新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)18正態(tài)分布新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

課時(shí)分層作業(yè)(十八)正態(tài)分布一、選擇題1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，則下列結(jié)論中不正確的是()A．σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大B．σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D．σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.2)內(nèi)的概率與落在(10，10.3)內(nèi)的概率相等2．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，9)，若P(X<1)＝P(X>7)，則()A．E(X)＝4，D(X)＝9B．E(X)＝3，D(X)＝3C．E(X)＝4，D(X)＝3D．E(X)＝3，D(X)＝93．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，若P(X≤1)＝0.3，P(1<X<5)＝0.4，則μ＝()A．1B．2C．3D．44．一機(jī)械制造加工廠的某條生產(chǎn)線在設(shè)備正常運(yùn)行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸z(單位：mm)服從正態(tài)分布N(180，σ2)，且P(z≤190)＝0.9，P(z≤160)＝0.04，則P(190<z<200)＝()A．0.1 B．0.04C．0.05 D．0.065．(多選)若隨機(jī)變量X，Y的正態(tài)密度函數(shù)分別為f(x)＝12πe-x-122，g(x)＝10.62πe-x+0.522×0.62，f(xA．P(X>1)＝PYB．σ1<σ2C．P(X>2)＝0.15865D．P(0.7≤Y≤1.3)＝0.0428二、填空題6．(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________．7．若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(9，16)，則P(－3≤ξ≤13)＝________．參考數(shù)據(jù)：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973．8．(2023·河南鄭州期末)在某次高三聯(lián)考中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)服從正態(tài)分布N(95，100)．已知參加本次考試的學(xué)生有100000人，則本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)大于105分的大約有________人．參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．三、解答題9．有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(20，4)，若這批零件共有5000個(gè)，試求：(1)這批零件中尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比；(2)若規(guī)定尺寸在24～26mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)？10．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.84，則P(ξ≤0)＝()A．0.16 B．0.34C．0.66 D．0.8411．甲、乙兩類(lèi)產(chǎn)品的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布Nμ1，σA．甲類(lèi)產(chǎn)品的平均質(zhì)量小于乙類(lèi)產(chǎn)品的平均質(zhì)量B．乙類(lèi)產(chǎn)品的質(zhì)量比甲類(lèi)產(chǎn)品的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類(lèi)產(chǎn)品的平均質(zhì)量為1kgD．乙類(lèi)產(chǎn)品的質(zhì)量的方差為212．(多選)若隨機(jī)變量ξ～N(0，2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，則下列等式成立的有()A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－2φ(x)13．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(φ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0無(wú)實(shí)數(shù)根的概率為12，則μ＝_____________14．某市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全市100000名男生的身高服從正態(tài)分布N(168，16)．現(xiàn)從某學(xué)校高三年級(jí)男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于160cm和184cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成6組：第1組[160，164)，第2組[164，168)，…，第6組[180，184]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．(1)試估計(jì)該校高三年級(jí)男生的平均身高；(2)求這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人數(shù)；(3)在這50名身高在172cm以上(含172cm)的男生中任意抽取2人，將該2人身高納入全市排名(從高到低)，能進(jìn)入全市前135名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．15．已知某訓(xùn)練營(yíng)新兵50m步槍射擊個(gè)人平均成績(jī)X(單位：環(huán))服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，從中隨機(jī)抽取100名新兵的個(gè)人平均成績(jī)，得到如下的頻數(shù)分布表：X456789頻數(shù)122640292(1)求μ和σ2的值(用樣本的均值和方差代替總體的均值和方差)；(2)從這個(gè)訓(xùn)練營(yíng)隨機(jī)抽取1名新兵，求此新兵的50m步槍射擊個(gè)人平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[7.9，8.8]的概率．參考數(shù)據(jù)：0.8≈0.9．課時(shí)分層作業(yè)(十八)1．D[對(duì)于A，σ越小，正態(tài)分布的圖象越瘦長(zhǎng)，總體分布越集中在對(duì)稱(chēng)軸附近，故A正確．對(duì)于B，C，由于正態(tài)分布圖象的對(duì)稱(chēng)軸為μ＝10，顯然B，C正確．D顯然錯(cuò)誤．故選D．]2．A[∵隨機(jī)變量X~N(μ，9)，且P(X<1)＝P(X>7)，∴σ2＝9，μ＝1＋72＝4，∴E(X)＝4，D(X)＝9．故選3．C[由于隨機(jī)變量X~N(μ，σ2)，滿(mǎn)足P(X≤1)＝0.3，P(1<X<5)＝0.4，因此P(X≥5)＝1－P(X≤1)－P(1<X<5)＝1－0.3－0.4＝0.3＝P(X≤1)，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可知μ＝1＋52＝4．D[因?yàn)樯a(chǎn)的零件尺寸z(單位：mm)服從正態(tài)分布N(180，σ2)，所以P(z>190)＝1－P(z≤190)＝0.1，P(z≥200)＝P(z≤160)＝0.04，所以P(190<z<200)＝P(z>190)－P(z≥200)＝0.1－0.04＝0.06．]5．AC[由解析式可得，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；P(X>2)＝12[1－P(0<X<2)]≈12×(1－0.6827)＝0.15865，故C選項(xiàng)正確；P(0.7≤Y≤1.3)＝P(－0.5＋2×0.6<Y≤－0.5＋3×0.6)≈12×(0.9973－0.9545)＝0.0214，故D6．0.14[由題意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.14．]7．0.84[∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(9，16)，∴對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝μ＝9，σ＝4，則P(－3≤ξ≤13)＝P(μ－3σ≤ξ≤μ＋σ)＝12[P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ≈12(0.9973＋0.6827)＝0.84．8．15865[設(shè)本次聯(lián)考中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閄分，由題意知X~N(95，100)，∴μ＝95，σ＝10，∴P(85≤X≤105)≈0.6827，∴P(X>105)≈1-0.68272＝0.15865，∴本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)大于105分的大約有100000×0.15865＝15865(人9．解：(1)∵X~N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，故尺寸在18~22mm間的零件所占的百分比大約是68.27%．(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24~26mm間的零件所占的百分比大約是99.73%-95.45%2∴這批零件中不合格的零件大約有5000×2.14%＝107(個(gè))．10．A[由題意得隨機(jī)變量ξ的樣本均值為3，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≥6)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16，所以P(ξ≤0)＝0.16．]11．A[由題圖可知，甲類(lèi)產(chǎn)品的平均質(zhì)量為μ1＝0.5kg，乙類(lèi)產(chǎn)品的平均質(zhì)量為μ2＝1kg，甲類(lèi)產(chǎn)品質(zhì)量的方差明顯小于乙類(lèi)產(chǎn)品質(zhì)量的方差．故甲類(lèi)產(chǎn)品的質(zhì)量比乙類(lèi)產(chǎn)品的質(zhì)量更集中于平均值左右，故A正確，B、C錯(cuò)誤；由正態(tài)密度函數(shù)的解析式f(x)＝1σ可知當(dāng)x＝μ時(shí)，f(x)取得最大值，∴1σ2π＝4，∴σ∴σ2＝132π≠2，故D故選A．]12．ACD[因?yàn)棣蝵N(0，2)，所以其正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對(duì)稱(chēng)，因?yàn)棣?x)＝P(ξ≤x)，x>0，所以φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝1－φ(x)，A正確；因?yàn)棣?2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)不一定成立，B不正確；因?yàn)镻(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝2φ(x)－1，C正確；因?yàn)镻(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝2－2φ(x)，D正確．]13．4[因?yàn)榉匠蘹2＋4x＋ξ＝0無(wú)實(shí)數(shù)根的概率為12，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝12＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝12，所以μ＝14．解：(1)由頻率分布直方圖可知，該校高三年級(jí)男生的平均身高約為(162×0.05＋166×0.07＋170×0.08＋174×0.02＋178×0.02＋182×0.01)×4＝168.72(cm)．(2)由頻率分布直方圖知，后3組的頻率為(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人數(shù)為0.2×50＝10，即這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人數(shù)為10．(3)全市100000名男生的身高X服從正態(tài)分布N(168，16)，則P(168－3×4≤X≤168＋3×4)＝P(156≤X≤180)≈0.9973．由正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，P(X≥180)≈1-0.99732＝0.00135，且0.00135×100000故全市約前135名男生的身高在180cm及以上．這50人中身高在180cm及以上的人數(shù)為50×0.01×4＝2．隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，則P(ξ＝0)＝C82C102＝2845，P(ξ＝1)＝C81故E(ξ)＝0×2845＋1×1645＋2×15．解：(1)由題意，得隨機(jī)抽取的100名新兵的個(gè)人平均成績(jī)的分布列為(用頻率估計(jì)概率)：X456789P0.010.020.260.400.290.02E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7，方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8．用樣本的均值