高中數(shù)學(xué)- 9 牛頓 （以牛頓為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）解析版

【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】

專題9牛頓

（以牛頓為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）

一、單選題

1.人們很早以前就開(kāi)始探索高次方程的數(shù)值求解問(wèn)題.牛頓（IssacNewton,1643-

1727）在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓法-用“做切線”的方法求方程的近似解.如圖,

方程“X）=0的根就是函數(shù),f（x）的零點(diǎn)r,取初始值司處的切線與x軸的交點(diǎn)為々,

f（x）在巧的切線與無(wú)軸的交點(diǎn)為演，一直這樣下去，得到斗,勺，演…，x“，它們

則用牛頓法得到的，?的近似值々約為（）

C.1.416D.1.375

【答案】B

【解析】

【分析】

利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程，結(jié)合牛頓法求得演?

【詳解】

/（x）=x2-2,/（x）=2x,

/（2）=4-2=2,/⑵=4,在點(diǎn)（2,2）的切線方程為y—2=4（x-2）,令y=0解得

3

芭=天

信卜圖二宅一24/圖=3,在點(diǎn)整力的切線方程為y03卜［

令y=0解得々?1.417.

故選：B

2.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為則經(jīng)

t

過(guò)一定時(shí)間f分鐘后的溫度T滿足一1),/?稱為半衰期，其中T,是環(huán)

境溫度.若(=25。。，現(xiàn)有一杯80℃的熱水降至75C大約用時(shí)1分鐘，那么水溫從

75℃降至45℃大約還需要()(參考數(shù)據(jù)：愴2=0.30,lgll?l.()4)

A.8分鐘B.9分鐘C.10分鐘D.11分鐘

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意可得(丁=$,代入45-25=(9(75-25),得用g兩邊取常用對(duì)數(shù)得：

rlg《=lg|，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出，的值.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：75-25=(口%80-25)，

??可哈

1L

.?.45-25=(3)"(75-25),

二20=50X卜'],

??瑞

in7

兩邊取常用對(duì)數(shù)得：Hg^=lg1,

ig2

培5Jg2-lg5-21g2-l-2x03-1

^101-lgll1-lgll1-1.04'

gn

???水溫從75℃降至45℃大約還需要10分鐘，

故選：C.

3.牛頓切線法是牛頓在十七世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方

法.比如求解方程/-3f+4x-l=0,先令f(x)=x3_3/+4x-l,然后對(duì)y=f(x)

的圖象持續(xù)實(shí)施下面的步驟:

第一步，在點(diǎn)（1,1）處作曲線的切線，交X軸于（5,0）；

第二步，在點(diǎn)（Xj（xj）處作曲線的切線，交》軸于（七,0）；

第三步，在點(diǎn)（&,/（%））處作曲線的切線，交x軸于（玉,0）；

利用該方法可得方程近似解占（保留三位有效數(shù)字）是（）

A.0.313B.0.314C.0.315D.0.316

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求解點(diǎn)（U）處的切線，進(jìn)而得到a，o）,再按題意繼續(xù)計(jì)算得

到當(dāng)即可

【詳解】

r（x）=3x2-6x+4.-.r（l）=l

所以y=/（x）在（1,1）處的切線方程y-i=x-i,y=x,則占=o；

同理/'（0）=4,曠=〃幻在（0,-1）處的切線方程丫=4犬-1,令y=0,得馬=；,

又/《）=獸,y=/（x）在上一當(dāng)處的切線方程y=令y=o,得

41664J1614J64

27

x,=——?0.314.

86

故選：B.

4.牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：f=（r為時(shí)間，單位為

分鐘，％為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，J為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開(kāi)水溫度

q=9（）c,環(huán)境溫度％=10C,常數(shù)《=，，大約經(jīng)過(guò)多少分鐘水溫降為40（參考數(shù)

6

據(jù)：In2ao.7,In3al.1｝（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，將數(shù)據(jù)代入溫度冷卻模型，即可求解.

【詳解】

40-103

由題意知：代入冷卻模型，f=-61n茨V=-61n==-6(ln3-ln8)

90—108

g|JZ=-6(ln3-31n2)?6

故選：C.

5.中國(guó)茶文化博大精深，某同學(xué)在茶藝選修課中了解到，茶水的口感與茶葉類型和水

的溫度有關(guān)，某種綠茶用80℃左右的水泡制可使茶湯清澈明亮，營(yíng)養(yǎng)也較少破壞.為了

方便控制水溫，該同學(xué)聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如

果物體的初始溫度是仇℃,環(huán)境溫度是則經(jīng)過(guò)，分鐘后物體的溫度將滿足

e=4+(q-4)e-“，其中％是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).該同學(xué)通

過(guò)多次測(cè)量平均值的方法得到初始溫度為100℃的水在20℃的室溫中，12分鐘以后溫

度下降到5(rc.則在上述條件下，ioo°c的水應(yīng)大約冷卻()分鐘沖泡該綠茶(參考

數(shù)據(jù)：ln2?0.7,ln3?l.l)

A.3B.3.6C.4D.4.8

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求出k的值，再將e=8o℃,4=ioo℃,〃=20℃代入e=4+(a—d)e”即

可求得f的值.

【詳解】

-12t-A2A

由題可知:50=20+(100-20)e=>(e)'=|=>e'

沖泡綠茶時(shí)水溫為80℃,

故80=20+(100-20)?"=>『)'=ln|

12(ln3-21n2)12(1.1-2x0.7)_

In3-31n2l.l-3x0.7'

故選：B.

6.牛頓流體符合牛頓黏性定律，在一定溫度和剪切速率范圍內(nèi)黏度值是保持恒定的：

r=W,其中T為剪切應(yīng)力，〃為黏度，/為剪切速率；而當(dāng)液體的剪切應(yīng)力和剪切速

率存在非線性關(guān)系時(shí)液體就稱為非牛頓流體.非牛頓流體會(huì)產(chǎn)生很多非常有趣的現(xiàn)

象，如人陷入沼澤越掙扎將會(huì)陷得越深；也有很多廣泛的應(yīng)用，如某些高分子聚合物

還可以做成“液體防彈衣如圖是測(cè)得的某幾種液體的流變T-7曲線，則其中屬于沼

澤和液體防彈衣所用液體的曲線分別是（）

A.③和①B.①和③C.④和②D.②和④

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)所給定義，分析出圖象中牛頓流體和非牛頓流體對(duì)應(yīng)的曲線，即可得答案.

【詳解】

由題意得牛頓流體黏度〃恒定，即在T-7曲線中，圖象為直線，即①和③為牛頓流

體，④和②為非牛頓流體，

乂屬于沼澤和液體防彈衣所用液體為非牛頓流體，

所以對(duì)應(yīng)曲線為④和②.

故選：C

7.牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：+4,其中為時(shí)間

（單位：min）,%為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，6為冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)

溫度為20℃的情況下，一桶咖啡由100C降低到60C需要20min.則k的值為

)

In2In3「In2In3

A.---B.---C.-----D.-----

20201010

【答案】A

【解析】

【分析】

把%=20,4=100,6=60,r=20代入6=（4一4卜一"+。可求得實(shí)數(shù)％的值.

【詳解】

由題意，把％=20,4=100,6=60,f=20代入。=(q—4)e-"+q中得

80e-2W'+20=60.可得:,

2

所以，—20%=—In2,I大1此，k----.

20

故選：A.

8.人們很早以前就開(kāi)始探索高次方程的數(shù)值求解問(wèn)題.牛頓（1643—1727）給出了牛

頓法用“作切線”的方法求方程的近似解.如圖，方程/（X）=0的根就是函數(shù)的

零點(diǎn)r,取初始值％處的切線與x軸的交點(diǎn)為4，/（x）在4處的切線與x軸的交點(diǎn)為

x,,一直這樣下去，得到維，多,々....x?,它們?cè)絹?lái)越接近/?.若/（x）=/-2,

々=2,則用牛頓法得到的r的近似值巧約為（）

A.1.438B.1.417C.1.415D.1.375

【答案】B

【解析】

【分析】

利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程，結(jié)合牛頓法求得巧.

【詳解】

由題意，得/'（x）=2x,/（2）=4-2=2,/（2）=4,

所以曲線y=“X）在點(diǎn)（2,2）處的切線方程為y-2=4（x-2）,

3

令y=o,得否=3

所以曲線y=在點(diǎn)住高處的切線方程為）'-1=3卜-|）,

令y=0,解得々=1.417.

故選：B.

9.著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為

年C,空氣溫度為綜。C,則f分鐘后物體的溫度。（單位：。C）滿足：

6=4+（4-幻「'.若常數(shù)后=0.05,空氣溫度為25c，某物體的溫度從85℃下降到

45℃,大約需要的時(shí)間為（）（參考數(shù)據(jù)：ln3"l.l）

A.25分鐘B.24分鐘C.23分鐘D.22分鐘

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可得，4=25,4=85,0=45,故45=25+（85-25）/帕，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的公

式，即可求解.

【詳解】

由題意可得，4=25,優(yōu)=85,。=45,

故45=25+（85-25）摩°”,

:.e-°05'=1,即-005/=Ing,

二”黑心懸=22（分鐘），即大約需要的時(shí)間為22分鐘，

故選：D.

10.牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，=一7始萬(wàn)二六G為時(shí)間，單位為

分鐘，4為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，。為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開(kāi)水溫度

a=90℃,環(huán)境溫度％=10℃,常數(shù)％=，，大約經(jīng)過(guò)多少分鐘水溫降為40C?（參考

6

數(shù)據(jù)：ln2?0.7,ln3?l.l）（）

A.8B.7C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題設(shè)的溫度冷卻模型有f=-61n*^,應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求值.

90-10

【詳解】

40-103

由題意知：Z=-61n--------■=-6111二=-6(1113-1118)=-6(1113-31112)=6分鐘，

90—108

故選：C.

11.英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航

空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列卜“｝滿足則稱數(shù)列｛x0｝為牛頓數(shù)列.如

/\Xn)

X—2

果函數(shù)/(x)=Y-x—2,數(shù)列｛xj為牛頓數(shù)列，設(shè)q=ln」一彳且q=-1,%>2,數(shù)

Xn+1

列｛%｝的前”項(xiàng)和為S“，則邑02小()

A.2202,-1B.1-22021

【答案】B

【解析】

【分析】

先由題設(shè)得到：怎一毛壬2=爐馬，從而得到見(jiàn)+尸2%，即可說(shuō)明數(shù)列

2x,,-l2x?-l

｛%｝是以-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列前"項(xiàng)和求和公式得到結(jié)

果.

【詳解】

解：由題知/'（》）=2x-l

R=Y/（x"）==七+2

向一，r（x?）"2x?-l2x?-l

.+22,

2x?-l_/x?-2>-

?玉+i+l7+2?]l-v?+lJ

2x,-l

x—2x-2

兩邊取對(duì)數(shù)得：In=21n"

x.+i+lx“+l

令??=ln"即%-2%，所以數(shù)列｛4｝是以-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

X”+1

故選：B

12.英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航

/(七)

空航天中應(yīng)用廣泛.若數(shù)列｛%｝滿足玉"則稱數(shù)列｛怎｝為牛頓數(shù)列.如果

/'(%)'

x—2

函數(shù)〃x）=f—X—2,數(shù)列上｝為牛頓數(shù)列，設(shè)％=卜七「且q=l,x“>2,數(shù)列

｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，則反儂=（）

門、2022門產(chǎn)2

A.2*1B.22022-2c.I~D.1-2

【答案】A

【解析】

【分析】

得到尸（x）,計(jì)算%+|=%一光十，然后計(jì)算*中，最后可得數(shù)列｛4,｝為等比數(shù)

列，最后根據(jù)公式計(jì)算即可.

【詳解】

X：7“-2=X：+2

由題可知I：f'(x)=2x-l,x?=x

+ln24-1-2x?-l

所以上W=2*;,

x“+i+l4+2?]

2xw-l

x.-2x—2

則兩邊取對(duì)數(shù)可得In37T=21n-r，即。，川=2q,

Xn+\+1Xn+1

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，

1x

所以―匚「=2配-1

故選：A

13.牛頓冷卻定律描述一個(gè)事物在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為

To,則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間f后的溫度T滿足T_?;=（；,（7；二7；）,其中，是環(huán)境溫度，h

稱為半衰期，現(xiàn)有一杯80℃的熱水用來(lái)泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會(huì)出現(xiàn)

在55℃.經(jīng)測(cè)量室溫為25C,茶水降至75℃大約用時(shí)1分鐘，那么為了獲得最佳飲

用口感，從泡茶開(kāi)始大約需要等待（)(參考數(shù)據(jù)：1g3?0.4771,

Ig5?0.6990,Igl1*1.0414）

A.4分鐘B.5分鐘C.6分鐘D.7分鐘

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件代入公式計(jì)算得到再把該值代入，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求得

結(jié)果.

【詳解】

2￡

根據(jù)題意，75-25=（；『（80-25），即與=（；］

設(shè)茶水從75℃降至55℃大約用時(shí)t分鐘，則55-25=?丫

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)：lg|=lg（,）=小（當(dāng)卜f（l-lgll）

解得'=早Ig3-音lg5~"5,所以從泡茶開(kāi)始大約需要等待5+1=6分鐘

1-lgl1

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟

練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，考查學(xué)生的審題分析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、多選題

14.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先，

設(shè)定一個(gè)起始點(diǎn)%,如圖，在x=x0處作/（X）圖象的切線，切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)

記作4：用/替代與重復(fù)上面的過(guò)程可得巧；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)方,

為，巧，…，x“，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)X“T，近似值

相等時(shí)，該值即作為函數(shù)/（X）的一個(gè)零點(diǎn)『.若要求*的近似值/（精確到0.1）,我們

可以先構(gòu)造函數(shù)/（x）=/-6,再用“牛頓法''求得零點(diǎn)的近似值乙即為痣的近似

值，則下列說(shuō)法正確的是（)

y

XX

A.對(duì)任意/2GN\n<n-\

22

B.若且不工0,則對(duì)任意"GN"，X?=-VI+—

JXn-\

C.當(dāng)X。=2時(shí)，需要作2條切線即可確定『的值

D.無(wú)論為在（2,3）上取任何有理數(shù)都有「=1.8

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用特殊情況判斷選項(xiàng)A；求出曲線在x=x,i處的切線方程與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即

可判斷選項(xiàng)B；求出玉，巧，即可判斷選項(xiàng)C、D

【詳解】

A,因?yàn)椤o(wú)）=/-6,則/''（工）=3公,

設(shè)%=1,則切線方程為y+5=3（x-l）,

Q

切線與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為王=：=2.7,所以再>%,故A錯(cuò)誤:

123

B,X=x,i處的切線方程為y=3(X?_1)(X-X?_I)+x,,.1-6，

22x

所以與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4=—r+ya，故B正確；

1211…

2211=---y+—x—?1.8

C,因?yàn)樾?（+：x2=*kl.8,-（Uj36,

所以兩條切線可以確定,的值，故C正確；

D,由選項(xiàng)C可知，廠=1.8,所以無(wú)論與在（2,3）上取

任何有理數(shù)都有r=1.8,故D正確.

故選：BCD

15.若函數(shù)/(x)的圖象是連續(xù)的平滑曲線，且在區(qū)間,，句上恒非負(fù)，則其圖象與直

線x=a、x=b、x軸圍成的封閉圖形的面積稱為/(x)在區(qū)間目上的“圍面積”.根據(jù)

牛頓-萊布尼茨公式，計(jì)算面積時(shí)，若存在函數(shù)*x)滿足F'(x)=/(x),則

尸㈤-尸⑷為f(x)在區(qū)間［a,可上的圍面積.下列圍面積計(jì)算正確的是()

A.函數(shù)〃x)=2*在區(qū)間［0,2］上的圍面積是三

In2

B.函數(shù)〃x)=cos晨在區(qū)間1,胃上的圍面積是1

C.函數(shù)〃x)=；在區(qū)間［1,2］上的圍面積是ln2

D.函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間［e"］上的圍面積是e?

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根據(jù)定積分的定義和性質(zhì)逐個(gè)分析求解即可

【詳解】

對(duì)于A,函數(shù)f(x)=2,在區(qū)間［0,2］卜一是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在尸(x)=21滿足

In2

F(x)=/(x),所以函數(shù)/(x)=2*在區(qū)間［0,2］上的圍面積是

2213

F(2)-F(0)=------------—,所以A錯(cuò)誤,

In2In2In2

對(duì)于B,函數(shù)，(x)=cos2》在區(qū)間0,(上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在

尸(x)=］+；sin2x滿足F'(x)=/(x),所以函數(shù)〃x)=cos2x在區(qū)間0,(上圍面積是

IIn/八、7C1.7t1711一,.

尸:一尸(°)=7+；sin；=：+不，所以B正確，

14J84248

對(duì)于C,函數(shù)f(x)=2在區(qū)間［1,2］上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在F(x)=lnx,滿足

F'(x)=f(x),所以函數(shù)/(x)=」在區(qū)間［1,2］上的圍面積是

F(2)-F(i)=ln2-lnl=ln2,所以C正確,

對(duì)于D,函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間Re?］上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，只存在尸(x)=xlnx-x,

滿足F(x)=/(x),所以函數(shù)〃x)=lnx在區(qū)間［e4］上的圍面積是

F(e2)-F(e)=e2Ine2-e2-(elne-e)=e2，所以D正確,

故選：BCD

16.英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種近似求方程根的方法一牛頓迭代法.做法如

下：如圖，設(shè)『是/（x）=0的根，選取與作為「初始近似值，過(guò)點(diǎn)（%,/（毛））作曲線

y=/。）的切線/,/與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=%-察工（尸（々）x0）,稱儲(chǔ)是/?的一

次近似值，過(guò)點(diǎn)（%,/（入））作曲線y=的切線，則該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

馬=玉-坐^（尸&?0）,稱々是『的二次近似值.重復(fù)以上過(guò)程，得到/?的近似值序

列，其中X向=%-務(wù)《（廣（馬戶0），稱Xm是，的"+1次近似值，這種求方程

/（x）=o近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程￡=2的近似解，則

A.若取初始近似值為1,則該方程解得二次近似值為范17

B.若取初始近似值為2,則該方程近似解的二次近似值為巳17

/（%）_f（玉）_f㈤_(kāi)〃毛）

/（X。）/（%）/⑸

fM,r（xi）（（蒞）f'M

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)牛頓迭代法求方程/&）=0近似解的方法，將初始值代入公式計(jì)算即可求解.

【詳解】

令/（》）=--2,plljf\x）=2x,當(dāng)4=1,X]=1-=1-y-=-|

々在一/(x焉)=17透故A正確;

/(x)17

當(dāng)-23=2二4工2=再一務(wù)々=不，故B正確;

口0勺,⑵42fM12

國(guó)為尤_?/(X。)?j(/)K-X/(”2)，(工3)

2

因?yàn)椤?W再一馬一很；匕一三一7^'

.x_x」(x。)/&)/(％)[(w)f

?…-/一可一西一河一所‘故0正確‘口情尻

故選：ABC

17.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是4

(單位：℃),環(huán)境溫度是%(單位：℃),其中4>4.則經(jīng)過(guò)r分鐘后物體的溫度。

將滿足，=/⑺=4+(4-ajg”,其中％為正常數(shù).現(xiàn)有一杯80℃的熱紅茶置于20℃

的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻，正確的結(jié)論是()

A./（r）＜0

B.若/（3）=65。（2,貝Ij/（6）=5（）OC

C.若/(3)=-4,則其實(shí)際意義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大約以每分鐘4。(2的速

率下降

D.紅茶溫度從80℃下降到60。(2所需的時(shí)間比從60。(2下降到40℃所需的時(shí)間少

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由題知。=/(r)=20+60e-“，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算等依次討論各選項(xiàng)

求解即可.

【詳解】

解:由題知。=/⑺=20+601,

對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)槿藶檎?shù)，所以/(，)=-60射山<0,故A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，若/⑶=65。(2,即65=20+60e3,所以:=e』，則

..2Q

f（6）=20+60e3=20+60（e"?）=20+60x—=53,75℃,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

、16

對(duì)于C選項(xiàng)，尸（3）表示t=3處的函數(shù)值的變化情況，若/（3）=-4<0,所以實(shí)際意

義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大約以每分鐘4%：的速率下降，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，令g（x）=/Q）=-60ke-",則g（x）=60Fe*>0,故/⑺是定義域內(nèi)的

單調(diào)遞增函數(shù)，

由于所以/⑺隨著時(shí)間的增加，下降速度再減小，由于

80-60=60-40=20.

故當(dāng)下降溫度相同的時(shí)候，下降所需時(shí)間相對(duì)增加，故紅茶溫度從8（rc下降到6（rc

所需的時(shí)間比從60℃下降到40。（2所需的時(shí)間少，

故D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

18.眾所周知，組合數(shù)￡"="（〃T）（"-2）（〃-〃?+1）,這里并且

m\

m<n.牛頓在研究廣義二項(xiàng)式定理過(guò)程中把二項(xiàng)式系數(shù)禺'中的下標(biāo)〃推廣到任意實(shí)

數(shù)，規(guī)定廣義組合數(shù)C：=MxT）—f+D是組合數(shù)的一種推廣,其中

且定義C：=l,比如=22-D（2--3）（2-4）=0.下列關(guān)于廣

義組合數(shù)的性質(zhì)說(shuō)法正確的有（）

A.Cj7=-210B.當(dāng)〃?，〃為正整數(shù)且機(jī)>〃時(shí)，

c；=o

C.當(dāng)，"為正奇數(shù)時(shí)，U；=TD.當(dāng)〃為正整數(shù)時(shí)，

【答案】BCD

【解析】

【分析】

選項(xiàng)A.由定義直接求出C：的值，可判斷；選項(xiàng)B.由定義有

C=--------------------,根據(jù)條件〃，n-ln-2,,〃一機(jī)+1這根個(gè)數(shù)中，一

nnil9

定有某個(gè)數(shù)為0,從而可判斷；選項(xiàng)C.由定義直接求出的不等式，結(jié)合條年可判

斷；選項(xiàng)D.由定義分別得出U'；,C3-從而可判斷.

【詳解】

選項(xiàng)A.由題意C：=.,）?!!7Rx（二7匚）以二7二3）=210,故選項(xiàng)A不正確.

f5!

選項(xiàng)B由if）,（…+D,

tn\

當(dāng)加，〃為正整數(shù)且，〃時(shí)，則〃一根工一1,所以〃一m+l<0

所以〃，n-1,n-2,,〃-機(jī)+1這機(jī)個(gè)數(shù)中，一定有某個(gè)數(shù)為0,

所以3=（"一+1）=0,故選項(xiàng)B正確

m\

選項(xiàng)C.當(dāng)布為正奇數(shù)時(shí)，c；=f-2）（-1-，"+1）=-1（-2）（-〃。=—1,故選項(xiàng)c

ml

正確.

選項(xiàng)D.當(dāng)”為正整數(shù)時(shí)，

T7（T7—1）（—M—2）（一〃—機(jī)+1）/\m+1）（7?+2）（〃+加一1）

C_“=----------------------；-------------------=（T）-------------------；---------------

mlml

m（九+加-1）（〃+加-2）（〃+加一1一機(jī)+1）（〃+加一1）（〃+加-2）+

L”+WI-1—*一1

m\m\

所以C?=（-1L,故選項(xiàng)D正確

故選：BCD

19.英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法一牛頓迭代法，做法如

下：如圖，設(shè)r是/（勾=0的根，選取與作為r的初始近似值，過(guò)點(diǎn)&,/（%））作曲線

〉=/（力的切線/：丫-/1）=/'（%）（》_々,），貝心與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

%="。一42（7'伍片°），稱公是「的一次近似值；過(guò)點(diǎn)（與，/（4））作曲線y=/（x）

的切線，則該切線與無(wú)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧，稱々是r的二次近似值；重復(fù)以上過(guò)

程，得r的近似值序列，其中心=%-少4（/'5）/0）,稱加是r的”+1次近似

值，這種求方程/（X）=0近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程V=3的

近似解，則（)

A.若取初始近似值為1,則過(guò)點(diǎn)作曲線y=〃x)的切線/：y=2x-4

B.若取初始近似值為1,則該方程解的三次近似值為￥97

56

「X=X/(?)I/(%)j(72)

l°r(%)1㈤r㈤

n_〃―)/(%)。(工2)f(X")

…f'M小)廣⑸f'M

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)條件介紹的牛頓迭代法求近似解即可.

【詳解】

解：構(gòu)造函數(shù)/(x)=f—3,則((x)=2x,取初始近似值%=1,〃％)=-2,

/'仇)=2,則y-(-2)=2(x-l),即y=2x-4,則A正確;

寸]=%氣_3=]_三=2,-3=2-"上，

°1°f,M2x121/(%,)2x24,

竺一3

f=々一中\(zhòng)=；一匝7=|^，則B正確;

了⑸42xZ56

4

根據(jù)題意，可知X|=X。-■4。1〃x“)

,X2=xt八國(guó))?_1(%)

7r，x〃+1

fM7k2-71用'f'Mr

fMf(x1)f(x2)

上述式子相加,得X"+l=%C不正確，則D正

確.

故選：ABD.

三、雙空題

20.中國(guó)茶文化博大精深.小明在茶藝選修課中了解到，不同類型的茶葉由于在水中溶

解性的差別，達(dá)到最佳口感的水溫不同.為了方便控制水溫，小明聯(lián)想到牛頓提出的物

體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是4,環(huán)境溫度是4,則

t

經(jīng)過(guò)時(shí)間r（單位：分）后物體溫度。將滿足：0=0o+（0,-0l1）e-',其中我為正的常數(shù).

小明與同學(xué)一起通過(guò)多次測(cè)量求平均值的方法得到200ml初始溫度為98°C的水在19T

室溫中溫度下降到相應(yīng)溫度所需時(shí)間如表所示：

從98℃下降到90℃所用時(shí)間1分58秒

從98。＜2下降到85。（2所用時(shí)間3分24秒

從98。＜2下降到80。（2所用時(shí)間4分57秒

（1）上的值約為;（填序號(hào)）

①0.04：②0.05；③；0.06?0.07.

（2）“碧螺春”用75。（2左右的水沖泡可使茶湯清澈明亮，口感最佳.在（1）的條件下,

200mL水煮沸后在19%：室溫下為獲得最佳口感大約冷卻.（精確到個(gè)位）

分鐘左右沖泡.

（參考數(shù)據(jù)：In79=4.369,In71=4.263,In66=4.190,ln61=4.111,

In56=4.025）

【答案】②7

【解析】

【分析】

①根據(jù)題目中給的三組數(shù)據(jù)，代入。=4+（4-4）-e-",即可得到女的值.

②將得到女的值以及4，4代入公式中，即可得r值

【詳解】

由，=%+(4-%).e-"得e-嗎，二去，故-h=ln，二去，當(dāng)環(huán)境溫度是％=19C,物體的初

始溫度是a=98",經(jīng)過(guò)約兩分鐘下降到。=90這組數(shù)據(jù)有

90-1971

-2k=In----=In—=In71-In79?4.263-4.369,.1.it?0.05

98-1979

當(dāng)環(huán)境溫度是4=19C,物體的初始溫度是4=98。,經(jīng)過(guò)3.4分鐘下降到0=85這組數(shù)據(jù)

<-3.4*=In85_19=In—=In66-in79?4.190-4.369,k?0.05

98-1979

當(dāng)環(huán)境溫度是4=19C,物體的初始溫度是4=98",經(jīng)過(guò)5分鐘下降到。=80。這組數(shù)據(jù)

行-5k=In80_19=In—=ln61-ln79=4.111-4.369,:.kx0.05

98-1979

故人0.05

故答案為:②0.05

當(dāng)環(huán)境溫度是4=19C,物體的初始溫度是4=98°，經(jīng)過(guò)k分鐘下降到6=75有

-0.05/=In—~—=ln56-ln79,t=JILT2_111^?6.88,所以取f=7.

98-190.05

故答案為：7

21.令函數(shù)/(x)=V+x-l,對(duì)拋物線y=/(x),持續(xù)實(shí)施下面牛頓切線法的步驟：在

點(diǎn)(1,1)處作拋物線的切線，交x軸于(x，o)；在點(diǎn)GJ(XJ)處作拋物線的切線，交X

軸于(9,0)；在點(diǎn)(々J(X2))處作拋物線的切線，交x軸于(怎,0)；……由此能得到一

個(gè)數(shù)列代｝隨著”的不斷增大，乙會(huì)越來(lái)越接近函數(shù)/(x)的一個(gè)零在點(diǎn)吃,因此我們

可以用這種方法求“X)零點(diǎn)X。的近似值.①設(shè)%U=g(x，3貝Ug(x,)=;

②用二分法求方程1=0在區(qū)間(0,1)上的近似解，根據(jù)前4步結(jié)果比較，可以得

到牛頓切線法的求解速度(快于、等于、慢于)二分法.

【答案】;工快于

2x.+l

【解析】

【分析】

由直線與拋物線相切求出g(X“)，然后利用g(X“)和二分法對(duì)零點(diǎn)進(jìn)行四次計(jì)算后比較

可得.

【詳解】

2

f(x)=x+x-1,f'(x)=2x+l,fXx?)=2xn+l,

所以切線方程為y-(x；+-1)=(2x?+l)(x-x?),

X?+1Y24-1

令尸°'得"=岸'所以"=g*“)=*r

二分法計(jì)算一=等毛=一!<°」⑴

13

-+-

上二,24

X3-=0.625,

2428

15

—+-

9=0.0625

-28\x4-A^|

吟$皿七r一2—=0.5625

16

用切線逼近法:

2

41

++1

M=g⑴=111_22913

,2+1321?—=0.6180,

3+，竺+1

21

‘=0.6182+17061803,

0.0001<0.0625,

42x0.618+1

因此牛頓切線法的求解速度快于二分法.

X24-1

故答案為：-^―；快于.

2玉+1

22.牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種近似求方程根的方法.如圖，設(shè)/?是

〃x)=0的根，選?。プ鳛?，初始近似值，過(guò)點(diǎn)(%,/5))作曲線y=/(x)的切線/,

則/與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)％=為-詈2(/'(與)工0),稱4是『的一次近似值，過(guò)點(diǎn)

(%,〃％))作曲線y=/(x)的切線，則該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

々=%一1儀(廣仁)二0)，稱演是「的二次近似值?重復(fù)以上過(guò)程，得到『的近似值序

(1)請(qǐng)選出廠的〃次近似值與r的〃-1次近似值的關(guān)系式(請(qǐng)?zhí)钫_的

關(guān)系式序號(hào)).①/=七_(dá)(在2)；②x,,=x,i-光彳(〃22)；③

/(加)

(?^2).(2)若〃XX取x0=2作為，的初始近似值，則

ri))=2-3,

〃x)=0的正根的二次近似值為.

97

【答案】②；77

56

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題中的兩個(gè)表達(dá)式，選出公式即可；

(2)根據(jù)(1)中的公式代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)由%=入0-烏"\(7'(入0)*。)，“2=X-/J,

J(々JJ(Xj

/Qi)

推得「的〃次近似值與r的〃-1次近似值的關(guān)系式為斗=X“T(北2).

/(Vi)

所以公式②正確;

〃玉)工%-3=13

(2)/'(%)=2x,x

n+]r(x“)”2x?2f2x?

371317697

毛=2時(shí)，x,=5%+大=,+—,X)=-X]4-------=-x—+—=——

r4-212%,24756'

四、填空題

23.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是

經(jīng)過(guò)一定時(shí)間/(單位：min)后的溫度是T,則7.7；=(穌其中7；稱為環(huán)

境溫度，〃為常數(shù)，現(xiàn)有一杯用85℃熱水沖的速溶咖啡，放在21℃的房間中，如果咖

啡降到37℃需要16min,那么這杯咖啡要從37℃降到25℃,還需要min.

【答案】16

【解析】

【分析】

根據(jù)所給函數(shù)模型，由Z=21℃.令7b=85℃,T=37℃,求得"然后令心=

37℃,7=25℃,求得f.

【詳解】

16

由題意知7h=21℃.令7b=85℃,T=3TC,得37-21=(85-21)］；)，

.?./7=8.

令7。=37℃，T=25℃,則25-21=(37-21)(gJ，

；?f=16.

故答案為：16.

24.英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航

空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列k“｝滿足X,M=%一務(wù)4,則稱數(shù)列｛%｝為牛頓數(shù)列.如

x+2

果函數(shù)“X)=2/-8,數(shù)列優(yōu)｝為