第五章 特征值問題

第五章特征值問題第1頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:一、特征值與特征向量的概念第2頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月二、特征值與特征向量的求法例1

第6頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第7頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月例２

解第8頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月例３

設(shè)求A的特征值與特征向量．解第11頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月得基礎(chǔ)解系為：第13頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月例４

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟次，就得第14頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月三、特征值和特征向量的性質(zhì)第16頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月3/42/3第19頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月-2or1第20頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月證:則即類推之，有第21頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月把上列各式合寫成矩陣形式，得第22頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：１.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的．２.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量．３.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值對應(yīng)的特征向量不唯一；但一個特征向量卻只能屬于一個確定的特征值．第23頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月求矩陣特征值與特征向量的步驟：四、小結(jié)第25頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題1第26頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題1解答第27頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月特征值問題與二次型第二節(jié)相似矩陣第28頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月一、相似矩陣第29頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月1.等價關(guān)系二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)第30頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第31頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月推論2

若階方陣與對角陣第33頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月證明三、利用相似變換將方陣對角化第34頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月命題得證.第36頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月如果階矩陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似．推論1第37頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月說明如果的特征方程有重根，此時不一定有個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣不一定能對角化，但如果能找到個線性無關(guān)的特征向量，還是能對角化．第38頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月例1判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解第39頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月解之得基礎(chǔ)解系第40頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月求得基礎(chǔ)解系第41頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月解之得基礎(chǔ)解系故不能化為對角矩陣.第42頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月A能否對角化？若能對角例2解第43頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月解之得基礎(chǔ)解系第44頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月所以可對角化.第45頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月注意即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)．第46頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月推論2‘第47頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第50頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第51頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第52頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題第53頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答第54頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月特征值問題與二次型第三節(jié)實對稱矩陣的對角化第56頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)1實對稱矩陣的特征值為實數(shù).一、實對稱矩陣的性質(zhì)說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣．性質(zhì)2第57頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法將特征向量正交化(如果有重根的話);3.將特征向量單位化.4.2.1.第59頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月解例1對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對角陣.(1)第一步求的特征值第60頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系第61頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化第62頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第64頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第65頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月于是得正交陣第66頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第67頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第69頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月1.對稱矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié)(1)特征值為實數(shù)；(2)屬于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等；(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值．2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將特征向量單位化；(4)最后正交化．第70頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題第71頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答第72頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月特征值問題與二次型第四節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形第74頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念稱為二次型.第75頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．例如都為二次型；而為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.第76頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第77頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月2．用矩陣表示二、二次型的表示方法第78頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．第79頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月解例１第80頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第81頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第82頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)有可逆線性變換四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．第83頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第84頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第85頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第86頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月說明第87頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟第88頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例4第89頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組第90頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月4．將正交向量組單位化，得正交矩陣第91頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月于是所求正交變換為第92頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月解例5第93頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第94頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第95頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第96頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第97頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第98頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第99頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月六、小結(jié)1.實二次型的化簡問題，在理論和實際中經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法．第100頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出表示何種二次曲面.求一正交變換，將二次型思考題1第101頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題1解答第102頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第103頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第104頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月特征值問題與二次型第五節(jié)正定二次型與正定矩陣第105頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月一、慣性定理第106頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第107頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月二、正(負(fù))定二次型的概念第108頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月為正定二次型為負(fù)定二次型例如為不定型二次型為負(fù)半定二次型第109頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月三、正(負(fù))定二次型的判別推論對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．第110頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第111頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第112頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第113頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3充分性必要性第114頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第115頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月第116頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2第117頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月這個定理稱為霍爾維茨定理．定理4對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階順序主子式為正，即第118頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)：推論對稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即第119頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月例3判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.第120頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月例4判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，第121頁，課件共125頁，創(chuàng)作于2023年2月解例5若二次型正定，求參數(shù)