河北省唐山市2022-2023學(xué)年高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

河北省唐山市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)位置上.將條

形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題［［答案］后，用2B鉛筆將答題卡對應(yīng)題目選項(xiàng)的工答案X

信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他K答案W.K答案》涂在試卷上一

律無效.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，k答案』必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域

內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的工答案％然后再寫上新［!答案》不準(zhǔn)使用鉛筆

和改正帶.不按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回，

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z=I-『，則復(fù)平面內(nèi)Z表示的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

K答案HD

K解析》VZ=I-Z,則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-1）,

因此，復(fù)平面內(nèi)Z表示的點(diǎn)位于第四象限.

故選：D.

2.已知α=（l,機(jī)），Z?=（2,4）.若￡//〃，則加為（）

A.-3B.-2C.OD.2

K答案》D

R解析』因?yàn)橐?（Lm）,b=（2,4）,a∕∕b>

所以1x4—2m=O,得加=2.

故選：D

3.某種新型牙膏需要選用兩種不同的添加劑，現(xiàn)有芳香度分別為1,2,3,4的四種添加劑

可供選用，則選用的兩種添加劑芳香度之和為5的概率為（）

K答案HB

K解析》從芳香度為1,2,3,4的四種添加劑中隨機(jī)抽取兩種添加劑,

其可能結(jié)果有（1,2）,（1,3）,（1,4）.（2,3）,（2,4）,（3,4）共6個(gè),

其中選用的兩種添加劑芳香度之和為5的結(jié)果有（1,4）,（2,3）共2個(gè),

21

則所求概率為尸=二=一.

63

故選：B.

4.在正三棱柱ABC-A4G中，AB=AA=2,E為棱AC的中點(diǎn)，則異面直線A∣E與

BC所成角的余弦值為（）

√5D6

A.旦B.一些r---

101055

K答案DA

K解析D記AB的中點(diǎn)為尸，連接E∕7,AP,如圖，

因?yàn)镋為棱AC的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，所以砂//8C,

所以NAEF為異面直線AE與BC的所成角（或補(bǔ)角），

因?yàn)樵谡庵鵄BC-中，AB=AAx=I,

所以/E=JA1A?+AE?=逐,AF=由,EF=^BC=\,

AE2+EF2-AF25+1-5_√5

所以在ii

.M1EFΦ,CosZAlEF

2AlE?EF^2×√5×1^-κΓ

所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為亞

10

故選：A.

5.為了解某塊田地小麥的株高情況，隨機(jī)抽取了10株，測量數(shù)據(jù)如下（單位Cm）：60,61,

62,63,65,65,66,67,69,70,則第40百分位數(shù)是（）

A.62B.63C.64D.65

R答案HC

K解析H因?yàn)?0x40%=4為整數(shù)，

所以第40百分位數(shù)是空奐=64.

2

故選：C

6.若圓錐的底面半徑為G,高為1,過圓錐頂點(diǎn)作一截面，則截面面積的最大值為（）

A.2B.√3C.2πD.2√3π

K答案》A

K解析11依題意，設(shè)圓錐的母線長為/,貝M=萬斤=2，

設(shè)圓錐的軸截面的兩母線夾角為e,則COSe=2-+2—一075）=,

2×2×22

2TT

因?yàn)?<6<兀，所以

3

（2π^

則過該圓錐的頂點(diǎn)作截面，截面上的兩母線夾角設(shè)為0,彳，

I7T

故截面的面積為S=—χ2χ2XSina≤2,當(dāng)且僅當(dāng)a=—時(shí)，等號(hào)成立，

22

故截面的面積的最大值為2.

故選：A.

7.從5名男生和4名女生中任選3人去參加學(xué)?！矮I(xiàn)愛心，暖人心”下列各事件中，互斥不

對立的是（）

A.“至少有1名女生”與"都是女生”

B.“至少有1名女生”與“至少有1名男生”

C.“恰有1名女生”與“恰有2名女生”

D.“至少有1名女生”與“至多有1名男生”

K答案Hc

K解析》“至少有1名女生”與"都是女生”，能夠同時(shí)發(fā)生，如3人都是女生，所以不是互

斥事件，A錯(cuò)；

“至少有1名女生”與“至少有1名男生“能夠同時(shí)發(fā)生，如1男2女，所以不是互斥事件，B

錯(cuò)；

“至少有1名女生”與“至多有1名男生“能夠同時(shí)發(fā)生，如1男2女，所以不是互斥事件，D

錯(cuò)；

“恰有1名女生”與“恰有2名女生”不能同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事件，又因?yàn)椤扒∮?名女生”

與“恰有2名女生”之外，還可能有“沒有女生”與“恰有3名女生“兩種情況發(fā)生，即“恰有1名

女生''與"恰有2名女生”可以同時(shí)不發(fā)生，所以不是對立事件，C正確.

故選：C.

8.在^ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知A=I,。=2.若

(sinA—sinB)(6?sinA÷?sinB)-(6z-Z?)sin2C=O,則一ABC的面積為()

A.√3B.g或空C.氈D.1或2

33

K答案DB

K解析H由(SinA-Sin團(tuán)(asinA+0sin3)-(α-b)sin2C=。及正弦定理得

(α-b)(a2+A?)一m一?)c2=O,

得。=6或/+b2=C2，

若a=b,因?yàn)锳=Ia=2,所以Z?=c=2,S,arc=-bcsin-=-×2×2×^-=?∕3，

3-abc2322

π

若4+∕72=C2,則三角形ASC為直角三角形，C=—,

2

m?,Λ-πCκr∣>∣D-Π；2。,1,1c2Λ∕32?f3

因?yàn)锳=T^,4=2,所以B=二，b=----，Sc,.――ab-—×2×------=-------

363rγ2233

2拒

綜上所述:ABC的面積6或

3

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.

9.已知一組數(shù)據(jù)3,5,6,9,9,10的平均數(shù)為最，方差為s?,在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)據(jù)

7后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為F,方差為<2,則下列判斷正確的是（）

2a2

A一X=X一，R―X<XrD.?>/

K答案UAD

1

K解析』對于ABX=-×(3+5+6+9+9+10)=7

6

r=l×(3+5+6+9+9+10+7)=7,

所以Λ；一Λ;，A正確，B錯(cuò)誤；

對于CD,?=1x(3-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2]

5,2=l×Γ(3-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2^∣=-

7L」7

所以—>丁2,C錯(cuò)誤，D正確.

故選：AD

10.在.ABC中，下列結(jié)論正確的是（)

A.若A>B,則SinA>sinBB.若SinA>sinB,則力>8

C.若力>B,則sin2A>sin23D.若C為鈍角，則SinA<cosB

K答案》ABD

K解析Il對于A,由大角對大邊知，若/>8,則α>b,

所以由正弦定理得SinA>sinB,故A正確；

對于B,若SinA>sin3,則由正弦定理得”>人，

所以由大邊對大角/>B,故B正確;

對于C,JRA=120°,5=30。,則sin2A=sin24()°<0,sin28=sin60。>0,

所以sin2A>sin2B不成立，故C錯(cuò)誤；

JIJIJI'11JI

對于D,若C為鈍角，則A+8<°,0<A<-,0<5<二,所以0<A<--B<-,

22222

因?yàn)閥=sinx在∣0,?∣)上單調(diào)遞增，所以SinA<sin(■!-BJ=COS8,故D正確.

故選：ABD.

11.若4，Z2是關(guān)于X的方程f_2x+2=0的兩個(gè)虛根，則()

A.z1=z2B.z；+z；>。

2

C.(z1+z2)>0D.>0

K答案UACD

K解析》因?yàn)?-2x+2=0,所以△=(—2)2—4x1x2=—4,

根據(jù)求根公式可得%=2士口=1±i,

2

又Z∣,Z2是關(guān)于X的方程χ2-2χ+2=0的兩個(gè)虛根，不妨令z∣=l+i/2=I-L

對于A,z1=z2,A正確；

22

對于B,zfΛ-∑2=(1+i)+(1—i)=2i—2i=O?B錯(cuò)誤；

22

對于C,(Z1+Z2)=2=4>0,C正確；

222

對于D,z∣?z2=(ι+i).(i-i)=2i?(-2i)=4>0,D正確.

故選：ACD

12.如圖，在菱形ABe。中，ZBAD=600,延長邊CT)至點(diǎn)E，使得DE=CD動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，沿菱形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，若AP=XA8+"AE,則()

EDPC

A.滿足彳+〃=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)

B.滿足九+〃=2的點(diǎn)P有兩個(gè)

C.4+〃存在最小值

D.4+〃不存在最大值

R答案XBC

K解析Il建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形ABC。的邊長為1,P(x,y),則

40,0)回，0)，《|，卦Dt普猾用,

所以AB=(1,0),AE=—;,乎，AP=(x,?),

(22J

/、f1√3W1√3

由AP=2AB+〃AE,得(x,y)=4(1,0)+〃~^2,~2=-2

,1

X=A-----!Λ

2

所以《所以4+〃=X+?∣3y,

yF

①當(dāng)點(diǎn)尸在A3上時(shí)，O≤x≤l,Ky=O,

所以4+∕∕=x+Gy=x∈[θ,l]:

∩而

②當(dāng)點(diǎn)P在BC(不含點(diǎn)B)上時(shí)，則8P=m6C,所以(XT,>)=m2,~Γ,化簡

j=√f3(x-l),

所以X+〃=X+?/??—X+3(x—1)—4x—3，

3

因?yàn)閘<x4,,所以l<4x—3≤3,即∕l+"∈(l,3];

③當(dāng)點(diǎn)P在Co(不含點(diǎn)C)上時(shí)，L≤x<3,且>=走，

22,2

所以g+?∣Vx+√5y<?∣+T,即2≤x+Qy<3,所以幾+4e[2,3)；

(1Jj)

④當(dāng)點(diǎn)P在AZX不含點(diǎn)A、。)上時(shí),則AP=〃AO,所以(x，y)=",化簡y=JIr,

(22J

所以X+〃=x+My=x+3x=4x9

因?yàn)镺<x<g,所以0<4x<2,所以；l+∕∕e(0,2);

對于A,由①知，當(dāng)九+〃=1時(shí)，x=l,此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合;

由④可知當(dāng)4+〃=1時(shí)，x=L,V=—,此時(shí)點(diǎn)P在AD的中點(diǎn)處；

4J4

其它均不可能，所以這樣的點(diǎn)尸有兩個(gè)，所以A錯(cuò)誤，

5R

對于B,由②知，當(dāng)丸+〃=2時(shí)，X=-,y=、」，此時(shí)點(diǎn)尸在BC的中點(diǎn)；

44

1Fi

由③知，當(dāng)∕l+"=2時(shí)，%=-,y=-,此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)。處；

2-2

其它均不可能，所以這樣的點(diǎn)P有兩個(gè)，所以B正確，

對于CD,由①②③④可得：

當(dāng)χ=y=O,即點(diǎn)P為點(diǎn)A時(shí)，九+〃取到最小值0;

當(dāng)尤=3y=走，即點(diǎn)P為點(diǎn)C時(shí)，4+〃取到最大值3,所以C正確，D錯(cuò)誤,

22

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若復(fù)數(shù)z∣=-2+i,z2=l-3i,貝∣J∣z∣-Z2∣=.

K答案H5

K解析H?.?Z∣=-2+i,Z2=l-3i,

Λ∣z,-z2∣=∣(-2+i)-(l-3i)∣=∣-3+4i∣=√9+16=5.

故K答案』為：5.

14.甲、乙兩人參加駕考科目一的考試，兩人考試是否通過相互獨(dú)立，甲通過的概率為0.6,

乙通過的概率為0.5,則至少一人通過考試的概率為.

K答案X0.8

K解析』因?yàn)閮扇丝荚囅嗷オ?dú)立，

所以兩人都未通過的概率為(1-0.6)×(l-0.5)=0.2,

故兩人至少有一人通過的概率為1-0.2=0.8.

故R答案H為：0.8

15.若一ABC的面積為S,角A氏C的對邊分別是α/,C,且4S=tan—§),則

a=.

K答案H√5

K解析X因?yàn)?S=tanA92+C?2-5),

所以4x,〃csinA=Sin"+c2-5),

2cosA'7

π

因?yàn)镺vA<π,且AW一,所以SinA>0,

2

則2bc=—(Z?2+c2-5),即2bccosA=b2+c2-5，

cosA'/

,222

所以2bcx—————=/?2+c2-5?則加+C?-a?=廿+c?—5，即/=5，

2bc

所以。=有(負(fù)值舍去).

故K答案U為：√5.

16.在正六棱臺(tái)ABCf)EF'-A'B'C'O'E'L中，AB=4,A'B'=3,AA=J設(shè)側(cè)棱延

長線交于點(diǎn)尸，幾何體P-AB'C'D'E'F'的外接球半徑為R∣,正六棱臺(tái)

ABCOM-A'B'C'O'E'L的外接球半徑為此，則此正六棱臺(tái)的體積為，

且=

R2-----------

K答案』①.衛(wèi)叵②.-

25

K解析Il依題意，正六棱臺(tái)ABCOE/一A%'。'。'E'F'中，AB=4，AB'=3.A'A=y∕l

則其上底面是由六個(gè)邊長為3的正三角形組成，則其面積為S=6x@x3?=生叵，

142

其下底面是由六個(gè)邊長為4的正三角形組成，則其面積為Sl=6×^×42=24√3，

其高為h=j(?/?-(4-3)~=1，

所以該正六棱臺(tái)的體積為v=∣×f2華+/^Z^X24√3+24√3]×1=笠巨

32V22

\/

設(shè)上底面中心為。I,下底面中心為o,，連接a。,，Aa，A。,，則。o,垂直于上下底面,

如圖,

O

連接aA，。/,則aA=3,O'A=4,

由題意可得。|。'=人=1,

作AGLAO'垂足為G,則AG=LAG=1,

連接A。。'。，則ΛlD=Jl+(8—l)2=5叵,

故AA?+AO2-A。？=2+50-64<0,則NAA。為鈍角，

又由于正六棱臺(tái)外接球球心位于平面上，

故設(shè)正六棱臺(tái)外接球球心為O,則。在QO'的延長線上，

因?yàn)橥饨忧虬霃綖楣剩?2222

R2,R=OA+0'0,R-=ΛI(xiàn)(91+OO1,

即用=16+O'O:R；=9+(O'O+l)2,

解得。g=3,g=25,則&=5,

連接P。，如圖，易得P,a，。'三點(diǎn)共線，且AoJ/A。',

易知Aa=BR=C1O1=DR=E1O1=片。=3,

所以。I是幾何體P-ArBrCUErF,的外接球的球心，則4=3,

Rl3

所以十

5,

376?

故答案》為:

K2；5

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知平面向量”與6的夾角為60，且同=1,W=2.

（1）?<∣2α-?∣；

（2）若α+〃與2a—Zb垂直，求上的值.

解:⑴∣2α-0==√4∣α∣2+∣?∣2-Aab

=+∣b]γ∣α∣.聞.cos60=^4+4-4×l×2×?-=2.

（2）因?yàn)棣?b與2α-%b垂直，所以（4+8）?（2α-Z6）=0,

14

所以2∣4『一人|人『+（2一左）“/=（）,所以2—4人+（2—幻xlx2x]=0,得k=三.

18.近年來，我國肥胖人群的規(guī)模急速增長，常用身體質(zhì)量指數(shù)BM/來衡量人體胖瘦程度.

體重（單位：kg）

,

其計(jì)算公式是：§用/=身高,單位,πιj成年人的3M/數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)是：BM∕<18.5為偏瘦；

18.5WBM∕<24為正常；24≤6M∕<28為偏胖；BM7≥28為肥胖.某公司隨機(jī)抽取了100個(gè)員工的

體檢數(shù)據(jù)，將其BA〃值分成以下五組：[12,16),[16,20),[20,24),[24,28),[28,32],

得到相應(yīng)的頻率分布直方圖.

(1)求。的值，并估計(jì)該公司員工BMI的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)(精確到0.1)；

(2)該公司共有1200名員工，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)該公司員工BMl數(shù)值正常的人數(shù).

解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知組距4,

所以4X(0.01+0.04+0.09+?+0.03)=1,解得α=0.08

該公司員工BMI的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為22.

設(shè)該公司員工創(chuàng)〃的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為X,

則4*0.01+4X0.04+(x-20)×0.09=0.5,解得χ=23.3.

故該公司員工創(chuàng)〃的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為23.3.

(2)因?yàn)槌赡耆说腂Ml數(shù)值18.5≤BMI<24為正常，

所以該公司員工創(chuàng)〃數(shù)值正常的概率為

0.04X(20-18.5)+0.09X(24-20)=0.42,

所以該公司員工6Λ〃數(shù)值正常的人數(shù)為1200x0.42=504.

19.在AeC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別是。，b,c,已知2ccosC+αcos6+Z?CoSA=0.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若c=3,AB邊上的中線CD=I,求，ABC的周長.

解：(1)由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=O,

即2sinCcosC+sin(A+B)=0,即2sinCcosC+sinC=O.

12Tt

因?yàn)镾inCW0,所以COSC=——.因?yàn)?<C<π,所以C=-.

23

(2)已知c=3,CD=I,

在_ABC中，由余弦定理得：9=/+"+"〃①,

由C。為一ABC的中線，得2CD=CB+CA,

兩邊平方得4=/+〃一"②，

513

聯(lián)立①②得ab=-,a1+b2

22

所以_ABC的周長為α+/?+C=Ja2+〃+2α∕+3=+3?

2

20.如圖，在四棱錐B-ACa中，AD//CE,ADJ_平面A8C,AZ>=2,CE=I,

AABC是邊長為2的等邊三角形，尸為棱8。的中點(diǎn).

(1)證明：E尸〃平面ABC；

(2)求AE與平面BeE所成角的正弦值.

(1)證明：取AB中點(diǎn)連接短W,CM,

產(chǎn)為棱BD的中點(diǎn)，.??VE∕∕AO,Λ1∕='AD,

2

又AD//CE,CE=-AD,

2

.?.MF∕∕CE且MF=CE,

四邊形MeM是平行四邊形，.?.M∕∕C0,

又?CMU平面ABC,EF仁平面ABC,

.?.砂//平面ABC；

(2)解：取BC中點(diǎn)N,連接AN,EN,

ABC是邊長為2的等邊三角形，二AN_LBC,且AN=也，

AZ)，平面ABC,AO//CE,

.?.CEJ.平面ABC,

又4Vu平面A8C,.?.CEJ_4V,

又?ANlBC,且CECBC=C,.?.AN，平面BCE,

.?.ZAEN即為AE與平面BCE所成的角，

在RtZ?E4C中，AC=2,CE=1,.?.AE=VL

在Rt?AE7VΦ,則SinNAEN=—=^=—,

AE√55

所以AE與平面BeE所成角的正弦值為巫.

21.某工廠為加強(qiáng)安全管理，進(jìn)行安全生產(chǎn)知識(shí)競賽，規(guī)則如下：在初賽中有兩輪答題：第

一輪從A類的5個(gè)問題中任選兩題作答，若兩題都答對，則得20分，否則得0分；第二輪

從8類的4個(gè)問題中任選兩題依次作答，每答對一題得20分，答錯(cuò)得0分.若兩輪總得分不

低于40分，則晉級復(fù)賽.甲和乙同時(shí)參賽，已知甲每個(gè)問題答對的概率都為0.6,在A類的

5個(gè)問題中，乙只能答對4個(gè)問題，在B類的4個(gè)問題中，乙答對的概率都為0.4,甲、乙

回答任一問題正確與否互不影響.

(1)求乙在第一輪比賽中得20分的概率；

(2)以晉級復(fù)賽的概率大小為依據(jù)，甲和乙誰更容易晉級復(fù)賽？

解：(I)對A類的5個(gè)問題進(jìn)行編號(hào)：a,b,c,d,e,

設(shè)乙能答對的4個(gè)問題的編號(hào)為α∕,c,d.

第一輪從A類的5個(gè)問題中任選兩題作答，可用(玉,々)表示選題結(jié)果，其中多,々為所

選題目的編號(hào)，樣本空間為

Q={(a,b),(a,c),(<z,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(C,e),(d,e)}共10個(gè)樣本點(diǎn).

設(shè)“乙在第一輪得20分”事件為E，

則E={(a,b),{a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d))共6個(gè)樣本點(diǎn).

則乙在第一輪得20分的概率為P=A=O.6.

(2)甲晉級復(fù)賽分兩種情況：

①甲第一輪得20分且第二輪至少得20分的概率為：0.62×(1-0.4