七年級數學代數式學生講義

代數式2.1字母表示數和列代數式【本講主要內容】一.教學內容：用字母表示數、列代數式二.重點、難點：1.重點：用字母表示數，代數式的意義，列代數式。2.難點：嫻熟地用字母表示數，列代數式。三.教學學問要點：1.用字母表示數，不要使字母表示的數的范圍縮小，一個字母可表示任何有理數。2.在同一個問題中，不同的量必需用不同的字母表示。3.字母與字母相乘，“乘號〞可省略，數字與字母相乘，要把數字寫在字母前面〔如a×3必需寫成3a，不能寫成a3〕；帶分數與字母相乘，肯定要把帶分數化成假分數。5.代數式的意義用運算符號——加、減、乘、除、乘方、開方，把數字與字母聯(lián)結而成的式子叫代數式。說明：〔1〕單獨的一個數或字母，雖沒涉與運算，但可以看作是該數或字母乘以〔或除以〕1，規(guī)定它們也是代數式〔如15，l，t，0……〕?！?〕正確列出代數式的關鍵為：抓住關鍵詞語的意義，理清它們之間的數量關系，弄清運算依次和括號的運用方法?！?〕代數式中不含“＝〞號或“＞、＜、≠〞號等表示相等關系或不等關系的符號。四.考點分析㈠用字母表示數用字母表示數可以簡明地表達現(xiàn)實中浩繁的數量間的關系，表達數的各種運算定律、性質和法則。如用字母a、b、c表示三個數，則加法結合律可表示為：a+b+c=a+〔b+c〕=〔a+b〕+c.在用字母表示數時，應留意：〔1〕同一個問題中的一樣量要用同一個字母表示，不同量必需用不同字母表示.同一個字母在不同問題中的意義也是不同的.如在表示長方形的面積公式時，用S表示面積，a表示長方形的長，b表示長方形的寬，則有S=ab。在這里，S、a、b分別表示不同的量，同樣是字母a，在不同的問題中可表示不同的數?！?〕應當遵循規(guī)定了的、約定俗成的、沿襲的表示習慣.如：用C表示周長，用㎝表示厘米……㈡代數式1.代數式的定義像n-2，3b，，m+3等由運算符號連接的式子都是代數式.單獨一個數或一個字母也是代數式.2.寫代數式〔1〕數與數相乘用“×〞；數與字母，字母與字母相乘用“·〞或省略不寫；〔2〕字母與數字相乘，數字因式應放在字母因式之前，帶分數與字母相乘，帶分數要化為假分數.如a不能寫成a.〔3〕代數式中的除號一般用分數線表示.如2a÷b應寫成.〔4〕幾個字母因數排列時，一般按字母依次排列.如5a2c3b通常寫成5a2bc3.〔5〕代數式假設是和或差的形式，且結果中又有單位的，應用括號將代數式括起來，后面再帶單位.如〔2a+3〕㎝不能寫成2a+3㎝.3.列代數式列代數式首先要確定數量與數量的運算關系，其次應抓住題中的一些關鍵詞語，如和、差、積、商、平方、倒數以與幾分之幾、幾成、倍等等.抓住這些關鍵詞語，反復咀嚼，細致推敲，列好一般的代數式就不太難了.【典型例題】例1.用代數式表示：〔1〕x的平方與y的一半的和〔2〕x與y的平方的和的2倍〔3〕a與b的倒數的差的平方〔4〕兩個數的和為100，其中一個數為a，求兩數積〔5〕m與n的和減去2的相反數〔6〕二個連續(xù)偶數的積例2.有假設干張邊長都是2的三角形紙片，從中取出一些紙片按如下圖的依次拼接起來，可以組成一個大的平行四邊形與一個大的梯形，假如取的紙片數為n，試用含n的代數式表示組成的平行四邊形或梯形的周長。例3.計算： 例4當x=1時，代數式的值為2005，求x=－1時，代數式的值.例5以下圖是一個數值轉換機的示意圖，請你用x、y表示輸出結果，并求輸入x的值為3，y的值為-2時的輸出結果.輸入x輸入x輸入y×2()3+÷2輸出結果例6求代數式的值，其中例7.如圖，是由邊長為1的正方形依據某種規(guī)律排列而成的。①②③ 〔1〕視察圖形，填寫下表：圖形①②③正方形個數8圖形的周長18 〔2〕推想第n個圖形中，正方形的個數為____________，周長為____________〔用含n的代數式表示〕 【模擬試題】〔答題時間：30分鐘〕一.填空題。1.以下各式：，其中代數式的個數有__________個。2.a的肯定值與3的倒數的和的平方可表示為_________________。3.甲、乙兩地相距1000米，有小王每分鐘走x米，小李每分鐘走y米，他們兩人同時分別從甲、乙兩地相向而行，_______分鐘后相遇。4.小紅每小時走公里，y小時后走了_______公里。5.把a千克鹽放進b千克水中，配制成的鹽水濃度為_______。二.用代數式表示。〔1〕x與y的積的平方；〔2〕a與b的相反數的和的6倍；〔3〕兩個數的積為8，其中一個數m，求兩數和；〔4〕一個兩位數的個位上數字為a，十位上數字比它多2，求這個兩位數；〔5〕兩個連續(xù)整數的積；〔6〕被x除余4商為8的數。三.應用題。1.用1立方米水的費用為元，1千瓦時的電費為元，用x立方米的水、y千瓦時的電，水電費共多少元？2.一個三位數，個位數字為a，十位數字為b，百位數字為個位數字、十位數字的和，求這個三位數。四.用字母表示加法法則，如何表示？2.2求代數式的值【本講主要內容】一.教學內容：求代數式的值二.學問要點1.學問點概要〔1〕理解代數式的概念.〔2〕能用代數式表示簡潔問題的數量關系〔3〕能說明一些簡潔代數式的實際背景或幾何意義.〔4〕通過詳細例子感受“同一個代數式可以表示不同的實際意義〞，“理解符號所代表的數量關系〞.〔5〕理解代數式的值的意義，會計算代數式的值.〔6〕能讀懂計算程序圖，會依據規(guī)定的程序計算代數式的值，會依據要求設計簡潔的計算程序，初步感受“算法〞的思想與數量的改變與聯(lián)絡.2.重點難點〔1〕依據簡潔問題的數量關系正確列出代數式.〔2〕讀懂計算程序圖，計算代數式的值.【典型例題】例1.把多項式重新排列：〔1〕按的降冪排列；〔2〕按的降冪排列.例2.當x=-0.5，y=2時，求代數式x〔x-y〕2的值.例3.以下圖是一組數值轉換機，寫出圖a的輸出結果，找出圖b的轉換步驟，并完成下表.輸入-30圖a的輸出圖b的輸出例4.〔2021年梅州〕如以下圖所示，在長和寬分別是、的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為的正方形.⑴用，，表示紙片剩余部分的面積；⑵當=6，=4，=2時，求剩余部分的面積.例5.費與通話時間的關系如下表：通話時間a〔分〕費b〔元〕1234……〔1〕試用含a的代數式表示b；〔2〕計算當a=100時，b的值.例6.視察下面一系列等式：32-12=8=8×1；52-32=16=8×2；72-52=24=8×3；92-72=32=8×4.你從中發(fā)覺了什么規(guī)律？用代數式表述這個規(guī)律..例7.你能很快算出19952嗎？分析：為理解決這個問題，我們考察個位數為5的自然數的平方，隨意一個個位數為5的自然數可用代數式表示為10n+5，問題即求〔10n+5〕2的值〔n為自然數〕，試分析n＝1，n＝2，n=3，…這些簡潔狀況，從中探究其中的規(guī)律，并歸納、揣測出結論〔在下面橫線上填上你的探究結果〕.〔1〕通過計算，探究規(guī)律：152=225，可寫成100×1×〔1+1〕+25，252=625，可寫成100×2×〔2+1〕+25，352=1225，可寫成100×3×〔3+1〕+25，452=2025，可寫成100×4×〔4+1〕+25，752=5625，可寫成_____________，852=7225，可寫成_____________，……〔2〕從第〔1〕題的結果，歸納、揣測得：〔10n+5〕2＝_____________.〔3〕依據上面的歸納、揣測，請算出：19952＝______.例8.假設a+2004=b+2005=c+2021，則〔a-b〕2+〔b-c〕2+〔a-c〕2=.例9.代數式的值是8，則代數式的值是.【方法總結】1.字母表示數的思想引入字母表示數，是從算術進入代數的重要標記之一，正確地理解用字母表示數的意義，是學好數學根底學問的根本要求.2.“特殊與一般〞的思想方法從幾個簡潔的、個別的、特殊的狀況去探討、探究、歸納出一般的規(guī)律和性質，反過來，應用一般的規(guī)律和性質去解決特殊的問題，這是數學中常常運用的思想方法，列代數式和求代數式的值，就表達了這種思維方法.3.整體思想從大處著眼，由整體入手，通過細心的視察和深化的分析，找出整體與部分的有機聯(lián)絡，從整體上把握問題，從而在客觀上尋求解決問題的途徑的一種常用的方法.【模擬試題】〔答題時間：90分鐘〕一、細心選一選〔每題2分，共20分〕1.用字母表示加法交換律，錯誤的選項是〔〕.A.a+b=b+a B.m+n=n+m C.p·q=q·p D.x+y=y+x2.假如m表示奇數，n表示偶數，則m+n表示〔〕.A.奇數 B.偶數 C.合數 D.質數3.一個三位數，它的百位數字是a，十位數字是b，個位數字是c，則這個三位數字是〔〕.A.abc B.a+b+c C.100a+10b+c D.100c+10b+a4.以下代數式的意義是a，b的平方和的是〔〕.A.〔a+b〕2 B.a+b2 C.a2+b D.a2+b25.用語言表達-2表示的數量關系中，表達不正確的選項是〔〕.A.比a的倒數小2的數 B.比a的倒數大2的數C.a的倒數與2的差 D.1除以a的商與2的差6.以下說法：①a與均是代數式，②表示a除以c再乘b，③b表示a與b的和的60%，④表示的差的平方．其中正確的有〔〕.A.①② B.③④ C.①④ D.②④7.a-b=5，c+d=-3，則〔b+c〕-〔a-d〕的值為〔〕.A.2 B.–2 C.–8 D.88.當〔〕.A.3 B. C. D.2*9.當〔〕.A.–1 B.–13 C.0 D.6*10.-x+2y=6，則3〔x-2y〕2-5〔x-2y〕+6的值是〔〕.A.84 B.144 C.72 D.360二、細致填一填〔每題2分，共20分〕11.小明跑步速度為v米/秒，問他的百米成果為______秒.12.用代數式表示比m的4倍大2的數為______.13.小彬上次數學成果80分，這次成果進步了a%，這次數學成果為_______.14.三個連續(xù)的自然數，中間的一個為n，則第一個為，第三個為.15.矩形的一邊長為a－2b，另一邊比第一邊大2a+b，則矩形的周長為__________.*16.假如a=2b，b=4c，則代數式.*17.細胞在分裂過程中，一個細胞第一次分裂成兩個，第二次分裂成4個，第三次分裂成8個，則第n次時細胞分裂的個數為個.18.當x=7，y=4，z=0時，代數式x〔2x－y+3z〕的值為__________.**19.某人騎自行車走了0.5小時，然后乘汽車走了1.5小時，最終步行a千米，騎自行車與汽車的速度分別為v1千米/秒和v2千米/秒，則這個人所走的全部路程為______.20.教學樓大廳面積Sm2，假如矩形地毯的長為a米，寬b米，則大廳需鋪這樣的地毯____塊.三、細致算一算：〔每題6分，共24分〕21.〔1〕在式子中，米／秒，秒，米/秒，求.〔2〕，求代數式.*〔3〕a是最小的正整數，b、c是有理數，且│3+b│+〔2a-c〕2=0，求的值.*〔4〕如下圖，依據圖中標明的尺寸，寫出求圖中陰影部分的面積S的公式，并求當x=3時，陰影部分的面積〔取3.14〕.四、努力解一解〔共36分〕22.按如下圖方式在餐桌上擺碗：〔1〕一張餐桌上放6個碗，3張餐桌上放______個碗；〔2〕依據上圖接著排列餐桌，完成下表.桌子的張數3456…n…擺碗數23.某校舉辦跳繩競賽，第一組有男生m人，女生n人，男生平均每分鐘跳105次，女生平均每分鐘跳110次，一分鐘第一組學生共跳繩多少次？當m=5，n=5時，結果是多少？24.今年初共青團中央發(fā)出了“愛護母親河的捐款活動〞，某校初一兩個班的115名學生主動參與，甲班的學生每人捐款10元，乙班的學生每人捐款10元，兩班其余學生每人捐5元，設甲班有學生x人，試用代數式表示兩班捐款的總額.*25.某商店進貨價降低8%，而售價保持不變，結果使商店的利潤可進步10%，問原來利潤是百分之幾？26.a=3，b=2，計算：〔1〕a2+2ab+b2；〔2〕〔a+b〕2.〔3〕當a=2，b=1或a=4，b=－3時，分別計算兩式的值，從中可發(fā)覺怎樣的規(guī)律？*27.一根彈簧原來的長度是10厘米，當彈簧受到的拉力為F千克〔F在肯定范圍內〕時，彈簧的長度用l表示，測得有關數據如下表：拉力F〔kg〕彈簧長度l〔cm〕1210+13410+2思索：〔1〕寫出當F=7kg時，彈簧的長度l為多少厘米？〔2〕寫出拉力為F時，彈簧長度l與F的關系式.〔3〕計算當拉力F=100kg時彈簧的長度l為多少厘米？2.3整式【本講主要內容】一.教學內容： 整式1.單項式的有關概念，如何確定單項式的系數和次數；2.多項式的有關概念，如何確定多項式的系數和次數；3.什么是整式；4.分析實際問題中的數量關系，培育用字母表示數量關系以與解決實際問題的實力.二.學問要點：1.單項式〔1〕如3a，xy，－6m2，－k等，它們都是數與字母的積，像這樣的式子叫做單項式.對于單項式的理解有以下幾點須要留意：①單項式反映的或者是數與字母，或者是字母與字母之間的運算關系，且這種運算只能是乘法，而不能含有加減運算，如代數式eq\f(1,5)〔x＋1〕3不是單項式.②字母不能出如今分母里，如eq\f(n,m)不是單項式，因為它是n與m的除法運算.③單獨的一個數或一個字母也是單項式，如0，－2，a都是單項式.〔2〕單項式的系數：是指單項式中的數字因數，如－8xy2，eq\f(2ab2,3)的系數分別是－8，eq\f(2,3)；假如一個單項式只含有字母因數，它的系數就是1或－1，如m就是1·m，其系數是1；－a2b就是－1·a2b，其系數是－1.〔3〕單項式的次數：是指一個單項式中全部字母的指數的和.駕馭好這個概念要留意以下幾點：①從本質上說，單項式的次數就是單項式中字母因數的個數，如5a3b就是5aaab，有4個字母因數，因此它的次數就是4.②確定單項式的次數時，不要漏掉“1〞.如單項式3x2yz3的次數是2＋1＋3＝6，字母因數的指數為1時，不能認為它沒有指數.③單項式的次數只與單項式中的字母因數的指數有關，而不能誤參與系數的指數，如單項式－〔eq\f(1,2)〕2a3b4c5的次數是字母a、b、c的指數和，即3＋4＋5＝12，而不是2＋3＋4＋5＝14.④單獨一個非零數字的次數是零.2.多項式〔1〕多項式：是指幾個單項式的和.其含義有：①必需由單項式組成；②表達和的運算法則，如3a2＋b－5是多項式，而3x－eq\f(2,y)中，－eq\f(2,y)不是單項式，故3x－eq\f(2,y)不是多項式.〔2〕多項式的項：是指多項式中的每個單項式.其中不含字母的項叫做常數項.要特殊留意，多項式的項包括它前面的性質符號〔正號或負號〕.另外，一個多項式化簡后含有幾項，就叫做幾項式.多項式中的某一項的次數是n，這一項就叫做n次項.如多項式x3＋2xy＋x2－x＋y－1是六項式，x3的次數是3，叫三次項，2xy、x2的次數都是2，都叫二次項，－x、y的次數都是1，都叫一次項，后面的－1叫常數項.〔3〕多項式的次數：是指多項式里次數最高的項的次數.應當留意的是：不要與單項式的次數混淆，而誤認為多項式的次數是各項次數之和，如多項式3x4＋2y2＋1的次數是4，而不是4＋2＝6，故此多項式叫做四次三項式.4.單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.三.重點難點：1.重點：單項式和多項式的有關概念.2.難點：如何確定單項式的次數和系數，如何確定多項式的次數.【典型例題】例1.〔1〕〔2021年寧夏〕某市對一段全長1500米的道路進展改造.原方案每天修x米，為了盡量削減施工對城市交通所造成的影響，實際施工時，每天修路比原方案的2倍還多35米，則修這條路實際用了__________天.〔2〕〔2021年全國數學競賽廣東初賽〕某商店經銷一批襯衣，每件進價為a元，零售價比進價高m%，后因市場改變，該商店把零售價調整為原來零售價的n%出售，則調整后每件襯衣的零售價是 〔〕 A.a〔1＋m%〕〔1－n%〕元 B.am%〔1－n%〕元 C.a〔1＋m%〕n%元 D.a〔1＋m%·n％〕元 例2.找出以下代數式中的單項式，并寫出各單項式的系數和次數.x－7，eq\f(1,3)x，eq\f(2,3a)，8a3x，－1，x＋eq\f(1,3). 例3.請你用代數式表示如下圖的長方體形無蓋的紙盒的容積〔紙盒厚度忽視不計〕和外表積，這些代數式是整式嗎？假如是，請你分別指出它們是單項式還是多項式. 例4.多項式－2x2a＋1y2－eq\f(1,3)x3y3＋eq\f(x4y,5)是七次多項式，則a＝__________. 例5.把代數式2a2c3和a3x2的共同點填寫在以下橫線上.例如：都是整式.〔1〕都是____________________；〔2〕都是____________________. 例6.假如多項式x4－〔a－1〕x3＋5x2－〔b＋3〕x－1不含x3和x項，求a、b的值. 【方法總結】1.“用字母表示數〞是代數學的根底，這種符號化的表示方法隨著學習的深化會漸漸加深數學抽象化的程度，我們要體會這種抽象化，它更接近數學的本質，也是有效地解決數學問題的工具.2.在學習多項式的時候，要留意和單項式的概念進展比較，通過比較兩者之間的一樣點和不同點，駕馭兩個概念之間的聯(lián)絡與區(qū)分，突出概念的本質，扶植我們理解多項式的概念.【模擬試題】〔答題時間：40分鐘〕一.選擇題1.在代數式－2x2，ax，eq\f(1,2x)，eq\f(2x,3)，1＋a，－b，3＋2a，eq\f(x＋y,2)中單項式共有 〔〕 A.2個 B.4個 C.6個 D.8個*2.以下說法不正確的選項是 〔〕 A.－ab2c的系數是－1，次數是4 B.eq\f(xy,3)－1是整式 C.6x2－3x＋1的項是6x2，－3x，1 D.2πR＋2πR2是三次二項式3.以下整式中是多項式的是 〔〕 A.－eq\f(1,2) B.x＋y C.eq\f(ab,3) D.－a2b34.以下說法正確的選項是 〔〕 A.單項式a的指數是零 B.單項式a的系數是零 C.24x3是7次單項式 D.－1是單項式5.組成多項式2x2－x－3的單項式是以下幾組中的 〔〕 A.2x2，x，3 B.2x2，－x，－3 C.2x2，x，－3 D.2x2，－x，3*6.多項式eq\f(2x2＋y,3)中，二次項的系數是 〔〕 A.2 B.1 C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)*7.以下說法正確的選項是 〔〕 A.單項式eq\f(－2x2y,5)的系數是－2，次數是2 B.單項式a的系數為0，次數為2 C.單項式－5×102m2n2的系數為－5，次數為5 D.單項式－eq\f(6a2b,7)的系數為－eq\f(6,7)，次數為38.以下單項式中的次數與其他三個單項式次數不同的是 〔〕 A.eq\f(5,4)xy2z2a5b C.－m5 D.8a2b3**9.〔2007年華杯初賽〕假如一個多項式的各項的次數都一樣，則稱該多項式為齊次多項式.例如：x3＋2xy2＋2xyz＋y3是3次齊次多項式.假設xm＋2y2＋3xy3z2是齊次多項式，則m等于 〔〕 A.1 B.2 C.3 D.4二.填空題1.〔2007年云南〕一臺電視機的原價為a元，降價4％后的價格為__________元.2.－eq\f(ab2c5,3)是__________次單項式，系數是__________.*3.代數式－eq\f(2,3)mn，eq\f(5x2y3,3)，eq\f(x－9,2)，－ab2c3，0，a2＋3a－1中，單項式有__________個，多項式有__________個.4.多項式－eq\f(x3y,2)＋3x2－7是__________次__________項式，最高次項的系數是__________，常數項是__________.*5.當x＝2eq\f(1,2)，y＝－1時，單項式－eq\f(3,5)xy5的值為__________.三.解答題*1.以下代數式中哪些是單項式，并指出其系數和次數.abc，－2ab2c，x＋2y，b，3x2＋5x－1，xy－eq\f(1,2)a，x4＋x2y2＋y4，a2－b2，－eq\f(1,2)πr2，24a2b2.2.說出以下多項式是幾次幾項式：〔1〕a3－ab＋b3〔2〕3a－3a2b＋b2a－1〔3〕3xy2－4x3y＋12〔4〕9x4－16x2y2＋25y2＋4xy－1四.綜合進步題*1.單項式－eq\f(xmy2z,7)的次數是8，求m的值.2.說出以下各式是幾次幾項式？最高次項是什么？最高次項的系數是多少？常數項是多少？〔1〕7x2－3x3y－y3＋6x－3y2＋1〔2〕10x＋y3〔3〕eq\f(1,2)x－eq\f(1,3)xy－eq\f(1,3)