中考數(shù)學(xué)知識點練習(xí)真題-圖形的相似（解析版）

第十六講圖形的相似

命題點1比例線段

類型一比例的性質(zhì)

1.（2020灤州）已知三J=三Wo，則x-y+z=___.

234x+2y-z

【答案】旦

4

【解答】解：設(shè)2L=X=?Ξ=%≠0,則x=2匕y=3k,z=4k,

234

χ-y÷z?2k-3k+?k=3_,

x+2y-z2k+6k-4k4

故答案為：1.

4

類型二黃金分割

o

2.（2021?百色）如圖，Z?A3C中，AB=ACfZB=72,NACB的平分線C。交于點

D,則點。是線段AB的黃金分割點.若AC=2,則BQ=.

【答案】3?√5

【解答】解：?.?A3=AC=2,

.?ZB=ZACB=72o,NA=36°,

VCD5F^ZACB,

ΛZACD=ZBCD=36Q,

JZA=ZACDf

JAD=CD,

VZCDfi=180o-/B-/BCD=I2°,

INCDB=ZB,

：.BC=CD,

：.BC=AD,

?：NB=∕B,ZBCD=ZA=36o，

:ABCDsMAC,

：?BC：AB=BD:BC

f

：.AD：AB=BD:AD,

J點。是AB邊上的黃金分割點，AD>BD,

.?AD-寫^B=a7,

.?BD=AB-AD=2-（√5^D=3-√5）

故答案為：3-Λ∕5?

類型三平行線分線段成比例

3.（2021?郴州）如圖是一架梯子的示意圖，其中A4i〃i〃CC且AB=BC=CZX為

使其更穩(wěn)固,在A,Di間加綁一條安全繩（線段AOl）量得AE=O4",則AZ）I=m.

【解答】解：；B8ι〃CC1,

?_^=AB

"EFBC^,

VAB=BC,

."E=E凡

同理可得：AE=EF=FDi,

"：AE=OAm,

ΛAD∣=0,4×3=1.2（∕n）,

故答案為：1.2.

命題點2相似的基本性質(zhì)

4.（2019?重慶）如圖，XABOsχcDO,若BO=6,Do=3,C￡）=2,則AB的長是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解答】解：V?ABO^ΔCDO,

?.B0=AB

"DODC"

?：Bo=6,Oo=3,CD=2,

...旦=旭，

,'^3~2~）

解得：AB=4.

故選：C.

5.（2020?銅仁市）已知AFHBs/XEAD,它們的周長分別為30和15,且/7/=6,貝∣JE4的

長為（）

A.3B.2C.4D.5

【答案】A

【解答】解：；△尸"8和△必力的周長分別為30和15,

和4E4Z）的周長比為2：1,

OFHBSXEAD,

.?.E?=2,即-L=2,

EAEA

解得，E4=3,

故選：A.

命題點3相似三角形的判定與性質(zhì)

類型一A字型

6.（2021?巴中）如圖，ZVlBC中，點。、E分別在AB、Ae上，且地=鯉■=工，下列結(jié)

DBEC2

論正確的是（）

A.DE：BC=I:2

B.ZXAOE與AABC的面積比為1：3

C.Z?AOE與448C的周長比為1：2

D.DE//BC

【答案】D

【解答】解：Y地=迪=工，

DBEC2

：.AD-.AB=AEtAC=1：3,

；NA=NA,

.,.?ADf^?ABC,

：.DE；BC=1：3,故A錯誤；

...△AOE與aABC的面積比為1：9,周長的比為1：3,故8和C錯誤：

,.??ADE^?ABC,

：.ZADE=ZB,

：.DE//BC.故￡>正確.

故選：D.

7.（2021?遂寧）如圖，在AABC中，點。、E分別是AB、AC的中點，若AAOE的面積是

3c?"]2,則四邊形BDEC的面積為（）

【答案】B

【解答】解：如圖，

在44BC中，點。、E分別是AB、AC的中點，

：.DE//BC,且坦=工，

AB2

ZXAOEsZviBC,

...△40E的面積：ZvlBC的面積=1：4,

,△A。E的面積：四邊形8。EC的面積=1：3,

：△AOE的面積是3c"P,

四邊形BDEC的面積是9cm2,

故選：B,

8.（2020?安徽）如圖，RtZ?A8C中，NC=90°,點。在Ae上，ZDBC=ZA.若Ae=4,

COSA=A,則BD的長度為（）

5

D,

AB

A.9B.12C.至D.4

454

【答案】C

o

【解答】解：VZC=90,AC=4,CosA=A1

5

：.AB=.AC-C,

cosA=

?,?BC=VAB2-Ac2=3,

'：ADBC=AA.

'.cosZDBC=CoSNA==A，

BD5

故選：C.

9.（2021?湘潭）如圖，在AABC中，點D,E分別為邊AB,AC上的點，試添加一個條

件：，使得aAOE與4A8C相似.（任意寫出一個滿足條件的即可）

【答案】ZADE=ZC（答案不唯一）.

【解答】解：添加/ADE=NC,

又；ZA=ZA,

：.∕?ADE^∕?ACB,

故答案為：NADE=NC（答案不唯一）.

10.（2021?南充）如圖，在aABC中，D為BC上一點,BC=yβAB=3BD,則A。：AC的

值為.

【答案】返

3

【解答】解：?.?8C=√?48=3BQ,

?BCABr

..瓦=W=

?：NB=NB,

ΛABC^∕?DBA,

.ACBC

"AD?ABr^

m：AC=返

3

故答案為：返.

3

11.（2021?荷澤）如圖，在AABC中，ADLBC,垂足為O,AD=5,BC=IO,四邊形EFGH

和四邊形HGNM均為正方形，且點E、尸、G、N、M都在AABC的邊上，那么AAEM

【解答】解：：四邊形EFG”和四邊形”GNM均為正方形,

LEF=EH=HM,EM//BC,

：.AAEAfsSC,

?APEM

"AD3BC^,

??5?-EF=---2--E-F,

510

ΛEF=.Σ,

2

,EM=5,

VΛAEM<^?AβC,

s

.AAEM^（EM）2=JL,

S2kABCBC4

?*?S四邊形BCME=S∕?A8C~S^AEM=3SΔAEM>

???△AEM與四邊形BCME的面積比為1：3,

故答案為：1：3.

12.（2021?玉林）如圖，在aABC中，。在AC上，DE//BCfDF//AB.

（1）求證：XDFCSX'ED：

C

（2）若CQ=Lc,求21DFC的值.

32ΛAED

BFC

【答案】（1）略（2）1.

4

【解答】（1）證明：DE//BC,

：.ZDFC=ZABF,ZAED=ZABF,

：.ΛDFC=AAED,

5^：DE//BC,

：.ΛDCF=AADE,

FCSzME。；

（2）?'CD=1AC,

3

?-?CD.---I

DA2

由（1）知△。尸C和AAED的相似比為：型=工，

DA2

故：?DFC=（型）2=J）2=JL

SaAEDDA24

13.（2020?上海）已知：如圖，在菱形ABC。中，點E、F分別在邊AB、AC上，BE=DF,

CE的延長線交DA的延長線于點G,CF的延長線交BA的延長線于點H.

(1)求證：LBECS∕?BCH;

(2)如果BE2=AB?AE,求證：AG=DF.

D■B

【答案】(1)略(2)略

【解答】(1)證明：：四邊形ABs是菱形，

：.CD=CB,ND=NB,

"：DF=BE,

,△CD-ACBE(SAS),

.?ZDCF=ZBCE,

".'CD∕∕BH,

INH=NDCF,

.".ZH=ZBCE,

?：NB=ZB,

ABECSABCH.

(2)證明：,.,BE1=AB?AE,

?ABBE

"BE?AE'

,.,CB∕∕DG,

?AE=AG

"BEBC^,

?AG=BE

"BCAB^,

"：BC=AB,

：.AG^BE,

?：ACDF沿XCBE,

.,.DF=BE,

：.AG=DF.

類型二8字型

14.(2020?鹽城)如圖，8C〃DE,且BC<DE,AD=BC=4,AB+DE=]0.則逆的值為

AC

E.

【答案】2

【解答】解：...8C〃QE,

Λ?ADE^?ΛBC,

.ADDE=AE即4DE=AE

"AB"BOAC,AB~AC^'

.".AB?DE=?6,

?.?48+CE=10,

：.AB=2,DE=S,

??AE-D-E——8二y,-

ACBC4

故答案為：2.

15.（2021?云南）如圖，在aABC中，點ZXE分別是BC,AC的中點，AO與BE相交于

點F.若BF=6,則BE的長是.

【解答】解：如圖，

在AABC中，點。，E分別是8C,4C的中點,

:,DE//AB,κDE=1AB,

2

?DE=EF=1

"ABBF~2

;BF=6,

.'.EF=3.

.?.BE=BF+EF=9.

故答案為:9.

16.（2021?包頭）如圖，在RtaABC中，NACB=90°,過點B作8D_LC8,垂足為B,

且8D=3,連接CQ,與AB相交于點M,過點"作MN,CB,垂足為N.若AC=2,

則MN的長為.

【答案】旦

5

【解答】解：VZΛCB=90o,BDl.CB,MNLCB,

.,.AC∕∕MN∕∕BD,ZCNM=ZCBD,

：.NMAC=NMBD,ZMCA=NMOB=NCMN,

Z?MACsAMBD,叢CMNS?CDB,

?MCAC_2ιMN_CM

"MD"BD??'BD?

???CM=2，

CD5

?,M?N,二2，

35

：.MN=也.

5

故答案為：A.

5

17.（2021?連云港）如圖，BE是AABC的中線，點廠在BE上，延長AF交Be于點。.若

BF=3FE,則股=

DC

2

【解答】解:如圖，:BE是aABC的中線,

.?.點E是AC的中點，

工，

"AC'2

過點E作EG//DC交AQ于G,

.,.ZAGE=ZADC,NAEG=NC,

：.XAGESl?ADC,

?GEAE1

"DC???(

.?.DC=2GE,

:BF=3FE,

??EF=—1，

BF3

`:GE//BD,

：.ZGEF=ZFBD,ZEGF=NBDF,

:AGFES4DFB,

?GE=EF=I

"DBBF3^!

??--D--C?---2>

DB3

?-?BD——_3—,

DC2

故答案為：1.

2

18.（2020?攀枝花）三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心.如圖G是

△4BC的重心.求證：AO=3GO.

【解答】證明：連接DE,

：點G是aABC的重心，

.,.點E和點D分別是AB和BC的中點,

.?.QE是AABC的中位線,

：.DE//ACS.DE=XAC,

2

：.叢DEGS叢ACG,

???D,E二DG,

ACAG

???1二DG，

2AG

???DG二1,

AD3

m=3OG,

19.(2021?長春)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BQ相交于點O,AC=4,BZ)=8,

點E在邊A。上，AE=IAD,連結(jié)BE交AC于點M.

3

(1)求AM的長.

(2)tan∕Λ∕BO的值為-1.

~4~

4

【解答】解：(1)在菱形ABC。中,

AD//BC,AD=BC,

：.AAEMsACBM,

?迪=也

"CMBC^,

VAE=1AD,

3

：.AE=I.BC,

3

??A?MI-，AE-1~,

CMBC3

J.AM=-CM-^AC-1.

34

(2)?.?AO=AΛC=2,BO=LBD=4,AClBD,

22

.?.NBOM=90°,AM=OM=LlO=I,

2

.,.tanZMBO—A.

BO4

故答案為：?.

4

20.(2020?眉山)如圖，和△(?￡)《都是等邊三角形，點B、C、E三點在同一直線上,

連接8￡),AD,8。交AC于點?

(1)AD2=DF'DB,求證：AD=BF;

(2)若NBAD=90°,BE=6.

①求lan∕OBE的值；②求OF的長.

2√7

T-

【解答】(I)證明：TAD2=O尸。8,

.AD=DB

"DFAD'

?'ZADF^ZBDA,

：.XADFs[?BDA'

.?ZABD=ZFAD,

V∕?ABC,Z?OCE都是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=ZACB=ZDCE=6Qt,,

ΛZACD=60o,

.".ZACD=ZBAF,

,'.∕?ADC^ABFA(ASA),

J,AD=BF.

(2)①解：過點。作OGLBE于G.

VZBAD=90o,NBAC=60°,

.?.ND4C=30°,

VZACD=60°,

.,.NAOC=90",

ΛDC=1ΛC,

2

.?CE=λBC,

2

?,BE=6,

.?.CE=2,BC=4,

：.CG=EG=?,BG=S,DG=√3>

tanNOBE=幽=返.

BG5

②在RtZiBCG中，VZBGD=90o,DG=BG=5,

ΛBD=VDG2+BG2^>\/52+（V3）2=2√7,

Y/"C=NDeE=60°,

.?CD∕∕AB,

:.X8ESXABF'

.DF=CD=I

"BPAB~2

.DF=1

"DB3^,

.?.f>F=至Z

3

類型三旋轉(zhuǎn)型

21.（2021?黃岡）如圖，在448C和△￡）《（？中，ZΛ=ZD,NBCE=NACD.

（1）求證：ZVLBCSZ?QEC;

（2）若S"Be：SADEC=4:9,BC=6,求EC的長.

D

【答案】（1）略（2）CE=9.

【解答】證明：（1）■：ZBCE^ZACD.

：.NBCE+NACE=ZACD+ZACE,

.?.NDCE=NACB,

又?.?∕A=ND,

（2）V?ABC^?DEC;

s

??ABC-fCB>2=4

"≡?DECCE3

又；BC=6,

.?CE=9.

22.（2019?涼山州）如圖,NABD=NBCD=90°,QB平分/AOC,過點B作3M〃C。交

AD于M.連接CM交DB于N.

（1）求證：BDλ=AD?CD-,

（2）若CD=6,AO=8,求MN的長.

【答案】（1）略（2）MN=^∩

【解答】證明：（1）平分NAOC,

二NAOB=/CO8,且/ABD=NBCD=90°,

：.AABDsABCD

-AD_BD

"BD3CD

.?BD2=AD?CD

(2)'：BM//CD

：.NMBD=NBDC

：.NADB=NMBD,且NABD=90°

：.BM=MD,NMAB=NMBA

：.BM=MD=AM=4

,.,BD2=AD?CD,且CO=6,Ao=8,

ΛBD2=48,

.".BC2=BD1-CD2=U

.".MC2=MB2+BC2=2S

ΛMC=2√7

?,BM//CD

：./\MNBs叢CND

嚕嗡看且吃=2夜

：.MN=

類型四三垂直型

23.（2021?臺州）如圖，點、E,F,G分別在正方形ABC￡＞的邊AB,BC,AD±.,AFLEG.若

AB=5,AE=DG=?,則BF=

4

【解答】解：：四邊形ABC。是正方形,

O

AB=AD=5fZABC=ZBAD=W,

VAE=DG=L

.?.AG=4,

VAF±EG,

ΛZBΛF+ZAEG=90o=NBAF+/AFB,

：./AFB=/AEG,

：.?ABF^ΔGΛE,

?AG,

?41

??—?—，

5BF

.?BF=^-,

4

故答案為5.

4

類型五網(wǎng)絡(luò)中相似三角形的判定與性質(zhì)

24?（2020?昆明）在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形

叫做格點三角形.如圖，AABC是格點三角形，在圖中的6X6正方形網(wǎng)格中作出格點三

角形4ADE（不含aABC）,使得AADES∕?A8C（同一位置的格點三角形aADE只算一

個），這樣的格點三角形一共有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

【答案】C

所以使得aAOESZViBC的格點三角形一共有6個.

故選：C.

25.（2021?臨沂）如圖，點A,8都在格點上，若BC=3Gi,則AC的長為（）

3

A.√13B.-?fiiC.2√13D.3√13

3

【答案】B

【解答】解：方法一：作CoJ_8。于點￡),作AEL8。于點E,如右圖所示,

則CD//AE,

：.4BDCsABEA,

??--B-C=--B-D=--2,

BABE6

2√I?

???3-2,-.,

BA6

解得BΛ=2√13?

.?AC=BA-8C=2√I^-2713=Wl3(

33

故選：B.

=22=

方法二：^BI/BE+AE7θ2+42=2V13-

L=2Y叵

3

：.AC=AB-BC=2√13-

33

故選：B.

26.（2021?恩施州）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為I,E為BD

與正方形網(wǎng)格線的交點，下列結(jié)論正確的是（)

A.CE≠1BDB.?ABC^?CBDC.AC=CDD.NABC=NCBD

2

【答案】D

【解答】解：由圖可得，

BC=q42+22=2旄,CD=q22+]2="?Z^^,BD—yJg2+^2=5,

.?.BC2+CD2=(2√5)2+(√5)2=25=B∕)2,

...△8C。是直角三角形，

`:EF//GD,

：./\BFEs/?BGD,

?EFBF

"DG^=BG^,

即史上，

34

解得所=1.5,

/.CE=CF-EF=4-1.5=2.5,

.??%2∑=工，故選項A錯誤；

BD52

由圖可知，顯然448C和4CBD不全等，故選項B錯誤：

"?"AC-2>CD=?j^,

.'.AC≠CD,故選項C錯誤；

VtanZΛBC=^i?=A,tan/fBD=?jl=

AB2血BC2√52

NABC=NCBO,故選項。正確;

故選：D.

命題點4相似三角形的實際應(yīng)用

27.（2020?紹興）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5,

且三角板的一邊長為8cm則投影三角板的對應(yīng)邊長為（）

A.20cmB.IOcznC.ScmD.3.2cm

【答案】A

【解答】解：設(shè)投影三角尺的對應(yīng)邊長為XC/M,

???三角尺與投影三角尺相似，

8：X=2：5,

解得x=20.

故選:A.

28.（2021?內(nèi)江）在同一時刻，物體的高度與它在陽光下的影長成正比.在某一時刻，有人

測得一高為1.8加的竹竿的影長為3/77,某一高樓的影長為60m,那么這幢高樓的高度是

（）

A.18//1B.20mC.30mD.36/n

【答案】D

【解答】解：設(shè)這幢高樓的高度為X米，依題意得：LB=旦，

360

解得：X=36.

故這幢高樓的高度為36米.

故選：D.

29?（2021?蘭州）如圖，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)

測試距離為5,“時，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“E”字高度為72.7〃如，當(dāng)測試距離為3〃?時,

最大的字高度為（)

A.4.36相機B.29.08/%機C.43.62∕wπD.121.17/wm

【答案】C

【解答】解：由題意得：CB//DF,

?亞=坦

"BCAB"

'."AD-3nι,AB=5m,BC-IIHmm,

?DF=3,

"72.75^'

ΛDF=43.62Cmm）,

故選：C.

30.（2021?河北）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2

所示，此時液面AB=（）

平

水