期中期末復(fù)習(xí)之軸對(duì)稱-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（人教版）（解析版）

專題16.3軸對(duì)稱十六大必考點(diǎn)

【人教版】

【考點(diǎn)1軸對(duì)稱中坐標(biāo)與圖形變化】............................................................1

【考點(diǎn)2格點(diǎn)中的軸對(duì)稱】.....................................................................3

【考點(diǎn)3設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】.....................................................................8

【考點(diǎn)4鏡面對(duì)稱】..........................................................................11

【考點(diǎn)5利用軸對(duì)稱求最值】..................................................................12

【考點(diǎn)6尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】.....................................................17

【考點(diǎn)7利用三線合一求值】..................................................................19

【考點(diǎn)8利用三線合一證明】..................................................................23

【考點(diǎn)9利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】........................................................27

【考點(diǎn)IO利用等角對(duì)等邊證明】...............................................................32

【考點(diǎn)11作等腰三角形】......................................................................38

【考點(diǎn)12等邊三角形的判定與性質(zhì)】...........................................................42

【考點(diǎn)13含30度的直角三角形】..............................................................52

【考點(diǎn)14尺規(guī)作垂直平分線或垂線】...........................................................61

【考點(diǎn)15垂直平分線的判定與性質(zhì)】...........................................................65

【考點(diǎn)16等腰三角形中的新定義問(wèn)題】.........................................................74

【考點(diǎn)1軸對(duì)稱中坐標(biāo)與圖形變化】

[例I](2022?貴州省遵義市第一初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))已知點(diǎn)R(2α-b,2)和Pz(-7,4α+2b)關(guān)于X軸

對(duì)稱，則成=_.

【答案】-8

【分析】根據(jù)題意，列關(guān)于。、6的二元一次方程組，求解并計(jì)算即可;

【詳解】13點(diǎn)R(2α-b,2^*(-7,4α+2b)關(guān)于X軸對(duì)稱,

?2a—b=-7

n2+(4a+26)=0

解得｛.；了，

.?.ab=(-2)3=-8.

故答案為：-8

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解二元一次方程組，掌握相關(guān)知識(shí)并熟練使用，同時(shí)注意解

題中需注意的事項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵.

【變式1-1](2022?內(nèi)蒙古?霍林郭勒市第五中學(xué)七年級(jí)期中)將點(diǎn)A先向下平移3個(gè)單位，再向右平移2

個(gè)單位后得B(-2,5),則A點(diǎn)關(guān)于＞軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】(4,8)

【分析】設(shè)A(x,y),根據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減，向右平移橫坐標(biāo)加列方程求解，再根據(jù)"關(guān)于y軸對(duì)稱的

點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答.

【詳解】解：設(shè)4(x,y),

Sl點(diǎn)4向下平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后得B(-2,5),

Sr+2=-2,y-3=5,

解得x=-4,y=8,

團(tuán)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-4,8),

SW點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(4,8).

故答案為：(4,8).

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)的平移規(guī)律，以及關(guān)于X軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱

點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫

坐標(biāo)互為相反數(shù).

【變式1-2](2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))已知點(diǎn)P(.2a+b,-3a)與點(diǎn)P(8,?+2).

(1)若點(diǎn)P與點(diǎn)"關(guān)于X軸對(duì)稱，求。的值.

⑵若點(diǎn)P與點(diǎn)p，關(guān)于y軸對(duì)稱，求〃、匕的值.

【答案】(l)α=2,b=4

(2)a=6f?=-20

【分析】(1)根據(jù)關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可：

(2)根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可.

(1)

解：回點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于X軸對(duì)稱，

B2a+b=8,3。=6+2,解得。=2,b=4.

(2)

解：田點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于y軸對(duì)稱，

團(tuán)2〃+/?=-8,-3α=〃+2

解得〃=6,fo=-20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)特征，關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反

數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

【變式1-3］（2022?吉林白山?八年級(jí)期末）在坐標(biāo)平面上有一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中A（3,-|）和8（3,

-y）是圖形上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，若此圖形上另有一點(diǎn)C（-2,-9）,則C點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

OO

A.（-2,1）B.（-2,--）C.（-9）D.（-2,-1）

22

【答案】A

【分析】先利用點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)特征可判斷圖形的對(duì)稱軸為直線y=-4,然后寫(xiě)出點(diǎn)C關(guān)于直線y=-4的對(duì)

稱點(diǎn)即可.

【詳解】解：（和（-?）是圖形上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，

32,B3,2

二點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y=-4對(duì)稱，

...點(diǎn)。（-2,-9）關(guān)于直線y=-4的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,1）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化，需要注意關(guān)于直線對(duì)稱：關(guān)于直線x=m對(duì)稱，則兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相

同，橫坐標(biāo)和為2m；關(guān)于直線y=n對(duì)稱，則兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)和為2n.

【考點(diǎn)2格點(diǎn)中的軸對(duì)稱】

【例2】（2022?湖北?武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，是一個(gè)8x10正方形格紙，4ABC中A點(diǎn)

坐標(biāo)為（-2,1）,8點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,2）.

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中建立平面直角坐標(biāo)系，指出AABC和△4"C'關(guān)于哪條直線對(duì)稱？（直接寫(xiě)答案）

⑵作出AABC關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱圖形請(qǐng)直接寫(xiě)出4、夕、C'三點(diǎn)坐標(biāo).

⑶在X軸上求作一點(diǎn)M,使A4B,M的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴見(jiàn)解析,?ABC與A4'B'C'關(guān)于y軸對(duì)稱

(2)見(jiàn)解析，A(2,1),B'(1,2),C'(3,3)

⑶見(jiàn)解析，M-L0)

【分析】(1)根據(jù)A,8兩點(diǎn)坐標(biāo)，確定平面直角坐標(biāo)系即可；

(2)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A[,B],G即可；

(3)作點(diǎn)B'關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)B",連接4B“交X軸于點(diǎn)連接MB',點(diǎn)M即為所求.

(1)

解：(1)如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖所示：AABC與夕C'關(guān)于y軸對(duì)稱；

(2)

如圖，BlCI即為所求,4(2,1),"(1,2),L(3,3);

(3)

如圖，點(diǎn)M即為所求.Λ/(-1,0).

此時(shí)：CAAB'M=AB1+AM+B'M=AB'+AM+B"M=AB'+AB",

此時(shí)滿足周長(zhǎng)最短.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決

最短問(wèn)題，屬于中考常考題型.

【變式2-1](2022?山東濟(jì)南?八年級(jí)期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A(-2,1),8(-3,4),C(-

1,3),過(guò)點(diǎn)(1,0)作X軸的垂線/.

⑴作出0A8C關(guān)于直線/的軸對(duì)稱圖形A4ιBιG;

直接寫(xiě)出】(,),B()；

(2)A1,_),C1(,

(3)在0A8C內(nèi)有一點(diǎn)尸(m,n),則點(diǎn)P關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)Pl的坐標(biāo)為(,)(結(jié)果用含“，n

的式子表示).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)4,1；5,4；3,3

(3)2—m,n

【分析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫(huà)出MBC關(guān)于宜線/的軸對(duì)稱圖形A4BIG;

(2)根據(jù)坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)班BC與44ι8ICl關(guān)于直線/的軸對(duì)稱，則P與Pl關(guān)于X=I對(duì)稱，據(jù)此即可求解.

(1)

解：如圖，△4BIG為所作：

(2)

由圖形可知：A1(4,1),B∣(5,4),Cl(3,3)；

故答案為：4.1；5.4；3,3；

(3)

點(diǎn)P關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)匕的坐標(biāo)為(2-m,n).

故答案為：2-m，

【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

【變式2-2](2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4,B,C,M,N都在格點(diǎn)上.

作關(guān)于直線對(duì)稱的圖形△

(1)4ABCMNA1B1Cli

(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長(zhǎng)為1,求△4BC的面積；

⑶在直線MN上找一點(diǎn)P,使得PC—P4的值最大，并畫(huà)出點(diǎn)P的位置.

【答案】⑴詳見(jiàn)解析

氏

⑶詳見(jiàn)解析

【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可?

(1)4B、CF1,G

(2)根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

(3)連接為Cl交直線MN于點(diǎn)P,此時(shí)PC-P&的值最大.

(1)

如圖，BICI即為所求.

(2)

Δ4BC的面積為3×3-∣×l×3-i×3×2-∣×l×2=∣.

(3)

點(diǎn)P即為所求

【變式2-3](2022?天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心八年級(jí)期中)如圖，己知三點(diǎn)A(-2,3),B(3,-3),C

(-3,1),AABC與AA∕B∕C∕關(guān)于X軸對(duì)稱，其中A/,B∣,。分別是點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

⑴畫(huà)出AA/B/C，并寫(xiě)出三個(gè)頂點(diǎn)A/,B∣,G的坐標(biāo);

⑵若點(diǎn)M(m+2,n-1)是AABC上一點(diǎn)，其關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為M'(-m-4,n-3),求m,n的值.

【答案】⑴圖見(jiàn)解析，A1(-2,-3),B1(3,3),C∣(-3,-1)

(2)m=3n=2

【分析】(1)首先確定A、B、C三點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)位置，再連接即可，然后再利用坐標(biāo)系寫(xiě)出4,Bl,G的

坐標(biāo)；

(2)利用關(guān)于X軸的對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)可得〃?+2=-?4,"-l+"-3=0,再解方程即可.

(1)

如圖所示，AA∕8∕G即為所求,

(2)

團(tuán)點(diǎn)M（w+2,/?-1）是AABC上一點(diǎn)，其關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為Af（切z4n-3）,

□∕π+2=-∕w-4?∕ι-l+n-3=0,

解得:zw=-3>n=2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖-軸對(duì)稱變換，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)位置.

【考點(diǎn)3設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】

[例3]（2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示的“鉆石"型網(wǎng)格（由邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形

組成），其中已經(jīng)涂黑了3個(gè)小三角形（陰影部分表示），請(qǐng)你再只涂黑一個(gè)小三角形，使它與陰影部分

合起來(lái)所構(gòu)成的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，一共有（）種涂法.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】將一個(gè)圖形沿著某條直線翻折,直線兩側(cè)的部分能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形,根據(jù)軸對(duì)稱圖形

的概念進(jìn)行設(shè)計(jì)即可.

【詳解】解:如圖所示:

【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的概念,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握軸對(duì)稱圖形的概念.

【變式3-1]（2022?河北?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖為5x5的方格，其中有A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)有一點(diǎn)尸在其它

格點(diǎn)上，且4、B、C、P為軸對(duì)稱圖形，問(wèn)共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)尸（）

【答案】B

【分析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的點(diǎn)即可.

【詳解】解：如圖所示：A、B、C、P為軸對(duì)稱圖形，共有4個(gè)這樣的點(diǎn)P.

答案：B.

PA

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案,正確把握軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

【變式3-2]（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）在3x3的正方形網(wǎng)格中，有三個(gè)小方格涂上陰影，請(qǐng)?jiān)僭谟嘞?/p>

的6個(gè)空白的小方格中，選兩個(gè)小方格并涂成陰影，使得圖中的陰影部分組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，共有（）種

不同的填涂方法.

A.3種B.4種C.5種D.6種

【答案】D

【分析】如圖，將圖中的空白正方形標(biāo)號(hào)，然后根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義對(duì)其不同的組合進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：如圖所示：

當(dāng)將①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分別組合，都可以得到軸對(duì)稱圖形，共有6種方法.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的設(shè)計(jì)，熟知概念、明確方法是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2022?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）現(xiàn)有如圖1所示的兩種瓷磚，請(qǐng)你從兩種瓷磚中各選兩塊，拼

成一個(gè)新的正方形,使拼成的圖案為軸對(duì)稱圖形，如圖2,要求：在圖3,圖4中各設(shè)計(jì)一種與示例拼法不

同的軸對(duì)稱圖形.

圖1

【答案】見(jiàn)解析

【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及軸對(duì)稱的作圖方法來(lái)作圖,通過(guò)變換對(duì)稱軸來(lái)得到不同的圖案即可.

【詳解】解：依照軸對(duì)稱圖形的定義，設(shè)計(jì)出圖形，如圖所示.

圖3圖4

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，利用軸對(duì)稱定義得出是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4鏡面對(duì)稱】

【例4】（2022?江蘇?宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）小明在鏡中看到身后墻上的時(shí)鐘如下，你認(rèn)為實(shí)際

時(shí)間最接近9：00（）

【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時(shí)針、分針的位置和實(shí)物應(yīng)關(guān)于過(guò)12時(shí)、6時(shí)的直

線成軸對(duì)稱.

【詳解】9點(diǎn)的時(shí)鐘，在鏡子里看起來(lái)應(yīng)該是3點(diǎn)，所以最接近9點(diǎn)的時(shí)間在鏡子里看起來(lái)就更接近3點(diǎn)，

所以應(yīng)該是圖B所示，最接近9點(diǎn)時(shí)間.

故選：B.

【點(diǎn)睛】主要考查鏡面對(duì)稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡

面對(duì)稱.

【變式4-1]（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，從鏡子中看到汽車(chē)車(chē)

牌的部分號(hào)碼如圖所示，則該車(chē)牌照的部分號(hào)碼為一.

ZQ￡3H

【答案】￡6395

【分析】利用鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解.鏡面對(duì)稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且

關(guān)于鏡面對(duì)稱.

【詳解】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與"E6395"成鏡面對(duì)稱，則該車(chē)牌照的部分

號(hào)碼為E6395.

故答案為：E6395.

【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，掌握鏡面對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2]（2022?黑龍江?哈爾濱順邁學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）從鏡子中看到背后墻上電子鐘的示意數(shù)為10：

05,這時(shí)的實(shí)際時(shí)間為.

【答案】20：01

【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱.

【詳解】解：由圖分析可得題中所給的"10：05”與"20：Or成軸對(duì)稱，這時(shí)的時(shí)間應(yīng)是20：01.

故答案為：20：01.

【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì).解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧.

【變式4-3]（2022?甘肅平?jīng)?八年級(jí)期中）小明從平面鏡子中看到鏡中電子鐘示數(shù)的像如圖所示，這時(shí)的

時(shí)刻應(yīng)是.

0D：25：ai

【答案】16:25:08

【分析】關(guān)于鏡子的像，實(shí)際數(shù)字與原來(lái)的數(shù)字關(guān)于豎直的線對(duì)稱，根據(jù)相應(yīng)數(shù)字的對(duì)稱性可得實(shí)際數(shù)字.

【詳解】解：回是從鏡子中看，

團(tuán)對(duì)稱軸為豎直方向的直線，

05的對(duì)稱數(shù)字為2,2的對(duì)稱數(shù)字是5,鏡子中數(shù)字的順序與實(shí)際數(shù)字順序相反，

田這時(shí)的時(shí)刻應(yīng)是16:25:08.

故答案為16:25:08.

【點(diǎn)睛】本題考查鏡面對(duì)稱，得到相應(yīng)的對(duì)稱軸是解決本題的關(guān)鍵；若是豎直方向的對(duì)稱軸，數(shù)的順序正

好相反，注意2的對(duì)稱數(shù)字為5,5的對(duì)稱數(shù)字是2.

【考點(diǎn)5利用軸對(duì)稱求最值】

【例5】（2022?湖南?李達(dá)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在RtaABC中，?ACB=90o,AC=6,BC=8,AB

=10,AO是NBAC的平分線，若P,。分別是Ao何AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+P。的最小值是（）

D

A.2.4B.4C.4.8D.5

【答案】C

【分析】由題意可以把。反射到AB的。點(diǎn)，如此PC+PQ的最小值問(wèn)題即變?yōu)镃與線段AB上某一點(diǎn)。的

最短距離問(wèn)題，最后根據(jù)"垂線段最短”的原理得解.

【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于A0的對(duì)稱點(diǎn)。，W∣JPQ=PO,所以0、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，Co=PC+P0=PC+PQ,

此時(shí)PC+PQ有可能取得最小值，

團(tuán)當(dāng)Co垂直于AB即CO移到CM位置時(shí)，CO的長(zhǎng)度最小，

S1PC+PQ的最小值即為CM的長(zhǎng)度，

ElSA4BC=XCM=^ACXCB,

ElCM=黑=4,8,即PC+PQ的最小值為4.8,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，垂線段最短，通過(guò)軸反射把線段和最小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段外一

點(diǎn)到線段某點(diǎn)連線段最短問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

【變式5-1］（2022?河南駐馬店?七年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，/.BAD=a,NB=ND=90。，在BC、

C。上分別找一點(diǎn)M、N,當(dāng)AAMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則NMAN的度數(shù)為（）

AD

A.—aB.2cc—180°C.180o—ctD.oc-90o

2

【答案】B

【分析】根據(jù)要使AAMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于8C和

n

CO的對(duì)稱點(diǎn)“，A9即可得出出Λ∕+0∕ΓHil"4Γ,進(jìn)而得出財(cái)MN+1MNM=2（血WM+如T）即可得出答案.

【詳解】解：作A關(guān)于BC和CO的對(duì)稱點(diǎn)⑷，Au,連接交3C于交CO于M則〃/唧為AAMN

的周長(zhǎng)最小值.作D4延長(zhǎng)線A4,

≡DAB=a,

≡tt4∕4z=180o-a,

^AA團(tuán)4,,^?HAA'=180。-a,

^MA,A=^MAA?園MAD二邑4”,

^MA,A^MAA,=^AMN,團(tuán)Λ?Q+EL4"=MNM,

團(tuán)團(tuán)AMN+團(tuán)ANM=團(tuán)Λ-N+團(tuán)M4"+團(tuán)NAO+團(tuán)力”=2(團(tuán)4ΓM+團(tuán)力”)=2(180°-a)=360o-2a,

?乙MAN=180o-(?AMN+乙ANM)=180o-(360o-2a)=2a-180o.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱-最段路線問(wèn)題，熟練掌握平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)

和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出何，N的位置是解題關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCO中，AD=BC=3,AB=CD=4,AC=5,

動(dòng)點(diǎn)M在線段AC上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)M關(guān)于邊4。，CC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M/,M2,連接M/M2,點(diǎn)

D在也必上，則在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段M/M2長(zhǎng)度的最小值是.

【答案】γ

【分析】過(guò)。作。M1EAC于M1,連接DM,根據(jù)已知，由面積法先求出ZMf=￡,由M關(guān)于邊AZλDC的

對(duì)稱點(diǎn)分別為例2,∏TWDMi=DM=DM2,M1M2=IDM,故線段M/M2長(zhǎng)度最小即是OM長(zhǎng)度最小，此時(shí)

DMBAC,M與"重合，即可得也”2最小值為2E）"=g.

【詳解】解：過(guò)。作DMla4C于財(cái)，連接。仞，如圖：

長(zhǎng)方形ABCC中，AD=BC=3,AB=CD=4,AC=5,

^AADC^AD.CD=lAC?DM',

ADCD

回。=——3×4=一12,

M=---A-C--55

團(tuán)M關(guān)于邊AO,QC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M/,M2,

⑦DMl=DM=DM2,

0M∕M2=2DM,

線段2長(zhǎng)度最小即是。M長(zhǎng)度最小，此時(shí)QM0AC,即M與Af重合，最小值為2QΛfg

故答案為：g.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)稱變換，涉及三角形面積、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將求長(zhǎng)度的最

小值轉(zhuǎn)化為求OM長(zhǎng)度的最小值.

【變式5-3］（2022?福建龍巖?八年級(jí)期中）如圖，在即"BC中，0A=9Oo,AB=8,AC=6,BC=10,M、

N、尸分別是邊AB、AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN和MN,則PM+PN+MN的最小值是.

【分析】如圖，作點(diǎn)P關(guān)于A8,AC的對(duì)稱點(diǎn)E,F,連接PE,PF,PA,EM,FN,AE,AF.首先證明E,

A,F共線，則PM+MN+PN=EM+MN+NF≥EF,推出EF的值最小時(shí)，PW+MN+PN的值最小，求出《4的最

小值，可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于AB,AC的對(duì)稱點(diǎn)E,F,連接PE,PF,PA,EM,FN,AE,AF.

00β4B+0∕?C=0BAC=9Oo,

00EAF=18Oo,

0E,A,尸共線，

SlME=MP,NF=NP,

田PM+MN+PN=EM+MN+NF,

0EM+MN+NF≥EF,

EIEF的值最小時(shí)，尸M+MN+PN的值最小,

ZEF=2PA,

團(tuán)當(dāng)∕?I3BC時(shí)，∕?的值最小，此時(shí)∕?=黑=§,

48

⑦PM+MN+PN共,

0PM+MN+PN的最小值為￡.

故答案為：γ.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)添加輔助線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩

點(diǎn)之間線段最短.

【考點(diǎn)6尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】

【例6】（2022?廣東?豐順縣潘田中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,A,B兩點(diǎn)都在

小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)頂點(diǎn)C,使△4BC為等腰三角形，則這樣的頂點(diǎn)C有（）

-------r------—-------

I

I

I

I

I

I

H二

,...,-J____,___.

—十—-.一一一

I

I

一■■J____.__..

I

I

I

I

i—

B

A.8個(gè)B.7個(gè)C.6個(gè)D.5個(gè)

【答案】A

【分析】當(dāng)4B為底時(shí)，作AB的垂直平分線，當(dāng)ZB為腰時(shí)，分別以4、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為半徑作弧，分別

找到格點(diǎn)即可求解.

【詳解】解：當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有5個(gè)，

當(dāng)力B為腰時(shí)，分別以4、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以4B為半徑作弧，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有3個(gè)；

???這樣的頂點(diǎn)C有8個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1]（2022?安徽?合肥市第四十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）RtAABC中，0ACβ=9Oo,04=60。，在直

線BC上取一點(diǎn)P使得A%8是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有一個(gè).

【答案】4

【分析】分別以48為圓心，以A8為半徑作圓，再作A8的垂直平分線，即可得出答案.

【詳解】解：以A為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有一個(gè)交點(diǎn)；

同理以8為圓心，以AB為半徑作圓，與直線Be有兩個(gè)交點(diǎn)；

作AB的垂直平分線與BC有一個(gè)交點(diǎn)，

即有1+2+1=4個(gè)，

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動(dòng)手操

作能力.

【變式6-2]（2022?安徽?利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，△?!BC的點(diǎn)4、C在直線/上，乙B=

120o,?ACB=40°,若點(diǎn)P在直線Lh運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△4BP成為等腰三角形時(shí)，則NABP度數(shù)是.

【答案】10°或80?；?0。或140°

【分析】分三種情形：AB=AP,PA=PB,BA=BP分別求解即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，

B

acp

P1P2Pi4

在ZMBC中，???ABAC=180o-?ABC-4ACB=180°-120°-40°=20°,

o

①當(dāng)4B=4P時(shí)，?ABP1=/.APrB=10,/.ABP3=/.AP3B=1(180°-20°)=80°,

②當(dāng)PA=PB時(shí)?，?ABP2=/.AP2B=20°,

③當(dāng)EA=BP時(shí)，ΛABP4=180°-20°-20°=140°,

綜上所述，滿足條件的NABP的值為10。或80?；?0。或140。.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),

屬于常考題型?

【變式6-3］（2022?天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是

A（3,0）,B（0,4）,若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且SRAB是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)尸有個(gè).

【答案】8

【分析】分三種情況①以B為圓心，以AB為半徑作圓與兩軸的交點(diǎn)，②以A為圓心，以AB為半徑作圓

與兩軸的交點(diǎn)，，③以AB為底，AB的垂直平分線與兩軸的交點(diǎn)即可

【詳解】解：如圖所示：

①以B為圓心，以A8為半徑作圓，交y軸有2點(diǎn)，交X軸有1點(diǎn)（點(diǎn)4除外），此時(shí)共3個(gè)點(diǎn)；

②以4為圓心，以AB為半徑作圓，交y軸有1點(diǎn)（點(diǎn)B除外），交X軸有2點(diǎn)，此時(shí)共3個(gè)點(diǎn)，

③以A8為底的三角形有2個(gè)，點(diǎn)尸在AB的垂直平分線上，分別交X軸、y軸各1個(gè)點(diǎn)，此時(shí)共2個(gè)點(diǎn)：

3+3+2=8,

因此，滿足條件的點(diǎn)?有8個(gè)，

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、熟練掌握等腰三角形的判定，分三種情況討論

圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及線段垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)7利用三線合一求值】

【例7】（2022?河北保定?八年級(jí)期末）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45。的三角尺，即等腰直角AMNK,

等腰直角AACB做了一個(gè)探究活動(dòng)：將AMNK的直角頂點(diǎn)M放在AABC的斜邊48的中點(diǎn)處，設(shè)AC=BC=

心猜想此時(shí)重疊部分四邊形CEMF的面積為（）

1?C1?1?-,1?

Aa.-crB.-crC.-crrDs.-er

2345

【答案】C

【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得MC=M8,SACM=0β,0CMF=0BΛ7E,從而證明

根據(jù)四邊形CEMF的面積=SACMF+SACEM=SABCM求出答案.

【詳解】解：連接MC,

EIAACB是等腰直角三角形，例是AB的中點(diǎn)，

ElMallAB,ElACM=0BCM=0B=45°,

^?MC=MB,EIBMC=90°,

03EM尸=90°=回BMC,

EEEWF-EIaWE=E)BMC?0CME,即EICMF=EIBME,

在ISCMF和EIBME中，

NFCM=乙EBM=45°

MC=MB,

Z.CMF=4BME

IaaCMRaSBME(ASA),

回SACMF=SABME'

El四邊形CEAZ尸的面積=SACMF+SACEM=SABME+SACEM=SABCM=^^ABC=Za之，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明ISCMfWlBME.

【變式7-1］（2022?廣東?深圳市布心中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，0ACB和團(tuán)。CE均為等腰直角三角形，且

0ACB=IM＞CE=9O。，點(diǎn)A、￡＞、E中同一條直線上，CM平分配＞CE,連接BE,以下結(jié)論：①AO=OC;②CMaAE；

③AE-8E=2CM;④回8CM=EIC8E,正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】由"SAS"可證SACDaSBCE,可得AD=BE,^ADC=^BEC,可判斷①，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得

ElCQE=EIeEo=45。，C例0AE,可判斷②，由全等三角形的性質(zhì)可求0AEB=EICME=9（r,可得CM∣∣8E,可證

團(tuán)BCM=回CBE,可判斷④，由線段和差關(guān)系可判斷③，即可求解.

【詳解】解：幽4CB和回。CE均為等腰直角三角形，

^CA=CB,CD=CE,0ACB=0DCE=9Oo,

00ACD=0BCE,

AC=BC

在0ΛCO和團(tuán)8CE中，｛?ACD=乙BCE,

CD=CE

EEL4CDEBBCE（SAS）,

^AD=BE,QADC=SBEC,故①錯(cuò)誤，

釀。CE為等腰直角三角形，CW平分EIDCE,

WCDE=^CED=45°,CMSAE,故②正確，

團(tuán)點(diǎn)A,D,E在同一直線上，

00ADC=135o.

EEBEC=I35°.

00AEB=0βEC-0CED=9Oo,

0a4EB=0CΛ7E=9Oo,

M??BE,

EBBCM=EICBE,故④正確，

SJCD=CE,CMSDE,

^DM=ME.

120DCE=9Oo,

^DM=ME=CM.

SAE=AD+DE=BE+2CM.

^AE-BE=2CM,故③正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明MCD!≡BCE是本題的關(guān)鍵.

【變式7-2]（2022?浙江?平陽(yáng)蘇步青學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，Q）是等腰三角形AABC底邊上的中線,

BE平分0ABC,交CQ于點(diǎn)E,AC=6,OE=2,則ABCE的面積是（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】作￡/皿BC于R根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=DE=2,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：作E/迥BC于凡

^AC=BC=6,CO是等腰三角形AABC底邊上的中線，

0CD0ΛB,

EIBE平分0A8C,EDMB,EF31BC,

SlEF=DE=2,

WBCE的面積WXBCXEF=6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3]（2022?江蘇?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在AABC中，AB=AC,AoaBC于點(diǎn)。，O￡MC于點(diǎn)E,

CRMB于點(diǎn)R若DE=4,則CF的長(zhǎng)為

A

【答案】8

【分析】山等腰三角形的性質(zhì)得到0A8C是IMC。的面積的兩倍，然后用等面積法求得。E和CF的關(guān)系，進(jìn)

而得到CF的長(zhǎng).

【詳解】的4BC中，AB=AC,AD3?BC,

0Λ。是4A8C的中線，

S5Δ4BC=2S^ACD=2×^×DE?AC=DE?AC,

.AABC=?AB?CF,

^AB?CF=DE?AC,

[HAC=AB,

^CF=DE,

0D￡=4,

ElCF=8；

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等面積法求高.

【考點(diǎn)8利用三線合一證明】

【例8】（2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級(jí)）已知：如圖0ABC中，AB=AC,AO和BE是高，它們

交于點(diǎn)H,?AE=BE.求證：

(l)^AHEΞβBCE;

(2)AH=2BD.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)由0A5C是等腰三角形，AQ和BE是高，可知團(tuán)E3CH2C=團(tuán)。。+團(tuán)090°,通過(guò)ASA即可證明

^AEH^BEC,

(2)由(I)可知財(cái)HEEnI3CE,K∣JAH=BC,IM3C是等腰三角形，AQ是底邊上的高，可知3C=2BD,即可

進(jìn)行證明.

(1)

證明：EiAD是∣?,BE是r?

團(tuán)區(qū)EBC+團(tuán)C=團(tuán)CA。+團(tuán)090°

團(tuán)團(tuán)EBC二團(tuán)CAZ)

又BAE=BE,酎EH=?BEC

團(tuán)團(tuán)AEM3團(tuán)BEC(ASA);

(2)

^MEHW?BEC

MH=BC

ElAB=ACAQ是高

^BC=2BD

^AH=2BD.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、及三角形全等的判定方法.解決本題的關(guān)鍵是證明財(cái)E施厲EC

【變式8-1](2022?全國(guó),八年級(jí)專題練習(xí))如圖，M3C中，4。是團(tuán)BAC的平分線，D￡HAB,L>fHAC,E、

尸為垂足，連接M交AQ于G,試判斷AQ與EF垂直嗎？并說(shuō)明理由.

【答案】理山見(jiàn)解析

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE=。凡然后再證RraAEDl3R∕βL4FΛ）可得AE=A尸，即EWEF是等腰三

角形，最后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可.

【詳解】解：AIXiEF,理由如下：

SA。是ISBAC的平分線，DESiAB,DF^AC,

0DE=DF,

在RβlAED和Rβ?AFD中，

甲。=4。，

IDE=DF

ElRzaAEDElRzaAFZ）（HL）,

^AE=AF,即EWEF是等腰三角形

&AD平分ISEA凡

0AD0EF（等腰三角形三線合一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，說(shuō)明EIAEF是等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵.

【變式8-2］（2022?北京.垂楊柳中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在EABC中，AB=AC,其中A。，BE都是M8C的

∏?.求證：SBAD=BCAD=UiEBC.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出自BAC=回Cw,再由三角形的高的定義得出13BEC=IaADC

=90",根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到I3￡8C+G1C=9O。，田CAD+0C=9（Γ,根據(jù)同角的余角相等得出MBC=

SiCAD,等量代換得至膽184O=I3CAD=E1E8C.

【詳解】證明：SAB=AC,AlXiBC,

00BAD=0CAD.

SBESCE,ADSBC,

EBBEC=0AZ）C=90°,

EBEBC+0C=90°,0CΛD+EC=9Oo,

WEBC=ISCAD,

SEBAD=^CAD=SiEBC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【變式8-3](2022?山東青島?七年級(jí)期末)已知，在AABC中，AC=BC,?ACB=90°,CD平分心ACB交4B于

點(diǎn)。，點(diǎn)E是4B邊上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)4、B重合)，連接CE.

(1)如圖①，若E運(yùn)動(dòng)到BD上，過(guò)點(diǎn)4作CE的垂線交CD于點(diǎn)G,CE于點(diǎn)凡CB于點(diǎn)H,求證：CG=BE；

(2)如圖②，若E運(yùn)動(dòng)到AD上，過(guò)點(diǎn)A作CE的垂線與CE延長(zhǎng)線交于點(diǎn)凡延長(zhǎng)AF交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,試猜想

CG、BE的數(shù)量關(guān)系并證明.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)CG=BE,證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NB=?ACG=45。,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得ZCAG=乙BCE,

然后根據(jù)三角形全等的判定證出ACAG=LBCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=Bn=4D,CD148,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得4G=NDEC,

然后根據(jù)三角形全等的判定證出A40G-ACnE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DG=DE,最后根據(jù)線段和差

即可得證.

(1)

證明：?.???BCφ,AC=BC,?ACB=90o,CD平分N4C8,

.?.ZB=?ACG=45o,?CAG+?AHC=90°,

"AH1CE,

：.乙BCE+?AHC=90°,

???Z-CAG=乙BCE,

?ACG=?B

在ACTlG和ABCE中，AC=CB,

Z-CAG=Z-BCE

CAG=△BCE(ASA)?

?CG=BE.

(2)

解：CG=BE,證明如下：

o

?.??ΛFCΦ,AC=BCfZ.ACB=90,CD平分ZJICB,

^CD=BD=ADfCDLAB,

???Z-DCE+乙DEC=90°,

-AGLCF,

???乙DCE+ZG=90°,

??.?G=?DEC>

NADG=乙CDE=90°

在△4。G和ACDE中，乙G=乙DEC，

AD=CD

ADG≤?CDF(AAS),

???DG=DE,

XvCD=BD,

?*?DG+CD=DE+BD,

即CG=BE.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確找出全等三角形是解題

關(guān)鍵.

【考點(diǎn)9利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】

【例9】（2022?江蘇?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知AABC中，AB=6,AC=8,EL4BC和SACB的平分線相交

于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作BC的平行線，分別交AB,AC于E,F,則AAE尸的周長(zhǎng)是____.

A

BC

【答案】14

【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的等角對(duì)等邊得出E8=ED,FD=FC,即可

得出答案.

【詳解】解：回8。平分0ABC,CZ）平分0AC8,

0EEBZ）=aε>BC,MCD=SIDCB,

SlMaBC,

ΞΞEDB=ΞDBC,⑦FDC=BDCB,

^EBD^EDB,0FCD=0FDC,

SiEB=ED,FD=FC,

EIAB=6,AC=8,

EEAEF的周長(zhǎng)=AE+EF+A尸=AE+EO+FD+4F=AE+E8+FC+A∕7=AB+AC=14,

故答案為：14.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形等角對(duì)等邊，熟練掌握相關(guān)圖形的性

質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式9-1]（2022?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)期中）如圖，S4BC的平分線B尸與ElABC中EACB的相鄰?fù)饨囚麮G的

平分線CF相交于點(diǎn)尸，過(guò)F作。F/BC,交AB于。，交Ae于E,若BQ=9cm,OE=4cm,求CE的長(zhǎng)為

【答案】5.

【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可證BO=FC,EF=CE,再根據(jù)線段和差可求CE的長(zhǎng).

【詳解】解：團(tuán)8尸、C尸分別平分S48C、SiACG,

EEQBF=I3CBF,0FCE=0FCG,

SDE"8C,

00DFB=0CBF,0SFC=0FCG,

00DBF=0DFB,0FCE=0EFC,

EIBQ=FQ,EF=CE,

團(tuán)8Z）=9cm,DE=4cm,，

⑦EF=DF-DE=BD-DE=9-4=5Ccm),

^?EC=Scmf

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是理解已知條件，根

據(jù)角平分線和平行線得出等腰三角形.

【變式9-2](2022?浙江?樂(lè)清市知臨寄宿學(xué)校八年級(jí)期中)如圖，在MBC中，回BAC的平分線AO交BC于

點(diǎn)O,E為AC上一點(diǎn)，AE=AB,連接。E.

(1)求證：SABDWAED；

(2)已知0Λ8C=2I3C且B3=5,AB=9,求AC長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析；

(2)AC=14.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得回BAZ)=回CAZ),然后利用“邊角邊"證明即可；

(2)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=A8,DE=BD,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得0AEO=回8,

再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得0AEO=S1C+∣≡CDE,從而求出!3C=l3Cf>E,根

據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=DE,然后根據(jù)AC=AE+CE計(jì)算即可得解.

(1)

證明：。是EI54C的平分線，

00BAD=0C4D,

AB=AE

在AABD和E。中，??BAD=?EAD.

,AD=AD

EBABfXZBAEO(SAS)；

(2)

解：WABDWAED,

EiAE=AB=9,DE=BD=S,^AED=^B,

00AED=0C+∣3CDE,BB=20C,

120C=0CDE,

EICE=OE=5,

EIAC=AE+CE=9+5=14.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊等知識(shí)，熟練掌握全等三

角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式9-3](2022?福建?廈門(mén)雙十中學(xué)八年級(jí)期末)如圖，AQ為ΔA3C的角平分線.

(1)如圖1,若BELAD于點(diǎn)、E,交4C于點(diǎn)/，AB=4,AC=I.則CF=；

⑵如圖2,。6，4。于點(diǎn)6,連接8G,若43G的面積是6,求ΔABC的面積；

(3)如圖3,若ZB=2NC,AB=m,AC=n,則Cn的長(zhǎng)為.(用含血〃的式子表示)

【答案】⑴3；

⑵12；

⑶”(〃一加)

m

【分析】(1)依題意可證AABEmAAFE,從而AF=AE=4,可由Fe=AC-AF求得問(wèn)題的解；

(2)延長(zhǎng)CG,48交于點(diǎn)H,可證MGH^ΔAGC,從而AH=AC,HG=GC,又SMHG=SMCG,SAmJG=九皿-SΛΛBG,

SABCG=SAMjG+ShAGC—SAOC>由SMBG=SSBCG∣"J，血可解；

SDC

(3)在AC上取一點(diǎn)M使得AN=A8,從而AAB的AAND,所以BD=DN=NC=n-m,從而由消ISC="求

^ΛABDBD

得OC的長(zhǎng).

(1)

解：BELAD,

.?.ZAEB=ZAEF=90。，

回相)為ΔABC的角平分線，

.-.ZBAD=ZCAD,

AD=AD，

.?.ΔA8E空AAbE(ASA),

.?.AF=Aβ=4,

??.FC=AC-A/=7—4=3,

故答案為：3;

(2)

解：延長(zhǎng)CG,