高數(shù)二章課件05函數(shù)的微分

高數(shù)二章課件05函數(shù)的微分目錄contents引言函數(shù)的可微性與連續(xù)性導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系研究多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定函數(shù)微分法微分中值定理與泰勒公式簡介總結(jié)回顧與拓展思考01引言微分是函數(shù)改變量的線性部分，即在一個數(shù)集中，當(dāng)一個數(shù)靠近時，函數(shù)在這個數(shù)處的極限被稱為函數(shù)在該處的微分。微分是微積分的基本概念之一，它的意義在于通過局部線性化來研究函數(shù)的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)。微分具有許多重要的應(yīng)用，例如在求曲線的切線斜率、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值等方面都有廣泛的應(yīng)用。函數(shù)的微分概念及意義在物理學(xué)中，微分被廣泛應(yīng)用于運動學(xué)、力學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域，例如通過位移對時間的微分可以得到速度，速度對時間的微分可以得到加速度。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，微分被用于研究經(jīng)濟(jì)量的變化率，例如邊際成本、邊際收益等，從而幫助企業(yè)做出最優(yōu)決策。在工程學(xué)中，微分被用于求解各種實際問題，例如通過微分方程來描述物體的運動規(guī)律，通過微分來計算材料的強度等。微分在實際問題中的應(yīng)用010204本節(jié)課內(nèi)容與目標(biāo)掌握函數(shù)微分的定義和計算方法，理解微分與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)習(xí)微分的基本公式和運算法則，能夠熟練地計算常見函數(shù)的微分。了解微分在幾何、物理和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，能夠運用微分知識解決實際問題。培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。0302函數(shù)的可微性與連續(xù)性可微性定義可微的充分條件可微的必要條件判定方法可微性定義及判定條件函數(shù)在某一點的微分存在，即函數(shù)在該點附近的變化率存在，則稱函數(shù)在該點可微。若函數(shù)在某點可微，則該點處偏導(dǎo)數(shù)存在。若函數(shù)在某點的鄰域內(nèi)有定義，且在該點處連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點可微。通過判斷函數(shù)在某點處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在且連續(xù)，或者利用定義進(jìn)行驗證。函數(shù)在某點連續(xù)是可微的必要條件，但連續(xù)不一定可微。連續(xù)性是可微性的基礎(chǔ)若函數(shù)在某點可微，則該函數(shù)在該點必定連續(xù)。可微性蘊含連續(xù)性若函數(shù)在某點可微，則該點處的偏導(dǎo)數(shù)必定存在，但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微?？晌⑿耘c偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系對于多元函數(shù)，連續(xù)性是可微性的必要條件，但連續(xù)不一定可微；可微性則蘊含連續(xù)性。多元函數(shù)連續(xù)性與可微性的關(guān)系連續(xù)性與可微性關(guān)系探討解答首先判斷函數(shù)在該點是否連續(xù)，然后求偏導(dǎo)數(shù)，驗證偏導(dǎo)數(shù)是否存在且連續(xù)，最后根據(jù)可微性的定義進(jìn)行判斷并求微分。解答分別討論函數(shù)在該點的連續(xù)性及偏導(dǎo)數(shù)的存在性，然后根據(jù)連續(xù)性與可微性的關(guān)系得出結(jié)論。解答首先判斷多元函數(shù)在該點是否可微，然后求偏導(dǎo)數(shù)，最后根據(jù)微分的定義求出多元函數(shù)在該點的微分。例題1判斷函數(shù)在某點是否可微，并求其微分。例題2討論函數(shù)在某點的連續(xù)性與可微性。例題3求多元函數(shù)在某點的微分。010203040506典型例題分析與解答03導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系研究導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點的變化率，即函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的基本公式導(dǎo)數(shù)在幾何上表示函數(shù)圖像在某一點處的切線的斜率。掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是求導(dǎo)的基礎(chǔ)。030201導(dǎo)數(shù)概念回顧與總結(jié)

導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系推導(dǎo)過程微分的定義微分是函數(shù)改變量的線性部分，即在一個數(shù)集中，當(dāng)一個數(shù)靠近時，函數(shù)在這個數(shù)處的極限被稱為函數(shù)在該處的微分。導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù)之間存在密切的關(guān)系，微分是導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，而導(dǎo)數(shù)則是微分的商。導(dǎo)數(shù)與微分的轉(zhuǎn)換通過導(dǎo)數(shù)與微分之間的轉(zhuǎn)換公式，可以在已知導(dǎo)數(shù)的情況下求出函數(shù)的微分，或者在已知微分的情況下求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。對于基本初等函數(shù)，可以直接利用其基本微分公式求出微分?；境醯群瘮?shù)的微分對于復(fù)合函數(shù)，可以利用鏈?zhǔn)椒▌t求出其微分。復(fù)合函數(shù)的微分對于隱函數(shù)，可以通過對方程兩邊同時求微分的方法求出其微分。隱函數(shù)的微分對于由參數(shù)方程確定的函數(shù)，可以利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則求出其微分。參數(shù)方程的微分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)微分方法04多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)定義設(shè)$D$是一個非空的$n$元數(shù)組集合，稱映射$f:DsubsetR^ntoR$為定義在$D$上的$n$元函數(shù)，通常記為$z=f(x_1,x_2,...,x_n)$，其中$x_i(i=1,2,...,n)$為自變量，$z$為因變量。多元函數(shù)性質(zhì)多元函數(shù)具有一些與一元函數(shù)類似的性質(zhì)，如連續(xù)性、可導(dǎo)性等，但由于自變量個數(shù)的增加，其性質(zhì)的研究更為復(fù)雜。多元函數(shù)的極限與連續(xù)類似于一元函數(shù)，可以定義多元函數(shù)的極限與連續(xù)，并研究它們的性質(zhì)。多元函數(shù)概念及性質(zhì)介紹偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$處有增量$Deltax$時，相應(yīng)地函數(shù)有增量$f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$，如果$lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{Deltax}$存在，則稱此極限為函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處對$x$的偏導(dǎo)數(shù)，記作$f'_x(x_0,y_0)$。全微分定義：設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在$(x_0,y_0)$處的全增量$Deltaz=f(x_0+Deltax,y_0+Deltay)-f(x_0,y_0)$可以表示為$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A$和$B$不依賴于$Deltax$和$Deltay$，而$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，則稱函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微分，$ADeltax+BDeltay$稱為函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的全微分，記作$dz$。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系：如果函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微分，那么該函數(shù)在點$(x_0,y_0)$處的偏導(dǎo)數(shù)$f'_x(x_0,y_0)$和$f'_y(x_0,y_0)$存在，且有$dz=f'_x(x_0,y_0)Deltax+f'_y(x_0,y_0)Deltay$。偏導(dǎo)數(shù)、全微分計算方法幾何應(yīng)用01多元函數(shù)的微分在幾何上有著廣泛的應(yīng)用，如曲線的切線、曲面的切平面等問題都可以通過多元函數(shù)的微分來解決。極值問題02在實際問題中，經(jīng)常需要求多元函數(shù)的極值，如最小二乘法中的誤差平方和最小問題等。通過多元函數(shù)的微分，可以求出函數(shù)的駐點，進(jìn)而判斷函數(shù)在該點是否取得極值。物理應(yīng)用03多元函數(shù)的微分在物理學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用，如熱力學(xué)中的熵增原理、電磁學(xué)中的電場強度等問題都可以通過多元函數(shù)的微分來描述和解決。多元函數(shù)微分在幾何和物理中應(yīng)用05隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定函數(shù)微分法隱函數(shù)是由一個方程所確定的函數(shù)，該方程中包含兩個或多個變量，且這些變量之間的關(guān)系不是顯式的。隱函數(shù)定義在一定的條件下，隱函數(shù)可以表示為一個或多個顯函數(shù)。隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)具有一些特殊的性質(zhì)，如連續(xù)性、可微性等，這些性質(zhì)對于求解隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)具有重要意義。隱函數(shù)性質(zhì)隱函數(shù)概念及性質(zhì)介紹03多元函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)對于多元函數(shù)隱函數(shù)，需要利用偏導(dǎo)數(shù)和全微分的知識進(jìn)行求解。01直接法通過對方程兩邊同時求導(dǎo)，利用鏈?zhǔn)椒▌t和求導(dǎo)公式求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。02公式法對于一些常見的隱函數(shù)形式，可以直接套用相應(yīng)的求導(dǎo)公式進(jìn)行求解。隱函數(shù)求導(dǎo)方法和技巧參數(shù)方程求導(dǎo)方法通過對參數(shù)方程中的每一個等式分別求導(dǎo)，再利用鏈?zhǔn)椒▌t和求導(dǎo)公式求解出參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。參數(shù)方程概念參數(shù)方程是用一個或多個參數(shù)表示變量之間關(guān)系的方程。二階導(dǎo)數(shù)求解在求解出一階導(dǎo)數(shù)后，可以通過對一階導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)得到二階導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而研究函數(shù)的凹凸性和拐點等問題。參數(shù)方程所確定函數(shù)求導(dǎo)方法06微分中值定理與泰勒公式簡介微分中值定理主要包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它們是一系列關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值之間關(guān)系的重要定理。羅爾定理表明，在閉區(qū)間上連續(xù)、開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且端點值相等的函數(shù)，必存在至少一個導(dǎo)數(shù)為零的點。拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，它揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率與某一點處的瞬時變化率之間的關(guān)系?？挛髦兄刀ɡ韯t是拉格朗日中值定理的進(jìn)一步推廣，涉及兩個函數(shù)在同一區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。微分中值定理在證明不等式、研究函數(shù)性態(tài)等方面具有廣泛應(yīng)用。微分中值定理內(nèi)容及其意義泰勒公式是用多項式逼近復(fù)雜函數(shù)的一種方法，其基本思想是通過函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值來構(gòu)造一個多項式，使得該多項式在這一點附近與函數(shù)具有相近的性質(zhì)。泰勒公式在求函數(shù)的極限、判斷級數(shù)的斂散性、求解微分方程等方面具有廣泛應(yīng)用。此外，泰勒公式還可以用于函數(shù)的插值和逼近計算，為數(shù)值計算提供了一種有效的方法。泰勒公式的推導(dǎo)過程主要基于微分和積分的基本性質(zhì)，通過逐次求導(dǎo)并積分來得到各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)。泰勒公式推導(dǎo)過程及應(yīng)用場景泰勒級數(shù)是將函數(shù)展開為無窮級數(shù)的一種形式，它可以用于近似計算函數(shù)的值。泰勒級數(shù)在求解復(fù)雜函數(shù)的值、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值分析等方面具有廣泛應(yīng)用。在實際計算中，我們通常只取泰勒級數(shù)的前幾項來近似表示函數(shù)，這樣可以簡化計算過程并得到較為精確的結(jié)果。需要注意的是，在使用泰勒級數(shù)進(jìn)行近似計算時，需要選擇合適的展開點和展開階數(shù)，以保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。泰勒級數(shù)在近似計算中應(yīng)用07總結(jié)回顧與拓展思考微分是函數(shù)改變量的線性部分，是函數(shù)增量的主要部分，具有可加性和局部性。微分的定義和基本性質(zhì)微分的幾何意義微分的運算法則高階微分微分在幾何上表示曲線在某一點的切線縱坐標(biāo)的增量。包括基本初等函數(shù)的微分公式、函數(shù)的和差積商的微分法則、復(fù)合函數(shù)的微分法則等。二階及二階以上的微分稱為高階微分，反映了函數(shù)更精細(xì)的變化特征。本節(jié)課重點內(nèi)容總結(jié)回顧利用微分進(jìn)行近似計算在實際問題中，有時需要計算一個復(fù)雜函數(shù)的值，但直接計算可能很困難。這時，可以利用微分進(jìn)行近似計算，通過計算函數(shù)在某一點的微分值，來近似代替函數(shù)在該點的實際增量。微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際分析是一種重要的分析方法。邊際量就是微分，它表示自變量增加一個單位時，因變量增加的量。通過求微分，可以分析經(jīng)濟(jì)變量的邊際變化，從而做出更明智的決策。微分在物理學(xué)中的應(yīng)用在物理學(xué)中，很多物理量都是連續(xù)變化的，可以用函數(shù)來表示。通過求這些函數(shù)的微分，可以分析物理量的變化率和變化趨勢，進(jìn)一步了解物理現(xiàn)象的本質(zhì)。