中考數(shù)學(xué)知識點與經(jīng)典題型練習(xí) 全等三角形中的倍長中線模型(解析版)

專題07全等三角形中的倍長中線模型

【模型展示】

B

\/

\/

7

E

已知：在^ABC中，D為AC中點，連接BD并延長到E使得DE=BD,連接AE

特點則：BC平行且等于AE.

【證明】

延長BD到E,使DE=BD,連接CE,

?；4￡）是斜邊5C的中線

：.AD=CD

?：NADE=NBDC

：.ΛADE^?BDC（SAS）

，AE=BC,NDBC=NAED

：.AE//BC

倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接

相應(yīng)的頂點，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法

結(jié)論

多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是

原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。

【模型證明】

解決方

案已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∕BAE=∕CDE,則：AB=CD.

叉：NBEF=NCEG,BE=CE,

在4BEF和4CEG中，

'NF=NCGE

<ZBEF=ZCEG,

BE=CE

ΛΔΔCGE.

：.BF=CG.

在△48尸和仆DCG中，

'NF=NDGC

v<ZBAE=ZCDE,

BF=CG

Λ?ABF??DCG.

.?AB=CD.

方法三:

作CF〃AB,交DE的延長線于點F.

D

INF=NBAE.

文YNBAE=ND,

ΛZF=ZD.

：.CF=CD.

'NAEB=NFEC

???<ZF=ZBAE,

BE=CE

Λ?ABE^?FCE.

ΛAB=CF.

：.AB=CD.

【題型演練】

一、解答題

1.如圖，ABC中,A。是BC邊上的中線,E,尸為直線A。上的點,連接BE,C尸,且8E〃CE.

⑴求證：BDEWCDF；

⑵若ΛE=15,AF=S,試求。E的長.

【答案】（1）見解析；

⑵；;

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等；全等三角形的判定（角角邊）；即可證明：

（2）由（1）結(jié)論計算線段差即可解答：

（I）

證明：'.'BE//CF,：.ZBED=ZCFD,

VZBDE=ZCDF,BD=CD,

J.∕?BDE^∕?CDF（AAS）；

（2）

解：由（1）結(jié)論可得QE=QF,

'：EF=AE-AF=I5-8=7,

7

ADE=-；

2

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定（AAS）和性質(zhì)；掌握全等三角形的

判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.如圖，在即AABC中，ZACB=90o,點。是AB的中點，小明發(fā)現(xiàn)，用已學(xué)過的“倍長中

線'’加倍構(gòu)造全等，就可以測量CO與4B數(shù)量關(guān)系.請根據(jù)小明的思路，寫出C。與AB的

數(shù)景關(guān)系，并證明這個結(jié)論.

A

【答案】證明過程詳見解析

【分析】延長CO到點E,使EO=CD,連接8E,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：CD=AB,證明：如圖，延長C0到點E,使ED=C￡>,連接8E,

在ABDE和^ADC中，

BD=AD

<ZBDE=ZADC

ED=CD

：.ΔβDf^?ADC(SAS),

：.EB=AC,NDBE=NA,

：.BE//AC,

,/ZΛCB=90o,

NEBC=I80。-NAC8=90。,

NEBC=NACB,

在^EC8和4ABC中，

EB=AC

</EBC=ZACB

CB=BC

；?AECB絲AABC(SAS),

：.EC=AB,

.?.CD=^EC=^AB,

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線.

3.我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個三角形叫兄弟三角形.如圖，OA

=0B,0C=0D,NAoB=NCoo=90。，回答下列問題：

(1)求證：△OAC和△OBO是兄弟三角形.

(2)“取8。的中點尸，連接OP,試說明AC=20P.”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想

起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列

問題.

①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造aBPE沿LDP0,并證明BE=OD-,

②求證：AC=20P.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②見解析

【分析】(1)證出/AOC+N5OO=180。，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；

(2)①延長OP至E,使PE=OP,證明△BPE絲△。尸O(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出

BE=OD-,

②證明AEBO絲ZXCOA(SAS),由全等二:角形的性質(zhì)得出OE=AC,則可得出結(jié)論.

(1)

證明：VZAOB=ZCOD=90o,

ΛZAOC+ZBOD=360o-ZAOB-ZCOD=360o-90o-90o=l80°,

又YAO=OB,OC=OD,

,△04C和A08。是兄弟三角形；

(2)

①證明：延長OP至E,使尸E=OP,

：.BP=PD,

y."：ZBPE=ZDPO,PE=OP,

：.ABPE迫ADPO(SAS),

.?.BE=OD;

②證明：,：ABPEt^ADPO,

：.NE=NDOP,

.'.BE∕∕OD,

ΛZEBO+ZBOD=180o,

XVZB。。+NAOC=I80。，

.?.NEBO=NAOC,

?：BE=OD,OD=OC,

：.BE=OC,

又：OB=OA,

,?∕?EBO^ΛCOA(SAS),

.?.OE=AC,

XV0E=20P,

.?AC=20P.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確

作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.【發(fā)現(xiàn)問題】

小強(qiáng)在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題：

如圖1,AO是AABC的中線，若AB=8,AC=6,求AO的取值范圍.

【探究方法】

小強(qiáng)所在學(xué)習(xí)小組探究發(fā)現(xiàn):延長AD至點E,使EZJ=AD,連接BE.可證出△AOC?AEDB,

利用全等三角形的性質(zhì)可將已知的邊長與4。轉(zhuǎn)化到同一個△ABE中，進(jìn)而求出AD的取值

范圍.

方法小結(jié)：從上面思路可以看出，解決問題的關(guān)鍵是將中線4。延長一倍，構(gòu)造出全等三角

形，我們把這種方法叫做倍長中線法.

【應(yīng)用方法】

(1)請你利用上面解答問題的方法思路，寫出求AD的取值范圍的過程：

【拓展應(yīng)用】

(2)已知：如圖2,AD是AABC的中線，BA=BC,點E在BC的延長線上，EC=BC.寫

出AQ與AE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

圖1

圖2

【答案】(1)1<ΛD<7;(2)IAD=AE.理由見解析

［分析］(1)延長AD至點E,使DE=AD,連接BE,證明△8。E絲Z?CD4(S4S),得出AC=BE=6,

由三角形三邊關(guān)系可得出答案：

(2)延長AZ)至F,使OF=A。，由SAS證明△8。F絲ZXCD4,利用已知條件推出/∕?4=∕ACE,

再由SAS證明△ACE^Δ,FBA即可得到IAD=AE.

【詳解】(1)證明：延長至E,使OE=A。，

「AD是8C邊上的中線，

：.BD=CD,

在4BOE和4CDA中，

BD=CD

?ZBDE=ZCDA,

DE=DA

：.ABDEmACDA(SAS),

.,.AC=BE=6,

?ΔABE中，AB-BE<AE<AB+βE,

Λ8-6<2ΛD<8+6,

Λ1<AD<7;

(2)2AD^AE.理由如下：

證明：延長AO至凡使CF=A。，

E

「AD是3。的中線，

???BD=CD,

在^BDF和ACDA中，

BD=CD

</BDF=ZCDA,

DF=DA

ABDF^ΛCDA(SAS),

：?AC=BF,NcAo二N/，

.?AC∕∕BF,

ΛZFBA+ZBAC=180o,

VBA=BC,

.?.NBAC=NBCA,

'.'ZACE÷ZBCA=180o,

/.NFBA=NACE,

VBA=BCfEC=BC9

LBA=EC,

?ΔΛCE?1?FBA中，

CE=BA

,NACE=NFBA,

AC=BF

：.?ACE^?FBA(SAS),

：.AE=AF,

?*2AD=AFf

.?2AD=AE.

【點睛】本題考查/全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判

定方法是解題的關(guān)鍵.

5.［問題背景］

①如圖1,CD為AABC的中線，則有SZAa）=SZ8C。；

②如圖2,將①中的/AC8特殊化，使NACB=90。，則可借助“面積法”或“中線倍長法”證明

AB=2S

澗題應(yīng)用］如圖3,若點G為4ABC的重心（△ABC的三條中線的交點）,CG±BG,若AG×BC

=16,則△8GC面積的最大值是（）

A.2B.8C.4D.6

【答案】I問題背景］①見解析；②見解析；I問題應(yīng)用］C

【分析】［問題背景］①設(shè)A8邊的高長為萬，可得SAo=gAQx九再由

AD=BD,即可求證；

②延長8至點E,使QE=Czx連接AE,BE,根據(jù)Ac=BQ,可得四邊形ACBE是平行四

邊形，再由NACB=90。，可得到四邊形ACBE是矩形，即可求證

［問題應(yīng)用］如圖，過點G作G"L8C于點H,根據(jù)題意可得點Z）是BC的中點，AG=IDG,

從而得到。G=3BC,得到AG=BC,再由AGXBC=16,可得到AG=BC=4,再由G”_LBC,

可得G∕?∕）G,從而得到當(dāng)G，=。G時，△8GC面積的最大，即可求解.

【詳解】解：［問題背景］①設(shè)AB邊的高長為〃，

,?SAco~5Ao×h,Sbcd——BDXh,

YCD為△48C的中線，SPAD=BD,

??Sacd-SBCD；

②如圖，延長CQ至點￡,使DE=CD,連接AE,BE,

C

?.?CO為△A8C的中線，

.'.AD=BD,

?：DE=CD,

???四邊形AC3E是平行四邊形，

?/NAC8=90。，

???四邊形ACBE是矩形，

：.AB=CE1

YDE=CD,

.?AB=CD+DE=2CD;

［問題應(yīng)用］如圖，過點G作G”_L8C于點H,

圖3

Y點G為AABC的重心（△A6C的三條中線的交點）,

，點D是8C的中點，AG=2DGf

λ9

.CG.LBGf

：.DG=-BC

2t

：.AG=BCf

VAGxBC=16,

.?AG=BC=4,

ΛDG=2,

YGH工BC,

IGHWDG,

ΛGH<2,

，當(dāng)GH=2,即GH=OG時，△8GC面積的最大，最大值為

LQGXBC=LX2X4=4.

22

【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，重心的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理，

重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.先閱讀，再回答問題：如圖1,已知AABC中，A。為中線.延長A。至E,?DE=AD.在

△A3。和AECO中，AD=DE,NADB=NEDC,BD=CD,所以，XABDQ4ECD(SAS),

進(jìn)一步可得到AB=C￡,AB〃CE等結(jié)論.

在已知三角形的中線時，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決

一些相關(guān)的計算或證明題.

解決問題：如圖2,在AABC中，A。是三角形的中線，F(xiàn)為上一點，且BF=AC,連結(jié)

并延長B產(chǎn)交AC于點E,求證：AE=EF.

【答案】證明見試題解析.

【分析】延長AD到G,使DF=DG,連接CG,得到BD=DC,根據(jù)SAS推出△BD2ACDG,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出8F=CG,ABFD=ZG,求出NAFE=NG,CG=AC,推出

ZG=ZCAF,求出NAFE=NCAF即可.

【詳解】解：延長4。到G,使。尸=。G,連接CG,

A

。是中線，

：.BD=DC,

在ABDFffl?CQG中，

VBD=DC,NBDF=NCDG,DF=DG,

.?.?BDF^?CDG,

：.BF=CG,ZBFD=ZG,

?/ZAFE=ZBFD,

：.NAFE=NG,

?：BF=CG,且已知8F=AC,

CG=AC,

,NG=NCA巴

ZAFE=ZCAF,

.".AE^EF.

【點睛】本題考查了倍長中線法、三角形全等的判定、性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等，本題的

關(guān)鍵是借助閱讀材料中提供的方法延長A0到G,使E>F=OG,進(jìn)而構(gòu)造三角形全等.

7.(1)如圖1,若AABC是直角三角形，NBAC=90。，點D是BC的中點，延長AD到點

E,使DE=AD,連接CE,可以得到△ABDgAECD,這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍

長中線法”.求證：AACE是直角三角形

(2)如圖2,AABC是直角三角形，ZBAC=90o,D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、

AC邊上的點，且DEDF.試說明BE2+CF2=EF2;

(3)如圖3,在(2)的條件下，若AB=AC,BE=⑵CF=5,求△DEF的面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）-?.

4

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和宜角三角形的判定解答即可；

（2）延長ED至點G,使得DG=DE,連接FG,CG,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解

答；

（3）連接AD,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可.

【詳解】（1）V?ABD^?ECD

二ZECD=ZB

,.?ZBAC=90o

ZB+ZBCA=90o

,ZBCE+ZBCA=90°,即ZACE=90o

Λ?ACE是直角三角形

（2）延長ED至點G,使得DG=DE,連接FG,CG,

VDE=DG,DF±DE,

.?.DF垂直平分DE,

EF=FG,

「D是BC中點，

BD=CD,

在ABDEffi?CDG中,

BD=CD

■ZBDE=NCDG,

DE=DG

Λ?BDE^ΔCDG(SAS),

ΛBE=CG,ZDCG=ZDBE,

VZACB+ZDBE=90o,

ΛZACB+ZDCG=90%即∕FCG=90°,

VCG2+CF2=FG2,

ΛBE2+CF2=EF2;

(3)連接AD,

A

VAB=AC,D是BC中點，

.?.ZBAD=ZC=450,AD=BD=CD.

,.?ZADE+ZADF=90o,ZADF+ZCDF=90o,

.*.NADE=NCDF,

在4ADEf∏?CDF中，

NBAO=NC

■AD=CD,

NADE=NCDF

Λ?ADE^?CDF(ASA),

AE=CF,BE=AF,AB=AC=17,

?*?SPHiiIf；AEDF=5SAABC>

/.S?AEF=—×5×I2=30,

2

：?ADEF的面積=1SAABC-SAAEF=-^?

24

【點睛】考查全等三角形的判定與性質(zhì)，通過證明三角形全等得出對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等

是解題基礎(chǔ)，將待求線段轉(zhuǎn)化成求等長線段是解題的關(guān)鍵.

8.(1)閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

在AABC中，AB=9,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖1)：

①延長AD到Q,使得DQ=AD；

②再連接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14,則AD的取值范圍是.

感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形,

把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中.

(2)請你寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明.

(3)思考：已知，如圖2,AD是AABC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=

90。.試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明.

E

D

圖I圖2

【答案】(1)2<AD<1;(2)AC//BQ,理由見解析；(3)EF=2AD,ADLEF,理由見解

析

【分析】(1)先判斷出BQ=CO,進(jìn)而得出△段ZXAQC(SAS),得出8Q=AC=5,最

后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

(2)由(1)知，△QDB咨∕?ADC(SAS),得出NB。。=/CA。，即可得出結(jié)論；

(3)同(1)的方法得出△8DQ絲ZXCDA(SAS),則NQ8Q=∕4CD,BQ=AC,進(jìn)而判斷

出NABQ=NE4F,進(jìn)而判斷出△A8。且ZkEAF,得出AQ=EF,ZBAQ=ZAEF,即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：(1)延長AD到。使得DQ=AD,連接BQ,

；4。是4A8C的中線，

：.BD=CD,

BD=CD

在△QDB和△ADC中，■ZBDQ=ZCDA,

DQ=DA

'△QDBmAADC(SAS),

：.BQ=AC^5,

在4ABQ中，AB-BQ<AQ<AB+BQ,

Λ4<A2<14,

Λ2<AD<7,

故答案為2<AOV7;

(2)AC//BQ,理由：由(1)知，ΔQDB^∕?ADC,

：.NBQD=NCAD,

.?AC∕∕BQ-,

(3)EF=2AD,ADVEF,

理由：如圖2,延長Ao到Q使得BQ=Azx連接8Q,

由(1)知，?BDQ^∕?CDA(SAS),

：.ZDBQ=ZACD,BQ=AC,

VAC=AFf

：.BQ=AF,

o

在AABC中，ZBAC+ZABC+ZACB=ISOf

o

：.ZBAC+ZABC+ZDBQ=ISOf

o

：.ZBAC+ABQ=ISOf

O

?*ZBAE=ZFAC=909

o

：.ZBAC+ZEAF=ISOf

JZABQ=ZEAFf

AB=EA

在和△EAF中，IZABQ=ZEAF,

BQ=AF

???∕?ABQ^∕?EAF,

：.AQ=EF,ZBAQ=ZAEF1

延長DA交E尸于P,

VZBΛE=90o,

.?.NA4Q+NEA尸=90。，

.??ZAEF+ZEAP=90o,

/.ZAPE=90°,

.?AD±EF,

,

?AD=DQ9

.?.AQ=2AO,

*：AQ=EFf

：.EF=IAD.

即：EF=2AD,ADLEF.

【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長中線法，構(gòu)造全等

三角形是解題的關(guān)鍵.

9.在利用構(gòu)造全等三角形來解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在

△A8C中，AB=S,4C=6,點。是BC邊上的中點，怎樣求A。的取值范圍呢？我們可以

延長AO到點E,使AQ=OE,然后連接BE（如圖①），這樣，在AAQC和AEOB中，由于

AD=DE

<ZADC=ZEDB,：,XADgl\EDB、：.AC=EB,接下來，在△ABE中通過AE的長可求

BD=CD

出4。的取值范圍.

請你回答：

（1）在圖①中，中線4。的取值范圍是.

（2）應(yīng)用上述方法，解決下面問題

①如圖②，在AABC中，點。是BC邊上的中點，點E是AB邊上的一點，作QF，。E交

AC邊于點F,連接ER若BE=4,CF=2,請直接寫出EF的取值范圍.

②如圖③，在四邊形ABeD中，ZBCD=150o,NADC=30。，點E是AB中點，點廠在。C

上，且滿足8C=C凡DF=AD,連接CE、ED,請判斷CE與EO的位置關(guān)系，并證明你的

結(jié)論.

【答案】（D1<AD<7;（2）①2<E/<6；②CELEC,理由見解析

【分析】（1）在AABE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)果；

（2）①延長ED到點N,使ED=DN,連接CN、FN,由SAS證得NVDC三的汨，得出

BE=CN=4,由等腰三角形的性質(zhì)得出砂=W,在ACFN中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定

理即可得出結(jié)果；

②延長CE與DA的延長線交于點G,易證DG〃BC,得出∕G4E=∕C3E,由ASA證得

?GAE^?CBE,得出GE=CE,AG=BC,即可證得CD=G。，由GE=CE,根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)可得出CEJ.ED.

【詳解】（1）在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：AB-BE<AE<AB+BE

.?.8-6<ΛE<8+6,ER2<AE<14

.?.2<2AD<14,BP1<AD<7

故答案為：1<AD<7;

(2)①如圖②，延長ED到點N,使ED=DN,連接CN、FN

Y點D是BC邊上的中點

.'.BD=CD

CD=BD

在aNDC和AEDB中，<ZCDN=ZBDE

DN=ED

:.ANDCAEDB(SAS)

BE=CN=4

,DFIDE,ED=DN

.?.ΔEFN是等腰三角形，EF=FN

在ACFN中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：CN-CF<FN<CN+CF

.?.4-2<∕W<4+2,GP2<∕W<6

2<EF<6；

②CELED；理由如下：

如圖③，延長CE與DA的延長線交于點G

Y點E是AB中點

/.BE=AE

ZBCD=150o,ZADC=30°

.?.DGHBC

ZGAE=ZCBE

ZGAE=ZCBE

在AGAE和ACBE中，IAE=BE

ZAEG=ZBEC

??.AGAEACBE(ASA)

GE=CE,AG=BC

BC=CF,DF=AD

:.CF+DF=BC^AD=AG+AD,即CD=Gr)

GE=CE

.?.CE,瓦).(等腰三角形的三線合-)

【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理、等腰三角形的

判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（2）②，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

10.閱讀材料，解答下列問題.

如圖1,己知△4BC中，AD為中線.延長AO至點E,使DE=AD.在△AOC和△EOB中，

AD=DE,NADC=NEDB,BD=CD,所以，ΔACD^Δ,EBD,進(jìn)一步可得至IJAC=BE,ACHBE

等結(jié)論.

圖1圖2

在己知三角形的中線時，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決

一些相關(guān)的計算或證明題.

解決問題：如圖2,在AABC中，是三角形的中線，點尸為AD上一點，且BF=4C,連

結(jié)并延長BF交AC于點E,求證：AE=EF.

【答案】詳見解析

【分析】延長AD到M,使DM=AD,連接BM,根據(jù)SAS推出△BDM@Z?CDA,根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)得出BM=AC,∕CAD=∕M,根據(jù)BF=AC可得BF=BM,推出∕BFM=∕M,

求出NAFE=NEAF即可.

【詳解】如圖，延長AD至點〃，使得MD=A￡＞，并連結(jié)BM，

???AO是三角形的中線，

BD=CD,

在AWDB和AAOC中，

BD=CD,

</BDM=ZCDA,

DM=DA,

：.AMDBgAADC，

：?AC=MB,ZBMD=ZCAD1

'：BF=AC,

:?BF=BM,

：?/BMD=ZBFD,

VZBFD=ZEFA,/BMD=NCAD,

ΛZEFA=ZEAF,即AE=EF.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查

學(xué)生的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)“倍長中線”法作出輔助線來構(gòu)造全等三角形.

11.(1)如圖1所示，在一ABC中，。為3C的中點，求證：AB+AC>2AD

圖1圖2圖3

甲說：不可能出現(xiàn)所以此題無法解決；

乙說：根據(jù)倍長中線法，結(jié)合我們新學(xué)的平行四邊形的性質(zhì)和判定，我們可延長A。至點E,

使得DE=AD，連接BE、CE,由于BD=DC,所以可得四邊形ABEC是平行四邊形，請寫

出此處的依據(jù)(平行四邊形判定的文字描述)

所以AC=8E,?Λ8E中，AB+BE>AE,

即AB+AC>2AD

請根據(jù)乙提供的思路解決下列問題：

（2）如圖2,在ABC中，。為BC的中點，A5=5,AC=3,AD=2,求ABC的面積；

（3）如圖3,在ABC中，。為BC的中點，M為Ae的中點，連接BM交AZ）于F,若

AM=MF.求證：BF=AC.

【答案】（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（2）6；（3）見解析.

【分析】（1）根據(jù)題意，DE=AD,Bn=DC即可得四邊形的對角線相等，根據(jù)平行四邊形

的判定定理即可寫出；

（2）根據(jù)倍長中線法，延長AD至點G,使得DG=AD,可以求得AGAC,GC.再根據(jù)勾

股定理的逆定理可知，AGC為用，，繼而即可求得面積

（3）根據(jù)倍長中線法，延長AO至點N,證明四邊形ABNC是平行四邊形，由AA/=W即可

證明BF=AC.

【詳解】解：（1）DE=AD,BD=DC

???四邊形ABEC是平行四邊形

依據(jù)是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

故答案為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

（2）如圖，根據(jù)倍長中線法，延長AD至點G,使得DG=AD,

由（1）可知，四邊形48GC是平行四邊形

?GC=AB,AC/IBG

AB=5,AC=3,AD=2

.?AG=4.GC=5

AC2+AG2=3、42=25

CG-=52=25

.-.AC2+AG2=CG2

.?.?AGC是M

ACHBG

?"?SdABC=^ΔAGCAG=-×3×4=6

（3）如圖，根據(jù)倍長中線法，延長A。至點N,使AD=QN,

A

M

N

由（1）可知：四邊形ABNC是平行四邊形,

.-.ACHBN.AC=BN

?NMAF=NBNF

AM=MF

.-.ZMAF=ZMFA

又?.4MFA=ZBFN

.-.ZBNF=ZBFN

JBF=BN

BF=AC

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理的逆定理，等角對等邊，運(yùn)用倍長

中線法是解題的關(guān)健.

12.（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1,在AABC中,

AB=8,AC=6,求BC邊上的中線A。的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下

的解決方法（如圖2）,

圖1圖2圖3

①延長40到使得。M=A。；

②連接BA/,通過三角形全等把AB、AC、2A。轉(zhuǎn)化在AAbW中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為AB-BM<AMVA8+8W,從而得到AO的

取值范圍是:

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊

之間的關(guān)系.

（2）請你寫出圖2中AC與8M的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

（3）深入思考：如圖3,A。是aABC的中線，AB=AE,AC=AF,N54E=NCAF=90。，

請直接利用(2)的結(jié)論，試判斷線段與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】(I)I<4。<7；(2)且AC=B例，證明見解析；(3)EF=2AD,證明

見解析.

【分析】(1)延長AD到M，使得DM=4力，連接8M,根據(jù)題意證明△ME>8絲Z?AOC,可

知BM=AC,在4A8M中，根據(jù)AB-BM<AM<Aβ+BM,即可；

(2)由(1)知，XMDB懸XADC,可知∕M=NCAO,AC^BM,進(jìn)而可知4C〃8W：

(3)延長A。到M,使得DM=AO,連接8M,由(1)(2)的結(jié)論以及己知條件證明

XABM@4EAF,進(jìn)而可得AΛ∕=2AQ,由AM=EF,即可求得與EF的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】(1)如圖2,延長4。到M,使得DM=A。,連接BM,

：A。是AABC的中線，

：.BD=CD,

在4MOB和△A￡>C中，

BD=CD

-ZBDM=ZCDA,

DM=AD

：.AMDB迫AADC(SAS),

.?.8M=AC=6,

?ΔABMΦ,AB-BM<AM<AB+BM,

：.8-6<AMV8+6,2<AM<14,

.??<AD<7,

故答案為：1VACV7；

(2)AC//BM,且4C=8W,

理由是：由(1)知，?MDB^∕?ADC,

/M=NCA力，AC=BM,

.?AC∕∕BM?,

(3)EF=2AD,

理由：如圖2,延長AD到M,使得QM=A。，連接BM,

由(1)知，4BDMgACDA(SAS),

：.BM=AC,

：AC=AF,

BM=AF,

由(2)知：AC//BM,

.?.∕8AC+N48M=180°,

'：ABAE=AFAC=Wa,

ΛZBAC+ZE4F=180o,

ZABM=ZEAFf

在△48〃和4E4F中，

AB=EA

<NABM=/EAF,

BM=AF

：.?ABM^?EAF(SAS)f

.'.AM=EFf

t

ZAD=DMf

,

..AM=2ADf

'：AM=EF,

:?EF=2AD,

即：EF=2AD.

圖2

【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長中線輔助線方法

是解題的關(guān)鍵.

13.【閱讀理解】倍長中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想，如圖①，在MC中，AO是BC

邊上的中線，若延長AO至使QE=A。，連接CE,可根據(jù)S45證明AABO之△比",

則AS=EC.

圖①圖②圖③

(1)【類比探究】如圖②，在-Z)瓦'中，DE=3,OF=7,點G是EF的中點，求中線QG的

取值范圍；

(2)【拓展應(yīng)用】如圖③，在四邊形438中，AB//CD,點E是BC的中點.若AE是NRW

的平分線.試探究AB,AD,OC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)2<OG<5

(2)AD=DC+AB

【分析】(1)延長DG至M,使GM=4G,連接MR根據(jù)SAS可證△DEG絲Z?MFG,得出

MF=3,然后根據(jù)三角形三邊不等關(guān)系定理求出OM取值范圍，最后把DM=2。G代入即可求

解；

(2)延長AE,DC相交于點F,根據(jù)ASA可證△ABE^∕?FCE,則AB=FC,然后由AE平

分/BAD,43〃CO可證/F=NQAF,由等角對等邊可得4。=。尸，最后由線段的和差關(guān)系

即可求解.

(1)

解：延長。G至M,使GM=OG,連接MF,

又EG=FG,NEGD=NFGM,

LADEG咨AMFG,

：.DE=MF,

又QE=3,

?MF=3,

又DF=I,

：DF-MF<DM<DF+MF,

Λ7-3<DM<7+3,即4<OΛ∕<IO,

Λ4<2DG<10,

Λ2<DG<5;

(2)

延長AE,Z)C相交于點F,

,JAB∕∕CD,

INBAE=NF,

又BE=CE,NAEB=NFEC,

：.ΛABE^AFCE,

：.AB=CF,

?：NBAE^/F,NDAF=NBAE,

：.ZF=ADAF,

.'.AD=FD,

XFD=CD+DF,CF=AB,

：.AD=CD+AB.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理等知識,

讀懂題意，添加“倍長中線''的輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.閱讀下面材料：小軍遇到這樣一個問題：如圖1,AABC中，AB=6,AC=4,點D

為BC的中點，求AD的取值范圍.

(1)小軍發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題.他的做法是：如圖2,延長AD

到E,使DE=AD,連接BE,構(gòu)造△BED會ACAD,經(jīng)過推理和計算使問題得到解決.

請回答：AD的取值范圍是.

(2)參考小軍思考問題的方法，解決問題：如圖3,AABC中，E為AB中點，P是CA延

長線上一點，連接PE并延長交BC于點D.求證：PA?CD=PC?BD.

【答案】(1)1<AD<5;(2)證明見試題解析.

【詳解】試題分析：(1)由ABED絲ZXCAD,得至IJBE=AC,在AABE中，由三角形三邊

關(guān)系即可得到結(jié)論；

(2)延長PD至點F,使EF=PE,連接BF.得到△BEF絲Z?AEP,從而NAPE=NF,BF

BFBD

=PA,又由NBDF=NCDP,得到△BDFsaCDP,故尸C=CZ),即可得到結(jié)論.

試題解析：(I)I<AD<5;

(2)證明：延長PD至點F,使EF=PE,連接BF.VBE=AE,ZBEF=ZAEP,

.?.?BEF^?AEP,ΛZAPE=ZF,BF=PA,又：∕BDF=∕CDP,Λ?BDF∞?CDP,

BFBDPΛBD

.?.PC^CD,..PC^CD,即PA?CD=PC?BD.

考點：相似三角形的判定與性質(zhì).

15.在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法.

(1)如圖1,AO是ABe的中線，Aθ=7,AC=5求AO的取值范圍.我們可以延長AE>到

點例，使DW=4),連接8M,易證4AOC0Z?MDB,所以BM=AC.接下來，在一ABM

中利用三角形的三邊關(guān)系可求得AM的取值范圍，從而得到中線AO的取值范圍是

⑵如圖2,A。是，45C的中線，點E在邊AC上，BE交A。于點F,且AE=EF,求證:

AC=BF;

【答案】(1)1<A0<6

(2)見解析

【分析】(1)如圖1,延長A。到點M,使DW=A。，連接BM,證明△AQC絲Z?MO5(SAS),

推出AC=BM=5,再根據(jù)AB-BM可得結(jié)論；

⑵如圖2,延長A。到7,使得DT=ADf連接BT,由^Aoeg△"＞以推出AC=87,ZC=ZTBDi

推出3TAC,再證明8b二87，可得結(jié)論.

(1)

解：如圖1中，延長4。到點使。M=A。，連接3例,

???A。是AABC的中線，

IBD=CD,

在△AOC和^MO8中，

DA=DM

ZADC=NMDB,

DC=DB

：.AADCWAMDB(SAS),

.?AC=BM=5,

VAB=7,

AB-BM<AM<AB+BMf

Λ2<ΛM<12,

Λ2<2AD<12,

???1<AD<6,

故答案為：1<AQ<6;

(2)

證明：如圖2中，延長AO到7,使得。7二A。，連接87,

A

E

??,A。是448C的中線，

：?BD=CD,

在^ADC力98中，

DA=DT

,/ADC=NTDB,

DC=DB

：.ZVI。Cg△77)B(SAS),

：.AC=BT,ZC=ZTBDf

.*.BTAC,

：?NT=NDAC,

?；EA=EF,

；?NEAF=NEFA,

???NEFA=NBFT,

IZT=NBFT,

：?BF=BT,

.'.AC=BF

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，三

角形的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,

倍長中線構(gòu)造全等三角形解決問題.

16.在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線.

(1)如圖1,是ΔABC的中線，A8=7,AC=5,求AO的取值范圍.我們可以延長AZ)到

點、M,使。M=4),連接易證AAOC二ΔMD3,所以BM=AC.接下來，在AABM

中利用三角形的三邊關(guān)系可求得AM的取值范圍，從而得到中線AO的取值范圍

是;

Λ

（2）如圖2,是ΛBC的中線，點E在邊AC上，8E交Ao于點尸,且AE=EF,求證:

AC=BF;

⑶如圖3,在四邊形ABa）中，4?〃8C,點E是AB的中點，連接CE,EE）且CELOE,

試猜想線段BC,CD,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

【答案】（1）1<AD<6;（2）見解析；（3）CD=BC+AD,證明見解析

【分析】（1）延長AD到點M,使DW=Ar>,連接8M,即可證明ΔADC=ΔΛ">8,則可

得BM=AC,在MBM中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到AM的取值范圍，進(jìn)而得到中線AD

的取值范圍：

（2）延長AD到點M,使DM=A￡>,連接BM,由（1）知-AOC=.MDB,則可得

NM=Ne4。，BM=AC,由AE=所可知，ZCAD=ZAFE,由角度關(guān)系即可推出

ABMF=ΛBFM,故BW=3/，即可得到AC=BF；

（3）延長支到尸，使EF=EC,連接AF,即可證明ΔΛEP三ΔBEC,則可得

ZEAF=NB,AF=BC,由AD〃8C,以及角度關(guān)系即可證明點尸,A,。在一條直線上，通過

證明/?/△￡）￡尸也RtaOEC,即可得到￡0=8,進(jìn)而通過線段的和差關(guān)系得到

CD=BC+AD.

［詳解】(1)延長AD到點M,使DM=AD，連接BM.

???Ao是A43C的中線，

：?DC=DB,

在ΔAQC和ΔMDB中，

AD=MD9ZADC=ZMDB,DC=DB,

：,AADC^AMDBf

JBM=AC,

在ΔABM中，

AB-BM<AM<AB+BM，

Λ7-5<AM<7+5,BP2<AΛ∕<12,

JIVAD<6；

(2)證明:延長A。到點M,使DW=AD,連接BM,

由(1)知AADC=MDB,

AE=EF,

.?ZCAD=ZAFE,

ZMFB=ZAFE,

ZMFB=ZCAD,

.?.ZBMF=ZBFM,

..BM=BF,

..AC=BF9

(3)CD=BC+AD,

延長CE到F，使EF=EC,連接AF,

AE=BEfZAEF=ZBEC,

.,.ΔAEF二ΔBEC,

:.ZEAF=ZB,AF=BC,

ADUBC,

:.ZBAD+ZB=180o,

:.ZEAF+ZBAD=ISOo,

???點EA。在一條直線上，

.CELED,

：,NDEF=NDEC=900,

???在RfADEF和RtADEC中,

EF=EC,ZDEF=/DEC,DE=DE,

：,RfADEFmRtADEC,

:.FD=CD,

YFD=AD+AF=AD+BC,

.?