2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第12講函數(shù)與方程

第12講函數(shù)與方程思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．2．函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是f(x)＝0的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)題型歸納題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷【例11】（2020春?浙江期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是A． B． C． D．【分析】由函數(shù)的解析式可得（1），（2）的符號(hào)，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間．【解答】解：由于函數(shù)，（1），（2），（1）（2），函數(shù)是連續(xù)增函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選：．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020?廣東學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為A． B． C． D．【分析】判斷在遞增，求得，，，（1）的值由零點(diǎn)存在定理即可判斷．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)，在時(shí)函數(shù)是連續(xù)增函數(shù)，且有，，，（1），可得在存在零點(diǎn)．故選：．【名師指導(dǎo)】確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．題型2求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例21】（2020春?渝中區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【分析】條件等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可【解答】解：令，可得，則條件等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別作出兩函數(shù)圖象如下：如圖，兩函數(shù)無交點(diǎn)，故選：．【例22】（2020?武昌區(qū)模擬）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用零點(diǎn)判斷定理轉(zhuǎn)化推出零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：函數(shù)，是偶函數(shù)，，時(shí)，，，，時(shí)，，時(shí)，，所以，時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，，時(shí)，，時(shí)，，，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6．故選：．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020春?海淀區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是．【分析】條件等價(jià)于與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可．【解答】解：令，即，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象如圖：由圖可得只有1個(gè)交點(diǎn)，故答案為：1．【跟蹤訓(xùn)練22】（2020春?杭州期末）已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【分析】作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可【解答】解：作出函數(shù)的圖象如下：由圖可得，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故答案為：1【名師指導(dǎo)】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．題型3函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用【例31】（2020?迎澤區(qū)校級(jí)模擬）已知以4為周期的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，其中，若方程恰有5個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件函數(shù)是周期為4的函數(shù)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合直線和曲線的相切問題，即可得到結(jié)論．【解答】解：依題意，函數(shù)的周期為4，方程恰有5個(gè)根，等價(jià)為函數(shù)的圖象與直線有5個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)圖象如下：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)直線與，相切時(shí)，即方程有唯一解，化簡得，則△，解得；當(dāng)直線與相切時(shí)，即方程有唯一解，化簡得，則△，解得；由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍，．故選：．【例32】（2020?宜昌模擬）若函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．【分析】依題意，在，上有且僅有一個(gè)解，設(shè)，求導(dǎo)可知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故（1），（2），由此求得的取值范圍．【解答】解：依題意，在，上有且僅有一個(gè)解，設(shè)，則，由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）可知，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，，．故選：．【例33】（2020?3月份模擬）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)所有零點(diǎn)的和為A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由為偶函數(shù)，且滿足，可得函數(shù)為最小正周期為2，對(duì)稱軸，畫出函數(shù)的圖象，又有題意可得關(guān)于對(duì)稱，且有的范圍可得時(shí)，（5），（3）的取值范圍，進(jìn)而可得，的交點(diǎn)情況，進(jìn)而可得的零點(diǎn)情況．【解答】解：函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且滿足，可得對(duì)稱軸，所以可得周期，又，可得也是關(guān)于對(duì)稱，令，可得，在同一坐標(biāo)系中在作與的圖象如圖所示：因?yàn)?，，所以?），（5），與無交點(diǎn)，（3）與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，所以時(shí)，與有3對(duì)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，所以所以交點(diǎn)之和為，即函數(shù)所有零點(diǎn)的和為6，故選：．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020?江蘇模擬）已知函數(shù)，函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)，時(shí)，．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】做出的函數(shù)圖象，令與的函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，列不等式組求出的范圍．【解答】解：有3個(gè)零點(diǎn)，與的函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，作出得函數(shù)圖象如圖所示：若，即，則與的函數(shù)圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；若，即，則與的函數(shù)圖象有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；若，即，若與的函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，且，解得：．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練32】（2020?贛州模擬）關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，【分析】由題意畫出圖形，可知當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出直線與曲線相切時(shí)的直線的斜率，結(jié)合時(shí)直線在曲線上方求解．【解答】解：關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個(gè)不相等的實(shí)根，即在區(qū)間上有三個(gè)不相等的實(shí)根，也就是函數(shù)與在區(qū)間上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，，切線方程為，代入，可得，即，則，此時(shí)．再由，可得．關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【跟蹤訓(xùn)練33】（2020?江西模擬）已知函數(shù)，，則方程所有根的和等于A．1 B．2 C．3 D．4【分析】在坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的對(duì)稱性，然后求解零點(diǎn)的和即可．【解答】解：通過圖象可以知道函數(shù)，圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，并且兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以