中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)詳解：一元二次方程(含中考真題解析)

專題08一元二次方程

W解讀考點(diǎn)

知識點(diǎn)名師點(diǎn)睛

一元二次方程的概念會(huì)識別一元二次方程。

一元二1.

次方程

的概念2.一元二次方程的解會(huì)識別一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解。

解法步驟能靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?/p>

b2-4ac是一元二次方程

根的判

ax2+bx+c=0（a≠0）的判別會(huì)判斷一元二次方程根的情況。

別式

式

根與系

bc

數(shù)的關(guān)會(huì)靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題。

系xl+x2=U,xlx2=U

一元二

由實(shí)際問題抽象出一元二次方要列方程，首先要根據(jù)題意找出存在的等量關(guān)系.

次方程

程最后要檢驗(yàn)結(jié)果是不是合理.

的應(yīng)用

KT2年中考

【題組】

1.（來賓）已知實(shí)數(shù)。，葭滿足"+工=7,'L12,則以。為根的一元二次方

程是（）

A.V7ι*l2=OB.'?7`+12=0c.×1÷7x-l2=0

D.'7V120

【答案】A.

【解析】

試題分析：以「為根的一元二次方程'>-R0,故選A.

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.

2.（河池）下列方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）

A.1\?I二（）B4τ-21÷I=0c'412r<36=0

D.','〕?l

【答案】C.

t解析】

試題分析：A?方程/-x+l=O,?.?2?=l-4V0,方程無實(shí)額根；

B.方程4∕+2x+l=0,VΔ=4-16<0,方程無實(shí)數(shù)根J

c.方程/+I2χ+36=O,?.?a=ι?μ-μμ=o,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

?.方程/+χ-2=o,???a=ι+s>o,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

故選C.

考點(diǎn)：根的判別式.

3.(貴港)若關(guān)于X的一元二次方程("-∣)K-2r+2"有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為

()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】B.

【解析】

試題分析：；關(guān)于X的一元二次方程3-D∕-2x+2?0有實(shí)數(shù)根，...4=(-2>-8("-l)

,3

=12X"?()且“1*0,Λ2且。工1,.?.整數(shù)a的最大值為0.故選B.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.一元二次方程的定義.

4.(欽州)用配方法解方程+∣0κ-9=0,配方后可得()

23

A.(1"=16b.(>*^∣,-Ic(t+IO)-91D(X+1O)-1O9

【答案】A.

【解析】

試題分析：方程/+∣0x+9=0,整理得：.T+∣0N=-9,配方得：Λ+IOx+25=16,

即“+"16,故選A.

考點(diǎn)：解一元二次方程-配方法.

5.(成都)關(guān)于X的一元二次方程八二2、I-"有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則人的取值范

圍是()

A.λ>B.人-1c.八0D.*-1KA?0

【答案】D.

【解析】

試題分析：是一元二次方程，??.人，0,???有兩個(gè)不想等的實(shí)數(shù)根，則A>0,則有

'［一』,'I卜」，.?"，I且八（），故選D.

考點(diǎn)：根的判別式.

6.（攀枝花）關(guān)于X的一元二次方程（'〃、，''"有兩個(gè)不相等的正

實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）

331.3、

m>—m>---<m<2-<m<2

A.4B.4且加W2C.2D.4

【答案】D.

【解析】

試題分析：根據(jù)題意得力一2=0且a=（2m+l）;-4（m-2X物—2）>0,解得且物k2,

?w?1M7-2

設(shè)方程的兩根為人3貝必+6=-^——>Q,ab=一?=1>0,而2次+1>0一?.花-2<0,即加<

w-2W-2

；.M的取值范圍為；<W<2.故選D?

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.一元二次方程的定義.

7.（雅安）已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程1-4」3-“的根，則該三

角形的周長可以是（）

A.5B.7C.5或7D.10

【答案】B.

【解析】

試題分析：解方程'-J'+、-0，（X-1）（χ-3）=0,解得'','-I

???當(dāng)?shù)诪?,腰為1時(shí)，由于3>1+1,不符合三角形三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形；

；?等腰三角形的底為1,腰為3；

.?.三角形的周長為1+3+3=7.

故選B.

考點(diǎn)：1.解一元二次方程-因式分解法；2.三角形三邊關(guān)系；3.等腰三角形的性質(zhì)；4.分

類討論.

8.（巴中）某種品牌運(yùn)動(dòng)服經(jīng)過兩次降價(jià)，每件件零售價(jià)由560元降為315元，已知兩次降

價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率.設(shè)每次降價(jià)的百分率為X,下面所列的方程中正確

的是（）

A2（Wl-Il1尸B.Vh（M-Il5Q5^<K∣-2?ι5

D.560(I-X”315

【答案】B.

【解析】

試題分析：設(shè)每次降價(jià)的百分率為X,由題意得：560(I-Xy=315,故選B.

考點(diǎn)：1.由實(shí)際問題抽象出一元二次方程；2.增長率問題.

(m-2)x:-—=O

9.(達(dá)州)方程4有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍()

5,5

m>-m≤-

A.2B.2且c.a?1D."L'且加'2

【答案】B.

【解析】

ΛJ-2MO

<3-∕w≥O

Δ=(~<j3-m)2-4(m-2)×?≥Om≤--

試題分析：根據(jù)題意得：4,解得2且故

選B.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.一元二次方程的定義.

10.(瀘州)若關(guān)于X的一元二次方程'>+4R?∣。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則一次

【答案】B.

【解析】

試題分析：；丁一1「好一有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，.?2=4-4(kb+l)>0,解得

kb<O,

A.k>0,b>0,即kb>O,故A不正確；

B.k>0,b<0,即kb<O,故B正確；

C.k<0,b<O,即kb>O,故C不正確；

D.k>0,b=O,即kb=O,故D不正確；

故選B.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.一次函數(shù)的圖象.

11.(南充)關(guān)于X的一元二次方程》，八.二〃。有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的

一元二次方程”同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正?給出四個(gè)結(jié)論：①這兩

個(gè)方程的根都是負(fù)根；②DI)?；③-I.2"，2/r1.其中正確結(jié)論的個(gè)

數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C.

【解析】

試題分析：①兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，兩個(gè)根同號，由韋達(dá)定理有，xxxz=ln>0,V1V2=2W>0,

V1+v;≈-2n<0,再+X：=-2m<0，這兩個(gè)方程的根都為負(fù)根，①正確；

②由根判別式有：△=—4&c=4"20,Δ=b^-4ac=4n*—8w≥0,4w*—8?=m^—2?7≥0,

4n:-8w=??:-2w≥0,w:-2??+l+?;:-2>7+l≥2,+(X-I)：22,②正確；

③*?'Ji+V2=-In，yly2=2m,：.Im-In=y1+y2+y1v,,Vj1與此都是負(fù)整數(shù)，不妨令M=-3，

V；=-5，則:2nι-2)t=-S-15=7,不在-1與1之間，③錯(cuò)誤，

其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是2,故選C.

考點(diǎn)：1.根與系數(shù)的關(guān)系；2.根的判別式；3.綜合題.

12.(佛山)如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，原空地一邊減少了2m,另一

邊減少了3m,剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長是()

【答案】A.

【解析】

試題分析：設(shè)原正方形的邊長為xm,依題意有：(x-3)(χ-2)=20,解得：x=7或.故選

A.

考點(diǎn)：1.一元二次方程的應(yīng)用；2.幾何圖形問題.

13.（懷化）設(shè)。，。是方程\U的兩個(gè)根，則陽,+L的值是（）

A.19B.25C.31D.30

【答案】C.

【解析】

,

試題分析：：內(nèi)，毛是方程/+5x-3=0的兩個(gè)根，..x1+X,=-5,XIW

:

xf+xj=（x1+x；）-2x1x,=25+6=31.故選C.

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.

14.（安順）若一元二次方程'2'，"二0無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù),∣的

圖象不經(jīng)過第（）象限.

A.四B.ΞC.二D.—

【答案】D.

【解析】

試題分析：；一元二次方程T-11,10無實(shí)數(shù)根，，△<（）,；.Z?=4-4（-m）=4+4m

<0,Λm<-1,Λm+I<l-1,即m+l<0,m-K-1-1,BPm-K-2,一次函數(shù)

J-I）'-ET的圖象不經(jīng)過第一象限，故選D.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

15.（山西?。┪覀兘庖辉畏匠叹拧?ι=O時(shí)，可以運(yùn)用因式分解法，將此方程化為

3"L’0,從而得到兩個(gè)一元一次方程：0或'20,進(jìn)而得道原方程的解為

?vg,工2.這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.轉(zhuǎn)化思想B.函數(shù)思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.公理化思想

【答案】A.

【解析】

試題分析：我們解一元二次方程3ι'-6.10時(shí)，可以運(yùn)用因式分解法，將此方程化為

M（Y2?0,從而得到兩個(gè)一元一次方程："或120,進(jìn)而得道原方程的解為

?°,`2.這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，故選A.

考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法.

16.（棗莊）已知關(guān)于X的一元二次方程J+""-"-U的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為'

’,則m+n的值是（）

A.-10B.10C.-6D.2

【答案】A.

【解析】

試題分析：；關(guān)于X的一元二次方程/+wx+n=O的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為?i=-2,x2=4,：.-2+4=-m,

-2X4=?,解得：?1=~2,W=-S,.,.?ZJ+?!=-10,故選A.

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.

(“-2>r?-I?u-1)v?“+-="

17.（淄博）若a滿足不等式組,則關(guān)于X的方程2

的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.以上三種情況都有可能

【答案】C.

【解析】

2u-?≤?

----->2（20*?l）--4（α-2）（α?—）

試題分析：解不等式組2,得a<-3,VΔ=2=2a+2,

（a-2）.v-（2a1）.v*u+?=O

Va<-3,ΛΔ=2a+2<0,二方程2沒有實(shí)數(shù)根，故選C.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.一元一次方程的解；3.解一元一次不等式組；4.綜合題.

18.（煙臺）如果'一一I（'一『'，那么X的值為（）

A.2或-1B.0或1C.2D.-1

【答案】C.

【解析】

試題分析：；''-IO",;.?'II,即（x-2）（x+l）=O,解得：,,、，

T,當(dāng)X=-I時(shí)，x+1=0,故X￥-1,故選C.

考點(diǎn)：L解一元二次方程-因式分解法；2.零指數(shù)幕.

19.（煙臺）等腰三角形邊長分別為a,b,2,且a,b是關(guān)于X的一元二次方程3-6x?〃-1二Q

的兩根，則n的值為（）

A.9B.10C.9或10D.8或10

【答案】B.

【解析】

試題分析：三角形是等腰三角形，；.①平2,或打2,②金立兩種情況：

①當(dāng)a=2,或?=2時(shí)，?.F,b是關(guān)于X的一元二次方程/-6X+H-I=O的兩根，.?.x=2,把戶2代入

2

x-6x+"-l=0得,4-6×2+ji-l=0,解得:『9,當(dāng)歸9,方程的兩根是］和4，而2,4,2不能組成

三角形，故，尸9不合題意；

②當(dāng)一時(shí)，方程/-6x+,7-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，:.△=(-6)：7GLD=0,解得：，尸10,故

選3.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.一元二次方程的解；3.等腰直角三角形；4.分類討論.

20.(大慶)方程"「5)的根是

=17

【答案】15,'-3.

【解析】

試題分析：方程變形得："、"?'",分解因式得：‘、川"”',可

1717

得X5()或"17=0,解得：'；\3.故答案為：`

考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法.

21.(甘孜州)若矩形ABCD的兩鄰邊長分別為一元二次方程``7VH2?0的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根，則矩形ABCD的對角線長為

【答案】5.

【解析】

試題分析：方程/-7x+l2=O,gp(x-3Xx-4)=0j解得：X1=3,0=4,則矩形

ABCD的對角線長是：V'4,=5.故答案為：5.

考點(diǎn)：1.矩形的性質(zhì)；2.解一元二次方程-因式分解法；3.勾股定理.

22.(達(dá)州)新世紀(jì)百貨大樓“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了迎

接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查，如果每件童裝降價(jià)1元，那么平

均每天就可多售出2件.要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，則每件童裝應(yīng)降價(jià)多少

元？設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)X元，可列方程為

【答案】(40-x)(20+2x)=1200.

【解析】

試題分析:設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)X元，可列方程為：(40-χ)(20-2x)=1200.故答案為:(40-χ)(20-2x)

=1200.

考點(diǎn)：I.由實(shí)際問題抽象出一元二次方程；2.銷售問題.

23.（廣元）從3,0,—1,-2,一3這五個(gè)數(shù)中抽取一個(gè)敖，作為函數(shù)J八和關(guān)

于X的一元二次方程*1l'*w'-1"中m的值.若恰好使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三

象限，且使方程有實(shí)數(shù)根，則滿足條件的m的值是.

【答案】2.

【解析】

試題分析：；所得函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，.?.<5,二3,0,-

1,-2,-3中，3和-3均不符合題意，

將m=0代入"八-IU中得，「-1rθ,Z?=-4<0,無實(shí)數(shù)根；

將加=T代入（'"-D'""八7=°中得，7+1=0,X=I,有實(shí)數(shù)根，但不是一元

二次方程；

將WJ=2代入<吁1八*〃八-I=U中得,.V-2VI<∣,Δ=4+4=8>0,有實(shí)數(shù)根.

故m=2.故答案為：2.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；3.綜合題.

nm

24.（涼山州）已知實(shí)數(shù)m,n滿足3"+6≡-5=0,3”+6"-5=0,且mw”，則∣wn

■2一?

【答案】-5.

【解析】

試題分析：V"時(shí)，則m,n是方程3J-6-5-O的兩個(gè)不相等的根，,加?"-2,

5

mn=一-

2'-2x（-；）22

m3+Λ2（m+〃）'2mn55^22

；?原式=WM==,故答案為：5.

考點(diǎn)：1.根與系數(shù)的關(guān)系；2.條件求值；3.壓軸題.

25.（瀘州）設(shè)空、L是一元二次方程VCI="的兩實(shí)數(shù)根，貝『丫的值

為.

【答案】27.

【解析】

試題分析：;百、七是一元二次方程x：-5x-l=O的兩實(shí)數(shù)根，二百+上=5,x1x.=-1,

z:

+x2=（x1+x;）-2xlx?*25-2≡2^,故答案為：

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.

26.（綿陽）關(guān)于m的一元二次方程、"〃；'“的一個(gè)根為2,則"'

【答案】26.

【解析】

試題分析：把m=2代入、？"°得4、,〃-2〃2=°,整理得：

，，.后〃+—=2?（Λ+-）2-2C不??

〃"=2、，”所以n,所以原式=n=（-、＞-=26.故答案為：

26.

考點(diǎn)：一元二次方程的解.

II,

27.（內(nèi)江）已知關(guān)于X的方程'6v+A"的兩根分別是。，L,且滿足'1,

則k的值是.

【答案】2.

【解析】

試題分析：Y關(guān)于X的方程『（＞'+人"的兩根分別是'6,'v-k,

J1V÷Λ6.

—?—-=--------=——3

VJ-''A,解得：k=2,故答案為：2.

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.

28.（咸寧）將'?C'+'配方成"的形式，則m=.

【答案】3.

【解析】

試題分析：x2+6x+3=（x+3）2-6=（x+w）2+n,則W=3,故答案為：3.

考點(diǎn)：配方法的應(yīng)用.

29.（荊州）若m,n是方程/7?＜）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，J-.”的值為

【答案】0.

【解析】

試題分析：：m,n是方程'?，I="的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，???〃，一〃-I,，〃?，”I,則

原式=（川-〃…W）=I-I=0,故答案為：0.

考點(diǎn)：1.根與系數(shù)的關(guān)系；2.一元二次方程的解.

30.（曲靖）一元二次方程'5」<有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且兩根之積為正數(shù)，若C

是整數(shù)，則C=.（只需填一個(gè)）.

【答案】故答案為：1,2,3,4,5,6中的任何一個(gè)數(shù).

【解析】

試題分析：???一元二次方程-有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，-

25

解得’4,：'+一',''T'c是整數(shù)，.?.c=l,2,3,4,5,6.故答案為：

1,2,3,4,5,6中的任何一個(gè)數(shù).

考點(diǎn)：L根的判別式；2.根與系數(shù)的關(guān)系；3.開放型.

31.（呼和浩特）若實(shí)數(shù)a、b滿足ILI-'",則"?/'=.

A

【答案】2或1.

【解析】

試題分析：設(shè)“?A=χ,則由原方程，得：4'14『?|s0,整理，得：□'IH'h0,

?_￡_￡

解得、"^2,4l,則。一八的值是一、或1.故答案為：或L

考點(diǎn)：換元法解一元二次方程.

32.（吉林省）若關(guān)于X的一元二次方程'A+m（J有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值

可能是（寫出一個(gè)即可）.

I

m<—

【答案】答案不唯一，只要4即可，如：0.

【解析】

試題分析：：一元二次方程x2-x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；.△=1-4根>0,解得加<；,故答

案為：答案不唯一，只要崔即可，如：0.

考點(diǎn)：1?根的判別式；2.開放型.

I2

33.（畢節(jié)）關(guān)于X的方程'-』r+3-0與K-I-K-U有一個(gè)解相同，則a=

【答案】1.

【解析】

試題分析：由關(guān)于X的方程'41+10,得：6-1）6-3）=0,；?-1=0,或*-3=0,

I2I2

aaaaaaιIBBHBfl

解得x=l或x=3；當(dāng)x=l時(shí)，分式方程'I''a無意義；當(dāng)x=3時(shí)，3?3，”,解

得a=l,經(jīng)檢驗(yàn)a=l是原方程的解.故答案為：1.

考點(diǎn)：1.分式方程的解；2.解一元二次方程-因式分解法；3.分類討論.

34.（畢節(jié)）一個(gè)容器盛滿純藥液40L,第一次倒出若干升后，用水加滿；第二次又倒出同

樣體積的溶液，這時(shí)容器里只剩下純藥液10L,則每次倒出的液體是L.

【答案】20.

【解析】

40—X

40-X----------?χ=IO

試題分析：設(shè)每次倒出液體xL,由題意得：40,解得：χ=60（舍去）

或x=20.故答案為：20.

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用.

35.（日照）如果m,n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足加：3,那么代數(shù)

式？”mu-1?i?2∣∣l?-.

【答案工

【解析】

zz

試題分析:由題意可知:叫“是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),且滿足m-m=3,n-n=3,所以叫“是V-x-3=0

的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：咕+，日，小產(chǎn)-3,又/=?+3,則

2w:-ww+2w+2015=2（?i+3）-???!+2?1+2015=2>?+6-?M?!+2?r+2015=2（?r+?i）->??+2021=2×1-（-3）

+2021=2+3+2021=2026.故答案為：2026.

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.

36.（成都）如果關(guān)于X的一元二次方程，Z'一'一<°有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另

一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”.以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的是

.（寫出所有正確說法的序號）.

①方程'」-r-20是倍根方程；

②若O是倍根方程，貝U4"，：+5〃，〃+〃（）；

y≈-1

③若點(diǎn)（兒,/）在反比例函數(shù)、的圖像上，則關(guān)于X的方程/'、是倍根方

程;

④若方程。J.八一，二°是倍根方程，且相異兩點(diǎn)""+z?”,“都在拋物線

5

v-αv+.+C上，則方程W'-ATr-O的一個(gè)根為4.

【答案】(2X3).

【解析】

試題分析：研究一元二次方程，八+M?，D是倍根方程的一般性結(jié)論，設(shè)其中一根為/,

則另一個(gè)根為2/,因此ur'+6xτ=3XTXX-川=加-3<"X+2∕Z,所以有

,9,9

H2—UC=OK=b`—Oc〃C

；我們記2,即Aj)時(shí)，方程W5AA?一二0為倍根方程；

下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：

,9

Λ?=Λ*-—R=10

對于①，二,因此本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

9

>X,一八K=(∕f-2m?！猰(-2n)=0

對于②，植+(1〃一"3一2〃=(),而

(|，因此本選項(xiàng)正確;

o

,K≡3"%——pg≡0

對于③，顯然M而2,因此本選項(xiàng)正確;

h_l÷∕+4-/_5

對于④，由M(l+∕?”，N(4一/,"知2a^2,：.b=Sa,由倍根方

Yac=O>竺0at

程的結(jié)論知2,從而有9,所以方程變?yōu)椋?/p>

卜一“，。，二”一3,七一^,因此本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

考點(diǎn)：1.新定義；2.根與系數(shù)的關(guān)系；3.壓軸題；4.閱讀型.

I.x'÷4-ι≡4①

37.(黃石)解方程組：、'T.

×2=V5

【答案】

【解析】

試題分析：由②得2j=2-JGx③，把③代人①解答即可.

lx:+4ι'=4①L、L、

試題解析：，”Z由②得2j=2-√Jx③，把③代人①得：x*+（2-√3x）*=4,整理得：

[√3x+2v=2θ

X2-?/??=0解得：X[=0,W=W,當(dāng)Xl=O時(shí)，Ji=1;當(dāng)々=J5時(shí)，J：=一2,所以方程組的

玉二O

解是《

U=I

VS2=——

*4?

考點(diǎn)：高次方程.

38.（自貢）利用一面墻（墻的長度不限），另三邊用58m長的籬笆圍成一個(gè)面積為200m2

的矩形場地，求矩形的長和寬.

r∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕i

【答案】當(dāng)矩形長為25米時(shí)寬為8米，當(dāng)矩形長為50米時(shí)寬為4米.

【解析】

試題分析：設(shè)垂直于墻的一邊為X米，則鄰邊長為（58-2x）,利用矩形的面積公式列出方

程并解答.

試題解析：設(shè)垂直于墻的一邊為X米，得：X（58-2x）=200,解得：v25,v-4,

另一邊為8米或50米.

答：當(dāng)矩形長為25米時(shí)寬為8米，當(dāng)矩形長為50米時(shí)寬為4米.

考點(diǎn)：1.一元二次方程的應(yīng)用；2.幾何圖形問題.

39.（巴中）如圖，某農(nóng)場有一塊長40m,寬32m的矩形種植地，為方便管理，準(zhǔn)備沿平行

于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路，要使種植面積為1140m2,求小路的寬.

【答案】2m.

【解析】

試題分析：本題可設(shè)小路的寬為XW,將4塊種植地平移為一個(gè)長方形，長為(4。-X)，”，寬為(32-x)訓(xùn).根

據(jù)長方形面積公式即可求出小路的寬.

試題解析：設(shè)小路的定為X依題意有：(40-：.)(32-;.)=1140,整理，得.√-Tar140=O.解得$=2,

X2=TO(不合題意，舍去).

答：小路的寬應(yīng)是2加.

考點(diǎn)：1.一元二次方程的應(yīng)用；2.幾何圖形問題.

40.(廣元)李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鍥絲剪成兩段，并把每段首尾

相連各圍成一個(gè)正方形.

(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58。",,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？

(2)李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48(〃，’.你認(rèn)為他的說法正確嗎？請說

明理由.

【答案】(1)12Cm和28Cm；(2)正確.

【解析】

試題分析：(1)設(shè)剪成的較短的這段為XC，"，較長的這段就為(M-X〉C?".就可以表示出這兩個(gè)正方形的

面積，根據(jù)兩個(gè)正方形的面積之和等于5$C加建立方程求出其解即可；

(2)設(shè)剪成的較短的這段為21,校長的這段就為(40-，”)5.就可以表示出這兩個(gè)正方形的面積，根

據(jù)兩個(gè)正方形的面積之和等于48,歸建立方程，如果方程有解就說明李明的說法錯(cuò)誤，否則正確.

試題解析：設(shè)剪成的串交短的這段為X3,較長的這段就為GO-X)c*兩個(gè)正方形面積之和為SC肝，則

5=(￡)：+(i2∑Ξ)?5=--5x+100(其中0<x<40),當(dāng)s=58時(shí)，58=--5x+100,解這

4488

個(gè)方程，得Xl=I2,X2=28,當(dāng)x=12時(shí)，較長的為兆一12=28,當(dāng)x=28時(shí)，較長的為40—28=12U8,

應(yīng)舍去，二應(yīng)將之剪成12c加和的兩段；

(2)兩正方形面積之和為4S時(shí)，48=≤-5x+100,x1-40x+416=0,；

8

(-40)2-4×l×416=-64<0,二該方程無實(shí)數(shù)解，也就是不可能使得兩正方形面積之和為抬0標(biāo)，李

明的說法正確.

考點(diǎn)：I.一元二次方程的應(yīng)用；2.幾何圖形問題.

41.（崇左）為落實(shí)國務(wù)院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使''居者有其屋”.某市加快了廉租房的建設(shè)力

度，市政府共投資3億元人民幣建設(shè)了廉租房12萬平方米，投資6.75億元人民幣建設(shè)廉租

房，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相同.

（1）求每年市政府投資的增長率；

（2）若這兩年內(nèi)的建設(shè)成本不變，問建設(shè)了多少萬平方米廉租房？

【答案】（1）50%；（2）18.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)每年市政府投資的增長率為X.根據(jù)投資6.75億元人民幣建設(shè)廉租房，列

方程求解；

（2）先求出單位面積所需錢數(shù)，再用累計(jì)投資÷單位面積所需錢數(shù)可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)投資平均增長率為X,根據(jù)題意得：“∣-nC7、，解得'

^25（不符合題意舍去）

答：政府投資平均增長率為50%；

⑵12（1+8）、18（萬平方米）

答：建設(shè)了18萬平方米廉租房.

考點(diǎn)：1.一元二次方程的應(yīng)用；2.增長率問題.

42.（崇左）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高AD=80mm,把它加工

成正方形零件如圖1,使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC±,

（1）求證：Z?AEFsAABC:

（2）求這個(gè)正方形零件的邊長；

（3）如果把它加工成矩形零件如圖2,問這個(gè)矩形的最大面積是多少？

【答案】（1）證明見試題解析；（2）48；（3）2400.

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)正方形的對邊平行得到BC"",即可判定ZUEFSZU5C;

FFAK

（2）設(shè)EG=*x,用X表示XK,根據(jù)FSA二C列比例式一=二可計(jì)算正方形邊長,

BCBC

<3）設(shè)EG=Sx,根據(jù)人近心八二。用X表示EF,根據(jù)矩形面積公式可以寫出矩形面積關(guān)于X的二次

函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)即可求出矩形的最大值.

試題解析：（1）；四邊形EFGA為正形，.?.BC"EF,.?.Λz5E2A"C;

（2）設(shè)邊長為X，"，"，；矩形為正方形，二印"3C,EGHAD,設(shè)EG=EF=X,則一\D=x,A?=SO-χ,?.,A4ZF

…C.EFAK80-x

SA_“c,；.—=——，解得A4S.

BCBC80

答：若這個(gè)矩形是正方形，那么邊長是48"∣w;

FF4KFFRA-γ2

（3）設(shè)HG=J2>x,貝JT炸$0-x.TZUEFSAUC,/.一=：—,即一=—Ξ-..?∑F=SQ--x,

BCBC120802

...矩形面積葬X1120■三X）=-三/+120A-三（X-40尸+24。。，故當(dāng)戶4Q時(shí)，此時(shí)矩形的面積最大，最大

面積為2400????-.

考點(diǎn)：1.一元二次方程的應(yīng)用；2.幾何圖形問題；3.最值問題；4.壓軸題.

43.（淮安）水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價(jià)格

出售，每天可售出IOO斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價(jià)每降低01元，每天可多售

出20斤，為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價(jià)銷售.

（1）若將這種水果每斤的售價(jià)降低X元，則每天的銷售量是斤（用

含X的代數(shù)式表示）；

（2）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元？

【答案】（1）100+200x;（2）1.

【解析】

試題分析：（1）銷售量=原來銷售量-下降銷售量，列式即可得到結(jié)論;

（2）根據(jù)銷售量×每斤利潤=總利潤列出方程求解即可得到結(jié)論.

試題解析：〈D將這種水果每斤的售價(jià)降低X元，則每天的銷售量是1W+FX20=100+200X斤J

0.1

（2）根據(jù)題意得：（4-2-xX100+200x）=300,解得：AW或E,「每天至少售出260斤，:1。0+2QoX

三260,ΛxS=O.S,Ar=1.

答：張阿姨需將每斤的售價(jià)降低1元.

考點(diǎn)：1?一元二次方程的應(yīng)用；2.銷售問題；3.綜合題.

44.（遂寧）閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問題.

令234,則

L,1

(I-∕χ∕+-)-(zI-/--)/

原式=>>

一r-/--/

555

問題：(1)計(jì)算

?111l,lI111,?111I11、，111I、

23420142345201523452014201S2342∏M

；

(2)解方程(、'5一|八一

I

【答案】(1)2015.(2)'",λ:^^5.

【解析】

試題分析：⑴設(shè)=+!+工+…+』一=，，則原式=(ITXr+」■T)-(IT-1"，進(jìn)行計(jì)算即可;

234201420152015

<2)設(shè)/+5x=r,則原方程化為：(f+l)(r+7)=7,求出r的值，再解一元二次方程即可.

試題解析：(D設(shè):+!+…+J：='，

2342014

則原式=(ITxr+-?-)-(l-r--J-)?

111

=f4--------/2--------z-r+r;+-------1

201520152015

1

=20155

(2)設(shè)/+5x=r,則原方程化為：(r+l)(r+7)=7,.?.∕+8,=0,解得：r=0或，=一8,

當(dāng)r=0時(shí)，X2+5x=0,X(X+5)=0,再=0,F=-5；

當(dāng)r=-8時(shí)，xz+5x=-3,X2+5X+8=0,Δ=?2-4ΛC=25-4×l×S<0,此時(shí)方程無解;

即原方程的解為：Xι=0,X2=-5.

考點(diǎn)：L換元法解一元二次方程；2.有理數(shù)的混合運(yùn)算；3.換元法；4.閱讀型；5.綜

合題.

45.（十堰）已知關(guān)于X的一元二次方程J-Q"'5'-2?',.

（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)〃;的取值范圍；

（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為。，'，且滿足‘''',-,求實(shí)數(shù)加的值.

…_L

【答案】（1）12；（2）2.

【解析】

試題分析：（1）若方程有實(shí)數(shù)根，則解不等式即可：

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得到'+t=2m+3,Nf=/+2,由XR=M+2>0和

v'''得到A.L"一、'一即''一，I=2'「，代人即可得到

結(jié)果.

試題解析：（1）???關(guān)于X的一元二次方程‘一-2-"有實(shí)數(shù)根，.?.4≥O,

m≥-----

即(2"-3)"-4(,”-2)?O口；

2w

（2）根據(jù)題意得'+∕=+3,X/2=?I+2,?.?JCt*2*Λ√+2>O,...ks∣=x也,

V<+v：υ+∣vJ,...M+W=3l-S:,'j-,E

'''',解得m=2,m=-14（舍去），.?.m=2.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.根與系數(shù)的關(guān)系；3.綜合題.

46.（潛江）已知關(guān)于X的一元二次方程4一用（）.

（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若方程兩實(shí)數(shù)根為、，、，且滿足幻2,求實(shí)數(shù)加的值.

【答案】（1）m≤4;（2）m=-12.

【解析】

試題分析：3)若一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，則根的判別式≥0,求出，”的取值范圍；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到XI+x：=4,x1x,=m,再由5$+2xz=2,求出xl,xz,由m=X1?x;

即可得到結(jié)論.

試題解析：3):方程有實(shí)數(shù)根，.?.A=5L4αc=(7f-4M≥O,.?.m54;

ββ

(2).xl+x:=4,5xl+2xz=2,.二七=-2>x：=6,/.W=x1?x:=-2×6=-12.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.根與系數(shù)的關(guān)系.

47.(鄂州)關(guān)于X的一元二次方程V+,?,'-Hv-A--I”有兩個(gè)不等實(shí)根。，V.

(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

(2)若方程兩實(shí)根‘：滿足J=KK求k的值.

3

【答案】(1)k>4；(2)k=2.

【解析】

試題分析：(I)由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得△=44Rf，求出k的取值范圍；

(2)首先判斷出兩根均小于0,然后