新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計(jì)數(shù)原理數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用教師用書(shū)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)1．經(jīng)受發(fā)覺(jué)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、得到數(shù)學(xué)結(jié)論、推理論證、綜合應(yīng)用的過(guò)程，把握數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．2．經(jīng)受從類(lèi)比仿照到自主創(chuàng)新、從局部實(shí)施到整體構(gòu)想的過(guò)程，初步把握數(shù)學(xué)課題爭(zhēng)辯的基本方法．楊輝三角是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)宏大成就，從數(shù)學(xué)角度體現(xiàn)了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化．閱讀《詳解九章算法》一書(shū)中的開(kāi)方作法本源圖，如圖，其中隱藏著很多數(shù)學(xué)的奇特．此圖為開(kāi)方作法本源圖，現(xiàn)在楊輝算書(shū)的傳本中都沒(méi)有這個(gè)圖，只在明朝《永樂(lè)大典》(1407)抄錄的《詳解九章算法》中還保存著這份貴重遺產(chǎn)．《詳解九章算法》由楊輝所著，他在書(shū)中提到“出釋鎖算書(shū)，賈憲用此術(shù)”．這說(shuō)明，在我國(guó)至遲賈憲時(shí)期就已經(jīng)創(chuàng)造了這個(gè)數(shù)字三角形．關(guān)于賈憲的生平，所知甚少．依據(jù)一些記載，只能推定賈憲著書(shū)的年月是在1023年至1050年這段時(shí)期．學(xué)問(wèn)點(diǎn)楊輝三角的性質(zhì)1．如圖所示，結(jié)合楊輝三角與二項(xiàng)式(a＋b)n的開(kāi)放式的二項(xiàng)式系數(shù)可發(fā)覺(jué)如下性質(zhì)：第n行的n＋1個(gè)數(shù)是二項(xiàng)式(a＋b)n的開(kāi)放式的系數(shù)；當(dāng)行數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，C當(dāng)行數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，Cnn2．楊輝三角中各數(shù)字之間存在的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即Cnr＝Cn(2)遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Cnr＝Cn(3)第n行奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和相等，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋(4)第n行數(shù)的和為2n，即Cn0＋Cn1＋Cn2(5)第n行各數(shù)平方和等于第2n行中間的數(shù)，即Cn02＋Cn12＋Cn22＋…＋1．下面是當(dāng)n＝1，2，3，4，5時(shí)，(a＋b)n(n∈N*)的開(kāi)放式的二項(xiàng)式系數(shù)表示圖．借助上圖，推斷λ，μ的值分別是()A．5，9B．5，10C．6，9D．6，10D[觀看題圖可分析出“楊輝三角”中的數(shù)的特點(diǎn)如下：(1)每一行有(n＋1)個(gè)數(shù)字，每一行兩端的數(shù)字均為1；(2)從其次行起，每一行中間的數(shù)字等于它上一行對(duì)應(yīng)(即兩肩上)的兩個(gè)數(shù)字的和，即Cn+1m＝Cnm＋Cnm-所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10．故選D．]2．如圖是與楊輝三角有類(lèi)似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個(gè)數(shù)，當(dāng)a＝7時(shí)，b等于()A．20B．21C．22D．23C[觀看題圖可知，從第三行開(kāi)頭，每一行除開(kāi)頭和末尾的兩個(gè)數(shù)外，中間的數(shù)分別是其兩肩上相鄰兩個(gè)數(shù)的和，當(dāng)a＝7時(shí)，b的兩肩上的兩個(gè)數(shù)分別為6，16，所以b＝6＋16＝22．]【例】(多選)我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中給出了有名的楊輝三角，以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有()A．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和”猜想：Cn+1r＝B．C32＋C42＋CC．第34行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3D．由“第n行全部數(shù)之和為2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋ACD[對(duì)于A：明顯Cn+1r＝Cnr對(duì)于B：C32＋C42＋C52＋…＋C102＝C32＋C33＋C42＋C5對(duì)于C：易知第n行從左到右第k個(gè)數(shù)是Cnk-1，則第34行從左到右第14與第15個(gè)數(shù)分別為C34對(duì)于D：第n行全部數(shù)之和為2n，即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cn解決與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題的一般思路(1)觀看：對(duì)題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀看．(2)找規(guī)律：通過(guò)觀看找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律．(3)將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來(lái)，使問(wèn)題得解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]楊輝三角，又稱(chēng)帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書(shū)中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方開(kāi)放的系數(shù)規(guī)律．現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，記作數(shù)列{an}．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S47等于()A．235B．512C．521D．1033C[依據(jù)題意楊輝三角前9行共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(項(xiàng))．故前47項(xiàng)的和為楊輝三角前9行的和再加第10行的前兩個(gè)數(shù)1和9，所以前47項(xiàng)的和S47＝20＋21＋22＋…＋28＋1＋9＝29－1＋10＝521．]課時(shí)分層作業(yè)(十)數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用一、選擇題1．觀看圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是()A．8B．6C．4D．2B[由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，即a＝6．]2．如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角中，第m行從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3，則m＝()A．40B．50C．34D．32C[由題意，得第m行從左到右第n個(gè)數(shù)為Cmn-1，n∈N*，m∈N且n－∵第m行中從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3，∴Cm13Cm14＝2故選C．]3．楊輝三角在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個(gè)數(shù)是()A．14B．15C．16D．17B[由楊輝三角知：第1行：C10，C11；第2行：C20，C21，C22；第3行：C30，C31，C32，C34．(2023·遼寧沈陽(yáng)二中期末)楊輝是我國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家，其著作《詳解九章算法》中畫(huà)有一張表示二項(xiàng)式開(kāi)放后的二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣(如圖所示)，稱(chēng)為“開(kāi)方作法本源”，現(xiàn)簡(jiǎn)稱(chēng)為“楊輝三角”．若用A(m，n)表示三角形數(shù)陣中的第m行第n個(gè)數(shù)，m，n∈N*，則A(100，3)＝()A．5050 B．4851C．4950 D．5000B[由二項(xiàng)開(kāi)放式中各二項(xiàng)式系數(shù)可知，第m行第n個(gè)數(shù)應(yīng)為Cm所以第100行第3個(gè)數(shù)為C992＝99×982＝4851，即A5．(多選)“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)杰出的爭(zhēng)辯成果之一．如圖所示，從楊輝三角的左腰上的各數(shù)動(dòng)身，引一組平行線(xiàn)，從上往下每條線(xiàn)上各數(shù)之和依次為1，1，2，3，5，8，13，…，則()A．在第n(n≥5)條斜線(xiàn)上，各數(shù)自左往右先增大后減小B．在第9條斜線(xiàn)上，各數(shù)之和為55C．在第11條斜線(xiàn)上，最大的數(shù)是CD．在第n條斜線(xiàn)上，共有2n+1+-AC[對(duì)于A，由題意及題圖中規(guī)律可知，在第n(n≥5)條斜線(xiàn)上，各數(shù)都是自左往右先增大后減小，∴A正確；對(duì)于B，依據(jù)楊輝三角定義連續(xù)往下寫(xiě)三行，得17213535217118285670562881193684126126843691結(jié)合題圖知，第九條斜線(xiàn)上，各數(shù)之和為1＋10＋15＋7＋1＝34，∴B錯(cuò)誤．對(duì)于C，第11條斜線(xiàn)上，最大的數(shù)為35＝C73，∴對(duì)于D，由題圖，可知每條斜線(xiàn)上數(shù)的個(gè)數(shù)為1，1，2，2，3，3，…，代入2n+1+-1n4故選AC．]二、填空題6．(2023·福建福州高級(jí)中學(xué)期中)在如圖所示的楊輝三角中，按圖中箭頭所指的前n個(gè)數(shù)字之和為_(kāi)_______．nn+1n+26或C按圖中箭頭所指的前n個(gè)數(shù)字之和為C22＋C32＋C42＋…＋Cn+12＝C＝C43＋C42＋…＋Cn+12＝7．(2023·遼寧沈陽(yáng)大東質(zhì)檢)如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為1n(n∈N*，n≥2)，每個(gè)數(shù)是它下一行左、右相鄰兩數(shù)的和，如11＝12+12，12＝11840[將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)Cnr都換成分?jǐn)?shù)1n+1Cnr即可得到“萊布尼茨調(diào)和三角形”，楊輝三角中，第10行第4個(gè)數(shù)字為C93＝84，所以“8．(2023·江蘇連云港期中)在楊輝三角中，三角形的兩個(gè)腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加，這個(gè)三角形開(kāi)頭幾行如圖，則第9行從左到右的第3個(gè)數(shù)是________；若第n行從左到右第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)的比值為34，則n＝________3627[依題意，得第9行從左到右的第3個(gè)數(shù)是C92∵第n行從左到右第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)的比值為34，∴Cn11Cn12三、解答題9．楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要爭(zhēng)辯成果，它的很多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中隱藏了很多美麗?的規(guī)律，如圖是一個(gè)11階楊輝三角：(1)求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù)；(2)在第2斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為