上海國(guó)際中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

上海國(guó)際中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若log6a=log7b，則a、b、1的大小關(guān)系可能是（）A．a(chǎn)＞b＞1 B．b＞1＞a C．a(chǎn)＞1＞b D．1＞a＞b參考答案：D【考點(diǎn)】4H：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用換底公式、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：log6a=log7b，∴，∴1＜a＜b，或0＜b＜a＜1．故選：D．2.下列表述正確的是（

）①歸納推理是由特殊到一般的推理；②演繹推理是由一般到特殊的推理；③類比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一種間接證明法；A．②④

B．①③

C.①④

D．①②參考答案：D根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：對(duì)于①，歸納推理是由特殊到一般的推理，符合歸納推理的定義，所以正確；對(duì)于②，演繹推理是由一般到特殊的推理，符合演繹推理的定義，所以正確；對(duì)于③，類比推理是由特殊到特殊的推理，所以錯(cuò)誤；對(duì)于④，分析法、綜合法是常見的直接證明法，所以錯(cuò)誤；則正確的是①②，故選D.

3.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，從而可得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得，則該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第三象限，故選C.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.4.已知

,其中為虛數(shù)單位,則

(

)A.-1

B.1

C.2

D.3參考答案：B略5.一個(gè)棱錐的三視圖如下圖，則該棱錐的全面積(單位：)為

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D6.如圖2，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上兩點(diǎn)，半圓O的切線PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略7.某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖和俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為和的線段，則的最大值為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D略8.已知等比數(shù)列滿足，則（

）A．64 B．81 C．128 D．243參考答案：B略9.若向量，滿足，與的夾角為60°，則等于（

）A. B. C.4 D.12參考答案：B【分析】將平方后再開方去計(jì)算模長(zhǎng)，注意使用數(shù)量積公式.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模長(zhǎng)計(jì)算，難度一般.對(duì)于計(jì)算這種形式的模長(zhǎng)，可通過先平方再開方的方法去計(jì)算模長(zhǎng).10.數(shù)列{an}，已知對(duì)任意正整數(shù)n，a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，則a12+a22+a32+…+an2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C． D．4n﹣1參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】首先根據(jù)a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，求出a1+a2+a3+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，兩式相減即可求出數(shù)列{an}的關(guān)系式，然后求出數(shù)列{an2}的遞推式，最后根據(jù)等比數(shù)列求和公式進(jìn)行解答．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+an=2n﹣1…①∴a1+a2+a3+…+an﹣1=2n﹣1﹣1…②，①﹣②得an=2n﹣1，∴an2=22n﹣2，∴數(shù)列{an2}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，∴a12+a22+a32+…+an2==，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是“平面向量的數(shù)量積”的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，若要加入“投影”，則應(yīng)該是在

的下位．參考答案：幾何意義12.已知，則

。參考答案：13.《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)，得訣自詡無所阻，額上紋起終不悟?！痹谶@里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，……則按照以上規(guī)律，若，具有“穿墻術(shù)”，則n=_____．參考答案：9999分析：觀察所告訴的式子，找到其中的規(guī)律，問題得以解決.詳解：，，，，按照以上規(guī)律，可得.故答案為：9999.點(diǎn)睛：常見的歸納推理類型及相應(yīng)方法常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納．14.設(shè)點(diǎn)滿足，則的最大值為

.參考答案：10 略15.過拋物線焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，且與拋物線相交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，那么的面積為

．參考答案：略16.如圖，在三棱錐中，底面，，，則與底面所成角的正切值為

．參考答案：17.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是．參考答案：x=﹣2【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，可得拋物線以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右，由2p=8算出=2，即可得到拋物線的準(zhǔn)線方程．【解答】解：∵拋物線的方程為y2=8x∴拋物線以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右．由2p=8，可得=2，可得拋物線的焦點(diǎn)為F（2，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣2故答案為：x=﹣2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分10分)如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是上任意一點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)面積的最小值是9時(shí)，證明平面．

參考答案：（1）證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)。因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以?/p>

又因?yàn)槠矫妫矫鏋樯先我庖稽c(diǎn)，平面，所以（2）連．由（I），知平面，平面，所以．在面積最小時(shí)，最小，則．，解得由且得平面則，又由得，而，故平面19.如圖所示，AC為⊙O的直徑，D為的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：DE∥AB；（Ⅱ）求證：AC?BC=2AD?CD．參考答案：考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：證明題．分析：（I）欲證DE∥AB，連接BD，因?yàn)镈為的中點(diǎn)及E為BC的中點(diǎn)，可得DE⊥BC，因?yàn)锳C為圓的直徑，所以∠ABC=90°，最后根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行即可證得結(jié)論；（II）欲證AC?BC=2AD?CD，轉(zhuǎn)化為AD?CD=AC?CE，再轉(zhuǎn)化成比例式=．最后只須證明△DAC∽△ECD即可．解答：證明：（Ⅰ）連接BD，因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以BD=DC．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以DE⊥BC．因?yàn)锳C為圓的直徑，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，則∠DAC=∠DCB．又因?yàn)锳D⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD?CD=AC?CE，2AD?CD=AC?2CE，因此2AD?CD=AC?BC．…（10分）點(diǎn)評(píng)：本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角及與圓有關(guān)的比例線段的知識(shí)．解題時(shí)，乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過相似三角形的性質(zhì)得出．20.已知函數(shù)f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)f（x）的最小值為g（a），求證：．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案；（2）由（1）可知，f（x）的最小值為，a＞0，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）由已知可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），而，∵a＞0，x＞﹣1，∴當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．

（2）由（1）可知，f（x）的最小值為，a＞0．要證明，只須證明成立．

設(shè)，x∈（0，+∞）．

則，∴φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，∴φ（x）＞φ（0）=0，即．取得到成立．

設(shè)ψ（x）=ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），同理可證ln（x+1）＜x．取得到成立．因此，．21.（10分）有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法？（1）甲不在中間也不在兩端；（2）甲、乙兩人必須排在兩端；（3）男、女生分別排在一起；（4）男女相間；（5）甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定．參考答案：方法二：（位置分析法）中間和兩端有種排法，包括甲在內(nèi)的其余6人有種排法，故共有·＝336×720＝241920種排法．方法三：（等機(jī)會(huì)法）9個(gè)人的全排列有種，甲排在每一個(gè)位置的機(jī)會(huì)都是均等的，依題意，甲不在中間及兩端的排法總數(shù)是×＝241920種．方法四：（間接法）種．………………2分

故共有·＝2880種…………8分（5）方法一：（等機(jī)會(huì)法）9人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對(duì)應(yīng)一種符合條件的排法，故共有種排法．方法二：種．…………10分22.已知橢圓:的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值及此時(shí)直線l的方程.參考答案：（1）；（2）的最大值為，【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和經(jīng)過的點(diǎn)，以及列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)列方程，得到的關(guān)系式.求出面積的表達(dá)式，利用配方法求得面積的最大