高中數(shù)學(xué)新題型匯編（一）（含解析）

高中數(shù)學(xué)新題型匯編(一)

K(I)已知函數(shù)：/(x)=2"T(x"+a)—*+4)",。70,+00),〃€叱)求函數(shù)/(幻的最小值;

(II)證明:"馬”(a>O,b>O,”eN*)：

22

(IH)定理:若2M3ak均為正數(shù)，則有《+4'+"；++"："4+%+%++處)"成立

kk

(其中AN2,AwN*,攵為常數(shù)).請你構(gòu)造一個函數(shù)g(x),證明：

當(dāng)4+1均為正數(shù)時，4士.2(色馬.丁&+卬)”.

上+1Z+1

解：(I)4,f\x)=2n-'nr71-1-n(a+x)w-1=0(2x)n-,=(a+x)w-1.\2x=a+x:.x=a…2分

當(dāng)OWxKa時，2x<x^a:.f\x)<0故/(x)在[0,a]上遞減.

當(dāng)x>aJ'a)>0故/(x)在(％的上遞增.所以，當(dāng)％=。時,/(%)的最小值為/(〃)=0.….4分

(II)由人>0,有/S)N/(a)=O即/S)=2'i(a"+〃)一(a+與〃之()

故-(a>0,0>0,〃eN*).................................5分

(III)證明:要證：+“3w(q+"2+%++.)"

Z+1k+\

只要證：(2+1)"i(a；+a：+a；++4\)之(q+。2+。3++4+1)"

設(shè)g(x)=(2+l)"T(a；+堵+&'++x")-(q+%+生++工)”..............7分

則S(X)=(左+1嚴(yán)?tvcn~l-"(q+。2++4+X)"T

令g'(x)=O得x=%+%++4..........................................8分

k

當(dāng)0<x<%>生+~時，g'(x)=n[(kx+x]w-1-九(q+a,++4+x)n~l

k

<i+?++4+x)〃i一"(4+出++4+X)〃T=0

故g(x)在［0,'4+%++4］上遞減,類似地可證g(x)在產(chǎn)+%++怎,+00)遞增

kk

所以當(dāng)X='4+%++4時,g(x)的最小值為g(A+4++%)..........［0分

kk

而g(4+%++&)=伙+l)”a；+《+.+d+(4+"#+為)"]-(4+a,++為+%+%++&).

kkk

1+1丫1

二———伙”(。；+《+…+a?)+(q+%+.+a*)〃一(攵+l)(q+%+…+4)〃]

K

二伙）—伙"（〃：+4++《）-%（〃]+a2+?—伙""（《+4'++《）-（4+〃2++〃J]

KK

由定理知：”++堤）一（4+°,++%）”20故g（q+/++生）20

k

—e10,+00）g（ak+l）>g}+%；,,+.）>0

K

故（％+1）"1（a：+a；+a；++a2]）2（4+4+4++4+i）”

即.《+《+&'+'+41.產(chǎn)+%+43++4+iy，]4分

k+1一女+1....................

2、用類比推理的方法填表

等差數(shù)列｛q｝中等比數(shù)列｛2｝中

%=%+d仄=b2?4

。3+。4=。2+a50?〃=b2?b5

4+4+。3+。4+。5=56

答案：b,?b2?by*bA?b5=by

3、10.定義一種運(yùn)算“*”：對于自然數(shù)"滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：

(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=〃*1+1,則〃*1等于

A.nB.n+1C.n~\D.n2答案：D

4、若/(n)為〃2+1(〃6叱)：)的各位數(shù)字之和，如：142+1=197,1+9+7=17,則

/(14)=17；記力(〃)=/(?),/,(?)=/(1(")),…，加⑺=/(人(〃)),keN*,則源8⑻=—

答案：5

5、下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面。

(1)請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側(cè)棱垂直于底面？如果存在，請給出

證明；如果不存在，請說明理由；

(2)若SA_L面ABCD,E為AB中點(diǎn)，求二面角E-SC-D的大小；

(3)求點(diǎn)D到面SEC的距離。

(1)存在一條側(cè)棱垂直于底面(如圖)............3分

證明：SA±AB,SA±AD,且AB、AD是面ABCD內(nèi)的交線.?.SA_L底面

ABCD................................5分

(2)分別取SC、SD的中點(diǎn)G、F,連GE、GF、FA,

貝GF//EA,GF=EA,；.AF//EG

而由SAJ.面ABCD得SA1CD,

XAD1CD,.?.CD_L面SAD,CDLAF

又SA=AD,F是中點(diǎn)，.?.A/?_LS￡>

人/上面SCD,EGJ_面SCD,/.面55。_1面SCD

所以二面角E-SC-D的大小為90°................10分

(3)作DH_LSC于H,

???面SEC_L面SCD,.'.DH_L面SEC,

，DH之長即為點(diǎn)D到面SEC的距離，12分

SDDC=叵a.a=瓜&

?.?在RtASCD中,DH

SC6a3

答：點(diǎn)D到面SEC的距離為坐a.....................................14分

6,一個計(jì)算裝置有一個入口A和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口B,將自然數(shù)列中的各

數(shù)依次輸入A口，從B口得到輸出的數(shù)列｛q｝,結(jié)果表明：①從A口輸入〃=1時，從B

口得4=g;②當(dāng)”22時，從A口輸入〃，從B口得到的結(jié)果a.是將前一結(jié)果4T先乘

以自然數(shù)列｛科中的第〃一1個奇數(shù)，再除以自然數(shù)列｛a,,｝中的第〃+1個奇數(shù)。試問：

(1)從A口輸入2和3時，從B口分別得到什么數(shù)？

(2)從A口輸入100時，從B口得到什么數(shù)？并說明理由.

解(1)a,=qxl+5=cij=a,x3+7=

(2)先用累乖法得見=--------------(〃wN*)

"(In-1)(2“+1)

]________________1

得4oo

(2x100-1)(2x100+1)-39999

7、中,8(—2,0),C(2,0),A(x,y),給出AABC滿足的條件，就能得到動點(diǎn)A

的軌跡方程，下表給出了一些條件及方程：

條件方程

①△A8C周長為10C,：>2=25

C/+,2=4（"0）

②△ABC面積為102：

2,2

③△ABC中，ZA=90°。3：亍+方=1（yn。）

則滿足條件①、②、③的軌跡方程分別為(用代號G、。2、。3填入)

答案：C3C)C2

8、已知兩個函數(shù)/(x)和g(x)的定義域和值域都是集合{1,2,3},其定義如下表.

X123X123

f（x）231g（x）132

填寫下列成/(x)]的表格，其三個數(shù)依次為

X123

g（f（x））

A.3,1,2B.2,1,3C.1,2,3D.3,2,1

答案：D

9、在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“十”如下：

當(dāng)時，。十〃=Q;

當(dāng)avb時，a?b=b2o

則函數(shù)/(x)=(l十x)?x-(2十x)(xe[—2,4)的最大值等于(C)

(“?”和“一”仍為通常的乘法和減法)A.-1B.1C.6D.12

10、已知xeR,Lx]表示不大于x的最大整數(shù)，如[汨=3,[―g]=—1,[g]=0,則

[-V3]=；使[x-1]=3成立的x的取值范圍是答案：2

11、為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)是否在直線y=x上”這個課題，我們可以

分三步進(jìn)行研究：

（I）首先選取如下函數(shù)：

y=2x+1,y=2',y=7x+1

x+1

求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)：

x—1

y=2x+l與其反函數(shù)丁=亍的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-1）

2rx

y=------與其反函數(shù)y=------的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,（1,1）

x+12-x

曠=一小1與其反函數(shù),=一-1,（%40）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（\5,上一），（一

1,0）,（0,-1）

（II）觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論；

（Ill）對得到的結(jié)論進(jìn)行證明。

現(xiàn)在，請你完成（II）和（III）。

解：（II）原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)不一定在直線y=x上2分

（III）證明：設(shè)點(diǎn)（a,b）是/（x）的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn)，由于原函數(shù)與

反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱，則點(diǎn)（b,a）也是/（x）的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，

且有

h=f（a）,a=f（b）

若a=b時，交點(diǎn)顯然在直線》=兀上

若a<b且/"）是增函數(shù)時，有/（。）</（編，從而有b<a,矛盾：若b<a且/*）是

增函數(shù)時，有/（。）</（力，從而有a<b,矛盾

若a<b且/（X）是減函數(shù)，有/（。）</3）,從而a<b成立，此時交點(diǎn)不在直線y=x

上；同理，b<a且/（幻是減函數(shù)時，交點(diǎn)也不在直線y=x上。

綜上所述，如果函數(shù)/（x）是增函數(shù)，并且/（無）的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則

交點(diǎn)一定在直線丁=x上；

如果函數(shù)/（X）是減函數(shù)，并且/（X）的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)不一定

在直線y=x上。14分

12、設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)/（x）構(gòu)成的集合：“①方程/（x）—x=0有實(shí)數(shù)根；②

函數(shù)/（x）的導(dǎo)數(shù)/'（X）滿足0</'（x）<1.”

XQinr

(I)判斷函數(shù)/(x)=]+受是否是集合M中的元素，并說明理由；

(H)集合M中的元素/(X)具有下面的性質(zhì)：若/(X)的定義域?yàn)镈,則對于任意

[m,n]cD,都存在n],使得等式/(〃)-/O)=(〃一加)/'(%)成立”,

試用這一性質(zhì)證明：方程/(x)-x=0只有一個實(shí)數(shù)根；

(III)設(shè)不是方程/(幻-x=0的實(shí)數(shù)根，求證：對于/(幻定義域中任意的

X2，七,當(dāng)|尤2-X]|<1,且|當(dāng)-玉1<1時，1/(》3)-/(》2)1<2.

解：(1)因?yàn)?'(x)=g+/cosx,.......2分

13

所以/'(X)e[-,-]滿足條件0<f'(x)<1,............3分

又因?yàn)楫?dāng)x=0時，/(0)=0,所以方程/(x)—x=0有實(shí)數(shù)根0.

X?inV

所以函數(shù)/(幻=]+變是集合M中的元素........4分

(2)假設(shè)方程/(x)-x=0存在兩個實(shí)數(shù)根a，B(a±0),

則/(?)一a=0,/(/?)-戶=0,.....5分不妨設(shè)a</3,根據(jù)題意存在數(shù)ce(a,4),

使得等式以B)-/(?)=于-a)/'(c)成立，................7分

因?yàn)?(a)=a,/(尸)=尸,且。力力，所以/'(c)=l,

與已知0</'(幻<1矛盾，所以方程/a)—x=0只有一個實(shí)數(shù)根；.......9分

(3)不妨設(shè)無2<與，因?yàn)?(尤)>0,所以/(幻為增函數(shù)，所以/(/)</(當(dāng))，

又因?yàn)?'(x)—1<0,所以函數(shù)/(x)—x為減函數(shù)，............10分

所以/(/)一/>/(七)一七,........11分

所以0<。尤3)一f(丁)<%3一尤2，即1/(%3)一f(W)IV)一為I，........12分

所以1/(%3)一/(%2)1<1]3一巧HE-七一(%-玉)W%3一再1+1%-的|<2.

....................13分

13、在算式“2XD+1XD=3O”的兩個口中，分別填入兩個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最

小，則這兩個數(shù)應(yīng)分別為和.答案：9,12.

14、如圖為一幾何體的的展開圖，其中ABCD是邊長

為6的正方形，SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,點(diǎn)S,

D,A,Q及P,D,C,R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，

使P,Q,R,S四點(diǎn)重合，則需要個這樣的

幾何體，可以拼成一個棱長為6的正方體。答案：3

15、用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥的效果假定如下：用x單位量的水清洗一次以后，蔬

菜上殘留的農(nóng)藥量與這次清洗前殘留的農(nóng)藥量之牛為=

(I)試解釋)(0)的實(shí)際意義;

(II)現(xiàn)有a(a>0)單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩

次.哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥比較少？請說明理由.

答案：解：(I)/(0)=1.表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農(nóng)藥量沒有變化..........2'

(II)設(shè)清洗前蔬菜上的農(nóng)藥量為1,那么用a單位量的水清洗1次后.殘留的農(nóng)藥量

為W|=lXf(°)=—......................................................4'

1+

又如果用應(yīng)單位量的水清洗i次，殘留的農(nóng)藥量為ix/(巴)=—?—,

221+(少

此后再用3單位量的水清洗1次后，殘留的農(nóng)藥量為

2

__16

12......................8'

16_a2g2-8)

由于卬|一電=----不..................9'

1+/(4+昌2-(l+a2)(4+a2)2

故當(dāng)。>2痣時，此時，把。單位量的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的

農(nóng)藥量較少；當(dāng)a=2a時，W產(chǎn)生，此時，兩種清洗方式效果相同；當(dāng)a<2a時，卬/電，

此時，把。單位量的水清洗一次，殘留的農(nóng)藥量較少.....................12'

16、直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過k(k

GN*)個格點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為k階格點(diǎn)函數(shù)。下列函數(shù)：

①f(x)=sinx；②f(x)=n(x—1)2+3；③/(x)=(g)’；?fM=log06x,

其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有.答案：①②④

17、一水池有2個進(jìn)水口，1個出水口，一個口進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),

該水池的蓄水量如圖丙所示(至少打開一個水口)，給出以下3個論斷：

(1)0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；(2)3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；(3)4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不

出水。則一定不確定的論斷是(把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號都填上)。

答案：(2)(3)

18、已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”

(1)若5“，Sm+2,S“,+i成等差數(shù)列，證明%,am+2,%,+i成等差數(shù)列；

(II)寫出(I)的逆命題，判斷它的真?zhèn)?，并給出證明.

12(I)?—+Sm+2-S/n+a〃?+l

由已知2Sm+Z=Sm+Sm+l,??2(S,〃+1+斯?+2)=Sm+(S/〃+，

?,.am+2=—即數(shù)列｛%｝的公比q=~\-

??dtn+\~~5%”+2==W。/〃,??2?！╙+2==〃切+。m+1,??dm9。5+2，成等差數(shù)列.

(H)(1)的逆命題是：若麗，而+2,而+1成等差數(shù)列，則S”，Si,Sm+l成等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的公比為q,丁麗+1=。皿即+2=。〃q2.

由題設(shè)，24,“+2=%+%+1,即2aHi爐=%+%闖，即物?—g—i=o,.?.q=i或〃=一；.

當(dāng)g=l時，AWO,S,“+2,S“+i不成等差數(shù)列.

逆命題為假.

19、2005年底，某地區(qū)經(jīng)濟(jì)調(diào)查隊(duì)對本地區(qū)居民收入情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取1000戶，按

本地區(qū)確定的標(biāo)準(zhǔn)，情況如右表:

高收入中等收入低收入

本地區(qū)在“十一五”規(guī)劃中明確

125戶400戶475戶

提出要縮小貧富差距,到2010年

要實(shí)現(xiàn)一個美好的愿景，由右邊圓圖顯示，則中等收入家庭的數(shù)

量在原有的基礎(chǔ)要增加的百分比和低收入家庭的數(shù)量在原有的基

礎(chǔ)要降低的百分比分別為(B)

A.25%,27.5%B.62.5%,57.9%C.25%,57.9%D.62.5%,42.1%

20、一個三位數(shù)Me稱為''凹數(shù)"，如果該三位數(shù)同時滿足人且匕＜c,那么所有不同的

三位”凹數(shù)"的個數(shù)是.

答案：三位“凹數(shù)”可分兩類：一類是aba,共有C：o=45,另一類是abc,aWc,共有

2c=240,故共有45+240=285個

21、定義運(yùn)算a'=ad-he,若復(fù)數(shù)了=---,y=",則y=___。答案：-4

cd3+i1+ix+i

22、從裝有〃+l個球(其中〃個白球，1個黑球)的口袋中取出m個球(0<6工力,〃2,九￡N),

共有C3種取法。在這C*種取法中，可以分成兩類：一類是取出的機(jī)個球全部為白球，

共有c°?C7+c：yF=c：?c：j即有等式：c：+a-=CM成立。試根據(jù)上述思想化

簡下列式子：C；+C>C；i+C>C：2+…+c>C7k=o

(1<k<m<n,k,m,neN)o

答案：CM根據(jù)題中的信息，可以把左邊的式子歸納為從〃+上個球(n個白球，k個黑

球)中取出m個球，可分為：沒有黑球，一個黑球，……，k個黑球等僅+1)類，故有C，

種取法。

一八x(x<y)…1

23、定義運(yùn)算^※丫二^,若|m—l|Xm=|m-1|,則m的取值范圍是___________m>—

J(X>y)2

24、在公差為d(dwO)的等差數(shù)列｛4.｝中，若S“是｛”,｝的前〃項(xiàng)和，則數(shù)列

S20-SsS30-S20，S40-S30也成等差數(shù)列，且公差為1004,類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公

比為q(q#l)的等比數(shù)列也｝中，若T,是數(shù)列仇｝的前〃項(xiàng)積，則有=

五,冬,五也成等比數(shù)列，且公比為,no。

丁10^20^30

23+53>22-5+2-52

24+54>23-5+2-53

25、考察下列一組不等式：55II將上述不等式在左右兩端仍為兩

V-+5?>22.52+2,-52

項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為

a",+n+優(yōu)>">a'"b"+a"b"'(a,b>0,a^h,m,n>0)

26、對任意實(shí)數(shù)x,y,定義運(yùn)算x*y=ax+Z?y+cxy,其中a,。,c為常數(shù)，等號右邊的運(yùn)

算是通常意義的加、乘運(yùn)算?，F(xiàn)己知1*2=4,2*3=6,且有一個非零實(shí)數(shù)加，使得對任

意實(shí)數(shù)x,都有x*m=x,則機(jī)=5。

27、對于任意實(shí)數(shù)X,符號[X]表示x的整數(shù)部分，即[X]是不超過x的最大整數(shù)”。在實(shí)數(shù)

軸R（箭頭向右）上[x]是在點(diǎn)x左側(cè)的第一個整數(shù)點(diǎn)，當(dāng)x是整數(shù)時[x]就是X。這個

函數(shù)[X]叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。那么

[log2l]+[10g22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]=8204

28、我國男足運(yùn)動員轉(zhuǎn)會至海外俱樂部常會成為體育媒體關(guān)注的熱點(diǎn)新聞。05年8月，在

上海申花俱樂部隊(duì)員杜威確認(rèn)轉(zhuǎn)會至蘇超凱爾特人俱樂部之前，各種媒體就兩俱樂部對于杜

威的轉(zhuǎn)會費(fèi)協(xié)商過程紛紛“爆料”：

媒體A："……,凱爾特人俱樂部出價已從80萬英鎊提高到了120萬歐元

媒體B："……，凱爾特人俱樂部出價從120萬歐元提高到了100萬美元，同

時增加了不少附加條件?！?/p>

媒體C："……，凱爾特人俱樂部出價從130萬美元提高到了120萬歐元?！?/p>

請根據(jù)表中提供的匯率信息（由于短時間內(nèi)國際貨幣的匯率變化不大，我們假定比值為

定值），我們可以發(fā)現(xiàn)只有媒體C（填入媒體的字母編號）的報(bào)道真實(shí)性強(qiáng)一些。

匯率

歐元兌美元bl.19

英鎊兌歐元1:1.52

29、已知二次函數(shù)/（%）=/一℃+乩江/?）同時滿足：①不等式/（無心0的解集有且只

有一個元素；②在定義域內(nèi)存在0＜項(xiàng)＜/，使得不等式/（七）＞/（乙）成立。

設(shè)數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)和S“=/（n）,

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）試構(gòu)造一個數(shù)列也｝,（寫出也,｝的一個通項(xiàng)公式）滿足：對任意的正整數(shù)〃都有

bn<an,且lim3=2,并說明理由;

n->oob

(3)設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛%｝中，所有滿足c「c陽<0的正整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)

列｛4｝的變號數(shù)。令g=1-幺(兀為正整數(shù))，求數(shù)列｛c,,｝的變號數(shù)。

解：(1)?.?/(》)<0的解集有且只有一個元素，二八=/-44=00。=0或。=4,

當(dāng)。=0時，函數(shù)/(x)=/在(0,長。)上遞增，故不存在0<為<%,使得不等式

/(*)>/(々)成立。

當(dāng)a=4時，函數(shù)/(x)=x2—4x+4在(0,2)上遞減，故存在0<玉<々，使得不

等式/(當(dāng))>/(%2)成立.

22

綜上，得a=4,/(x)=JC-4x+4,Sn-n-4n+4,

In=l

：?4二S

■'i|2n-5,n>2

(2)要使lim?=2,可構(gòu)造數(shù)列a=〃一3?.?對任意的正整數(shù)〃都有a<a.，

"->8h

n

.?.當(dāng)“22時，〃一女<2〃一5恒成立，即〃>5—攵恒成立，即5—Z<2=左>3,

*3

又b“手0,：.k史N,??.〃,=〃一一，等等。

2

—3,〃=1

(3)解法一：由題設(shè)％=<

〃23時,>0,An>3H'f,數(shù)

2〃-5-2〃-3一(2〃-512〃-3)

列｛，“｝遞增，

14

?.?。4=一一<0，由1------->0=>?>5,可知?！?。5<0，即〃23時，有且

32〃一5

只有1個變號數(shù)；

又?:.=-3,c2=5,c3=-3,即cl-c2<0,c2?c3<0,/.此處變號數(shù)有2個。

綜上得數(shù)列｛cj共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3。

—3,H=1

解法二：由題設(shè)%=<

72>2時，令

八2n-92n-7八35T79i/

c?<0=>-----------------<0=>—<?<一或一<n<—=>n=2或〃=4；

n"2n-52/7-32222

又=—3,c2=5,?\〃=1時也有仇,c2<00

綜上得數(shù)列｛%｝共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3。

30、在R上定義運(yùn)算△:xAy=x(l-y)若不等式(x-a)4(x+a)<l,對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則

13

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-上,1)

22

22

31、已知x、y之間滿足3+京=1(8>0)

22

(1)方程?+方=1">0)表示的曲線經(jīng)過一點(diǎn)求匕的值

22

(2)動點(diǎn)(x,y)在曲線二+與=1(8>0)上變化，求/+2y的最大值;

4及

r2V2

(3)由1+%=>0)能否確定一個函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)如能，求解析式;如不能,

再加什么條件就可使x、y之間建立函數(shù)關(guān)系，并求出解析式。

屋1

解：(1):+斤=1(。〉0)二/?=1(4分)

22/：

(2)根據(jù)?+為=19>0)得f=41-2(5分)

7

.」+尸(-峭+2b2,、

2412y=-4+—+4(-?yWb)(7分)

當(dāng)幺2陰寸，即匕24時(Y+2))=2/7+4

4\，/max

當(dāng),4胡寸，g|J0</?<4時一(x2+2y)、=彳+4

2b+4,(b>4)

.".(x2+2y)=\2(10分)

、(h+4，(04b<4)

(2)不能(11分)

如再加條件xy<0就可使x、y之間建立函數(shù)關(guān)系(12分)

(14分)

（不唯一，也可其它答案）

32、用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板。隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會越來越大，使

得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的▲（%eN*）。已知一個鐵釘受擊3次后全部

k

進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長_度是釘長的上4，請從這個實(shí)事中提煉

7

44,

出一個不等式組是77k

444,

177k1k2

33已知P={A|1<X<9,X￡N},記f(a,bcd)=ab-cd,(其中c,dGP),例如:

7(123,4)=

=1x2—3x4=-10。設(shè)〃，匕￡尸，且滿足了(〃,匕羽丁)=39和/'(%,丁,天#)=66,

則有序數(shù)組

+-v)=27u+x=9,y-v=3'

是（8,6,1,9）。\=><

+v)=105

u—x=l,y+v=15>

34、（12'=9'+3'）（理）設(shè)P表示幕函數(shù)y=x『-5c+6在（ay。）上是增函數(shù)的。的集合；

。表示不等式卜―1|+,一2d>1對任意xwR恒成立的c的集合。（1）求PcQ；（2）

試寫出一個解集為PcQ的不等式。

（文）設(shè)P表示累函數(shù)）二V口會在（ay。）上是增函數(shù)的，的集合；。表示不等式

卜―l|+|x—420對任意》67?恒成立的,的集合。（1）求PDQ；（2）試寫出一個解集為

PDQ的不等式。

解：（理）（1）；暴函數(shù)y=--5*在（0,物）上是增函數(shù)，c?—5c+6>0,即

尸=（一oo,2）D（3,+oo）,

又不等式|x—l|+|x—2c]>l對任意xeH恒成立，A|2c-l|>l,即

2=(-OO,0)U(1,-KO),

.?.Pne=(-oo,0)u(l,2)u(3,4oo)。產(chǎn)、/>

(2)一個解集為PcQ的不等式可以是MX-1XX-2)(X-3)>0。

(文)(1)???幕函數(shù)y=￡3+8在(。，物)上是增函數(shù)，。2_6。+8>0,即

尸=(—oo,2)D(4,+<x>),

又不等式卜―1|+除一42。對任意xeR恒成立，Ac<3,即

Q=(-oo,3],

/.PU<2=(-00,3]U(4,+00)o

(2)一個解集為PUQ的不等式可以是三NO。

35、(理)已知/(1)=42%一3％3,*6(_2,2),4為正常數(shù)。

(1)可以證明：定理'‘若a、b&R+,則竺々NJ茄(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)”

2

推廣到三個正數(shù)時結(jié)論是正確的，試寫出推廣后的結(jié)論(無需證明)；

(2)若/(x)>0在(0,2)上恒成立，且函數(shù)/(x)的最大值大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范

圍，并由此猜測y=/(x)的單調(diào)性(無需證明)；

(3)對滿足(2)的條件的一個常數(shù)。，設(shè)x=$時，/(x)取得最大值。試構(gòu)造一個

定義在。={4￥>—2,且/04左一2,%€77}上的函數(shù)8(6,使當(dāng)xe(—2,2)時，

g(x)=/(x),當(dāng)xeOll寸，g(x)取得最大值的自變量的值構(gòu)成以玉為首項(xiàng)的等差數(shù)

列。

解：(1)若。、b、CGR‘，則“+"匕加無(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號)。

3

(2)/(x)=/x—=彳/一：》2)>0在(0,2)上恒成立，即/>^必在(0,2)

上恒成立，

,/1x2G(0,2),Aa2>2,即aN收，

又?:

3

/、/、x2a2——x2j+[<72——x2

[4）『=斗2f2卜2T2卜」一^-P—J

x2=