第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)（11大知識(shí)歸納+22大題型突破）（原卷版）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)（知識(shí)歸納+題型突破）1.了解函數(shù)的概念、會(huì)求函數(shù)的定義域、解析式及值域．2.熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性求解相關(guān)問題．3.理解函數(shù)的對(duì)稱性及周期性，并會(huì)函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．4.了解并掌握冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).5.掌握函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的概念設(shè)、是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng),那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù),記作其中，叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與值相對(duì)應(yīng)的叫做值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合的子集。區(qū)間的概念定義符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}[a，b]{x|a＜x＜b}(a，b){x|a≤x＜b}[a，b){x|a＜x≤b}(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x＜a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)函數(shù)的三要素（定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系）在中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，仍然叫做函數(shù)值，的取值范圍叫做值域。其中表示的是自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，該對(duì)應(yīng)關(guān)系常體現(xiàn)在解析式中。定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系統(tǒng)稱函數(shù)的三要素。函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．(3)函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值單調(diào)性的常見運(yùn)算單調(diào)性的運(yùn)算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對(duì)稱③奇偶性的運(yùn)算周期性（差為常數(shù)有周期）（拓展）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）④若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）對(duì)稱性（和為常數(shù)有對(duì)稱軸）（拓展）軸對(duì)稱①若，則的對(duì)稱軸為②若，則的對(duì)稱軸為點(diǎn)對(duì)稱①若，則的對(duì)稱中心為②若，則的對(duì)稱中心為周期性對(duì)稱性綜合問題（拓展）①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對(duì)稱性綜合問題（拓展）①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：冪函數(shù)冪函數(shù)的定義及一般形式形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，為常數(shù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)①冪函數(shù)的單調(diào)性②冪函數(shù)的奇偶性題型一圖象法表示函數(shù)【例1】（1）（2023秋·廣東廣州·高一校聯(lián)考期末）下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．（2）（2022秋·黑龍江黑河·高一校聯(lián)考期末）（多選）下列各圖中，不可表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練：1．（2023春·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·廣東河源·高一龍川縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）下列各曲線中，能表示y是x的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．題型二求函數(shù)值【例2】（1）（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第四中學(xué)?？计谀┒x在上的函數(shù)滿足（），，則等于A．2 B．3 C．6 D．9（2）（2023秋·上海浦東新·高一華師大二附中?？计谀┮阎瘮?shù)，且，那么=.（3）（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知，那么＝．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知，則的值為.2．（2023秋·河北邯鄲·高一校考期末）已知函數(shù)滿足，則.3．（2023秋·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)滿足，，則．題型三已知函數(shù)值求參數(shù)【例3】（1）（2023秋·甘肅天水·高一校聯(lián)考期末）已知＝2x＋3，f(m)＝6，則m等于（

）A． B． C． D．（2）（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足：對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x，y，都成立，.若，，則（

）A． B． C．2 D．32．（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，且.(1)求a的值；(2)當(dāng)x>1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值．題型四區(qū)間的概念及其表示【例4】（1）（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列區(qū)間與集合或相對(duì)應(yīng)的是（

）.A． B．C． D．（2）（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）把下列數(shù)集用區(qū)間表示．(1)；(2)；(3)；(4)或．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）將集合用區(qū)間表示正確的是（）A． B．C． D．2．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1)；(2)；(3)；(4)．題型五求具體函數(shù)、復(fù)合函數(shù)及抽象函數(shù)的定義域【例5】（1）（2023秋·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．（2）（2023秋·湖南婁底·高一?？计谀┖瘮?shù)的定義域是（）A． B．C． D．R（3）（2023秋·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．（4）（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．（5）（2023秋·遼寧本溪·高一?？计谀┤艉瘮?shù)的定義域是[1，2023]，則函數(shù)的定義域是（

）A．[0，2022] B．C．（1，2024] D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．2．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．3．（2023秋·重慶長壽·高一重慶市長壽中學(xué)校校考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?4．（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．5．（2023秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)校考期末）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）題型六求函數(shù)解析式【例6】（1）（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考期末）已知函數(shù)滿足，則解析式是（）A． B．C． D．（2）（2023秋·重慶江北·高一字水中學(xué)校考期末）（多選）已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．（3）（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求.（4）（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求解析式；（2）已知，求的解析式.（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有，求的解析式.（5）（2023·全國·高一專題練習(xí)）回答下面問題(1)已知，求；(2)已知函數(shù)是一次函數(shù)，若，求.(3)已知，求的解析式；(4)已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高一?？计谀┮阎瑒t.2．（2023秋·四川成都·高一成都七中?？计谀┮阎瘮?shù)是二次函數(shù)，，．(1)求的解析式；(2)解不等式．3．（2023秋·湖南永州·高一永州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式；（2）已知，求的解析式；4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（4）已知，求的解析式．（5）已知是定義在R上的函數(shù)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式．5．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知一次函數(shù)滿足，．(1)求的解析式；(2)若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．題型七求函數(shù)的值域【例7】（1）（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?（2）（2023秋·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若集合的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．（3）（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2).（4）（2023秋·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）完成下列各小題:(1)若正數(shù)，滿足，求的最小值.(2)已知，求的最小值.(3)已知定義在的函數(shù)，求函數(shù)的值域（5）（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是.2．（2023秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)校考期末）（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的值域.3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3).4．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4).5．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).題型八函數(shù)相等【例8】（1）（2023秋·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．， D．，（2）（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀ǘ噙x）下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的有（

）A．與 B．與C．與 D．與（3）（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（

）A．，B．，C．，D．，鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）在下列函數(shù)中，函數(shù)表示同一函數(shù)的（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與3．（2023秋·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）（多選）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（

）A． B．C． D．題型九分段函數(shù)【例9】（1）（2023秋·廣東廣州·高一廣東番禺中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．1（2）（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則.（3）（2023秋·福建三明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則.（4）（2023秋·安徽六安·高一金寨縣青山中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)求，，；(2)若，求的取值范圍．（5）（2023秋·新疆昌吉·高一校考期末）已知函數(shù).(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求m的取值范圍.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則．2．（2023秋·吉林長春·高一長春市解放大路學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，則f(2)=.3．（2023秋·四川成都·高一校考期末）設(shè)若，則．4．（2023秋·云南怒江·高一校考期末）已知函數(shù)．(1)求，的值；(2)若，求實(shí)數(shù)a的值5．（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.題型十用定義法判斷或證明函數(shù)單調(diào)性【例10】（1）（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）已知，.(1)解不等式；(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性.（2）（2023秋·江西吉安·高一江西省安福中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，且，．(1)求、的值；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；(3)求函數(shù)在上的最大值和最小值．（3）（2023春·河南開封·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義域上的奇函數(shù).（1）確定的解析式；（2）用定義證明：在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）解不等式.（4）（2023秋·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù),滿足,且當(dāng)時(shí),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;(2)若,解不等式.（5）（2023秋·江西吉安·高一江西省峽江中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都有，且當(dāng)時(shí)，．(1)求證：是上的增函數(shù)；(2)若，求x的取值范圍．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·四川資陽·高一四川省安岳實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，．(1)用定義證明函數(shù)在上為增函數(shù)；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．（2023秋·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并求函數(shù)在上的最大值和最小值.3．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）設(shè)函數(shù)．(1)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2)求函數(shù)的值域．4．（2023秋·四川南充·高一四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谀┒x在上的函數(shù)，滿足，，當(dāng)時(shí)，(1)求的值；(2)證明在上單調(diào)遞減；(3)解關(guān)于的不等式.5．（2023秋·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)?？计谀┮阎x在上的函數(shù)滿足:①對(duì)任意的,都有;②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),成立.(1)求;(2)用定義證明的單調(diào)性;(3)若對(duì)使得不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.題型十一求單調(diào)區(qū)間【例11】（1）（2023秋·四川遂寧·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．（2）（2023秋·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）下列四個(gè)函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．（3）（2023秋·山東濟(jì)寧·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．（4）（2023秋·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）（多選）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·上海浦東新·高一?？计谀┖瘮?shù)的增區(qū)間為.3．（2023秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.4．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）函數(shù)的遞減區(qū)間是.題型十二已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值或范圍【例12】（1）（2023秋·湖北武漢·高一武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)?？计谀┮阎艉瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．（2）（2023秋·甘肅臨夏·高一校考期末）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．（3）（2023秋·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（4）（2023秋·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（5）（2023春·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知為增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）（多選）若二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則a可以是（

）A． B．0 C．1 D．22．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高級(jí)中學(xué)校考期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為．3．（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.4．（2023秋·上海松江·高一?？计谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.5．（2023秋·重慶江北·高一字水中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型十三利用函數(shù)單調(diào)性解不等式【例13】（1）（2023秋·山西大同·高一大同一中?？计谀┮阎瘮?shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）（2023秋·河南信陽·高一信陽高中校考期末）已知是定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則不等式的解集為（）A． B．C． D．（3）（2023秋·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．或 C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在單調(diào)遞減，且，則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·安徽淮北·高一淮北一中?？计谀┮阎?jiǎng)t滿足不等式的范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·浙江湖州·高一期末）已知函數(shù)，則滿足不等式的x的取值范圍是．題型十四判斷或證明函數(shù)的奇偶性【例14】（1）（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，判斷的奇偶性，并說明理由；(2)若，判斷在上的單調(diào)性，并加以證明.（2）（2023秋·甘肅天水·高一校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，并且滿足，且，當(dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；（3）（2023秋·河北廊坊·高一?？计谀┦嵌x在上的函數(shù)，對(duì)都有，當(dāng)時(shí)，，且．(1)求，的值；(2)猜測(cè)為奇函數(shù)還是偶函數(shù)并證明；(3)求在上的單調(diào)性并證明．（4）（2023秋·河北秦皇島·高一?？计谀┮阎瘮?shù)在上有意義，且對(duì)任意滿足.(1)求的值；(2)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)若在上單調(diào)遞減，且，請(qǐng)問是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，若存在，給出實(shí)數(shù)的一個(gè)取值；若不存在，請(qǐng)說明理由.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)奇偶性，并說明理由；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義說明理由.2．（2023秋·吉林長春·高一汽車區(qū)第三中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)定義為，函數(shù)，且滿足:，，恒有.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）求關(guān)于x的不等式的解集.3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)對(duì)任意的x，，都有，且當(dāng)時(shí)．(1)求的值，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；(3)解不等式．4．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意x，，都有；(1)求的值；(2)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論：(3)若時(shí)，，求證：在單調(diào)遞減.題型十五利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)值和參數(shù)值【例15】（1）（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)為偶函數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．（2）（2023秋·吉林長春·高一長春市解放大路學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，則（

）A．1 B． C． D．3（3）（2023秋·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．（4）（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（結(jié)果用數(shù)字表示）.（5）（2023春·云南文山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，則鞏固訓(xùn)練1．（2023春·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若為奇函數(shù)，則（

）A．1或 B．1 C．0 D．2．（2023秋·上海普陀·高一?？计谀┖瘮?shù)，其中??是常數(shù)，且，則．3．（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則.4．（2023秋·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則.5．（2023秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則．題型十六利用函數(shù)奇偶性求解析式【例16】（1）（2023秋·上海浦東新·高一?？计谀┮阎x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．（2）（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┮阎瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，．（3）（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽四中?？计谀┤羰嵌x在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(為常數(shù))，則當(dāng)時(shí)，.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第四中學(xué)校考期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在R上的解析式為．2．（2023秋·廣東佛山·高一南海中學(xué)校考期末）已知函數(shù)為R上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，．3．（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式是．題型十七利用函數(shù)奇偶性解不等式【例17】（1）（2023秋·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）若定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍為（

）A． B． C． D．（2）（2023秋·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）若偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式解集是（

）A． B．C． D．（3）（2023秋·浙江杭州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若，且，都有成立，則不等式的解集為．（4）（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域是，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心是，若對(duì)任意的，，且，都有成立，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級(jí)中學(xué)校考期末）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江杭州·高一杭州市長河高級(jí)中學(xué)?？计谀┤羰瞧婧瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)校考期末）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校校考期末）已知函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，并且滿足，.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.題型十八單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性綜合【例18】（1）（2023秋·山東泰安·高一?？计谀┮阎瘮?shù)關(guān)于直線對(duì)稱,且當(dāng)時(shí),恒成立,則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．（2）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且是上的嚴(yán)格減函數(shù)，若，則滿足不等式的x的取值范圍為（

）A． B． C． D．（3）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上為增函?shù)，則（

）①；②；③；④在上為減函數(shù)．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④（4）（2023春·山西晉城·高一晉城市第一中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，若，則（

）A．116 B．115 C．114 D．113（5）（2023秋·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）若定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，（），都有，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若，則t的最大值是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對(duì)稱．若，則（

）A．3 B．2 C．0 D．504．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4題型十九求冪函數(shù)值和解析式【例19】（1）（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．（2）（2023秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．2 D．（3）（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·貴州貴陽·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．4 B．2 C． D．2．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023秋·上海崇明·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則．題型二十利用冪函數(shù)求參數(shù)值【例20】（1）（2023春·陜西西安·高一陜西師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)為冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或1 C． D．1（2）（2023秋·浙江杭州·高一杭州市長河高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，則n的值為（

）A． B．1 C．3 D．1或（3）（2023秋·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考期末）若函數(shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（

）A． B．3 C．或3 D．2或（4）（2023秋·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù).鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為．2．（2023秋·安徽合肥·高一校聯(lián)考期末）冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，則m的值是.3．（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的值為．4．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.題型二十一冪函數(shù)的綜合應(yīng)用【例21】（1）．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).(1)求f（x）的表達(dá)式；(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.（2）．（2023秋·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求冪函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)，根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的解析式，并指明函數(shù)的定義域；(2)設(shè)函數(shù)，用單調(diào)性的定義證明在單調(diào)遞增．（4）（2023秋·吉林長春·高一長春市解放大路學(xué)校校考期末）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．

(1)求該冪函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，在如圖的坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖像；(3)直接寫出函數(shù)的解集．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·甘肅慶陽·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的值域；(2)若，，求的取值范圍.2．（2023秋·新疆·高一校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若正數(shù)滿足，若不等式恒成立．求的最大值．3．（2023秋·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，．(1)若，求；(2)已知，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求的取值范圍．4．（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求x的取值范圍．題型二十二函數(shù)的應(yīng)用（一）【例22】（1）．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)校考期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量(單位：千克)與施用肥料(單位：千克)滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費(fèi))元．已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為(單位：元)(1)寫單株利潤(元)關(guān)于施用肥料(千克)的關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？（2）（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谀┬鹿诜窝滓咔樵斐舍t(yī)用防護(hù)服短缺，某地政府決定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供（）（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼，并以每套80元的價(jià)格收購其生產(chǎn)的全部防護(hù)服，公司在收到政府（萬元）補(bǔ)貼后，防護(hù)服產(chǎn)量將增加到（萬件），其中為工廠工人的復(fù)工率（），公司生產(chǎn)萬件防護(hù)服還需投入成本（萬元）．(1)將公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤（萬元）表示為補(bǔ)貼（萬元）的函數(shù)（政府補(bǔ)貼萬元計(jì)入公司收入）；(2)當(dāng)復(fù)工率時(shí)，政府補(bǔ)貼多少萬元才能使公司的防護(hù)服利潤達(dá)到最大？并求出最大值．（3）（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）黨的二十大大報(bào)告明確要求：我們要構(gòu)建高水平社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制，堅(jiān)持和完善社會(huì)主義基本經(jīng)濟(jì)制度，毫不動(dòng)搖鞏固