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文檔簡介
【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】
專題9牛頓
(以牛頓為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練)
一、單選題
1.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓(IssacNewton,1643-
1727)在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓法-用“做切線”的方法求方程的近似解.如圖,
方程“X)=0的根就是函數(shù),f(x)的零點r,取初始值司處的切線與x軸的交點為々,
f(x)在巧的切線與無軸的交點為演,一直這樣下去,得到斗,勺,演…,x“,它們
則用牛頓法得到的,?的近似值々約為()
C.1.416D.1.375
【答案】B
【解析】
【分析】
利用切點和斜率求得切線方程,結(jié)合牛頓法求得演?
【詳解】
/(x)=x2-2,/(x)=2x,
/(2)=4-2=2,/⑵=4,在點(2,2)的切線方程為y—2=4(x-2),令y=0解得
3
芭=天
信卜圖二宅一24/圖=3,在點整力的切線方程為y03卜[
令y=0解得々?1.417.
故選:B
2.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化:如果物體的初始溫度為則經(jīng)
t
過一定時間f分鐘后的溫度T滿足一1),/?稱為半衰期,其中T,是環(huán)
境溫度.若(=25。。,現(xiàn)有一杯80℃的熱水降至75C大約用時1分鐘,那么水溫從
75℃降至45℃大約還需要()(參考數(shù)據(jù):愴2=0.30,lgll?l.()4)
A.8分鐘B.9分鐘C.10分鐘D.11分鐘
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意可得(丁=$,代入45-25=(9(75-25),得用g兩邊取常用對數(shù)得:
rlg《=lg|,再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出,的值.
【詳解】
解:根據(jù)題意得:75-25=(口%80-25),
??可哈
1L
.?.45-25=(3)"(75-25),
二20=50X卜'],
??瑞
in7
兩邊取常用對數(shù)得:Hg^=lg1,
ig2
培5Jg2-lg5-21g2-l-2x03-1
^101-lgll1-lgll1-1.04'
gn
???水溫從75℃降至45℃大約還需要10分鐘,
故選:C.
3.牛頓切線法是牛頓在十七世紀(jì)提出的一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方
法.比如求解方程/-3f+4x-l=0,先令f(x)=x3_3/+4x-l,然后對y=f(x)
的圖象持續(xù)實施下面的步驟:
第一步,在點(1,1)處作曲線的切線,交X軸于(5,0);
第二步,在點(Xj(xj)處作曲線的切線,交》軸于(七,0);
第三步,在點(&,/(%))處作曲線的切線,交x軸于(玉,0);
利用該方法可得方程近似解占(保留三位有效數(shù)字)是()
A.0.313B.0.314C.0.315D.0.316
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求解點(U)處的切線,進(jìn)而得到a,o),再按題意繼續(xù)計算得
到當(dāng)即可
【詳解】
r(x)=3x2-6x+4.-.r(l)=l
所以y=/(x)在(1,1)處的切線方程y-i=x-i,y=x,則占=o;
同理/'(0)=4,曠=〃幻在(0,-1)處的切線方程丫=4犬-1,令y=0,得馬=;,
又/《)=獸,y=/(x)在上一當(dāng)處的切線方程y=令y=o,得
41664J1614J64
27
x,=——?0.314.
86
故選:B.
4.牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型:f=(r為時間,單位為
分鐘,%為環(huán)境溫度,4為物體初始溫度,J為冷卻后溫度),假設(shè)一杯開水溫度
q=9()c,環(huán)境溫度%=10C,常數(shù)《=,,大約經(jīng)過多少分鐘水溫降為40(參考數(shù)
6
據(jù):In2ao.7,In3al.1}()
A.8B.7C.6D.5
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意,將數(shù)據(jù)代入溫度冷卻模型,即可求解.
【詳解】
40-103
由題意知:代入冷卻模型,f=-61n茨V=-61n==-6(ln3-ln8)
90—108
g|JZ=-6(ln3-31n2)?6
故選:C.
5.中國茶文化博大精深,某同學(xué)在茶藝選修課中了解到,茶水的口感與茶葉類型和水
的溫度有關(guān),某種綠茶用80℃左右的水泡制可使茶湯清澈明亮,營養(yǎng)也較少破壞.為了
方便控制水溫,該同學(xué)聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型:如
果物體的初始溫度是仇℃,環(huán)境溫度是則經(jīng)過,分鐘后物體的溫度將滿足
e=4+(q-4)e-“,其中%是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).該同學(xué)通
過多次測量平均值的方法得到初始溫度為100℃的水在20℃的室溫中,12分鐘以后溫
度下降到5(rc.則在上述條件下,ioo°c的水應(yīng)大約冷卻()分鐘沖泡該綠茶(參考
數(shù)據(jù):ln2?0.7,ln3?l.l)
A.3B.3.6C.4D.4.8
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意求出k的值,再將e=8o℃,4=ioo℃,〃=20℃代入e=4+(a—d)e”即
可求得f的值.
【詳解】
-12t-A2A
由題可知:50=20+(100-20)e=>(e)'=|=>e'
沖泡綠茶時水溫為80℃,
故80=20+(100-20)?"=>『)'=ln|
12(ln3-21n2)12(1.1-2x0.7)_
In3-31n2l.l-3x0.7'
故選:B.
6.牛頓流體符合牛頓黏性定律,在一定溫度和剪切速率范圍內(nèi)黏度值是保持恒定的:
r=W,其中T為剪切應(yīng)力,〃為黏度,/為剪切速率;而當(dāng)液體的剪切應(yīng)力和剪切速
率存在非線性關(guān)系時液體就稱為非牛頓流體.非牛頓流體會產(chǎn)生很多非常有趣的現(xiàn)
象,如人陷入沼澤越掙扎將會陷得越深;也有很多廣泛的應(yīng)用,如某些高分子聚合物
還可以做成“液體防彈衣如圖是測得的某幾種液體的流變T-7曲線,則其中屬于沼
澤和液體防彈衣所用液體的曲線分別是()
A.③和①B.①和③C.④和②D.②和④
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)所給定義,分析出圖象中牛頓流體和非牛頓流體對應(yīng)的曲線,即可得答案.
【詳解】
由題意得牛頓流體黏度〃恒定,即在T-7曲線中,圖象為直線,即①和③為牛頓流
體,④和②為非牛頓流體,
乂屬于沼澤和液體防彈衣所用液體為非牛頓流體,
所以對應(yīng)曲線為④和②.
故選:C
7.牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型:+4,其中為時間
(單位:min),%為環(huán)境溫度,4為物體初始溫度,6為冷卻后溫度),假設(shè)在室內(nèi)
溫度為20℃的情況下,一桶咖啡由100C降低到60C需要20min.則k的值為
)
In2In3「In2In3
A.---B.---C.-----D.-----
20201010
【答案】A
【解析】
【分析】
把%=20,4=100,6=60,r=20代入6=(4一4卜一"+??汕蟮脤崝?shù)%的值.
【詳解】
由題意,把%=20,4=100,6=60,f=20代入。=(q—4)e-"+q中得
80e-2W'+20=60.可得:,
2
所以,—20%=—In2,I大1此,k----.
20
故選:A.
8.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓(1643—1727)給出了牛
頓法用“作切線”的方法求方程的近似解.如圖,方程/(X)=0的根就是函數(shù)的
零點r,取初始值%處的切線與x軸的交點為4,/(x)在4處的切線與x軸的交點為
x,,一直這樣下去,得到維,多,々....x?,它們越來越接近/?.若/(x)=/-2,
々=2,則用牛頓法得到的r的近似值巧約為()
A.1.438B.1.417C.1.415D.1.375
【答案】B
【解析】
【分析】
利用切點和斜率求得切線方程,結(jié)合牛頓法求得巧.
【詳解】
由題意,得/'(x)=2x,/(2)=4-2=2,/(2)=4,
所以曲線y=“X)在點(2,2)處的切線方程為y-2=4(x-2),
3
令y=o,得否=3
所以曲線y=在點住高處的切線方程為)'-1=3卜-|),
令y=0,解得々=1.417.
故選:B.
9.著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出:物體在空氣中冷卻,如果物體的初始溫度為
年C,空氣溫度為綜。C,則f分鐘后物體的溫度。(單位:。C)滿足:
6=4+(4-幻「'.若常數(shù)后=0.05,空氣溫度為25c,某物體的溫度從85℃下降到
45℃,大約需要的時間為()(參考數(shù)據(jù):ln3"l.l)
A.25分鐘B.24分鐘C.23分鐘D.22分鐘
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意可得,4=25,4=85,0=45,故45=25+(85-25)/帕,再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公
式,即可求解.
【詳解】
由題意可得,4=25,優(yōu)=85,。=45,
故45=25+(85-25)摩°”,
:.e-°05'=1,即-005/=Ing,
二”黑心懸=22(分鐘),即大約需要的時間為22分鐘,
故選:D.
10.牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型:,=一7始萬二六G為時間,單位為
分鐘,4為環(huán)境溫度,4為物體初始溫度,。為冷卻后溫度),假設(shè)一杯開水溫度
a=90℃,環(huán)境溫度%=10℃,常數(shù)%=,,大約經(jīng)過多少分鐘水溫降為40C?(參考
6
數(shù)據(jù):ln2?0.7,ln3?l.l)()
A.8B.7C.6D.7
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題設(shè)的溫度冷卻模型有f=-61n*^,應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求值.
90-10
【詳解】
40-103
由題意知:Z=-61n--------■=-6111二=-6(1113-1118)=-6(1113-31112)=6分鐘,
90—108
故選:C.
11.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時,給出的“牛頓數(shù)列”在航
空航天中應(yīng)用廣泛,若數(shù)列卜“}滿足則稱數(shù)列{x0}為牛頓數(shù)列.如
/\Xn)
X—2
果函數(shù)/(x)=Y-x—2,數(shù)列{xj為牛頓數(shù)列,設(shè)q=ln」一彳且q=-1,%>2,數(shù)
Xn+1
列{%}的前”項和為S“,則邑02小()
A.2202,-1B.1-22021
【答案】B
【解析】
【分析】
先由題設(shè)得到:怎一毛壬2=爐馬,從而得到見+尸2%,即可說明數(shù)列
2x,,-l2x?-l
{%}是以-1為首項,2為公比的等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列前"項和求和公式得到結(jié)
果.
【詳解】
解:由題知/'(》)=2x-l
R=Y/(x")==七+2
向一,r(x?)"2x?-l2x?-l
.+22,
2x?-l_/x?-2>-
?玉+i+l7+2?]l-v?+lJ
2x,-l
x—2x-2
兩邊取對數(shù)得:In=21n"
x.+i+lx“+l
令??=ln"即%-2%,所以數(shù)列{4}是以-1為首項,2為公比的等比數(shù)列,
X”+1
故選:B
12.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時,給出的“牛頓數(shù)列”在航
/(七)
空航天中應(yīng)用廣泛.若數(shù)列{%}滿足玉"則稱數(shù)列{怎}為牛頓數(shù)列.如果
/'(%)'
x—2
函數(shù)〃x)=f—X—2,數(shù)列上}為牛頓數(shù)列,設(shè)%=卜七「且q=l,x“>2,數(shù)列
{叫的前〃項和為S“,則反儂=()
門、2022門產(chǎn)2
A.2*1B.22022-2c.I~D.1-2
【答案】A
【解析】
【分析】
得到尸(x),計算%+|=%一光十,然后計算*中,最后可得數(shù)列{4,}為等比數(shù)
列,最后根據(jù)公式計算即可.
【詳解】
X:7“-2=X:+2
由題可知I:f'(x)=2x-l,x?=x
+ln24-1-2x?-l
所以上W=2*;,
x“+i+l4+2?]
2xw-l
x.-2x—2
則兩邊取對數(shù)可得In37T=21n-r,即。,川=2q,
Xn+\+1Xn+1
所以數(shù)列{4}是以1為首項2為公比的等比數(shù)列,
1x
所以―匚「=2配-1
故選:A
13.牛頓冷卻定律描述一個事物在常溫環(huán)境下的溫度變化:如果物體的初始溫度為
To,則經(jīng)過一定時間f后的溫度T滿足T_?;=(;,(7;二7;),其中,是環(huán)境溫度,h
稱為半衰期,現(xiàn)有一杯80℃的熱水用來泡茶,研究表明,此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)
在55℃.經(jīng)測量室溫為25C,茶水降至75℃大約用時1分鐘,那么為了獲得最佳飲
用口感,從泡茶開始大約需要等待()(參考數(shù)據(jù):1g3?0.4771,
Ig5?0.6990,Igl1*1.0414)
A.4分鐘B.5分鐘C.6分鐘D.7分鐘
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件代入公式計算得到再把該值代入,利用對數(shù)的運(yùn)算即可求得
結(jié)果.
【詳解】
2£
根據(jù)題意,75-25=(;『(80-25),即與=(;]
設(shè)茶水從75℃降至55℃大約用時t分鐘,則55-25=?丫
兩邊同時取對數(shù):lg|=lg(,)=?。ó?dāng)卜f(l-lgll)
解得'=早Ig3-音lg5~"5,所以從泡茶開始大約需要等待5+1=6分鐘
1-lgl1
故選:C
【點睛】
關(guān)鍵點點睛:本題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用,考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟
練運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算公式,考查學(xué)生的審題分析能力與運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
二、多選題
14.牛頓在《流數(shù)法》一書中,給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先,
設(shè)定一個起始點%,如圖,在x=x0處作/(X)圖象的切線,切線與x軸的交點橫坐標(biāo)
記作4:用/替代與重復(fù)上面的過程可得巧;一直繼續(xù)下去,可得到一系列的數(shù)方,
為,巧,…,x“,…在一定精確度下,用四舍五入法取值,當(dāng)X“T,近似值
相等時,該值即作為函數(shù)/(X)的一個零點『.若要求*的近似值/(精確到0.1),我們
可以先構(gòu)造函數(shù)/(x)=/-6,再用“牛頓法''求得零點的近似值乙即為痣的近似
值,則下列說法正確的是()
y
XX
A.對任意/2GN\n<n-\
22
B.若且不工0,則對任意"GN",X?=-VI+—
JXn-\
C.當(dāng)X。=2時,需要作2條切線即可確定『的值
D.無論為在(2,3)上取任何有理數(shù)都有「=1.8
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用特殊情況判斷選項A;求出曲線在x=x,i處的切線方程與x軸的交點橫坐標(biāo),即
可判斷選項B;求出玉,巧,即可判斷選項C、D
【詳解】
A,因為〃無)=/-6,則/''(工)=3公,
設(shè)%=1,則切線方程為y+5=3(x-l),
Q
切線與X軸的交點橫坐標(biāo)為王=:=2.7,所以再>%,故A錯誤:
123
B,X=x,i處的切線方程為y=3(X?_1)(X-X?_I)+x,,.1-6,
22x
所以與x軸的交點橫坐標(biāo)為4=—r+ya,故B正確;
1211…
2211=---y+—x—?1.8
C,因為芯=(+:x2=*kl.8,-(Uj36,
所以兩條切線可以確定,的值,故C正確;
D,由選項C可知,廠=1.8,所以無論與在(2,3)上取
任何有理數(shù)都有r=1.8,故D正確.
故選:BCD
15.若函數(shù)/(x)的圖象是連續(xù)的平滑曲線,且在區(qū)間,,句上恒非負(fù),則其圖象與直
線x=a、x=b、x軸圍成的封閉圖形的面積稱為/(x)在區(qū)間目上的“圍面積”.根據(jù)
牛頓-萊布尼茨公式,計算面積時,若存在函數(shù)*x)滿足F'(x)=/(x),則
尸㈤-尸⑷為f(x)在區(qū)間[a,可上的圍面積.下列圍面積計算正確的是()
A.函數(shù)〃x)=2*在區(qū)間[0,2]上的圍面積是三
In2
B.函數(shù)〃x)=cos晨在區(qū)間1,胃上的圍面積是1
C.函數(shù)〃x)=;在區(qū)間[1,2]上的圍面積是ln2
D.函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間[e"]上的圍面積是e?
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根據(jù)定積分的定義和性質(zhì)逐個分析求解即可
【詳解】
對于A,函數(shù)f(x)=2,在區(qū)間[0,2]卜一是連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且存在尸(x)=21滿足
In2
F(x)=/(x),所以函數(shù)/(x)=2*在區(qū)間[0,2]上的圍面積是
2213
F(2)-F(0)=------------—,所以A錯誤,
In2In2In2
對于B,函數(shù),(x)=cos2》在區(qū)間0,(上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且存在
尸(x)=]+;sin2x滿足F'(x)=/(x),所以函數(shù)〃x)=cos2x在區(qū)間0,(上圍面積是
IIn/八、7C1.7t1711一,.
尸:一尸(°)=7+;sin;=:+不,所以B正確,
14J84248
對于C,函數(shù)f(x)=2在區(qū)間[1,2]上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且存在F(x)=lnx,滿足
F'(x)=f(x),所以函數(shù)/(x)=」在區(qū)間[1,2]上的圍面積是
F(2)-F(i)=ln2-lnl=ln2,所以C正確,
對于D,函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間Re?]上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù),只存在尸(x)=xlnx-x,
滿足F(x)=/(x),所以函數(shù)〃x)=lnx在區(qū)間[e4]上的圍面積是
F(e2)-F(e)=e2Ine2-e2-(elne-e)=e2,所以D正確,
故選:BCD
16.英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種近似求方程根的方法一牛頓迭代法.做法如
下:如圖,設(shè)『是/(x)=0的根,選取與作為「初始近似值,過點(%,/(毛))作曲線
y=/。)的切線/,/與x軸的交點的橫坐標(biāo)為=%-察工(尸(々)x0),稱儲是/?的一
次近似值,過點(%,/(入))作曲線y=的切線,則該切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為
馬=玉-坐^(尸&?0),稱々是『的二次近似值.重復(fù)以上過程,得到/?的近似值序
列,其中X向=%-務(wù)《(廣(馬戶0),稱Xm是,的"+1次近似值,這種求方程
/(x)=o近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程£=2的近似解,則
A.若取初始近似值為1,則該方程解得二次近似值為范17
B.若取初始近似值為2,則該方程近似解的二次近似值為巳17
/(%)_f(玉)_f㈤_〃毛)
/(X。)/(%)/⑸
fM,r(xi)((蒞)f'M
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根據(jù)牛頓迭代法求方程/&)=0近似解的方法,將初始值代入公式計算即可求解.
【詳解】
令/(》)=--2,plljf\x)=2x,當(dāng)4=1,X]=1-=1-y-=-|
々在一/(x焉)=17透故A正確;
/(x)17
當(dāng)-23=2二4工2=再一務(wù)々=不,故B正確;
口0勺,⑵42fM12
國為尤_?/(X。)?j(/)K-X/(”2),(工3)
2
因為…一7W再一馬一很;匕一三一7^'
.x_x」(x。)/&)/(%)[(w)f
?…-/一可一西一河一所‘故0正確‘口情尻
故選:ABC
17.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型:如果物體的初始溫度是4
(單位:℃),環(huán)境溫度是%(單位:℃),其中4>4.則經(jīng)過r分鐘后物體的溫度。
將滿足,=/⑺=4+(4-ajg”,其中%為正常數(shù).現(xiàn)有一杯80℃的熱紅茶置于20℃
的房間里,根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻,正確的結(jié)論是()
A./(r)<0
B.若/(3)=65。(2,貝Ij/(6)=5()OC
C.若/(3)=-4,則其實際意義是在第3分鐘附近,紅茶溫度大約以每分鐘4。(2的速
率下降
D.紅茶溫度從80℃下降到60。(2所需的時間比從60。(2下降到40℃所需的時間少
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由題知。=/(r)=20+60e-“,進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)運(yùn)算等依次討論各選項
求解即可.
【詳解】
解:由題知。=/⑺=20+601,
對于A選項,因為人為正常數(shù),所以/(,)=-60射山<0,故A選項正確;
對于B選項,若/⑶=65。(2,即65=20+60e3,所以:=e』,則
..2Q
f(6)=20+60e3=20+60(e"?)=20+60x—=53,75℃,故B選項錯誤;
、16
對于C選項,尸(3)表示t=3處的函數(shù)值的變化情況,若/(3)=-4<0,所以實際意
義是在第3分鐘附近,紅茶溫度大約以每分鐘4%:的速率下降,故C選項正確;
對于D選項,令g(x)=/Q)=-60ke-",則g(x)=60Fe*>0,故/⑺是定義域內(nèi)的
單調(diào)遞增函數(shù),
由于所以/⑺隨著時間的增加,下降速度再減小,由于
80-60=60-40=20.
故當(dāng)下降溫度相同的時候,下降所需時間相對增加,故紅茶溫度從8(rc下降到6(rc
所需的時間比從60℃下降到40。(2所需的時間少,
故D選項正確.
故選:ACD
18.眾所周知,組合數(shù)£"="(〃T)("-2)(〃-〃?+1),這里并且
m\
m<n.牛頓在研究廣義二項式定理過程中把二項式系數(shù)禺'中的下標(biāo)〃推廣到任意實
數(shù),規(guī)定廣義組合數(shù)C:=MxT)—f+D是組合數(shù)的一種推廣,其中
且定義C:=l,比如=22-D(2--3)(2-4)=0.下列關(guān)于廣
義組合數(shù)的性質(zhì)說法正確的有()
A.Cj7=-210B.當(dāng)〃?,〃為正整數(shù)且機(jī)>〃時,
c;=o
C.當(dāng),"為正奇數(shù)時,U;=TD.當(dāng)〃為正整數(shù)時,
【答案】BCD
【解析】
【分析】
選項A.由定義直接求出C:的值,可判斷;選項B.由定義有
C=--------------------,根據(jù)條件〃,n-ln-2,,〃一機(jī)+1這根個數(shù)中,一
nnil9
定有某個數(shù)為0,從而可判斷;選項C.由定義直接求出的不等式,結(jié)合條年可判
斷;選項D.由定義分別得出U';,C3-從而可判斷.
【詳解】
選項A.由題意C:=.,)?!!7Rx(二7匚)以二7二3)=210,故選項A不正確.
f5!
選項B由if),(…+D,
tn\
當(dāng)加,〃為正整數(shù)且,〃時,則〃一根工一1,所以〃一m+l<0
所以〃,n-1,n-2,,〃-機(jī)+1這機(jī)個數(shù)中,一定有某個數(shù)為0,
所以3=("一+1)=0,故選項B正確
m\
選項C.當(dāng)布為正奇數(shù)時,c;=f-2)(-1-,"+1)=-1(-2)(-〃。=—1,故選項c
ml
正確.
選項D.當(dāng)”為正整數(shù)時,
T7(T7—1)(—M—2)(一〃—機(jī)+1)/\m+1)(7?+2)(〃+加一1)
C_“=----------------------;-------------------=(T)-------------------;---------------
mlml
m(九+加-1)(〃+加-2)(〃+加一1一機(jī)+1)(〃+加一1)(〃+加-2)+
L”+WI-1—*一1
m\m\
所以C?=(-1L,故選項D正確
故選:BCD
19.英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法一牛頓迭代法,做法如
下:如圖,設(shè)r是/(勾=0的根,選取與作為r的初始近似值,過點&,/(%))作曲線
〉=/(力的切線/:丫-/1)=/'(%)(》_々,),貝心與x軸的交點的橫坐標(biāo)
%="。一42(7'伍片°),稱公是「的一次近似值;過點(與,/(4))作曲線y=/(x)
的切線,則該切線與無軸的交點的橫坐標(biāo)為巧,稱々是r的二次近似值;重復(fù)以上過
程,得r的近似值序列,其中心=%-少4(/'5)/0),稱加是r的”+1次近似
值,這種求方程/(X)=0近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程V=3的
近似解,則()
A.若取初始近似值為1,則過點作曲線y=〃x)的切線/:y=2x-4
B.若取初始近似值為1,則該方程解的三次近似值為¥97
56
「X=X/(?)I/(%)j(72)
l°r(%)1㈤r㈤
n_〃―)/(%)。(工2)f(X")
…f'M小)廣⑸f'M
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)條件介紹的牛頓迭代法求近似解即可.
【詳解】
解:構(gòu)造函數(shù)/(x)=f—3,則((x)=2x,取初始近似值%=1,〃%)=-2,
/'仇)=2,則y-(-2)=2(x-l),即y=2x-4,則A正確;
寸]=%氣_3=]_三=2,-3=2-"上,
°1°f,M2x121/(%,)2x24,
竺一3
f=々一中\(zhòng)=;一匝7=|^,則B正確;
了⑸42xZ56
4
根據(jù)題意,可知X|=X。-■4。1〃x“)
,X2=xt八國)?_1(%)
7r,x〃+1
fM7k2-71用'f'Mr
fMf(x1)f(x2)
上述式子相加,得X"+l=%C不正確,則D正
確.
故選:ABD.
三、雙空題
20.中國茶文化博大精深.小明在茶藝選修課中了解到,不同類型的茶葉由于在水中溶
解性的差別,達(dá)到最佳口感的水溫不同.為了方便控制水溫,小明聯(lián)想到牛頓提出的物
體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型:如果物體的初始溫度是4,環(huán)境溫度是4,則
t
經(jīng)過時間r(單位:分)后物體溫度。將滿足:0=0o+(0,-0l1)e-',其中我為正的常數(shù).
小明與同學(xué)一起通過多次測量求平均值的方法得到200ml初始溫度為98°C的水在19T
室溫中溫度下降到相應(yīng)溫度所需時間如表所示:
從98℃下降到90℃所用時間1分58秒
從98。<2下降到85。(2所用時間3分24秒
從98。<2下降到80。(2所用時間4分57秒
(1)上的值約為;(填序號)
①0.04:②0.05;③;0.06?0.07.
(2)“碧螺春”用75。(2左右的水沖泡可使茶湯清澈明亮,口感最佳.在(1)的條件下,
200mL水煮沸后在19%:室溫下為獲得最佳口感大約冷卻.(精確到個位)
分鐘左右沖泡.
(參考數(shù)據(jù):In79=4.369,In71=4.263,In66=4.190,ln61=4.111,
In56=4.025)
【答案】②7
【解析】
【分析】
①根據(jù)題目中給的三組數(shù)據(jù),代入。=4+(4-4)-e-",即可得到女的值.
②將得到女的值以及4,4代入公式中,即可得r值
【詳解】
由,=%+(4-%).e-"得e-嗎,二去,故-h=ln,二去,當(dāng)環(huán)境溫度是%=19C,物體的初
始溫度是a=98",經(jīng)過約兩分鐘下降到。=90這組數(shù)據(jù)有
90-1971
-2k=In----=In—=In71-In79?4.263-4.369,.1.it?0.05
98-1979
當(dāng)環(huán)境溫度是4=19C,物體的初始溫度是4=98。,經(jīng)過3.4分鐘下降到0=85這組數(shù)據(jù)
<-3.4*=In85_19=In—=In66-in79?4.190-4.369,k?0.05
98-1979
當(dāng)環(huán)境溫度是4=19C,物體的初始溫度是4=98",經(jīng)過5分鐘下降到。=80。這組數(shù)據(jù)
行-5k=In80_19=In—=ln61-ln79=4.111-4.369,:.kx0.05
98-1979
故人0.05
故答案為:②0.05
當(dāng)環(huán)境溫度是4=19C,物體的初始溫度是4=98°,經(jīng)過k分鐘下降到6=75有
-0.05/=In—~—=ln56-ln79,t=JILT2_111^?6.88,所以取f=7.
98-190.05
故答案為:7
21.令函數(shù)/(x)=V+x-l,對拋物線y=/(x),持續(xù)實施下面牛頓切線法的步驟:在
點(1,1)處作拋物線的切線,交x軸于(x,o);在點GJ(XJ)處作拋物線的切線,交X
軸于(9,0);在點(々J(X2))處作拋物線的切線,交x軸于(怎,0);……由此能得到一
個數(shù)列代}隨著”的不斷增大,乙會越來越接近函數(shù)/(x)的一個零在點吃,因此我們
可以用這種方法求“X)零點X。的近似值.①設(shè)%U=g(x,3貝Ug(x,)=;
②用二分法求方程1=0在區(qū)間(0,1)上的近似解,根據(jù)前4步結(jié)果比較,可以得
到牛頓切線法的求解速度(快于、等于、慢于)二分法.
【答案】;工快于
2x.+l
【解析】
【分析】
由直線與拋物線相切求出g(X“),然后利用g(X“)和二分法對零點進(jìn)行四次計算后比較
可得.
【詳解】
2
f(x)=x+x-1,f'(x)=2x+l,fXx?)=2xn+l,
所以切線方程為y-(x;+-1)=(2x?+l)(x-x?),
X?+1Y24-1
令尸°'得"=岸'所以"=g*“)=*r
二分法計算一=等毛=一!<°」⑴
13
-+-
上二,24
X3-=0.625,
2428
15
—+-
9=0.0625
-28\x4-A^|
吟$皿七r一2—=0.5625
16
用切線逼近法:
2
41
++1
M=g⑴=111_22913
,2+1321?—=0.6180,
3+,竺+1
21
‘=0.6182+17061803,
0.0001<0.0625,
42x0.618+1
因此牛頓切線法的求解速度快于二分法.
X24-1
故答案為:-^―;快于.
2玉+1
22.牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種近似求方程根的方法.如圖,設(shè)/?是
〃x)=0的根,選?。プ鳛?,初始近似值,過點(%,/5))作曲線y=/(x)的切線/,
則/與X軸的交點的橫坐標(biāo)%=為-詈2(/'(與)工0),稱4是『的一次近似值,過點
(%,〃%))作曲線y=/(x)的切線,則該切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)
々=%一1儀(廣仁)二0),稱演是「的二次近似值?重復(fù)以上過程,得到『的近似值序
(1)請選出廠的〃次近似值與r的〃-1次近似值的關(guān)系式(請?zhí)钫_的
關(guān)系式序號).①/=七_(dá)(在2);②x,,=x,i-光彳(〃22);③
/(加)
(?^2).(2)若〃XX取x0=2作為,的初始近似值,則
ri))=2-3,
〃x)=0的正根的二次近似值為.
97
【答案】②;77
56
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題中的兩個表達(dá)式,選出公式即可;
(2)根據(jù)(1)中的公式代入數(shù)據(jù)計算可得出結(jié)果.
【詳解】
(1)由%=入0-烏"\(7'(入0)*。),“2=X-/J,
J(々JJ(Xj
/Qi)
推得「的〃次近似值與r的〃-1次近似值的關(guān)系式為斗=X“T(北2).
/(Vi)
所以公式②正確;
〃玉)工%-3=13
(2)/'(%)=2x,x
n+]r(x“)”2x?2f2x?
371317697
毛=2時,x,=5%+大=,+—,X)=-X]4-------=-x—+—=——
r4-212%,24756'
四、填空題
23.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述:設(shè)物體的初始溫度是
經(jīng)過一定時間/(單位:min)后的溫度是T,則7.7;=(穌其中7;稱為環(huán)
境溫度,〃為常數(shù),現(xiàn)有一杯用85℃熱水沖的速溶咖啡,放在21℃的房間中,如果咖
啡降到37℃需要16min,那么這杯咖啡要從37℃降到25℃,還需要min.
【答案】16
【解析】
【分析】
根據(jù)所給函數(shù)模型,由Z=21℃.令7b=85℃,T=37℃,求得"然后令心=
37℃,7=25℃,求得f.
【詳解】
16
由題意知7h=21℃.令7b=85℃,T=3TC,得37-21=(85-21)];),
.?./7=8.
令7。=37℃,T=25℃,則25-21=(37-21)(gJ,
;?f=16.
故答案為:16.
24.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時,給出的“牛頓數(shù)列”在航
空航天中應(yīng)用廣泛,若數(shù)列k“}滿足X,M=%一務(wù)4,則稱數(shù)列{%}為牛頓數(shù)列.如
x+2
果函數(shù)“X)=2/-8,數(shù)列優(yōu)}為
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