高中數(shù)學線性回歸

關于高中數(shù)學線性回歸兩個變量之間的關系確定性的函數(shù)關系隨機性的相關關系自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系．正方形邊長x面積S確定關系一塊農田的水稻產量與施肥量之間的關系：水稻產量施肥量氣候情況澆水除蟲不確定關系第2頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

相關關系是一種非確定性關系．對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析．例如：在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上進行施肥量對水稻產量影響的試驗，得到如下所示的一組數(shù)據(jù)：當施肥量x一定時，水稻產量y的值帶有一定的隨機性455450445405365345330水稻產量y

45403530252015施化肥量x

回歸分析第3頁,共20頁，2024年2月25日，星期天455450445405365345330水稻產量y

45403530252015施化肥量x

散點圖圖中各點，大致分布在某條直線附近。在這些點附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關系呢？第4頁,共20頁，2024年2月25日，星期天一般地，設x與y是具有相關關系的兩個變量，且相應于n個觀測值的n個點大致分布在一條直線的附近，我們來求在整體上與這n個點最接近的一條直線．設所求的直線的方程為偏差偏差的符號有正有負，相加相互抵消，所以和不能代表幾個點與相應直線在整體上的接近程度.

采用n個偏差的平方和

回歸直線的計算步驟叫做回歸直線方程第5頁,共20頁，2024年2月25日，星期天Q取得最小值的a，b的求值公式我們將所得到的方程叫做回歸直線方程，相應的直線叫做回歸直線，而對兩個變量所進行的上述統(tǒng)計分析叫做線性回歸分析．第6頁,共20頁，2024年2月25日，星期天455450445405365345330水稻產量y

45403530252015施化肥量x

第7頁,共20頁，2024年2月25日，星期天因此所求的回歸直線方程是第8頁,共20頁，2024年2月25日，星期天于是提出一個問題：所求得的回歸直線方程，在什么情況下才能對相應的一組觀測值具有代表意義呢？如圖是一組觀測值的散點圖．我們看到，圖中的各點并不集中在一條直線的附近，但是按照上面的方法，同樣可以就這組數(shù)據(jù)求得一個回歸直線方程．這顯然是毫無意義的．變量的相關性第9頁,共20頁，2024年2月25日，星期天對于變量y與x的一組觀測值來說，我們把叫做變量y與x之間的樣本相關系數(shù)，（簡稱相關系數(shù)），可以證明，|r|≤1，且|r|越接近于1，相關程度越大；|r|越接近于0，相關程度越?。?0頁,共20頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

一般地，當|r|與1接近到什么程度才表明y與x之間具有線性相關關系呢？為明確這一點，通常采用對相關系數(shù)r進行顯著性檢驗（簡稱相關性檢驗）的方法．其中待檢驗的統(tǒng)計假設是兩個變量不具有線性相關關系，檢驗的步驟如下．第12頁,共20頁，2024年2月25日，星期天1．在附表3(P.59)中查出與顯著性水平0.05與自由度n－2（n為觀測值組數(shù)）相應的相關系數(shù)臨界值r0.05。2．根據(jù)公式⑤計算r的值．

3．檢驗所得結果．第13頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

如果|r|≤r0.05，那么可以認為y與x之間的線性相關關系不顯著，從而接受統(tǒng)計假設．

如果|r|>r0.05，表明一個發(fā)生的概率不到5％的事件在一次試驗中竟發(fā)生了．這個小概率事件的發(fā)生使我們有理由認為y與x之間不具有線性相關關系的假設是不成立的，拒絕這一統(tǒng)計假設，也就是表明可以認為y與x之間具有線性相關關系．第14頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

按照上述步驟，我們來檢驗一下第35頁水稻產量與施化肥量之間是否存在線性相關關系．1．在附表3中查出與顯著性水平0.05和自由度7－2相應的相關系數(shù)臨界值r0.05=0.754．

2．前面已求得r≈0.9733．

3．因為r>r0.05，這說明水稻產量與施化肥量之間存在著線性相關關系．第15頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

這個結論表明，前面求得的關于這兩個變量之間的回歸直線方程是有意義的．又如，在第38頁產品月總成本與月產量關系的例子中，查得相應于顯著性水平0.05和自由度12－2的r0.05為0.576，又算得r=0.998，由r>r0.05，可知，y與x之間存在顯著的線性相關關系．第16頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

通常，在尚未斷定兩個變量之間是否具有線性相關關系的情況下，應先進行相關性檢驗，在確認其具有線性相關關系后，再求其回歸直線．第17頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

我們看到，由部分觀測值得到的回歸直線，可以對兩個變量間的線性相關關系進行估計，這實際上是將非確定性問題轉化成確定性問題來進行研究．由于回歸直線將部分觀測值所反映的規(guī)律性進行了延伸，它在情況預報、資料補充等方面有著廣泛的應用．第18頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系．

相關關系與函數(shù)關系的異同點：

相關關系函數(shù)相同點不同點對具有相關關系的兩個變量進