造了〔見符號(hào)說明〕帶入數(shù)據(jù)后，求解出R2的固定值為21531；最后我們對(duì)R3依然建立線性規(guī)劃模型，采用LINGO軟件求解出了它的最優(yōu)解為30805.4所以問題=1\*GB3①的求解答案R為85386.4。問題=2\*GB3②：本問只是將每位教練當(dāng)月培訓(xùn)新飛行員的人數(shù)賦值為變量，并且加以了人數(shù)的限制。但與上問有共同的特點(diǎn)。我們采用上問的求解思路，還是將其分成三局部，前面兩局部與上問相同，其值也是一樣的，著重考慮第三局部R4。針對(duì)該局部，我們引入?yún)?shù)變量〔i=1，2，3且〕〔見符號(hào)說明〕，建立了非線性規(guī)劃模型，采用lingo軟件求解出minR4=14904.00所以此時(shí)的總費(fèi)用R=minR1+R2+minR4，求解出總費(fèi)用R為69485。我們進(jìn)一步對(duì)模型做了改良，考慮到犧牲人員數(shù)需要撫恤金，失蹤人員有一局部可以被找到，作為休假人員，下月也可以去執(zhí)行任務(wù)或者培訓(xùn)新飛行員。這樣將會(huì)進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用。關(guān)鍵字:線性規(guī)劃非線性規(guī)劃LINGO最優(yōu)解一、問題的提出在甲、已雙方的一場戰(zhàn)爭中，一局部甲方部隊(duì)被乙方部隊(duì)包圍長達(dá)4個(gè)月。由于乙方封鎖了所有水陸交通通道，被包圍的甲方部隊(duì)只能依靠空中交通維持供應(yīng)。運(yùn)送4個(gè)月的供應(yīng)分別需要2，3，3，4次飛行，每次飛行編隊(duì)由50架飛機(jī)組成〔每架飛機(jī)需要3名飛行員〕，可以運(yùn)送10萬噸物資。每架飛機(jī)每個(gè)月只能飛行一次，每名飛行員每個(gè)月也只能飛行一次。在執(zhí)行完運(yùn)輸任務(wù)后的返回途中有20%的飛時(shí)機(jī)被乙方部隊(duì)擊落，相應(yīng)的飛行員也因此犧牲或失蹤。在第一個(gè)月開始時(shí)，甲方擁有110架飛機(jī)和330名熟練的飛行員。在每個(gè)月開始時(shí)，甲方可以招聘新飛行員和購置新飛機(jī)。新飛機(jī)必須經(jīng)過一個(gè)月的檢查后才可以投入使用，新飛行員必須在熟練飛行員的指導(dǎo)下經(jīng)過一個(gè)月的訓(xùn)練才能投入飛行。每名熟練飛行員可以作為教練每個(gè)月指導(dǎo)20名飛行員〔包括他自己在內(nèi)〕進(jìn)行訓(xùn)練。每名飛行員在完成一個(gè)月的飛行任務(wù)后，必須有一個(gè)月的帶薪假期，假期結(jié)束后才能再投入飛行。各項(xiàng)費(fèi)用〔單位略去〕如下表所示：第一個(gè)月第二個(gè)月第三個(gè)月第四個(gè)月新飛機(jī)價(jià)格200.0195.0190.0185.0閑置的熟練飛行員報(bào)酬7.06.96.86.7教練和新飛行員報(bào)酬〔包括培訓(xùn)費(fèi)用〕10.09.99.89.7執(zhí)行任務(wù)的熟練飛行員報(bào)酬9.08.99.89.7休假期間的熟練飛行員報(bào)酬5.04.94.84.7問題=1\*GB3①現(xiàn)要求為怎樣為甲方安排一個(gè)飛行方案，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，使得所用費(fèi)用最少？問題=2\*GB3②如果每名熟練飛行員可以作為教練每個(gè)月指導(dǎo)不超過20名飛行員〔包括他自己在內(nèi)〕進(jìn)行訓(xùn)練，模型和結(jié)果有哪些改變？二、問題的分析我們將飛行員人數(shù)和購置飛機(jī)數(shù)設(shè)置為參數(shù)變量，將購置新飛機(jī)與飛行員人數(shù)分開考慮。這里先考慮新飛機(jī)的購置情況。因?yàn)榈谒膫€(gè)月購置的飛機(jī)要在第五個(gè)月才能使用，而第五個(gè)月已經(jīng)沒有飛行任務(wù)了，所以在第四個(gè)月不用再購置新飛機(jī)了，即購置的飛機(jī)數(shù)量為0。同時(shí)第四個(gè)月也不用培訓(xùn)新的飛行員。由于每名飛行員每月只飛一次，飛完返回后必須在下月休假。因此第一個(gè)月將沒有休假的人。后面三個(gè)月都有人休假，但只有第二、三月休假人才可以被相應(yīng)的下一個(gè)月任命飛行。我們要解決的問題是合理安排飛行使得總費(fèi)用最少。三、模型的假設(shè)假設(shè)=1\*GB3①：在執(zhí)行完運(yùn)輸任務(wù)后的返回途中有20%的飛時(shí)機(jī)被乙方部隊(duì)擊落，相應(yīng)的飛行員也因此犧牲或失蹤。假設(shè)=2\*GB3②：休假后的飛行員不僅能再投入飛行，也能充當(dāng)教練。假設(shè)=3\*GB3③：新飛機(jī)必須經(jīng)過一個(gè)月的檢查后才可以投入使用，新飛行員必須在熟練飛行員的指導(dǎo)下經(jīng)過一個(gè)月的訓(xùn)練才能投入飛行。假設(shè)=4\*GB3④：執(zhí)行任務(wù)后的飛行員必須休假一個(gè)月才能飛行四、符號(hào)的說明第i個(gè)月購置新飛機(jī)的數(shù)量第i個(gè)月教練的人數(shù)第i個(gè)月每一位教練培訓(xùn)的新飛行員人數(shù)第i個(gè)月閑置、教練和培訓(xùn)新的飛行員的費(fèi)用第i個(gè)的休假飛行員人數(shù)每名飛行員在第i個(gè)月的費(fèi)用第i個(gè)月要執(zhí)行任務(wù)的飛行員數(shù)每名執(zhí)行任務(wù)的飛行員的費(fèi)用五、模型的建立與求解問題=1\*GB3①的求解：總費(fèi)用＝飛機(jī)費(fèi)用+飛行員費(fèi)用首先考慮飛機(jī)的費(fèi)用針對(duì)飛機(jī)數(shù)量，我們建立了如下經(jīng)驗(yàn)公式：飛機(jī)損毀數(shù)＝當(dāng)月執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)數(shù)*20％當(dāng)月可用飛機(jī)數(shù)＝上月購置新飛機(jī)數(shù)+上月飛機(jī)總數(shù)－上月飛機(jī)損毀數(shù)根據(jù)題目，我們建立如下表格第一個(gè)月第二個(gè)月第三個(gè)月第四個(gè)月需要執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)數(shù)100150150200飛機(jī)損毀數(shù)20303040購置新飛機(jī)數(shù)x1x2x30可用飛機(jī)總數(shù)110x1+90x1+x2+60x1+x2+x3+30我們采用線性規(guī)劃模型建立購置飛機(jī)費(fèi)用最少的目標(biāo)函數(shù)以及約束條件為：Min200x1+195x2+190x3我們采用lingo軟件求解出購置飛機(jī)的費(fèi)用為33050。最后我們考慮飛行員的費(fèi)用由于每名飛行員每月只飛一次，飛完返回后必須在下月休假。因此第一個(gè)月將沒有休假的人。后面三個(gè)月都有人休假，而且休假但只有第二、三月休假人才可以被相應(yīng)的下一個(gè)月利用。執(zhí)行任務(wù)的飛行員人數(shù)與帶薪休假的飛行員人數(shù)在每個(gè)月都是固定的，因此這局部的費(fèi)用也已經(jīng)固定，可單獨(dú)考慮?，F(xiàn)在我們就把閑置飛行員、教練與新飛行員作為整體考慮，建立模型?，F(xiàn)在給出此題中設(shè)計(jì)到的名稱的定義：閑置飛行員人數(shù)＝未執(zhí)行任務(wù)的飛行員數(shù)－培訓(xùn)新飛行員的教練數(shù)當(dāng)月未執(zhí)行任務(wù)的飛行員數(shù)＝當(dāng)月具有飛行能力的飛行員數(shù)－當(dāng)月執(zhí)行了任務(wù)的飛行員數(shù)當(dāng)月具有飛行能力的飛行員＝上月培訓(xùn)的飛行員數(shù)+上月未執(zhí)行任務(wù)的飛行員數(shù)+上月的休假飛行員數(shù)本月休假人數(shù)＝上月執(zhí)行任務(wù)的人數(shù)〔1－20％〕根據(jù)數(shù)據(jù)定義，我們建立了如下表格：月數(shù)人數(shù)第一個(gè)月第二個(gè)月第三個(gè)月第四個(gè)月閑置熟練飛行員30-y119y1-y2-42019y1+19y2-y3-63019y1+19y2+19y3-870具有飛行能力的飛行員33019y1+3019y1+19y2-18019y1+19y2+19y3-270犧牲的人數(shù)609090120執(zhí)行任務(wù)人數(shù)300450450600未執(zhí)行任務(wù)人數(shù)3019y1-42019y1+19y2-63019y1+19y2+19y3-870休假人數(shù)0240360360教練人數(shù)y1y2y30新飛行員19y119y219y30因?yàn)槊總€(gè)月所具有飛行能力的飛行員必須大于或者等于執(zhí)行任務(wù)懂得飛行員人數(shù)，因此我們給出以下約束條件：19y1+30>=450；19y1+19y2-180>=450；19y1+19y2+19y3-270>=600第一個(gè)月：=(30-y1)*7.0+300*9.0+y1*10.0+19y1*10.0第二個(gè)月：=〔19y1-y2-420〕*6.9+450*8.9+240*4.9+y2*9.9+19y2*9.9第三個(gè)月：=〔19y1+19y2-y3-630〕*6.8+450*9.8+360*4.8+y3*9.8+19y3*9.8第四個(gè)月：=〔19y1+19y2+19y3-870〕*6.7+600*9.7+360*4.7整理數(shù)據(jù)后我們得到：=193y1+2910+131.1y1+191.1y2+2283+129.2y1+129.2y2+189.2y3+1854+127.3y1+127.3y2+127.3y3+1683采用matlab化簡得到：＝2903/5*y1+8730+2238/5*y2+633/2*y3于是我們建立出了飛行員費(fèi)用的線性規(guī)劃模型：Min＝2903/5*y1+8730+2238/5*y2+633/2*y3問題=2\*GB3②的求解：月數(shù)人數(shù)第一個(gè)月第二個(gè)月第三個(gè)月第四個(gè)月閑置熟練飛行員30-y1a1y1-y2-420a1y1+a2y2-y3-630a1y1+a2y2+a3y3-870具有飛行能力的飛行員330a1y1+30a1y1+a2y2-180a1y1+a2y2+a3y3-270犧牲的人數(shù)609090120執(zhí)行任務(wù)人數(shù)300450450600未執(zhí)行任務(wù)人數(shù)30a1y1-420a1y1+a2y2-630a1y1+a2y2+a3y3-870休假人數(shù)0240360360教練人數(shù)y1y2y30新飛行員a1y1a2y2a3y30通過上述表格，我們建立了R4的目標(biāo)函數(shù)：R4=10.0*〔a1y1+y1〕+9.9*(a2y2+y2)+9.8*(a3y3+y3)+7.0*(30-y1)+6.9*(a1y1-y2-420)+6.8*(a1y1+a2y2-y3-630)+6.7*〔a1y1+a2y2+a3y3-870〕對(duì)R4化簡后結(jié)果為：30.4a1y1+23.4a2y2+16.5a3y3+3y1+3y2+3y3-6972建立R4的非線性規(guī)劃模型：MinR4=30.4a1y1+23.4a2y2+16.5a3y3+3y1+3y2+3y3-6972六、模型的評(píng)價(jià)與改良 對(duì)于前面兩個(gè)問題，我們采用了線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃來建立合理的模型，并求解除了正確答案。但此模型忽略了犧牲人員數(shù)和失蹤人員數(shù)。因此我們對(duì)模型進(jìn)行了改良?？紤]到犧牲人員數(shù)需要撫恤金，失蹤人員有一局部可以被找到，作為休假人員，下月也可以去執(zhí)行任務(wù)或者培訓(xùn)新飛行員。這樣將會(huì)進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用。但題目中沒有給出相應(yīng)的參數(shù)，因此我們不便假設(shè)。相信在給出了相應(yīng)的參數(shù)，時(shí)間充足的條件下，我們將可以更加完善模型。七、參考文獻(xiàn)〔1〕中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，李大潛主編，高等教育出版社(1998)；〔2〕數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)，南京地區(qū)工科院校數(shù)學(xué)建模與工業(yè)數(shù)學(xué)討論班編，河海大學(xué)出版社，(1996)；〔3〕數(shù)學(xué)模型，[門]近藤次郎著，官榮章等譯，機(jī)械工業(yè)出版社，(1985)；〔4〕建模、變換、優(yōu)化--結(jié)構(gòu)綜合方法新進(jìn)展，隋允康著，大連理工大學(xué)出版社，(1986)；〔5〕經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(第二版)(工科數(shù)學(xué)基地建設(shè)叢書)，洪毅、賀德化、昌志華編著,華南理工大學(xué)出版社(1999)；〔6〕數(shù)學(xué)建模的理論與實(shí)踐，吳翔，吳孟達(dá)，成禮智編著，國防科技大學(xué)出版(1999)．附件：附件1：購置新飛機(jī)的價(jià)格model:min=200*x1+195*x2+190*x3;x1>=60;x1+x2>=90;x1+x2+x3>=170;end@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);求解結(jié)果如下：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:33050.00Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:0VariableValueReducedCostX160.000000.000000X230.000000.000000X380.000000.000000附件2：對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行化簡對(duì)飛行員目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行化簡：symsy1y2y3;f=193*y1+2910+131.1*y1+191.1*y2+2283+129.2*y1+129.2*y2+189.2*y3+1854+127.3*y1+127.3*y2+127.3*y3+1683;simple(f) 運(yùn)行結(jié)果，即飛行人員目標(biāo)函數(shù)為：f＝2903/5*y1+8730+2238/5*y2+633/2*y3附件3：第一問中R3的最小費(fèi)用model:min=2903/5*y1+2238/5*y2+633/2*y3+8730;19*y1+30>=450;19*y1+19*y2-180>=450;19*y1+19*y2+19*y3-270>600;@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);End運(yùn)行結(jié)果如下：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:30805.40Objectivebound:30805.40Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:0VariableValueReducedCostY123.00000580.6000Y211.00000447.6000Y312.00000316.5000附件4：非線性規(guī)劃，R4的最小費(fèi)用model:min=30.4*a1*y1+23.4*a2*y2+16.5*a3*y3+3*y1+3*y2+3*y3-6972;a1*y1>=420;a1*y1+a2*y2>=630;a1*y1+a2*y2+a3*y3>=870;a1<=19;a2<=19;a3<=19;@gin(a1);@gin(a2);@gin(a3);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y