2014-2023年天津高考真題和模擬題：立體幾何與空間向量（選擇填空題）（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2014-2023）與優(yōu)質(zhì)模擬題（天津卷）

專(zhuān)題09立體幾何與空間向量（選擇填空題）

真題匯總口

1.【2023年天津卷08】在三棱錐P-4BC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM=[PC,線段PB上的點(diǎn)N滿足PN=

\PB,則三棱錐P—4MN和三棱錐P—48c的體積之比為（）

1214

A.-B.-C.-D.-

9939

【答案】B

【詳解】如圖，分別過(guò)MC作MMUPACC'1P4,垂足分別為M'C.過(guò)B作BBT平面PAC,垂足為B',連

接PB',過(guò)N作NN'_LPB',垂足為N'.

因?yàn)锽B'l平面P4C,88'<=平面「8夕，所以平面PBB'1平面P4C.

又因?yàn)槠矫鍼BB'CI平面P4C=PB',NN'1PB',NN'u平面PBBI所以NN'1平面24C,S.BB'//NN'.

在APCC'中，因?yàn)镸M'_L24,CC'，P4，所以所以等=器=5

在△PB8'中，因?yàn)锽B7/NN',所以"="=三，

PBBB3

所以生"型="P4M=*APAM.NN'=需=2

Vp-ABCVB-PAC―-9,

故選：B

2.【2022年天津卷08]如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三

棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【詳解】該幾何體由直三棱柱4FD-BHC及直三棱柱。GC-4EB組成，作HM1CB于M,如圖,

因?yàn)镃H=BH=3.Z.CHB=120",所以CM=BM=述,HM=

22

因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以48=BC=3b，

在直棱柱”。-BHC中，ABJ■平面BHC,則4B±HM,

由4BnBC=B可得HMJ_平面4CCB,

設(shè)重疊后的EG與FH交點(diǎn)為/,

則*血=1x3V3x3V3x|=日■MFD-BHC=：x3遍x|x3b=?

則該幾何體的體積為V=2VAFD_BHC-VI-BCDA=2x號(hào)一§=27.

故選：D.

3.【2021年天津06】?jī)蓚€(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為等,兩個(gè)圓錐

的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.37TB.47rC.9TTD.127r

【答案】B

【解析】

如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D,

設(shè)圓錐4D和圓錐8。的高之比為3:1,即4。=3BD,

設(shè)球的半徑為R，則皿=也，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1,AD=3,

???CDLAB,RUC/ID+^ACD=ABCD+AACD=90",所以，4CAD=4BCD,

又因?yàn)镹4CC=NBDC,所以，4ACDfCBD,

所以，CL）DUCD=7AD-BD=V3,

因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為:兀x.（4。+8。）=17rx3x4=47r.

故選：B.

4.【2020年天津卷05］若棱長(zhǎng)為2國(guó)的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.127rB.247rC.367rD.1447r

【答案】c

【解析】

這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，

即”本可+（2；），（2時(shí)一,

2

所以，這個(gè)球的表面積為S=4兀/?2=4TTx3=367r.

故選：C.

5.【2016年天津文科03】將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯

視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為（)

正視圖

俯視圖

【答案】解：由主視圖和俯視圖可知切去的棱錐為。-AUC,

棱CD\在左側(cè)面的投影為BA\,

故選：B.

6.[2019年天津文科12]已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為企的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為近.若圓柱的一個(gè)底面的

圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為一.

【答案】解：由題作圖可知，四棱錐底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2,且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱錐的高為2,

由于圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，

有圓柱的上底面直徑為底面正方形對(duì)角線的一半等于1,即半徑等于今

由相似比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半1,

則該圓柱的體積為：v=sh=n（1）2xl=*

n

故答案為：一

4

7.【2019年天津理科11】已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為近的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為遙.若圓柱的一個(gè)底面的圓

周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為一.

【答案】解：山題作圖可知，四棱錐底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2,且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱錐的高為2,

由于圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，

有圓柱的上底面直徑為底面正方形對(duì)角線的一半等于1,即半徑等于點(diǎn)

由相似比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半1,

則該圓柱的體積為：產(chǎn)“7=兀（7）2xl=

24

71

故答案為：一

4

8.【2018年天津理科11】已知正方體ABC。-481Goi的棱長(zhǎng)為1,除面ABC。外，該正方體其余各面的

中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M（如圖），則四棱錐M-E尸GH的體積為.

【答案】解：正方體的棱長(zhǎng)為1，M-EFG”的底面是正方形的邊長(zhǎng)為：y,

四棱錐是正四棱錐，棱錐的高為:

2

四棱錐M-EFG”的體積：（三）x-=—.

1

故答案為f：—

9.【2018年天津文科11]如圖，已知正方體ABCC-481C1Q的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐4-8助。1￡＞的體積

為.

【答案】解：由題意可知四棱錐4-881。。的底面是矩形，邊長(zhǎng)：1和VL

四棱錐的高：|A,C]=^.

1/—\[2.1

則四棱錐4-38i￡)]￡)的體積為：-xlxv2x—=-.

故答案為：

10.【2017年天津理科10】已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18,則這

個(gè)球的體積為.

【答案】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為〃，

???這個(gè)正方體的表面積為18,

***6〃~=18,

則/=3,即a=>/3,

；一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，

正方體的體對(duì)角線等于球的直徑，

即岳=2/?,

即R=

則球的體積丫=3?（|）J岑；

97r

故答案為：y.

11.【2017年天津文科11】已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18,則這

個(gè)球的體積為.

【答案】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，

?.?這個(gè)正方體的表面積為18,

,6。2=18,

則<r=3,即a=V3,

???一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，

,正方體的體對(duì)角線等于球的直徑，

即偏=2R,

即R=|,

則球的體積丫=，:?（|）3=

97r

故答案為：

12.【2016年天津理科11】己知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：山），

則該四棱錐的體積為，帝

【答案】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，

棱錐的底面是底為2,高為1的平行四邊形，故底面面積S=2xl=2,〃2,

棱錐的高/?=3m,

故體積V=gsh=2m3,

故答案為：2

13.【2015年天津理科10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為/?3.

視圖

俯視圖

【答案】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；

該幾何體是底面相同的圓柱與兩個(gè)圓錐的組合體，

且圓柱底面圓的半徑為1,高為2,圓錐底面圓的半徑為1,高為1：

該幾何體的體積為

V）lf?JW=2X17t?l2xl+；fl2?2

=?兀.

8

故答案為：-JT.

14.【2015年天津文科10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：機(jī)），則該幾何體的體積為.m.

惻視圖

俯視圖

【答案】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；

該幾何體是底面相同的圓柱與兩個(gè)圓錐的組合體，

且圓柱底面圓的半徑為1,高為2,圓錐底面圓的半徑為1,高為1：

，該幾何體的體積為

V幾何體=2x1~xI+n?12?2

=弓兀.

8

故答案為：-7t.

15.【2014年天津理科10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：機(jī)），則該幾何體的體積為m3.

俯視圖

【答案】解：由三視圖知：兒何體是圓錐與圓柱的組合體,

其中圓柱的高為4,底面直徑為2,圓錐的高為2,底面直徑為4,

幾何體的體積V=?tx1~x4+jX7tx2-x2=4?t+耳兀=-y-n.

故答案為：丁.

16.【2014年天津文科10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位："），則該幾何體的體積為m3.

*=*I.2al

【答案】解：由三視圖知：幾何體是圓錐與圓柱的組合體，

其中圓柱的高為4,底面直徑為2,圓錐的高為2,底面直徑為4,

幾何體的體積V=7txl2x4+1X7tx22x2=47r+17r=至兀.

~20

故答案為：—7T.

模擬好題

1.【天津市耀華中學(xué)2023屆高三二?！眶兆樱欧Q(chēng)“角黍”，早在春秋時(shí)期就已出現(xiàn)，到晉代成為了端午節(jié)

的節(jié)慶食物.現(xiàn)將兩個(gè)正四面體進(jìn)行拼接，得到如圖所示的粽子形狀的六面體，其中點(diǎn)G在線段C。（含端

點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，若此六面體的體積為日，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.EF=2B.EF=4

C.EG+FG的最小值為3及D.EG+FG的最小值為2遍

【答案】D

【詳解】設(shè)EF=a,則正四面體的高為Ja2_（與j=華①

因?yàn)榱骟w的體積崎所以2、"加x等若，解得a=2四，

EG+FG的最小值為等邊三角形EC。高的2倍，即2xV6=2限,

故選：D

2.【天津市九校聯(lián)考2023屆高三模擬】中國(guó)雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工

的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐.1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，

他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng)，是中國(guó)玉雕工藝的一個(gè)重大突破.今一雕刻

大師在棱長(zhǎng)為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，在球內(nèi)部又套雕出一個(gè)正四面體（所

有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為（）

A.4V6B.473C.2A/6D.6

【答案】A

【詳解】由題意，球是正方體的內(nèi)切球，且該球?yàn)檎拿骟w的外接球時(shí)，四面體的棱長(zhǎng)最大,

則該球半徑r=6,如圖：

P

可知E為外接球球心，EP=EB=r,PD_L平面4BC,。為底面等邊△4BC的中心,

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為d,則B0=|x4d=gd,PD=Jd2—《d）2=^d，

在RSEDB中，則EB2=E"+DB2,即產(chǎn)=（為）2+（當(dāng)d-r）2,

解得d=~~r'即d=4網(wǎng),

故選：A

3.【天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期統(tǒng)練22】戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的銅鑲是一種兵器，其

由兩部分組成，前段是高為3cm、底面邊長(zhǎng)為2cm的正三棱錐，后段是高為1cm的圓柱，圓柱底面圓與正

三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅銀的體積為（）

A.V3+^cm3B.3+巴cn?

333

C.遮+巨cm3D.3+&cm3

434

【答案】A

【詳解】由題意，銅鑲的直觀圖如圖所示，

三棱錐的體積％=^x3x工x2x2x3=V3cm3,

1322

因?yàn)閳A柱的底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，

所以圓柱的底面圓的半徑丁=專(zhuān)cm,所以圓柱的體積彩=1xyrx（卷）=^cm3

所以此銅鑲的體積為遮+^cm3

故選：A.

4.【天津市市區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一?！课覈?guó)有著豐富悠久的“印章文化”，古時(shí)候的印章一般用

貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時(shí)代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為

裝飾物來(lái)使用.圖1是明清時(shí)期的一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正

四棱錐組成的幾何體，如圖2.己知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長(zhǎng)均為4,若該幾何體的所有頂

點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是（）

D.48n

【答案】C

【詳解】底面邊長(zhǎng)為4,底面的對(duì)角線長(zhǎng)為4位.

設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為兒外接球的半徑為R,

則固+（竽）=R\

R=h+-

v2

解得h=2,R=3,

所以外接球的表面積為4nx32=36n.

故選：C

5.【天津市河西區(qū)2023屆高三一模】截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟嵌玫?如

圖，將棱長(zhǎng)為6的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面截角得到所有棱長(zhǎng)均為2的截角四面體,

四

C46D.16企

,3

【答案】c

【詳解】截角四面體的體積為大正四面體的體積減去四個(gè)相等的小正四面體體積,

因?yàn)槔忾L(zhǎng)為1的正四面體的高h(yuǎn)=Ji-gx^)2=/

則棱長(zhǎng)為1的正四面體的體積匕=^X立X12x^=立，

134312

所以該截角四面體的體積為V=^X63-4X^X23=^.

12123

故選：C.

6.【天津市五所重點(diǎn)校2023屆高三一?！吭谥袊?guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作仇章算術(shù)》中，稱(chēng)圖中的多面體

4BCDEF為“芻薨”.書(shū)中描述了芻蔑的體積計(jì)算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘

之，六而一，即U=X2AB+EF)xADx/i,其中九是芻薨的高，即點(diǎn)尸到平面力BCD的距離.若底面4BCD是

O

邊長(zhǎng)為4的正方形，EF=2,且"7/4B,ZMOE和ABC尸是等腰三角形，^AED=^BFC=90°,則該芻薨

的體積為()

AB

A.2B.竺更C.10V3D.史

333

【答案】B

【詳解】如圖所示，

設(shè)點(diǎn)F在底面的射影為G,H,M分別為BC,力。的中點(diǎn)，

連接EM,

則FG即為芻費(fèi)的高，

\i]EF//AB,4Bu平面ABCD,EFC平面力BCD,

所以E/:7/平面ABCD,

又EFu平面EFHM,且平面ABCDn平面EFHM=MH,

所以EF〃MH,

在“芻薨，，中，a/IDE和尸是等腰三角形，

所以G一定在MH上，

由題意底面4BCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF=2,

可知GH=1,

在ABCF是等腰直角三角形，且4BFC=90°,

所以FH=：BC=2,

所以FG=7FH2-GH2=V22-I2=百，

所以V=2x(2x4+2)x4xU=—.

故選：B.

7.【天津市2023屆高三高考前最后一卷】木升在古代多用來(lái)盛裝糧食作物，是農(nóng)家必備的用具，如圖為一

升制木升，某同學(xué)制作了一個(gè)高為40cm的正四棱臺(tái)木升模型，已知該正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為

50cm的球O的球面上，且一個(gè)底面的中心與球。的球心重合，則該正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角的正

弦值為()

【答案】A

【詳解】如圖：正四棱臺(tái)，由題意可知：。是底面正方形的中心也是球。的球心，

且R=50=\OB\,\OO'\=40,所以|BC|=5072,\O'B'\=y/R2-\OO,\2=x/502-402=30,進(jìn)而可得

\B'C'\=30V2,

取BC的中點(diǎn)為N,過(guò)B'C’的中點(diǎn)P作PM1ON,連接PN,

所以|OM|=\O'P\=\\B'A'\=15V2,|O/V|=25或,故=\ON\-\OM\=10位,

在直角三角形PMN中，takPNM=霽=磊=2四，故siMPNM=

由于PN1BC,ON1BC,所以“NM即為正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角,故正弦值為學(xué),

8.【天津市十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校2023屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考（二”“阿基米德多面體”被稱(chēng)為半正多面體

（semi-regularsolid）,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.如圖所示,

將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、

六個(gè)面為正方形的一種半正多面體.己知正方體邊長(zhǎng)為6,則該半正多面體外接球的表面積為（）

A.48nB.56TIC.64KD.72Tl

【答案】D

如圖，由半正多面體的對(duì)稱(chēng)性可知，其對(duì)稱(chēng)中心與相應(yīng)的正方體的對(duì)稱(chēng)中心是同一點(diǎn)，

其對(duì)稱(chēng)中心為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)0,點(diǎn)。在平面A8C的投影點(diǎn)為。1，

則有。。1=3,4。1=3,所以40=+40/=3近，

故該半正多面體的外接球的半徑為3夜，外接球的表面積為4nx（3V2）2=727r.

故選：D

9.【天津市咸水沽第一中學(xué)2023屆高三押題卷（五）】中國(guó)古代數(shù)學(xué)家很早就對(duì)空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的

研究，中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式.

例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱(chēng)方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解.下圖（1）為俯視圖,

圖（2）為立體切面圖.E對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體：比F對(duì)應(yīng)四個(gè)三棱柱，4C/.G對(duì)應(yīng)四

個(gè)四棱錐.若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12,四個(gè)四棱錐的體積之和為4,則該正四棱臺(tái)的體積為（）

圖⑴圖（2）

A.24B.28C.32D.36

【答案】B

【詳解】如圖，令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為“，高為九三棱柱的高為乩

依題意，四棱錐的體積1a2h=1,即。2八=3,三棱柱的體積1a/ib=3,即有aM=6,

因此b=2a,于是長(zhǎng)方體的體積U=b2h=4a2h=12.

所以該正四棱臺(tái)的體積為12+4+12=28.

故選：B

10.【天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)2023屆高三下學(xué)期第一次熱身練】某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，

制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為4遮的正方體的六個(gè)面所截后剩余

的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為4m則該球的表面積為（）

【答案】A

【詳解】由題意可得，球心到截面圓所在平面的距離4=越=2K，

2

設(shè)截面圓的半徑為r,球的半徑為R,則2nr=4n,解得r=2,所以R=V7盯苕=4，

所以該球的表面積為4TT/?2=64n.

故選：A.

11.【天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)2023屆高三下學(xué)期十二校聯(lián)考（二）】如圖是某機(jī)械零件的幾何結(jié)構(gòu)，

該幾何體是由兩個(gè)相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對(duì)稱(chēng)，每個(gè)四棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為2

的正方形，高為4,且兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直，則這個(gè)幾何體的體積為（）

C

32-8V2-32TD.32—竺在

3

【答案】D

【詳解】?jī)蓚€(gè)四棱柱的體積和=2x2x2x4=32,交叉部分的體積為四棱柱S-ABCQ的體積的2倍.

在等腰三角形A8S中，SB=2V2,邊S3上的高為2,則亂4=遍.

所以，由該幾何體前后、左右、上下均對(duì)稱(chēng)，知：四邊形A8C。為邊長(zhǎng)為灰的菱形.

設(shè)AC的中點(diǎn)為“，連接由題意，得SH為四棱錐&ABC。的高.

AC=SB=2V2，所以AH=&.，在Rt^ABH+,BH=>JAB2-AH2=V6^2=2.

所以SABCO=2xIx2V2x2=4A/2.

因?yàn)锽H=SH，所以%YBCD=(xSABCDx2=1x4V2x2=^.

所以這個(gè)幾何體的體積V=32-晅x2=32—竺它.

33

故選：D.

12.【天津市部分區(qū)2023屆高三下學(xué)期一?！堪＜昂蚪鹱炙枪糯澜缃ㄖ孥E之一，它的形狀可視為

一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐側(cè)面積的一半，那么其側(cè)面三角形底邊

上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

A旦B.@C.四D.四

4242

【答案】D

【詳解】設(shè)正四棱錐的高為力，底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)面三角形底邊上的高為"，則

（h2=4x-x-ah'

HK*—rw22

因此有

h2=h'2-g）2=ah'，即㈢2一>：=°，解得￡=萼，

因?yàn)?>0,

a

所以生=9

a2

所以側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為業(yè)

2

故選：D.

13.【天津市十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校2023屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考（一）】如圖,幾何體Q為一個(gè)圓柱和圓錐的組

合體，圓錐的底面和圓柱的一個(gè)底面重合，圓錐的頂點(diǎn)為4,圓柱的上、下底面的圓心分別為B、C,若該

幾何體。存在外接球（即圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周在球面上,且圓柱的底面圓周也在球面上）.已知8C=2AB=

4,則該組合體的體積等于（）

A

70

A.56nB.C.43TTD.647T

【答案】A

【詳解】設(shè)該組合體外接球的球心為0,半徑為R,易知球心在BC中點(diǎn)，則R=4。=2+2=4.

則圓柱的底面半徑為r=J42—（4一2-=2V3,

則該組合體的體積等于U=|n(2V3)2x2+itX(2V3)2X4=56TT.

故選：A

A

14.【天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)2023屆高三三模】蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，

蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球

的活動(dòng)，類(lèi)似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非

物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,四面體ABCC的體積為遮，8。經(jīng)過(guò)該鞠的

6

中心，§.AB=BC=1,AB1BC,則該鞠的表面積為（）

A.2兀B.167TC.8nD.4H

【答案】D

【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)連接與球。交于另一點(diǎn)N,連接OM,DN,

易知AC為圓面ABC的直徑，0Ml平面ABC,

因?yàn)?。，M分別為8/),8N的中點(diǎn)，所以O(shè)M〃DN,

所以。N_L平面ABC,

7YD-ABC=|xixlxlxD/V=—--'.DN=V2，

326

即。M=蟲(chóng)，在RtZiABC中，AB=BC=1,

2

BM=辿，BO=/?=1,?,?球O的表面積為S=4nR2=47r.

2

故選：D.

15.【天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)2023屆高考全真模擬檢測(cè)】科技是一個(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民

族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)(如圖1)是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮

空器.2022年5月，“極目一號(hào)”山型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過(guò)

珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力.“極目一號(hào)”H1型浮空

艇長(zhǎng)55米，高19米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極

目一號(hào)“HI型浮空艇的體積約為()

(參考數(shù)據(jù)：9.52?90,9.53?857,315x1005?316600,ir?3.14)

A.9064m3B.9004m3C.8944m3D.8884m3

【答案】A

【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為R=y=9.5(m),而圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為r=1

(m),

則匕產(chǎn)厚=3x(xnx9.53a(m3),

=TrX9.52x14?1260n(m3),

V圓臺(tái)=1x(9.521T+\/9.52ITxn+ir)x31.5?(m3),

所以V=V半球+匕魏+%令a詈n+1260n+等口"9064(m3).

故選：A.

16.【天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三考前熱身訓(xùn)練】距今5000年以上的仰韶遺址表明，我們的先人們居住的

是一種茅屋，如圖1所示，該茅屋主體是一個(gè)正四棱錐，側(cè)面是正三角形，且在茅屋的一側(cè)建有一個(gè)入戶

甬道，甬道形似從一個(gè)直三棱柱上由茅屋一個(gè)側(cè)面截取而得的幾何體，一端與茅屋的這個(gè)側(cè)面連在一起，

另一端是一個(gè)等腰直角三角形.圖2是該茅屋主體的直觀圖，其中正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,BC||EF,AB=

AC=2V2m，AB14C,點(diǎn)。在正四棱錐的斜高PH上，AD1平面ABCO.AD=3戊m.不考慮建筑材料的

厚度，則這個(gè)茅屋(含甬道)的室內(nèi)容積為()

A.空四n?B.空四C.竺適n?D.44V2m3

333

【答案】B

【詳解】設(shè)。為正四棱錐底面中心，連接PO,0H,

AP0=VPH2-OH2=3A/2>tan乙PH。=—=V2,

取BC的中點(diǎn)M,連接AM,過(guò)。作DG1。"于G,則OG=AM=2.

在直角ADG"56"=惠而=&-

過(guò)E作EN〃/18交4。于N,連接NF.

則AN=AD-DN=2VL

所求體積V=V四棱錐+^ABC-NEF+^D-NEF

223

=-。x6x6x3V2+-乙x(2V2)x2V2+-。x-乙x(2V2)xV2=—。V2(m)

故選：B

17.【天津市和平區(qū)2023屆高三二模】如圖甲是一水晶飾品，其對(duì)應(yīng)的兒何體叫星形八面體，也叫八角星

體，是一種二復(fù)合四面體，它是由兩個(gè)有共同中心的正四面體交叉組合而成且所有面都是全等的小正三角

形，如圖乙所示.若一星形八面體中兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)均為2,則該星形八面體體積為()

C11四D,這

?124

【答案】A

【詳解】由題意可知星行八面體體積為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的大正四面體與四個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正四面體的體積之和,

故該星形八面體體積為U邛x23+4x*13=匠

故選：A.

18.【天津市部分區(qū)2023屆高三二?！考t薯于1593年被商人陳振龍引入中國(guó)，也叫甘薯、番薯等，因其生

食多汁、熟食如蜜，成為人們喜愛(ài)的美食甜點(diǎn).敦敦和融融在步行街買(mǎi)了一根香氣撲鼻的烤紅薯，準(zhǔn)備分著

吃.如圖，該紅薯可近似看作三個(gè)部分：左邊部分是半徑為R的半球；中間部分是底面半徑是為R、高為2R的

圓柱；右邊部分是底面半徑為R、高為R的圓錐，若敦敦準(zhǔn)備從中間部分的4處將紅薯切成兩塊，則兩塊紅

薯體積差的絕對(duì)值為（）

A.B.|nR3C."R3D.TT/?3

【答案】A

【詳解】由題意可知，兩塊紅薯體積差的絕對(duì)值為L(zhǎng)xmR3+nR2.R—5R2.R+）2.R）|

=I—R3--/?3|=-R3.

I33I3

故選：A.

19.【天津市新華中學(xué)2023屆高三下學(xué)期統(tǒng)練7】燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們

便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下

兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個(gè)球冠）.如圖2,球冠是由球面被一個(gè)平面截

得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑為R,球冠的高為七則球冠的

面積S=2nR/i.已知該燈籠的高為40cm,圓柱的高為4cm,圓柱的底面圓直徑為24cm,則圍成該燈籠所需

布料的面積為（）

圖1圖2

A.1536ncm2B.1472ncm2

C.1824TTcm2D.1760ncm2

【答案】B

【詳解】由題意得圓柱的底面圓直徑為24cm,半徑為12cm,即球冠底面圓半徑為12cm.

已知該燈籠的高為40cm,圓柱的高為4cm,所以該燈籠去掉圓柱部分的高為40-8=32cm,

所以R2-（―y-）2=122,得R=20cm,/i=20-16=4cm,

所以?xún)蓚€(gè)球冠的表面積之和為2s=4nR/i=320ncm2,

燈籠中間球面的表面積為4TTR2_320TT=1280ncm2.

因?yàn)樯喜穬蓚€(gè)圓柱的側(cè)面積之和為2x24TTx4=192ncm2,

所以圍成該燈籠所需布料的面積為1280TT+192Tt=1472Ticm2.

故選：B.

20.【天津市耀華中學(xué)2023屆高三一?！吭谥袊?guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中，稱(chēng)圖中的多面體A88EP

為“芻薨”，書(shū)中描述了芻薨的體積計(jì)算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而

一，即U=+其中。是芻薨的高，即點(diǎn)尸到平面ABCO的距離.若底面A8CO是邊長(zhǎng)為

4的正方形，EF=2且EF〃平面A8CZ）,△4DE和△BCF是等腰三角形，AAED=ABFC=90°,則該芻費(fèi)

的體積為（）

A*B.C.10V3D.史

333

【答案】B

【詳解】取4。,8c中點(diǎn)M,N,連接EM,MN,NF,如圖,

由正方形4BC。知，MN//AB,MN1AD,而A4DE為等腰三角形，且/4ED=90。，

即有EM1AD,EMC}MN=M,EM,MNu平面EMN,則4D_L平面EMN,

同理8cl平面MNF,而40〃8C,于是4。1?平面MNF,則點(diǎn)尸在平面EMN內(nèi)，

而力。u平面XBCD,于是平面EMNFL平面48CD,在平面EMNF內(nèi)過(guò)E作￡7/_LMN于H,

而平面EMNF。平面ABCD=MN,因此￡77JL平面Z8CD,

因?yàn)?8FC=90。，ZkBCF是等腰三角形，則EM=FN=；8C=2,

因?yàn)镋F//平面ABCD,平面EMNFC平面4BCD=MN,EFu平面EMNF,

則EF〃MN,四邊形EMNF為等腰梯形，MN=AB=4,

因此EH=JE“2_(笠變產(chǎn)=V2Z-I2=V3,

所以該芻薨的體積為V=-(2AB+EF)?4。?EH=工X(2x4+2)x4X百=—.

663

故選：B

21.【天津市濱海新區(qū)2023屆高三三?！磕惩瑢W(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如

圖所示：底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AEAB,4FBC,△GCD,△HDA均為正三角形，且它們所在的

平面都與平面4BCD垂直，則該包裝盒的容積為()

C.10V3D.20

【答案】A

/

【詳解】

將幾何體補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，如圖所示，

A2F-泊G-1,

2222

BA2=yjBF-A2F=V2-l=V3,

所以則該包裝盒的容積為：

^ABCD-AABXCXDA~4匕一力〔EH，

=2x2xV3-4[ixQxlxl）xV3],

=4V3-|V3,

故選：A.

22.【天津市和平區(qū)2023屆高三下學(xué)期一模】為慶祝國(guó)慶，立德中學(xué)將舉行全校師生游園活動(dòng)，其中有一

游戲項(xiàng)目是夾彈珠.如圖，四個(gè)半徑都是1cm的玻璃彈珠放在一個(gè)半球面形狀的容器中，每顆彈珠的頂端

恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個(gè)容器的容積是（）

C.2（5+3V3）Ttcm

【答案】B

【詳解】分別作出四個(gè)小球和容器的正視圖和俯視圖，如圖所示:

正視圖中小球球心B,半球球心。與切點(diǎn)A構(gòu)成直角三角形，則有0弟+482=082,

俯視圖中，四個(gè)小球球心的連線圍成正方形，正方形的中心到球心的距離。遇1與正視圖中的。4相等，設(shè)

半球半徑為R,已知小球半徑片1,二0A=V2,AB=1,OB=M，R=0B+r=V5+l.

半球面形狀的容器的容積是V=|xin/?3=|xix（V3+l）3TT=婦簪.

故選：B

23.【天津市新華中學(xué)2023屆高三下學(xué)期統(tǒng)練（3）】足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的

含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，已知某“鞠”

的表面上有四個(gè)點(diǎn)P,4B,C,滿足P4=2,PAIffiABC,ACLBC,若8c="則該“鞠”的體積的最小

值為（）

A.這nB.隨nC.-nD.-n

3328

【答案】B

【詳解】因?yàn)镻4=2,PAIffilABC,ACLBC,

故AB為三角形ABC所在小圓的直徑，取A8中點(diǎn)。'，過(guò)。'作0'0〃4P,交BP于點(diǎn)O,則。即為球心，P8

為球的直徑，

要想該“鞠”的體積最小，只需PB最小，由于PB=y/PA2+AB2=山+/,

故只需AB最小，其中4B=y/AC2+BC2^

1119

HLVP-ABC=3^4SCPA=^x^ACBCx2=~,

解得：ACBC=2,

由基本不等式得：AC2+BC2>2AC-BC=4,當(dāng)且僅當(dāng)4c=8C=或時(shí)，等號(hào)成立，

故力B最小值為2,此時(shí)直徑最小值為PB=V4+22=2近，

所以該“鞠”的體積最小值為軻我『=竽1T

故選：B

24.【天津市2023屆高三二?！咳鐖D所示，有一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體P—ABC容器，。是PB的中點(diǎn)，E是

CD上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

①若E是CD的中點(diǎn)，則直線AE與PB所成角為］

②△ABE的周長(zhǎng)最小值為4+V34

③如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為漁

3

④如果在這個(gè)容器中放入10個(gè)完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為乃-2

A.①②B.①③C.②④D.①③④

【答案】D

【詳解】對(duì)于①：連接4D，

在正四面體P-4BC中，。是P8的中點(diǎn)，所以PBJ.4D,PBJ.CD.

因?yàn)锳Cu平面4CC,CDu平面4CD,ADClCD=D,

所以直線P8_L平面4CD,

因?yàn)?Eu平面4CD,

所以PBJ.4E,所以直線4E與PB所成角為今故①正確；

對(duì)于②，如圖，把△4CC沿著C。展開(kāi)與面BDC同一個(gè)平面內(nèi)，則周長(zhǎng)最小值為4+4B,

由AD=CD=2V3，AC=4,cosZ-ADC==i

"上24”。C"D〃叱3（

所以COSNADB=cosQ+N/WC）=-sin^ADC=-苧

所以482=2?+（2b『-2x2X2^X（-苧）=16+竽力34,所以他力南，所以zMBE的周長(zhǎng)最

小值為4+舊不正確，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，要使小球半徑最大，則小球與四個(gè)面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為R.

由等體積法可得4-we=^S-BC?h=GSQR,所以半徑R=工=匹X4=漁.故③正確；

對(duì)于④，10個(gè)小球分三層（1個(gè)，3個(gè)，6個(gè)）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個(gè)面相切，

設(shè)小球半徑為r,四個(gè)角小球球心連線M-NGF是棱長(zhǎng)為4r的正四面體，其高為延人由正四面體內(nèi)切球的

3

半徑是高的;得，

4

如圖正四面體P-H〃，

則MP=3r,正四面體P—4BC高為3r+3+r=在X4,得廠=通—2.故④正確.

33

故選：D

25.【天津教研聯(lián)盟2023屆高三一?！繑?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中

之一.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分.如圖，

在勒洛四面體中，正四面體4BCD的棱長(zhǎng)為4,則下列結(jié)論正確的是（）

A.勒洛四面體最大的截面是正三角形

B.若P、Q是勒洛四面體4BCD表面上的任意兩點(diǎn)，則PQ的最大值為4

C.勒洛四面體4BCD的體積是8遍幾

D.勒洛四面體48CD內(nèi)切球的半徑是4—遍

【答案】D

【詳解】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過(guò)四面體4BC0表面的截面，如圖1所示，故

A不正確；

將正四面體對(duì)棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時(shí)連線長(zhǎng)度最大，如下圖所示：

連接PQ，交48r中點(diǎn)S,交于中點(diǎn)7,連接AT,易得AT=742一〃=2遍,

則S7=y/AT2-AS2=/（2V3）2-22=2或，

而7P=SQ=V42-22=2V3.

所以PQ=2百一2&+2百=4V3-2V2>4.

故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于4,故B錯(cuò)誤，

如圖2,由對(duì)稱(chēng)性可知勒洛四面體內(nèi)切球的球心。是正四面體4BCD外接球的球心，

連接8。并延長(zhǎng)交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)E,則0E就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑.

如圖3,在正四面體4BC0中，M為△BCD的中心，。是正四面體4BCD外接球的球心,

連接BM、BO、AM,由正四面體的性質(zhì)可知。在4M上.

因?yàn)?8=4,所以BM=|X=竽，則4M=心-（竽?=竽?

因?yàn)?。2=BM2+0M2=（AM-0M）2,

即=（竽）+0M2=（等-0M），解得80=6,

則正四面體4BCD外接球的體積是gnR3=（口x（V6）3=8乃n,

而勒洛四面體ABCD的體積小于其外接球的體積，C錯(cuò)誤；

因?yàn)锽E=48=4,所以0E=4-乃，

所以，勒洛四面體ABC。內(nèi)切球的半徑是4一聲，則D正確.

圖1圖2圖3

26.【天津市河北區(qū)2023屆高三一?！拷?/p>