2023-2024學(xué)年河北省邯鄲市大名縣高二年級(jí)下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)模擬試題 （含答案）

2023-2024學(xué)年河北省邯鄲市大名縣高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選(每題5分，共40分)

1,直線2rsin210°r-2=0的傾斜角是

A.45oB.135oC.30oD.150°

【正確答案】B

【分析】由題意，取得直線的斜率攵=-1,進(jìn)而可求得傾斜角，得到答案.

【詳解】由題意得左=2sin210°=—2sin30°=-1,故傾斜角為135°.故選B.

本題主要考查了直線的斜率與傾斜角，以及三角函數(shù)的求值，其中解答中根據(jù)直線的方程,

求得直線的斜率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知函數(shù)/(χ)的圖象如圖所示，那么下列各式正確的是()

A.Γ(l)<Γ(2)<Γ(3)<0

B.八1)〉八2)〉八3)〉0

C..r(3)<Γ(2)<,Γ(l)<0

D.∕,(3)>Γ(2)>∕,(l)>0

【正確答案】A

【分析】根據(jù)/O)的圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系判斷.

【詳解】由/(X)圖象知，/(X)遞減，BPf'(x)<0,但/(X)圖象的切線斜率隨著X的增大而

增大，導(dǎo)函數(shù)/(x)是遞增的,

因此y'(i)<∕'(2)<∕'⑶<o.

故選：A.

3,若拋物線V=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓?→q?=l的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)

線方程為()

A.x=-lB.x=lC.X=2D.X=-2

【正確答案】D

【分析】先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)即是拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出準(zhǔn)線方程.

22

【詳解】?.?橢圓土+匕=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

95

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

.?.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,

故選：D.

4.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為Szi,若%+仆=4+8,則S?]=()

A.28B.148C.168D.248

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝中，a1+as=a4+S=a4+an,

所以即=8,則邑=2"％)=2IaU=I68.

故選：C.

5.已知直線/：加x—歹―3加+1=0恒過(guò)點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作直線與圓C：(x—I)?+(y—2)2=25

相交于4B兩點(diǎn),則H用的最小值為()

A.4√5B.2C.4D.2√5

【正確答案】A

【分析】寫出直線的定點(diǎn)坐標(biāo)并判斷與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定最小時(shí)直線與直線CP

的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.

【詳解】由加(x-3)-y+l=0恒過(guò)P(3,l),

又(3-iy+(l-2)2=5<25,即P在圓C內(nèi)，

要使最小，只需圓心C(l,2)與P的連線與該直線垂直，所得弦長(zhǎng)最短,

由ICPI=6，圓的半徑為5,

所以∣Z8∣=2xj25-5=4右.

故選：A

6.在平行六面體4SCQ—GA中，。1為4G與8Q的交點(diǎn).若刀與，~AD=b,

AAi=c,則下列向量中與8。相等的向量是()

1-1γ-1-17-

A.-a-?--b+cB.——a+-h-3t-c

2222

1一Iy-1-1--

C.——a——b+cD.—a----p+c

2222

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：西=西+麗=函+;函—?1—?—?

BB∣+-BD=BB?+i(A4+JD)

12'

1—?1—?I-1一一

AA-—AB+—AD=——a+-b+c

i2222

故選：B

7.函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，其導(dǎo)函數(shù)為了'(X),則不等式(x+2)∕'(x)>0的解集為

A.(—∞,-2)U(2,+∞)B.(-1,1)

C.(-2,-l)U(l,+∞)D.(→x>,-2)U(-l,l)

【正確答案】C

【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象判斷/(X)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到XG(-*-1)或Xw(I,+∞)時(shí),

"(χ)>0;Xe(TI)時(shí)，r(x)<0,然后將(x+2)f'(x)>0轉(zhuǎn)化為1/3>°或

[x+2>0

f'{x]<0

rv7,解不等式組即可.

x+2<0

【詳解】由函數(shù)/(x)的圖象可知/(，)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(—1,1)上單調(diào)遞減，在

(1,+8)上單調(diào)遞增;

所以xe(-00,-l)或Xe(I,+?o)時(shí)，/C(x)>0；x∈(-l,l)?,f,(x)<O,

/c?、Cf∕,(x)>Of∕,(x)<O

又因?yàn)?x+2)/(x)>0n{，，或F,

x÷2>O[x+2<O

解得：-2v%v-l或x>l,

故選：C.

8./(X)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且/”(x)>∕(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù).恒成立，下列式子成

立的是()

?B.,z?(.)<≡

ee

C./(α)<e"(0)D./(α)>eV(0)

【正確答案】D

【分析】令尸(X)=絲?,求出尸(X),即可得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；

ex

,vr

f(x?x∕(x)e-∕(x)e/'(')—/(x)

【詳解】解：令F(X)=△〃，則R(X)=-------—T2--------=--------?-------.

exlex?e

因?yàn)?'(x)>∕(x),所以/'(X)-/(x)>0,所以F(X)>0,

所以R(X)在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)棣?gt;0,所以尸(。)〉尸(0),

即坐>坐，即/(α)>e"∕(0),故D正確，

eue

故選：D.

二、多選題(每小題5分，共20分.全部選對(duì)5分，部分選對(duì)2分，有選錯(cuò)的0

分)

9.已知數(shù)列｛%｝滿足4川=24,則下列說(shuō)法正確的有()

A.若％=2,則%=2"B.數(shù)列｛α,J為等比數(shù)列

C.若q=l,則數(shù)列｛為｝的前N項(xiàng)和為2"-lD.若q=T,則數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減

【正確答案】ACD

【分析】由題知4≠0時(shí)，數(shù)列｛4,｝為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的知識(shí)依次討論各選項(xiàng)

即可.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)q=2時(shí)，由。川=2%得以k=2,所以數(shù)列｛q,｝為等比

an

數(shù)列，?=2?故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)q=0時(shí)，an=0,此時(shí)數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)q=1時(shí)，由%+∣=2%得也=2,所以數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，

IX(I-2"111

所以，數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為」____Z=」_____^=2"-1，故C選項(xiàng)正確；

1-22-1

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)q=T時(shí)，由=2/得NiL=2,所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，

an

所以α,=-2"T,α,,+∣-%=-2"+2"T=-2"T<0,所以數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，故D選項(xiàng)正

確.

故選：ACD

?0.已知函數(shù)/(χ)滿足/(χ)=χ3-χ2∕，⑴,則()

A./"(1)=1B./(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增

C./(X)的極大值為OD./(X)在(0,1)上單調(diào)遞減

【正確答案】ABC

【分析】求導(dǎo)后令X=I即可求出/'(1)=1,再令/'(x)〉O即可求出/(χ)的單調(diào)區(qū)間與

極值，則可得判斷出答案.

【詳解】由/(力=/一》2/〈1)得/，(》)=3%2_2切〈1),

則/'(1)=3-2∕'(1),故/'(1)=1,故A正確；

則r(x)=3∕-2x,由/￠(X)=O得X=O或x=g,

且當(dāng)x<O或X>3時(shí)，∕4(x)>0,當(dāng)0<x<5時(shí)，/C(x)<0,

則/(x)在(一8,0),《,+8)上單調(diào)遞增，在(0,力上單調(diào)遞減，又/(0)=0,

所以/(x)的極大值為0,故B、C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.已知數(shù)列｛a,,｝滿足勺+2%+--+2")”=〃2用，則()

A.Q]=4

B.｛4｝的前10項(xiàng)和為150

C.｛(一1)%“｝的前11項(xiàng)和為一14

D.M-IO|｝的前16項(xiàng)和為168

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)遞推公式得%=2〃+2,進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷AB,根據(jù)并項(xiàng)

求和可判斷C,根據(jù)正負(fù)去絕對(duì)值以及等差數(shù)列求和可判斷D.

【詳解】由％+2%+…+2"TaZl="?2"∣得：當(dāng)〃≥2時(shí)，

2n

ai+2a2+???+2"-a^=(w-l)?2,兩式相減得2"%”=〃2向一(〃一1)2"=("+1)2",

故α,,=2〃+2,(〃32),當(dāng)〃=1時(shí)，％=4也符合，故g=2“+2,

對(duì)于A,4=4,故A正確，

對(duì)于B,｛%｝的前10項(xiàng)和為(4+2j)xl°=130,故B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,{(一l)"4,,}的前11項(xiàng)和為+。2+%_…一%=—4+5，(-2)=-14,故C

正確,

對(duì)于D,當(dāng)%—10=2〃—8>0,解得〃〉4

10-a,,l≤n≤3*

所以1%-叫=?"∕∈N

an-10,π>4

所以｛∣4-10∣｝的前16項(xiàng)和為

(10_Q])+(10_)+(10-%)+(%T0)+QT。)…+@6T。)

/\\(0+24)'13U-

=(6+4+2)+(0+2+4+???+24)=12+Δ——W——=168,故D正確,

故選：ACD

12.在正方體Z5CD—44GA中，E是棱Ca上一點(diǎn)，且二面角C—Z8—E的正切值為

也，則()

2

異面直線AE與BC所成角的余弦值為叵

A.

5

B.在棱AB上不存在一點(diǎn)F,使得C1F//平面BDE

C.Bl到平面ABE的距離是C到平面ABE的距離的倍

D.直線BE與平面BDDlBl所成角的大小等于二面角C—AB—E的大小

【正確答案】CD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角C-N8-E的正切值求出點(diǎn)E的位置，利用空

間向量與線面之間的關(guān)系可列式得出A、B、D選項(xiàng)；利用等體積法即可求出用到平面/8E

的距離和C到平面/5E的距離，即可判斷出選項(xiàng)C.

【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2

因?yàn)槎娼荂—/8-E的正切值為YZ,所以二面角C—48-E的余弦值為業(yè)

23

一,、uλ

設(shè)平面ABC的法向量為nl=(0,0,1),設(shè)平面ABE的法向量為〃2=(X),z)

Z(2,0,0),8(2,2,0),￡(0,2,2),Iff=(0,2,0),AE=(-2,0,2)

AB?n=2y=0

2設(shè)χ=l,解得%=1,0,1

BE?幾,=—2x+Λz=0A

_-4∕J2AE2-DE24+10-6_√10

AE=√10，AD=2，DE=√F6，cosNDAE=-2--------------------=

2?AD?AE2×2×√iθ^5

A錯(cuò)誤;

8(2,2,0),E(0,2,√Σ),￡)(0,0,0),麗=(2,2,0),瓦=(θ,2,√∑)

設(shè)平面BZ)E法向量為〃3=(x,y,z)

DB?%=2x+2y=0

設(shè)X=1,解得點(diǎn)=(1,—1,收)

DE?%=2y+y∣2z-0

C1(0,2,2),C(2,y,0),于=(2)-2,-2)

若GF”平面BDE,則可W=2—y+2—2亞=0,解得y=4-2√Σ<2

故在棱Z8上存在一點(diǎn)尸，使得G廠〃平面BOE,B錯(cuò)誤；

設(shè)用到平面NBE的距離為4,C到平面48E的距離為力2,其中SMBE=&

VBABE=VEABB^~×4β×h.^-×2×2,解得“=2^5

Oj-ADILE.-ADD^?I3'3

VC-ABE=VE-ABC=LXaXh=L02,解得%=空，%=立刈，C正確；

333

5^=(-2,0,√2),平面BDD內(nèi)的法向量為k=(-2,2,0)

/=十\礪.就4√3

CoS(BE,AC)=同園=而點(diǎn)直線8￡與平面BDDIBl所成角的余弦值為

—,D正確.

3

故選：CD

三、填空題(每題5分，共20分)

13.已知函數(shù)［(x)=Sinπx,則/'(1)=.

【正確答案】一兀

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求得/'(X)=TICoSπx,進(jìn)而求得了'⑴的值.

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=Sinπx,可得/'(X)=兀CoSπx,則/"⑴=兀COS兀=一兀.

故答案為.一兀

14.設(shè)數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S.,點(diǎn)卜wwN*)均在函數(shù)y=3x—2的圖象上，則數(shù)

列｛%｝的通項(xiàng)公式q=.

【正確答案】α,,=6〃—5(〃eN*)

【分析】代入法求得S.，由S”表達(dá)式數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，求得首項(xiàng)和公差后可得通項(xiàng)公

式.

【詳解】依題意得號(hào)L=3〃-2,即S“=3M2-2〃，所以數(shù)列｛α,,｝為等差數(shù)列，且q=S∣=1,

n

a2=S1-Sx=1,設(shè)其公差為d,則d=6,所以a“=6〃一5（〃eN*）.

故答案為.4,,=6〃—5（〃eN*）

15.2022年北京冬奧會(huì)開幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時(shí)，它將中國(guó)人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩(shī)

歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來(lái).我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖所示，

IIK逐*殳小

H長(zhǎng)W羸變大

相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日號(hào)長(zhǎng)變化量相同，冬至日號(hào)長(zhǎng)最長(zhǎng)，夏至日號(hào)長(zhǎng)最短，周而復(fù)始.已知冬

至日唇長(zhǎng)為13.5尺，芒種日辱長(zhǎng)為2.5尺，則一年中夏至到大雪的日唇長(zhǎng)的和為尺.

【正確答案】84

【分析】根據(jù)給定條件可得以冬至日號(hào)長(zhǎng)為首項(xiàng)，芒種日號(hào)長(zhǎng)為第12項(xiàng)的等差數(shù)列，求出

公差即可列式計(jì)算作答.

【詳解】依題意，冬至日唇長(zhǎng)為13.5尺,記為％=13.5,芒種日唇長(zhǎng)為2.5尺,記為a12=2.5,

因相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日展長(zhǎng)變化量相同，則從冬至日皆長(zhǎng)到芒種日唇長(zhǎng)的各數(shù)據(jù)依次排成一列

得等差數(shù)列｛a.｝,〃eN*,〃≤12,

數(shù)列Sj的公差d=笠;=2；[；5=_],

因夏至與芒種相鄰，且夏至日號(hào)長(zhǎng)最短，則夏至的日展長(zhǎng)為q+d=L5,

又大雪與冬至相鄰，且冬至日唇長(zhǎng)最長(zhǎng)，則大雪的日唇長(zhǎng)為α∣2+d=12?5,

顯然夏至到大雪的日暑長(zhǎng)依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項(xiàng)為1.5尺，末項(xiàng)為12.5尺，共

12項(xiàng),

所以一年中夏至到大雪的日號(hào)長(zhǎng)的和為2=84(尺).

故84

IIgXl-LX〉O

16.設(shè)函數(shù)/(X)=,若方程/'(X)=m至少有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)

et+2(x+2),x≤0

數(shù)m的取值范圍為

【正確答案】一1,2e2

e

【分析】當(dāng)x≤0時(shí)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)在x≤0上的

最小值，再畫出函數(shù)圖象，依題意V=∕'(x)與V="的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖

形即可求出參數(shù)的取值范圍；

【詳解】解：當(dāng)χ≤0時(shí)，由/(x)=e'+2(χ+2)得r(X)=e'+2(χ+3),

當(dāng)x<-3時(shí)，/'(χ)<0,當(dāng)-3<x≤0時(shí)，/小)>0,

故)(x)在(一叫一3)上單調(diào)遞減，在(一3,0］上單調(diào)遞增，

又/(—3)=j所以當(dāng)χ≤0時(shí)，/(x)的最小值為T，

且x<-2時(shí)，/(x)<0,當(dāng)χ>0時(shí)/(x)=∣lgx∣T,易知/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

在(1,+8)上單調(diào)遞增，又/(1)=-1,所以當(dāng)jc>o時(shí)，/(x)的最小值為T,畫出函數(shù)

V=/'(X)與V=加的圖象如圖所示，

由圖可知，要使方程/（X）=加至少有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即V=∕（x）與V=加的圖象至

少有3個(gè)交點(diǎn)，只需加G-p2e2.

故—1,2e?

e

四、解答題（17題10分，其他各題12分，共70分）

17.記S,為等差數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和.已知q=4,公差d>0,4是％與％的等比中項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列前〃項(xiàng)和為Z,.

【正確答案】（=）a“=4〃（〃eN*）；②Tn="

'z2（〃+1）

【分析】（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件列出等式即可求得M代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公

式即可得解；（2）求出等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前〃項(xiàng)和

。J

為&

【詳解】（1）因?yàn)?是%與％的等比中項(xiàng)，所以。：=牝4,

即(q+3d)2=(q+d)(q+7d)nd2_4d=o,解得[=4或d=o,

又d>O,所以d=4,數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4,,=α∣+(〃-1)1=4〃(〃∈；

n(a1+an)911lf?1｝

⑵F=----------=2n2+2n,?~∑~=~~∑-=----------

2Sn2n~+2n2?nn+1√

T1

則Tn=三+

3]

1\(

=-1----+--------+...+------------II——1---------=-----------

2?2)\23)?n∏+1√J2(∕2+l√2(〃+1)

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前九項(xiàng)和公式，裂項(xiàng)相消法求和，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知函數(shù)/(x)=d-3x+a,g(x)=sinx-x.

(1)求y=∕(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)VXlN0,x2>0,∕α"g(w)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)遞增區(qū)間為(—8,-1),(l,+∞),遞減區(qū)間為(一1,1)；(2)[2,+∞).

【分析】(1)求出/'(x),令/'(x)〉0,/'(x)<0解出不等式，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)依題意有(7(x))mmNg(XLv,利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)/(x),g(x)的單調(diào)區(qū)間，得

出對(duì)應(yīng)的最值，從而得出答案.

【詳解】(1)∕,(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1)

令/'(x)〉0,解得x>l或x<-l,/'(x)<0,解得—l<x<l

X(-∞,-l)-1(TI)1(l,+∞)

/⑴+0—0+

/(x)增極大值減極小值增

由上表知/(x)的遞增區(qū)間為(一8,—1),(l,+∞),遞減區(qū)間為(—1,1).

⑵依題意有(/(χ))而n2g(x),“

由(1)知當(dāng)X≥O時(shí)(/(X))Innl=/"⑴=a—2.

而g,(x)=cosx-l≤0,g(χ)在［0,+8)上為減函數(shù),

所以當(dāng)X≥0時(shí)(g(x))max=g(0)=0.

Λa-2≥0,α≥2.

故α的取值范圍為［2,+8).

19.如圖，四棱錐尸一ZBCO的底面為菱形且/84)=60°,PZ_L底面/8C。，AB=I,

PA=2√3.E為尸C的中點(diǎn).

(1)求直線。E與平面以C所成角的大?。?/p>

(2)求二面角E—NO—C平面角的正切值.

【正確答案】(1)30°

(2)2

【分析】(1)建系，利用空間向量求線面夾角；

(2)利用空間向量求二面角.

【小問1詳解】

連結(jié)對(duì)角線/C、8D相交于點(diǎn)O,連結(jié)DE、OE,

?.?O,E分別為ZC,尸C的中點(diǎn)，則E0〃PZ,Eo=LPA=6

2

且PA1平面ABCD,則EO±平面ABCD,

o

：底面是菱形∕8CA,ZBAD=60,AB=2,PA=2也,則8Z>2,y4C=2√3，

以。為原點(diǎn)，OA、OB、OE所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則有O(0,0,0),z(√J,o,o),c(-√3,o,o),D(0,-ι,o),E(O,O,ΛΛ),

可得瓦=值,1,6)，Σ5=(-√3,-1,O).

UUU

;平面aιc的法向量為。。=(o,-ι,o),

I—.—IODDE∣-i∣1

?cos(OD,0E〉=___=U=—,

11OD^DE1×22

設(shè)直線DE與平面PAC所成的角θ∈[0o,90°],則Sine=；,

故直線QE與平面Λ4C所成的角為30°.

【小問2詳解】

設(shè)二面角E-AD-C的平面角為a∈(0o,90o),

平面ADC的法向量為OE=倒,0,√3),

fAD-h=-y∣3x-y=0

設(shè)平面的法向量為萬(wàn)=(x,y,z),貝葉―L

[DE`n=>,+√3z=0

令X=I,則y=-JJ,z=l,得到萬(wàn)=(1,—退,1),

IUUUrr

?OE?n同=6

>=r∣UUΓ

√3×√5^5

同I。E

即cosa=—>則Sina=?/l-eos2a-，?'?tana=2,

55

故二面角E-AD-C的平面角的正切值是2.

20.己知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且滿足S,=2"+M(M∈R).

(1)求機(jī)的值及數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)?Z>π=∣log2αn-5∣,求數(shù)列｛、｝的前〃項(xiàng)和..

【正確答案】(1)m=-ι,%=2"-∣

??n-n^.,

----------,l≤w<6

2

⑵Tn='

W2-1Irt+60/

-----------------,〃>6

2

,,

【分析】⑴當(dāng)〃22時(shí)，S=2^'+m,兩式相減得all=2"∣≥2),由q=2∣+加=1,

可求出加的值；

(2)由(1)知〃=-6],由絕對(duì)值的定義結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出數(shù)列{〃}

的前〃項(xiàng)和Tn.

【小問1詳解】

因?yàn)镾,=2"+m,所以〃22時(shí)，SZIT=2"-∣+m,所以%=2"-∣(〃22).

1

又由數(shù)歹J｛《,｝為等比數(shù)列，所以an=2"τ.又因?yàn)閝=￡=2∣+加=2^'=1,所以押=-1,

綜上m=-l,α,,=2"^l.

【小問2詳解】

由(1)知=?n-6?,

業(yè),i∕4∏I-T-5+n-6Wn-n~

當(dāng)1≤〃≤6時(shí)，TK=-----------×n---------,

”_Xth+ττ1+M-6/,?(?-5)(/?-6)n^-11?+60

當(dāng)〃>6時(shí)，T11=[+-------×(n-6)=15+------------=-------------

222

llw-rt2

1≤〃≤6

2

所以北=”

?2-IIM+60

,n>6

2

21.已知拋物線E：/=2處仍＞0)的焦點(diǎn)為尸，J(2,yo)是E上一點(diǎn)，且∣∕∕=]=2.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)3是E上異于點(diǎn)/的一點(diǎn)，直線N8與直線y=x—3交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作X軸的

垂線交E于點(diǎn)證明：直線過(guò)定點(diǎn).

【正確答案】(1)x2=4乃(2)證明見解析.

【分析】

(1)利用拋物線的定義與性質(zhì)求得P的值，即可寫出拋物線方程；

(2)設(shè)點(diǎn)8(?,乂)、Λ∕(x2,y2),由直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，消去V,利用韋

達(dá)定理和A、尸、8三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)整理可得的方程，從而求出直線所過(guò)的定點(diǎn).

【詳解】(1)由題意得F1°2,解得『，

2次=41%-

所以，拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為χ2=4y.

(2)證明：

設(shè)點(diǎn)8(占,%)、M(x2,y2),設(shè)直線的方程為夕=丘+6,

y-kx+b

聯(lián)立，“，消去P得/一4米—46=0，

%=4y

由韋達(dá)定理得$+%=4左，XlX2=Yb,

由MPLx軸以及點(diǎn)尸在直線y=x-3上，得尸(%,%—3)，

X7-4kxλ+b—1

則由A、P、B三點(diǎn)共線，得一——,

X2-2xl-2

整理得(%—1)%工?—(2左一4)%+(b+1)x2—2b—6=0,

將韋達(dá)定理代入上式并整理得(2-玉)(2%+6—3)=0,

由點(diǎn)8的任意性，得2左+6—3=0,得b=3-2k,

所以，直線的方程為y=Ax-2左+3=左(x—2)+3,即直線8M過(guò)定點(diǎn)(2,3).

本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線和拋物線的位置關(guān)系，以及直線過(guò)定點(diǎn)的應(yīng)用問題，利用韋

達(dá)定理處理由A、P、8三點(diǎn)共線是解第二問的關(guān)鍵，是中檔題.

22.已知函數(shù)/(x)=lnx+gαχ2-(a+l)x(α∈R).

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)y=∕(χ)的極值；

(2)求當(dāng)α>0時(shí)，函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值。(a)；

1,

(3)若關(guān)于X的方程/(x)=∕αχ2有兩個(gè)不同實(shí)根士展，求實(shí)數(shù)。的取值范圍并證明:

2

x1?x2>e.

【正確答案】U)極大值為一M2-極小值為一2

11

Id—ae~7—(4+l)c,0<Q≤—

2e

IlI

(2)Q(a)="-I1na-------L-<a<11

2ae

--a-i,a≥1

2

(3)-l<a<?-l,證明見解析

e

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值的概念即可得到結(jié)果；

(2)由函數(shù)/3的定義域是(0,+8),分為α>O,O<'vi,l<?L<e和工≥e四種情況,

aaa

進(jìn)行分類討論即可求出結(jié)果；

(3)根據(jù)題意和函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，當(dāng)一l<α<g-l時(shí)，/(x)=∣αr2

有兩個(gè)不同實(shí)根網(wǎng),馬，滿足InXl=(α+l)X］,Inx2=(α+l)x2,兩式化簡(jiǎn)得到

Inx,x2_x1+x2

ln?^x2-X1.不妨設(shè)玉</，利用分析證明法和換元法即可證明結(jié)果.

再

【小問1詳解】

當(dāng)“=2時(shí)，函數(shù)/(x)=InX+x?-3x(x>0).

((X)=工+2x—3=(2XT)(XT),

XX

令f'(x)=。，得X=I或X=L

2

當(dāng)x∈(O,J時(shí)，/”(x)>0,/(χ)在(0,；)上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，/'(x)<0,/(χ)在(；,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)Xe(I,+8)時(shí)，∕,(x)>0,/(χ)在(1,+00)上單調(diào)遞增,

則/(?)在X=L處取得極大值，在X=1處取得極小值.

2

極大值為/(3=-In2-=,極小值為/⑴=-2.

24

【小問2詳解】

函數(shù)/(χ)的定義域是［l,e］,

1ɑ(?-?)(^-l)

∕,