四川省仁壽高一年級上冊期末考試數(shù)學試題（解析版）

期末考試(數(shù)學)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.sin240。的值是()

A-ID.一正

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)誘導公式sin(7t+a尸-sina即可求得結果.

【詳解】由題意可知，sin240°=sin(180°+60°),

利用誘導公式sin(?i+a尸一sina可得sin(l80°+60°)=-sin60°=-

即sin240。=-更

2

故選：D

L.18001（K.180°

{x\x=--—±45°,左eZ>,P=<jx|x=―-—±90",后eZ>,.則集合尸之間的

關系為（）

A.M=PB.MOPC.POMD.McP=0

【答案】B

【解析】

【分析】化簡集合，根據(jù)集合的關系即得.

11Q/\O

【詳解】因為"二<x|x=——-——±45°,左￡Z>={x|x=(2左±1)?45°,左GZ},

1IQC。

TGXX0G

p=Jx|x=i—_±90°JZ>={|=（A：±2）-45,A：Z},

所以河口P.

故選：B.

3.設角。的終邊經(jīng)過點尸（I，—那么2sin9+cos6等于（）

22

A.-B.--C.1D.—1

55

【答案】D

【解析】

【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義可求出sin。,cose的值，從而可求得答案

【詳解】解：因為角。的終邊經(jīng)過點尸

43

所以sin6=—w,cos。，

4|=-1

所以2sine+cos6=2x+

故選：D

4.若一一（。+1）%+6<0的解集是（一5,2）,則a+b等于（）

A.-14B.-6C.6D.14

【答案】A

【解析】

【分析】由一元二次不等式的解集，結合根與系數(shù)關系求參數(shù)〃、h,即可得4+6.

【詳解】???/一（4+1.+6<0的解集為（一5,2）,

?'.~5和2為方程x~一（a+I）x+b=0的兩根，

?**ci+b=-14.

故選：A.

5.對于任意實數(shù)〃，b,c,d,下列命題中正確的是（）

A.若a>b,c，0,貝ijac>bcB.若a>b,貝!jac2>bc2

C.若ad>bc2,貝lja>bD.若a>b,則,<'

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式性質逐一判斷選項，即得結果.

【詳解】若心b,cvO,則ac>6c,所以A錯誤:

若a>b,c=0則表=從2,所以B錯誤；

若ac2>bc2,則c2>o,a>b,所以C正確；

若4=1/=-1滿足心人但,所以D錯誤；

ab

故選：C

【點睛】本題考查不等式性質，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.

6.己知=占，則函數(shù)/(x)的解析式是()

B./(x)=----(XW-1且工。0)

/3=怖(工~1)v71+x

X

C./(x)=D./(x)=1+x

1+x

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)換元法求解析式即可.

【詳解】解：由題知x聲0且xw-l,令，=’,則X=’(工/0且，，一1),

Xt

??."十匕cm,

Y

：.f(x]=——(XH—1且XH0).

J')X+1

故選：B.

/x40

7.已知函數(shù)/(x)=《'-，g(x)=/(x)-a.若g(x)存在2個零點，貝心的取值范圍是()

Inx,x>0

A.(-L0)B.[-L0)C,(0,1)D,(0,1]

【答案】D

【解析】

【分析】利用數(shù)形結合的方法，作出函數(shù)/(x)的圖象，由歹=/卜)與直線N=a有兩個交點，可得a

的取值范圍.

【詳解】依題意，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線丁=。有兩個交點，

作出函數(shù)圖象如下圖所示,

由圖可知，要使函數(shù)y=/（x）的圖象與直線y=a有兩個交點，則0<aWl

故選：D

8.已知g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)小h,有g色）—g㈤<0,若

a-b

g（M+g（加一2）〉0,則實數(shù)用的取值范圍是（）

A.（3,+00）B.（-8,3）c.（l,+oo）D.

【答案】D

【解析】

【分析】由烈止<0可得函數(shù)在定義域內單調遞減，用奇偶性可將關系式g（加）+g（〃?-2）>0

a-b

變形為g（M〉g（2-加），根據(jù)單調性就可以求出.

【詳解】對任意實數(shù)加b,有g（a）-g（b）<0,所以函數(shù)g（x）在/?上單調遞減,

a-b

又因為函數(shù)g（x）為定義在火上的奇函數(shù)，且g（加）+g（加一2）>0,則所以

機<2—m,2m<2,得加<1.

故選：D

二、多項選擇題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.

9.以下各式化簡結果為sina的有（）

A.cosatanaB.V1-cos2a

.3.4?3sinasina

C.sina+sina?cosa+sinacos2aD.----：--------：---

1+smal-sma

【答案】AC

【解析】

【分析】分別對每個選項式子進行化簡即可判斷.

cina

【詳解】對A,原式=cosa-----=sina,故A正確；

cosa

對B,原式=Jsin?、=卜in,故B錯誤；

對C,原式=sin3a+sinacos2a(cos2a+sin2a)

=sina+sinacosa=sina(sin~a+cos~a)=sina,故C正確;

2a2

sina(1-sina)-sina(1+sina)-2sin-2sina-2

對D,F^Ttan-a,故D錯誤.

(1+sina)(1-sina)1-sin2a

故選：AC.

10.下列說法正確的是()

4“比2>兒2，，是“￡/>/,，，的充分不必要條件

B.“刈>0”是“x+y>0”的必要不充分條件

C.命題“mceR,》2+1=0”的否定是“?。簚1<,X2+1N0”

D.D.已知a,b,ceR,方程+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0

【答案】AD

【解析】

【分析】A.由不等式的性質求解判斷；B.由不等式的性質求解判斷；C.由含有一個量詞的命題的否定

的定義求解判斷；D.將1代入方程求解判斷.

【詳解】A.由呢2>歷2,得02(4-6)>0,則。2>0，a-b>0,即a>6,故充分；由。>分，得

a-b>0,則c2(a-6)N0,故不必要；故正確；

B.由孫>0,得x〉0,y〉0或x<0,y<0,則x+y>o或x+y<0,故不充分；當x=-l,y=2

時，滿足x+y>。，但孫<0,故不必要，故錯誤；

C.命題“IceR,x2+1=0”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，即“VxeR,/+1/0，，，故錯

誤；

D.當a+b+c=0時，1為方程ar?+bx+c=0的一"根，故充分：當方程ax?+bx+c=0有一個根為

1時，代入得a+b+c=O,故必要，故正確；

故選：AD

11.下列不等式成立的是()

090302

A.0.2">O.2B.log。32>log。/C.log132<log122D.O.2<O.3-

【答案】BCD

【解析】

【分析】A.利用指數(shù)函數(shù)的單調性判斷得解；B.利用對數(shù)函數(shù)的單調性判斷得解；C.先利用對數(shù)運算化

簡，再利用對數(shù)函數(shù)的性質判斷得解；D.利用募函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性判斷得解.

【詳解】A.因為指數(shù)函數(shù)少=0.2，單調遞減，1.1〉0.9,所以0.2u<0.2"9,所以該選項錯誤；

B.因為對數(shù)函數(shù)y=log0.3X在定義域內單調遞減，2<3,所以10go.32>log0.33,所以該選項正確；

1g21g2

C.log2=——,log2=——,因為lg2>0,lgl.2>0,lgl.3>0,又lgL3>lgl.2,.1

l3lgl-3l2lgl.2

log,32<log,22,所以該選項正確;

0303

D.由幕函數(shù)y=X在(0,+。。)上單調遞增得O.2°3<0.3,由指數(shù)函數(shù)y=0.3、單調遞減得

0.3°3<0.3°-2，所以0.2°3<O,302.所以該選項正確.

故選：BCD

1—x

12.關于函數(shù)/(x)=lg——，下列命題正確的是()

1+x

A.對于任意XG(-1,1),都有/(X)+/(-X)=0；

B./(X)在(-1,1)上是增函數(shù)；

C.對于任意再,馬都有/區(qū))+/(》2)=/(：'+')：

1+再工2

D./?(x)=/(x)-x存在唯一的零點.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性、對數(shù)運算、零點等知識確定正確答案.

1y

【詳解】A選項，—>0,(x-l)(x+1)<0,-1<x<1,所以/(x)的定義域是(—1,1),

/(-x)=lg|i^=lg1-xI=—1g宗=—f(x),所以/(x)+/(—x)=0,所以A選項正確.

1-x1+x

1

B選項，/(0)=lgl=0,/(；)=lg-=lg；<0,所以B選項錯誤.

2

1-Xj1—X2、

c選項，/(xl)+/(x2)=lg^—^-+lg^-^=lg

人]人)玉

LIxI1+l+x27

]

/x+x、11+x,x

12=lg-------->7

(1+玉工2)]I再+%2

1+須々

所以c選項正確.

D選項，/(x)=lg1^=lg(：+\+2=lg(_]+^p),

l+xl+xIx+1)

所以/(x)在(-1,1)上單調遞減.

y=x在(-1,1)上單調遞增，

所以〃(x)=/(x)-X,在(一1,1)上單調遞減,

由于〃(0)=0,所以Mx)=/(x)-x存在唯一的零點，D選項正確.

故選：ACD

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

S1-1

13.計算1g；+21g2—(攵嘀4+83=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用指數(shù)基和對數(shù)的運算性質化簡即可得到結果.

51_±5--?5)1-5

[詳解]lg-+21g2-(-),O8l4+83=lg-+lg22-3-1O814+(23)J=lg-x4--+2-2=l.

23212/4

故答案為：1.

sin(一3兀+a)+cos(a—兀)

14.已知1@11(5兀+。)=2,則cosfa-^Lsin的值為.

I2}

【答案】3

【解析】

sin(一3兀+a)+cos(a-兀)tana+1

【分析】利用誘導公式得tana=2,對原式化簡得tana-1，代入數(shù)

據(jù)即可.

【詳解】因為1211(5兀+<?)=1211&=2,

sin(-371+a)+cos(a-7t)sin(兀+a)+cos(兀一a)一sina-cosa

所以cosf?-^Lsin'Tt\.(Tl一sina+cosa

cosa+—+sin—+a

I2JI2j(2.

sina+cosatana+10

=---------------=-----------=3.

sina-cosatana-1

故答案為：3.

15.函數(shù)/(x)=logcoslV2sinx-1的增區(qū)間為.

jr5兀1

【答案】2左兀+—,2%兀+—(A:6Z)

.26)

【解析】

【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，結合復合函數(shù)的單調性進行求解即可.

【點睛】因為/(x)=log8s"是減函數(shù)，

TT3兀

2kn+—<x<24兀H----(A￡Z)

22''時，函數(shù)單調遞增，

I2sinx-1>0

…?！?兀

2kn+—<x<2/ai+——

2Z兀+—<x<2kli+—(Z;GZ)

由《2222〃(ZreZk)

…?！?兀

2sinx-l>02^71H---<X<2/cJtH-----

66

7T3冗

2E+—<x<2hr+—(左￡Z),

26

兀5711/、

故答案為：2kn+二,2/CTI十(%GZ)

L26；

16.已知/(x)=lgx,a>0,b>0,若=則，+上+更華的最小值是_____.

a'bab-a+b

【答案】8

【解析】

【分析】先通過已知條件與對數(shù)函數(shù)性質得出“，b美系ab=\,再通過已知得出a+b>0,化簡

+工+粵得到a+h+一與,再通過基本不等式求解即可得出答案.

ababa+ba+b

【詳解】Q/(x)=lgx,若|/(砂=|/(時,

：.b=—,即=1,

a

?/a>0,b>0,

，Q+6>0

11I6ahLL生=*+苴…28

crbab2a+h61ba+baha+ba+b

當且僅當a+6=*-時取等號,

a+b

1116ab

———|-H------------的最小值是8.

a2bah2a+h

故答案為：8

四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知p：函數(shù)/)=(a-m)*在R上單調遞減，q：關于x的方程/-2“+°2-1=0的兩根都大于

1.

(1)當加=5時，p是真命題，求a的取值范圍；

(2)若p為真命題是g為真命題的充分不必要條件，求加的取值范圍.

【答案】(1)(5,6)；(2)m22.

【解析】

【分析】(1)由機=5,得到.危)=(a-5)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性求解；

(2)先根據(jù)命題為真，化簡命題p,q,然后根據(jù)p為真命題是《為真命題的充分不必要條件求解.

【詳解】(1)因為"7=5,所以/(x)=(a-5)X

因為p是真命題，

所以0<。-5<1,

解得5Va<6.

故。的取值范圍是(5,6)

(2)若p是真命題，則解得,"VaVm+l.

關于x的方程x2-2ax+a2-1=0的兩根分別為a-1和a+1.

若q是真命題，則解得。>2.

因為p為真命題是q為真命題的充分不必要條件,

所以加22.

18.已知函數(shù)“X)=廠++1(a>0)為奇函數(shù),且方程〃X)=2有且僅有一個實根.

ax

(1)求函數(shù)/(X)的解析式：

(2)設函數(shù)g(x)=ln/(e)求證：函數(shù)y=g(x)為偶函數(shù).

J+1

【答案】(1)/(》)=二士；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】⑴由函數(shù)/,(X)為奇函數(shù)可得人值，再由方程/(x)=2有唯一實根即可得解；

(2)利用(1)的結論求出g(x)的解析式并求出其定義域，再由奇偶函數(shù)定義討論即得.

【詳解】⑴因函數(shù)/(御=￡+”+1為奇函數(shù),則/(力=一/(力，

ax

即j2+bx+]=_(r)：b(：x)+l,化簡得2樂=0,得6=0,

axa[-x)

r2,i2,i

且方程/(x)=2有且僅有一個實根，得=1=2,即/_2如+1=0,

axax

所以(-4a『-4x4=0,得/=],而?！?,解得a=l,即有/(力=二±!,

所以函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=二3；

2.x.1

(2)由(1)知g(x)=Inf\ex)=ln()=In(由+e~r)>g(x)的定義域為R，

則g(一力=ln(e"+e")=g(x),

所以函數(shù)V=g(x)為偶函數(shù).

19.已知函數(shù)/(x)=log“(x—1)+2(a>0,且aHl),過點(3,3).

(1)求實數(shù)。的值；

⑵解關于x的不等式/(2、-3)</(12-2x+l).

【答案】⑴2(2){x\2<x<log25}

【解析】

【分析】

(1)將點(3,3)代入函數(shù)計算得到答案.

(2)根據(jù)函數(shù)的單調性和定義域得到1<2"-3<12-2向，解得答案.

【詳解】(1)/(3)=log?(3-1)+2=3,.1.log?2=1,.1.a=2.-./(x)=log2(x-l)+2.

(2)???/(x)=log2(x—1)+2的定義域為{x|x>l},并在其定義域內單調遞增，

v+lvX+1

."(2、-3)</(12-2),.-.l<2-3<12-2,不等式的解集為{x\2<x<log25).

【點睛】本題考查了函數(shù)解析式，利用函數(shù)單調性解不等式，意在考查學生對于函數(shù)知識的綜合應用.

20.設函數(shù)/(x)=4sin(2x+8)[z>0,0<e<、],函數(shù)/(x)的最小值為一2,且x=g為函數(shù)

/(x)的一個零點.

(1)求函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間；

JT

(2)若對任意的xe0,-,不等式/(x)〉加一3恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

5萬冗

【答案】(1)一瓦"+1肛五+無)(%GZ)

(2)(-00,4)

【解析】

【分析】(1)利用最小值和零點可求得/(x)的解析式，令一5+2版+2版'(ZeZ),解

不等式即可求得單調遞增區(qū)間；

(2)利用正弦型函數(shù)值域的求法可求得/(x)在0,-上的最小值，由加-3</(x)min可求得”的取

值范圍.

【小問1詳解】

??./(蟲「4=一2,.“=2：

,.?x=?為/（x）的一個零點，.?.吾+夕=左萬（左eZ）,解得：；.0=左萬一號（左eZ）,

L八兀，?(+。)

又o<°<5，：.（p=9?./(x)=2sin2x

3

令一工+2左乃421+2〈工+2左乃（左EZ）,解得：一包+人乃<x<2+左力?（左eZ）,

57r7C

\/（X）的單調遞增區(qū)間為一五+左肛五+左乃（左eZ）.

【小問2詳解】

,c兀71、c兀71兀5兀.(7711\

當xw0,一時，2x4—6-,—,sin2x—w?。?,2］；

4336I3J

??,對任意的xe0,—,/(x)>zn—3恒成立，.?.m—3</(x)mm=l，解得：加<4；

即實數(shù)用的取值范圍為（-8,4）.

21.興泉鐵路起于江西，途經(jīng)三明，最后抵達泉州（途經(jīng)站點如圖所示）.這條“客貨共用”鐵路是開發(fā)沿

線資源、服務革命老區(qū)的重要鐵路干線，是打通泉州港通往內陸鐵路貨運的重要方式，將進一步促進山

海協(xié)作，同時也將結束多個山區(qū)縣不通客貨鐵路的歷史.目前，江西興國至清流段已于2021年9月底開

通運營，清流至泉州段也具備了開通運營條件，即將全線通車.預期該路線通車后，列車的發(fā)車時間間

隔f（單位：分鐘）滿足24/M20.經(jīng)市場調研測算，列車載客量與發(fā)車時間間隔/相關，當

10W/W20時列車為滿載狀態(tài)，載客量為720人；當2<t<10時，載客量會減少，減少的人數(shù)與

（12-。的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為3分鐘時的載客量為396人.記列車載客量為夕。）.

興泉鐵路線路圖：

江西

宇都縣福建

興國縣,?、石城縣明溪縣三明市

，/:清曙界.二;力興泉鐵路

于郊縣永安市'、、、、&縣

’、、、德化縣

永春縣.

安溪縣V雪

泉州市

（1）求的表達式;

（2）若該線路每分鐘的凈收益為0（/）=2。（/）-360-60（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每

分鐘的凈收益最大，并求出最大值.

-4/2+96Z+144,2</<10

【答案】(1)"(7)=<

720,10<Z<20

(2)時間間隔為3分鐘時，每分鐘的凈收益最大為84元

【分析】(1)當lOWf<20時，p")=720,當2Wf<10時，可設p(f)=720-叔12-抒，由題可求出〃

,即可得到答案.

72

132-8/--,2</<10

(2)由(1)知：。(。=<1Aon’,結合基本不等式和函數(shù)單調性即可求出的凈收益

^-60,10</<20

最大值.

【小問1詳解】

由題知，當10W/<20時，0。)=720

當2口<10時，可設°。)=720-左(12T

又發(fā)車時間間隔為3分鐘時的載客量為396人,

p(3)=720/(12-3)2=3%,解得攵=4.

此時p(f)=720-4x(12-/)?=-4/+96.+144,2</<10

-4r2+96?+144,2</<10

p(t)=-

720,10<f<20

【小問2詳解】

72

132—8/----,2￡Z<10

由(1)知：。(。=,

-^-60,10</<20

,.?2Wf<10時，4132-2做—=84,當且僅當尸3等號成立,

...2Wf<10時，。⑺1ra-33)=84,

當104Y20上,。⑴單調遞減,則。⑺M=0(10)=48,

綜上，時間間隔為3分鐘時，每分鐘的凈收益最大為84元.

22.己知函數(shù)/(%)=刀2+3,一4(4€火).

⑴若〃X）在上的最大值和最小值分別記為M（a）,加⑷,求“⑷一加（。）；

（2）設beR,若|/（x）+q