2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式

2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用'不等式

一、填空題

+3y<3

L（2023?全國甲卷）設(shè)x,y滿足約束條件（3x-2y<3,設(shè)z=3%+2y,則z的最大值為________

（x+y>1

2.（2023?天津卷）在aABC中，乙4=60。，BC=1,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，若設(shè)而=五,

AC=b>則版可用亂石表示為;若訴=/瓦,則前?存的最大值為

3.（2023?全國乙卷）設(shè)a6（0,1）,若函數(shù)f（x）=亦+（1+a尸在（0,+8）上單調(diào)遞增，則a的取值范

圍是.

（x-3yW—1

4.（2023?全國乙卷）若x,y滿足約束條件（x+2y<9,則z=2x—y的最大值為________.

（3%4-y>7

5.（2023?上海卷）公園修建斜坡，假設(shè)斜坡起點(diǎn)在水平面上，斜坡與水平面的夾角為心斜坡終點(diǎn)距離水

平面的垂直高度為4米，游客每走一米消耗的體能為（1.025-cose）,要使游客從斜坡底走到斜坡頂端所

消耗的總體能最少，則。=;

二、選擇題

6.（2023?全國甲卷）曲線'=昌在點(diǎn)（1,分處的切線方程為（）

A.y=JxB.y=1%C.y=裊+專D7=》+半

7.（2023?天津卷）函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示，則/（%）的解析式可能為（)

5sinx

B.

%2+l

5(eX+eT)cScosx

D

%24-2-K

8.（2023?全國乙卷）已知實數(shù)％,、滿足爐+產(chǎn)一以一？？-^：^。，則久一y的最大值是（）

A-1.+,3—72B.4C.1+3V2D.7

9.(2023?新高考團(tuán)卷)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，則a的最小值為()

A.e2B.eC.e-1D.e~2

10.(2023?新高考回卷)若f(x)=alnx+?+￡(a/))既有極大值也有極小值，則()

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

11.(2023?新高考回卷)已知集合乂={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6>0},則MDN=()

A.{-2,-1,0,1)B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

12.(2023?新高考回卷)噪聲污染問題越來越受到重視，用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級”=

20xlg^-,其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限間值，p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為P],p2,p3,則

()

A.Pi>p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.pi<100p2

三、解答題

13.(2023?全國甲卷)已知/(%)=a%-si”：,x6(0,

COS,5%N

(1)若a=8,討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

sinx一“7T、

14.(2023?全國甲卷)已知函數(shù)/(x)=0”一忘我'xe(0>2)-

(1)當(dāng)a=l時，討論/(%)的單調(diào)性;

(2)若/(%)+sin%V0,求a的取值范圍.

15.(2023?天津卷)已知函數(shù)/(%)=G+}ln(%+1).

(1)求曲線y=/(%)在％=2處切線的斜率；

(2)當(dāng)x>0時，證明：/(x)>1；

(3)證明:1<ln(n!)—(n+^)ln(n)+n<1.

16.(2023?全國乙卷)已知函數(shù)f(x)=?+a)ln(l+x).

(1)當(dāng)a=—1時，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程;

(2)是否存在a,b,使得曲線y=關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明

理由.

(3)若/(x)在(0,+8)存在極值，求a的取值范圍.

17.(2023?全國乙卷)已知函數(shù)/(%)=(1+a)m(1+x).

(1)當(dāng)a=-l時，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,/(%))處的切線方程.

(2)若函數(shù)6%)在(0,+8)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

18.(2023?上海卷)=Inx,取點(diǎn)(%/(%))過其曲線y=/(%)作切線交y軸于(0,a2),取點(diǎn)

色2/(。2))過其曲線y=/(%)作切線交y軸于(0,。3)，若。3>0則繼續(xù)，若。340則停止，以此類推得到

數(shù)列｛aj

(1)若正整數(shù)m22,證明cim=InamT-1；

(2)若正整數(shù)m>2,試比較a.與—2大小；

(3)若正整數(shù)kN3,是否存在k使得由，a2,a?…以依次成等差數(shù)列?若存在，求出k的所有取值，

若不存在，請說明理由.

19.(2023?上海卷)函數(shù)fQ)="+(：^1)*+%,cGR)

(1)當(dāng)a=0是，是否存在實數(shù)c,使得/(x)為奇函數(shù)；

(2)函數(shù)f(x)的圖像過點(diǎn)(1,3)，且/Q)的圖像與支軸負(fù)半軸有兩個交點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍.

20.(2023?新高考回卷)

(1)證明：當(dāng)0<%<1時，，x—x2<sinx<x

(2)已知函數(shù)/(%)=cosax-ln(l—若％=0是/(%)的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

21.(2023?新高考回卷)已知函數(shù)/(%)=磯靖+a)-X.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時，/(%)>21na+1

22.(2023?新高考回卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)(()，》的距離，記動點(diǎn)P

的軌跡為W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABCD有三個頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于3K.

答案解析部分

L【答案】15

【知識點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃

【解析】【解答】由z=3x+2y得y=-+々z,

故當(dāng)直線，：y=—|x+/z截距最大時，z取得最大值,

根據(jù)題意畫出可行域如上圖，易得當(dāng)直線I過點(diǎn)A時、z取得最大值,

聯(lián)立建:服工，解得［1］即4(3,3)

???zmax=3x3+2x3=15

故答案為：15

【分析】利用約束條件畫出可行域，由目標(biāo)函數(shù)分析求截距最大值。

2.【答案】+^b；聶

【知識點(diǎn)】基本不等式；向量加減混合運(yùn)算：余弦定理

【解析】【解答】如圖所示，

第一空：?.?點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)

T11

???AO

由平行四邊形法則易得族=1(AC+>W)=iT[T1->]—

AC+4AB-4a+2b

第二空：由：喬=:近,

T1T

???BF=訶，

-'-AF=AB+BF=AB+^BC=AB+^(BA+AQ=la+^b^

??,//=/+網(wǎng),(瓢+萩)=施『+刑2+制磯可3/"=*同2+胴(+/問同

又?.?44=60°,BC=1,

_\ci\+b—11->一]2t2

根據(jù)木弦定理得：cosz.A=-------=2,即|。卜b=|a|+b-1

|f2T2

+b

又：口Z<n>

I叩bS-2-

|—>|2722

??同+印一以平，解得固+WW2，

綱+/同網(wǎng)=器『+綱+言(忖『+阿一1)=言(同2+網(wǎng))一言《分

故當(dāng)且僅當(dāng)同=N時，荏.9的最大為聶

故答案填：會.

【分析】根據(jù)題意，將其中兩邊視為基底向量，由平行四邊形法則易表示AE;同理利用基底向量可表

示余，進(jìn)而表示荏?希，表示后的結(jié)構(gòu)易聯(lián)想到使用基本不等式求其最大值，由基底夾角結(jié)合第三邊

BC=1可聯(lián)想使用余弦定理得出平方和與乘積的等量關(guān)系，消元且使用基本不等式可求得荏?萬的最大

值.

3.【答案】［與1,1)

【知識點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】?.?函數(shù)/(%)=〃+(1+a尸在(0,+8)上單調(diào)遞增,

?"'(')=(lna)ax+ln(l+a)(l+a)x>0在(0,+8)上恒成立,

xx>

令g(%)=(lna)a+ln(l+a)(l+d)9故只需證。(%北加°

則“(%)=(lna)2ax4-[ln(l+a)]2(l+a)x>0,

則g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(x)7n也>g(0)=Ina+ln(l+a)

Ina+ln(l+a)>0,

即Ina>—ln(l+Q),

Aeina>e-in（i+a）（即a2擊，解得a2二1產(chǎn)或aw畛蟲，

又W（0,1）

，ae母，1），

故答案為：［與1,1）

【分析】結(jié)合題意求導(dǎo)將問題轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立問題，重新構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析計算該函數(shù)的

最小值大于0即得答案.

4.【答案】8

【知識點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃

【解析】【解答】根據(jù)題意作出滿足不等式組表示的平面可行域，如下圖：

y=2x-z/

由z=2x-y,得y=2x-z,—z表示直線y=2x-z在y軸上的截距，

...截距越小z越大，

由上圖可只當(dāng)直線y=2x—z經(jīng)過點(diǎn)C時z最大，

由心:短I解得比：:即C（5,2）,此時小=2x5-2=8.

故答案為：8

【分析】找出滿足題意的可行域，對目標(biāo)函數(shù)分析結(jié)合一次函數(shù)分析得出z的最大值。

5.【答案】arccos

【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】設(shè)斜坡距離為S,消耗總體能W

根據(jù)題意細(xì)昨白。6(0,初，即s=^，則皿=嘉(1.025_3。)=/*

2

則f4sin0—4cos0)cos04—枷os。

sin20sin20

令VK'=0,。。廣-二。,即4—祭cos。=0,解得0=arccos黑

sin201U41

結(jié)合余弦函數(shù)及其變換可知，此時

當(dāng)0<6<arccos黑時，<0,W(8)單調(diào)遞減；

當(dāng)arccos普<狎，"'<0,W(8)單調(diào)遞增;

即當(dāng)。=arccos^yW(。)取得最小值，

故答案為：arccos舞

【分析】根據(jù)題意表達(dá)出總體能與坡面夾角的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性與最值得出答案.

6.【答案】C

【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

【解析】【解答】???上號坐^式金,

(%+1)(%+1)

e1e

,1■ylx=1==4'

即此時該切線方程的斜率為今

4

曲線在點(diǎn)(1,9處的切線方程為—即丫=裊+捺

故選：C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出V在x=l的值，即為點(diǎn)(1,分處切線的斜率，由直線點(diǎn)斜式方程得出答案.

7.【答案】D

【知識點(diǎn)】奇函數(shù)；偶函數(shù)；基本不等式

【解析】【解答】根據(jù)圖象可知該函數(shù)為偶函數(shù),

5『一吟

對A,f(-x)==-/W,故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯誤;

(一黯+2

5sin(一%)

對B,f(~x)=-/@),故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯誤;

(-x)2+l'

對C'如)=筆^^生空二號〉°'故此函數(shù)函數(shù)值均為正數(shù)'不符合題意'錯誤;

故選：D.

【分析】由函數(shù)結(jié)合奇偶性判斷可排除A、B,對C得特殊結(jié)構(gòu)利用基本不等式得出函數(shù)值為大于0可

排除，從而得出答案D.

8.【答案】C

【知識點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓的一般方程

【解析】【解答】x2+y2—4x—2y—4—0,整理得(x—2)2+(y—l)2=9

其中圓心O為(2,1),半徑r=3.

另x-y=k,如下圖，易知當(dāng)直線x-y=k與圓(％-2>+(y—1)2=9相切時取得最大

即點(diǎn)O到直線x-y=k的距離為OA=R=3=3嵩上為=3.解得k=1±3近

由k最大，即k取1+3近

故選：C

【分析】將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心與半徑，將x-y最大值轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，在可

行域范圍內(nèi)分析并計算可得答案。

9.【答案】C

【知識點(diǎn)】簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】???/⑺在區(qū)間(1，2)單調(diào)遞增，

XG(1,2)時，恒成立，

???/'(%)=Qe”一1>0在%€(1,2)恒成立，即Q>，

設(shè)g(X)=X,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知g(x)在％G(1,2)單調(diào)遞減，

1

???a>g⑴=-

故選：C

【分析】根據(jù)f(x)在區(qū)間(1，2)單調(diào)遞增，利用/'(x)>0在區(qū)間(1,2)恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成另一恒

成立問題，構(gòu)造新函數(shù)求其最值即得答案。

10.【答案】B,C,D

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；一元二次方程的解集

【解析】【解答】/(X)定義域為(0，+8),廣⑺=戶2爹-2c,

??"(X)既有極大值又有極小值，???「(%)在(0，+8)有兩個變號零點(diǎn)，即丫=a/一板一2c在(0,+8)

有兩個不等實數(shù)根，

:+8ac>0,%-j+%2=方>°，=~~6->0，

ab>0,ac<0,=c^bc<0即be<0,故A錯誤，B、C、D正確

故選：BCD

【分析】先求/(x)導(dǎo)數(shù)/'(x),轉(zhuǎn)化為/'(x)有兩個變號零點(diǎn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等實數(shù)

根。

1L【答案】C

【知識點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；一元二次方程的解集

【解析】【解答】：始一支一6》0,(x-3)(%+2)》0,二》》3或r4—2,即可={%/%>3或c《

一2},則MCN={-2}。故選C

【分析】利用一元二次不等求解集合N,進(jìn)而求集合M與N的交集。

12.【答案】A,C,D

【知識點(diǎn)】對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則；指、對數(shù)不等式的解法

【解析】【解答】由y=?x是增函數(shù)，故”也是增函數(shù)，由表格可知，LP1e[60,90],LP2E

[50,60],LP3=40

L?e[60,90],即60W20xlg空W90,則3Wig空尋

L」P0PoL

同理可得為國黑43,切黑=2

乙?0P0

A:由對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，?.11)乙2，，P1)P2，故A正確；

B：臉=蟾=噓-噓,,?號〈嚙W3,嚙=2,土噴Wl,靖W10,即

P。

P2<10p3,故B錯誤；

C：噴=2,則需=102=100即P3=100p0,故C正確；

P1

D：噴=譴=臉-臉,嚙寸,：,0<lg^<2,.U<^<

Po

100,即PiWloop2，故D正確.

故選：ACD

【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，逐項解答判斷即得答案。

13.【答案】⑴解：當(dāng)a=8,即/(x)=8%--^,x￡(0,缶

cos°x乙

liiil,、門cos4x+3sin2xcos2x8cos4x+2cos2x—3(2cos2%—1)(4cos2x+3)cos2x(4cos2x+3)

則r八lX)=8--------------------------==-----------------------------=―—

令/'(%)=0,即cos2%=0,解得％=p

令((%)>。，即cos2%>0,解得0V%V*

令f'Q)V。，即cos2%<0,解得/<x<

⑺在(0,分上單調(diào)遞增,在妗，芻上單調(diào)遞減

(2)令g(%)=/(%)-sin2%,%G(0,引，

-

?f(\\，,、?、，c

2cos^^-3c/cn24292cos23

?,9(。)=0，g(%)=a-I----cos4.-----2(2cosx-1)=Q+2—4cos%d-----cos4~~'

.?.必然存在g(x)在(0,八)&€(在芻單調(diào)遞減，

.,.“(0)<0,即“(0)=a-3<0,解得a<3,

檢驗，當(dāng)a<3時,/(%)<sin2%是否恒成立，

令t=cos2x(t6(0,1))

=a+2—4tH---o-，

t乙

2t—3

令h(t)=Q+2-4t+言/，

?入,/右、—4^3—2t+62(t—l)(2t^+2t+3)

??九⑷二---m----=---------p-------，

當(dāng)Ovtvl時，h!(t)>0,

???八?)在￡6(0,1)單調(diào)遞增，

???九(t)<h(X)max=a—3<0,即g'(￡)<0,

7F

.,.9(%)在％6(0,引單調(diào)遞減，故此時/(x)<sin2x恒成立；

綜上所述：a<3.

【知識點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【分析】(1)將2=代入原函數(shù)，求導(dǎo)結(jié)合同角三角函數(shù)間的關(guān)系及變換消元轉(zhuǎn)化成關(guān)于COSX的函

數(shù)表達(dá)式，結(jié)合因式分解對其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)性分析即可得出fQ)的單調(diào)性；

(2)令g(x)=/(久)-sin2x,注意到g(0)=0結(jié)合函數(shù)變化易分析g'(0)<0,從而縮小a的分析范圍，在

a<3時，結(jié)合整體換元簡化式子結(jié)構(gòu)并對g'(x)再求導(dǎo)分析此時函數(shù)極值范圍得出其正負(fù)性，進(jìn)而得出

g(x)的函數(shù)單調(diào)性繼而得出答案.

sinx

14.【答案】(1)當(dāng)Q=1時，/(%)=%-,%G(0,?

cos2%

32)

cosx+2cosxsinx2-COS2_(COS34-1)+(COS2R-1)<0,％￡(0，另

則/⑺=1一=1一

cos4%cos3xcos3%

.??//在％?0,另單調(diào)遞減;

.3

sinxsinx

(2)令g(x)=f(x)+sinx=ax—+sinx=ax+sinx(1--------=ax----------y-

cos2x、cos'x，cos'x

3sin2xcos2x+2sin4.x2sin2%cos2x+2sin4x+(sinxcosx)2__2+(sinxcos%)2

則g'(x)=a——=a-

cos3%cos3%cos3%

g(x)<0,又g(0)=0,

???g'(o)=a-0<0,解得a<0.

2

檢驗當(dāng)Q<0時，XG(o,分有a-2+(sinxcos%)<0,

cos3%

即g(x)在(0,9上單調(diào)遞減,

???g(%)vg(。)，g(%)<0符合題意,

**?aG(—8,0]

【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【分析】(1)對/(%)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷/(、)單調(diào)性;

(2)構(gòu)造g(x)=f(x)+sinx,結(jié)合g(0)=0,將問題轉(zhuǎn)化為g'(0)W0并驗證得出答案。

.【答案】解:由得—妥

15(1)/,(%)=C+^)ln(x+1)r(x)=ln(x+1)+([+(x>-l且x#0).

???卜=((2)=—苧+4

故曲線y=/(%)在x=2處切線的斜率g—苧;

(2)解：要證/(x)>l,即證/(x)—1=?+}ln(x+l)—l>0,

Vx>0,

/.即證Q+2)ln(x+1)—2%>0,

令g(%)=(%+2)ln(x+1)—2%

1

?WQ)=ln(x+1)+市-1

.?.“(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，d(x)在(一1,0)上單調(diào)遞減，且g'(0)=0,

，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，此時g(0)min=。，

???g(%)>9(0)，即g(%)>o，

證畢

(3)解：令九(幾)=ln(n!)—(n4-^)ln(n)+n(n>0且九eN*),

則有九(ri+1)=ln[(n+1)/]—(n4-^)ln(n+1)+n+1,

??h(n+1)—h(Ti)=ln(n+1)+(n+2)ln(zi)—(n+2)ln(zi+1)+1=—(n+])ln(而+1)+1,

令”，則g(t)=-G+I"+1)+1，

由(2)得一c+1)ln(t+1)+1<0,

?\h(n+1)—h(n)<0,

即在定義域范圍內(nèi)單調(diào)遞減，

此時九(九)加必=九(1)=1，

?、有九(九)<1,即證得ln(n!)—(n+^)ln(n)4-n<1；

由(2)得，當(dāng)一lVxVO,(x+2)ln(x4-1)-2%<0,則(％+l)lnx—2(%—1)V0,%G(0,1)

2

構(gòu)造(p(x)=(2x+x)lnx—彳/_|_x,

則"(%)=(%+l)lnx—2(%—1)<0,

1

.??0(%)在％E(0,1)上單調(diào)遞減，則有w(x)><p(l)min=—a，

即+x)lnx-7%2+%>一,，

521

-XX-

4--4

整理得

In%十X

..n、6n+l

??皿帝>一2幾(3九+2)，

1,

一(n+1)ln(^+1)+1=(n+外n(舟)+1>(n+｝卜2n黑:2)]+

==-

整理得帥+1)-h(n)>-4n(3：+2)>-4n(3n-3)~12(號力

???/i(n)-/1(n-l)>-^-占),

帥一1）一八⑺-2）>一今（言一力），

11

il(

九(3)-九(2)>-1--2-

加

九(2)-九⑴>-

累加得:九(?)一h(1)>一擊(1一馬一.

1315

即h(n)>15+12(n-i)>6'

綜上所述，1<ln(n!)—(n+^)ln(n)+n<1.

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大(小)值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

【解析】【分析】(1)對y=f(x)求導(dǎo)，此時函數(shù)/(x)在x=2切線斜率，即為在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；

(2)為證明/(%)>1,整理式子結(jié)構(gòu)即證g(x)=(%+2)ln(x+1)-2%>0,結(jié)合求導(dǎo)對g(x)單調(diào)性進(jìn)行

分析得出答案；

(3)構(gòu)造九(71)=ln(n!)-(n+1)ln(n)+n,由階乘(n!)與對數(shù)運(yùn)算聯(lián)想構(gòu)造九(n+1)作差去階乘符號得

出九(n+1)-/i(n)=-(n+1)ln(^+1)+1,將函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成g(t)=-+1)ln(t+1)+1的

正負(fù)性問題，求導(dǎo)分析得證h(n)單調(diào)遞減，易得出此時上限以n)<1;為證明其下限可結(jié)合(2)中結(jié)論對

對數(shù)部分進(jìn)行不等式放縮，逆構(gòu)造和。)=&-+刈皿％得出】n黑〉一獲黑y進(jìn)而由

h.(n+1)-進(jìn)行再裂項結(jié)合累加求和得證/i(7i)下限；

16.【答案】(1)當(dāng)a=—1時，/(x)=(l-ljln(l+x),

11—Y

???f'(x)=—記ln(l+x)+^?

:.k—尸(1)=—ln2,且/(I)=0,

/(%)在(1，/(久))處的切線方程為y=-(ln2)x+ln2,

BP(ln2)x+y—ln2=0

(2)由/(%)=(.+a)ln(l+l),

=/?)=Q+a)ln?+1)=(x+a)ln(手)

由M+1>0,

.,.g(x)的定義域為(-8,-l)u(0,+8),

若存在y=/(1)關(guān)于直線4=b對稱，

則定義域也對稱，即b==

且尤)=g(-4+%)'即g(一1一%)=g(%)，

由g(x)得g(-l_久)=(-1-X+a)ln+1)=(-1-x+a)ln(熹)=(1+x—a)ln(?)

若g(-l-x)=g(x),即(1+x—a)ln(與?=(x+a)ln(與］，

.".1+x—a=x+a,解得a=*

綜上所述，當(dāng)a",b=—去時，曲線y=f$關(guān)于直線x=b對稱.

(3)由/(%)=(；+a)ln(l+x),

111

???/'(%)=一71n(l+%)+(-+Q)

???/(x)在(0,+8)存在極值，

11

?"'(X)=一支皿1+%)+(捻+。)叭1+%)在(0,+8)存在變號零點(diǎn)，

111

當(dāng)((%)=0/朗—『ln(l+%)+(-+。)不五=0，整理得—(1+x)ln(l+%)+%+ax2=0

令g(%)=—(1+x)ln(l+%)+、+ax2

則g'(x)=-ln(l+x)+2ax,g"(x)=一+2a

V%G(0,+oo),同時注意到g'(0)=0

，擊e((L1)

①若aWO,則g〃(x)<0,此時g'O)在(0,+8)上單調(diào)遞減，結(jié)合“(0)=0,

.?.g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故此時不存在變號零點(diǎn)；

②若a>0,

i)a>J,易得g〃Q)>0，此時g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，結(jié)合“(0)=0,

.?.g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故此時不存在變號零點(diǎn)；

ii)0<a<^,令g"(x)=0,即—+2a=0,則％=-1+/，

此時“(%)在(0,-1+4)上單調(diào)遞減，在(一1+/，+8)上單調(diào)遞減，

結(jié)合/(0)=0,故“(一1+上)<0成立

(或g'(-1+2^)=—2a+1+In2a

令h(a)=-2a+1+ln2a,其中0<a<—1<—2a<0

則九'(a)=-2+-=~-1>0

、)aa

在0<a<上單調(diào)遞增，九(a)max<八弓)=In2a<0>

故g'(T+/)<o)

.,.若g(x)在(0,+8)上存在變號零點(diǎn)，

由零點(diǎn)存在性定理，需證存在殉6(0,+8),有"。0)=0；

即2a%o-ln(l+x0)=。在%oe(0,+8)且o<a<；時恒成立，

故。=嗯汕

Zxo

令m(%)=ln(l+%)—%,%>0,

???M(x)=^-<0,

故m(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且TH(O)=0,

/.ln(l+x)—x>0,即ln(l+x)>x,

0<ln(l+%0)<x=1

2x0<2XQ2'

故存在％o使得2a%-ln(l+x0)=0在%o￡(°，+8)且0<av4時恒成立，

綜上，當(dāng)Ova4在(0,+8)上存在變號零點(diǎn)，即f(x)在(0,+8)存在極值.

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求得某點(diǎn)出切線斜率，代入點(diǎn)斜式直線方程得出答案；

(2)由對稱函數(shù)定義域?qū)ΨQ得出對稱軸，根據(jù)對稱函數(shù)關(guān)系建立等式得出a值；

(3)將存在極值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)存在變號零點(diǎn)問題，進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)正負(fù)結(jié)合參數(shù)a分類分析及零

點(diǎn)存在性原理檢驗變號零點(diǎn)的存在.

17.【答案】(1)當(dāng)a=—1時，/(x)=Q-l)ln(l+x),

???/'(久)=-妥皿1+尤)+信，

??.k=/'⑴=—ln2,且/(I)=0,

/(X)在(1，f(X))處的切線方程為y=-(ln2)x+ln2.

(2)v/(%)=?+a)Zn(l+x).

???函數(shù)/(%)的定義域為(―1,0)U(0,+oo),

又???/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，

???/'(%)>0在久e(0,+8)恒成立

又/'(%)=—￡皿1+久)+京嶄，

?一妥皿1+x)+>°,

即一(1+x)ln(l+x)+(1+ax)x>0在％G(0,+8)恒成立，

令9(%)=T1+x)In(l+%)+(1+ax)x,

則“(%)-2ax-ln(l+x),g〃(x)=2a-

???g(0)=0且g'(0)=。要使g(x)>0在％6(0，+8)恒成立，

設(shè)b>0且b趨于0,則g(%)在％6(0,b)單調(diào)遞增，

?,,“(%)>0,%e(0,b),又g'(0)=0,則g'(x)在Xe(0,b)單調(diào)遞增

；.g"⑼20,解得aJ

檢驗當(dāng)a>，時，g"(x)=2a—-g”(。)20,

即此時g'(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，且"(x)>g<0)=0,

?'?g'M>g'(o)=o

則g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，且g(x)2g(0)=0,

即—(1+x)ln(l+%)+(1+ax)x>0在xG(0,+8)恒成立，

???綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a>1

【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

【解析】【分析】(1)先求/(I),再求斜率k=/'(l),利用點(diǎn)斜式得出切線方程；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為r(x)>。在％e(0,+8)恒成立，整理重新構(gòu)造函數(shù)逐步求導(dǎo)分析恒成立問題。

18.【答案】(1)根據(jù)題意，可設(shè)(a.T，f(am_D)過其曲線y=/(x)切線交y軸于(0,am),

由/(%)=lnx(x>0),

則尸(%)4

則過(am-1，/(am-1))的斜率k=/(%n_i)=#7，

um-l

11

.,.此時切線方程為y-/(am-1)=-----(“一am-i),即y=7^------X+lna_i-1.

um-lum-lm

令x=0,即由=lna7n_i-1,證畢；

a

(2)由(1)得Qm=Ina7n.1-1,故。山-(。小一1—2)=lna7n—m-l+1

令t=Qm-i，g?)=Int-t+l(t>0)

則

在(0,+8)上單調(diào)遞減，

令g'(t)=0,貝()t=1.

故g(t)在(0,1］上單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減，

即g(t)max=9(1)=Ini-1+1=0,

，g(t)<0,即Int—t+1<0,

,?ani-(ajn—i-2)<0,即a；n-i2.

(3)由(1)易得a2=Inai—1,a3=lna2—1,..ak=—1,

①假設(shè)kN2存在a2,a?…耿依次成等差數(shù)列，設(shè)公差為&

.'.d=a3-a2=a4-a3=...=ak-ak_i，

:.d-(lna2—1)—(Inaj-1)=(lna3—1)—(lna2—1)=...=(lnan_x-1)—(lnan_2-1)=Ind,

由d=lnd,由(2)可知d—1>Ind,

.,.d>Ind,即d=Ind方程無實數(shù)解；

.?.當(dāng)kN2時，a2,a3“"k依次成等差數(shù)列不成立;

②當(dāng)即,a2,成等差數(shù)列，即2a2=的+。3,

=Inai—1,%二lna2—1

.??01='+1,

...2。2=。散+1+lna2-1，即e2+i+lna2-2a2—1=0

令。2—n，h(ri)=en+1+Inn-2n—1

則〃(九)=en+1+，-2

,：a2>0,即n>0,.-.en+i+l-2>e-2>0，

在(0,+8)上單調(diào)遞增，

XV/i(l)=e2-3>0,h(e-10)=ee-1°+1+Ine-10-2xe-10-1<e2-11<0,

.?.h(n)在(e-i。，1)上必存在一個零點(diǎn)使得/i(n)=0,

二方程?。2+1+lna2-2a2-1=0有唯一解，

即存在k=3時，4,a2,a?成等差數(shù)列.

綜上所述，存在k=3時，4,a2,成等差數(shù)列.

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；數(shù)列的遞推公式

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，可得到切線方程與y軸交點(diǎn)與切點(diǎn)的前后關(guān)系，故可設(shè)

(am-1，結(jié)合題意按一般求導(dǎo)法求切線方程易證得%=IntZm-i-1；

(2)由(1)結(jié)合作差法易，令士=am-1且構(gòu)造函數(shù)g(t)=Int-t+l(t>0),求導(dǎo)得出函數(shù)極值從而得出二

者大小關(guān)系；

(3)假設(shè)對任意的k滿足a?，依次成等差數(shù)列，將式子變形整理易得d=Ind,結(jié)合(2)可知該方

程無解，故此時假設(shè)不成立；另假設(shè)特殊情形內(nèi),a2,成等差數(shù)列進(jìn)而消元轉(zhuǎn)化成只含的方程

ea2+i+lna2-2a2-l=0,轉(zhuǎn)化成函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題，求導(dǎo)進(jìn)行單調(diào)性分析即得答案.

19.【答案】(1)當(dāng)a=0時，此時/(%)=土？空,

的定義域為4豐0,

%2—x-Fc—%2+x—c

'/(r)==,

—x----------X

若此時f(x)為奇函數(shù),則fO)+/(-%)=§=2*0,

即/(%)*-/(-X),故不存在實數(shù)c使得/(%)為奇函數(shù).

(2)由函數(shù)/(%)的圖像過點(diǎn)(1,3)，,3=1+(；*0+c,解得c=l,

令f(%)=0,則"+(3a+l)x+l=0)則％2+(3a+l)x+1=0(x豐-a)

%+Q

???/(x)的圖像與X軸負(fù)半軸有兩個交點(diǎn)

，方程久2+(3a+l)x+1=0在X軸負(fù)半軸有兩個解.

(A=(3a+1猿—4>0

sxj+x2=—3a—1<0>解得a>可

(打?=1>0

又此時a2-(3a+l)a+l力0,解得aA；,a二一1

綜上所述：a的取值范圍為償，+oo)

【知識點(diǎn)】奇函數(shù)；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】(1)由奇函數(shù)定義先得出定義域，計算是否為0即可判斷；

(2)有函數(shù)交點(diǎn)分析轉(zhuǎn)化成方程根的分析問題，即分析分子二次函數(shù)部分的根分布情況及考慮分母不為0

情況即得答案.

20.【答案】(1)令g(%)=x-sin%,x€(0,1),則g'Q)=1-cos%>0在％E(0,1)恒成立,

???g(x)=x-sinx在X€(0,1)單調(diào)遞增，???g(x)>g(0)=0,

???%e(0,1)有%>sinx

令無(％)=sin%+%2—%,%6(0,1),則九'(％)=2x+cosx—1

則h〃(%)=2—sinx>0,

九”(%)=2-sinx>0,

.??/1'(%)在］€(0,1)單調(diào)遞增，

r

hMmin>"(0)>0

???八(%)在欠e(o,1)單調(diào)遞增，

hMmin>九(0)=0

:.h(x)>0,

:.x6(0/1)有sinx>x—x2,

綜上：當(dāng)工€(0,1)時，x-x2<sinx<x.

(2)由函數(shù)/(%)=cosa%—ln(l—可知定義域—lvxvl

???1=0是〃?的極大值點(diǎn),且尸(0)=0

???/'(%)必然在某個范圍％6(m,n)-l<m<0<n<1內(nèi)單調(diào)遞減,

即有/〃(0)<0

有f(%)=cosax-ln(l—x2),

22

2Y，〃,、22(1-X)+4X

：?r(x)=—asinaxH-------fW=~acosaxH-----------------工—

1一力(1-x2)

代入/'(%)=—asinax4-,以顯然((0)=0

f"(0)=—Q2+2<0,解得a6(—co,—V2)U+8),

'?QG(—8,—V2)U^V2/+8).

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

【解析】【分析】(1)構(gòu)建新函數(shù)g(%)=%-sin%,九(%)=sinx+/一％求導(dǎo)進(jìn)行分析單調(diào)性與極值，進(jìn)

而作差比較不等式恒成立問題；

(2)由題意可轉(zhuǎn)化為x=0是/'(%)的變號零點(diǎn)，且由函數(shù)在-IV%VI連續(xù)，故總存在某個區(qū)間使得

/'(%)單調(diào)遞減，即/〃(0)<0,同時滿足上述條件即得答案.

21.【答案】(1)當(dāng)a=0時，此時f(x)=-X單調(diào)遞減;

當(dāng)a<0時，f(x)=a(ex+a)—x=aex—x+a2,此時y=aex(a<0)與y=—x均單調(diào)遞減，所以

/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，/'(X)=aex—1,令/'(x)=0則久=In，，

...當(dāng)8,]n：)時，/'(X)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)+8)時，[(x)>0,/(%)單調(diào)遞增。

綜上所述：當(dāng)a《0時，/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，，當(dāng)xe(-8,ln1),/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(ln:,+8),/(%)單調(diào)遞增。

(2)要證當(dāng)a〉0時，f(%)>21na+,，只需證/(外力譏>21na+,，

由(1)知/(x)mjn=/(ln\)=1+a?+]na,即證1+a2+Ina>21na+,，

=當(dāng)。>0時，a2-Ina-;>0恒成立，

令g(a)=a2_]nn—則只需證g(a)m譏>0，

g'(a)=2a—：,易知g'(a)單調(diào)遞增，且，席=。,

所以當(dāng)ae(0,時，g'(a)<0,此時g(a)單調(diào)遞減；

當(dāng)+8)時，gr(a)>0,此時g(a)單調(diào)遞增。

所以=1+ln2-1=ln2>0.

\)min

綜上所述，當(dāng)a>0時，/(x)>21na+|

【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，分類討論a的常規(guī)正負(fù)三種分類情形，結(jié)合基本函數(shù)單調(diào)性與求導(dǎo)分析

即得答案。

(2)將條件轉(zhuǎn)化為恒成立問題，求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性得出極值。

22.【答案】⑴設(shè)P(x,y),由題意可得刖=/+化簡得y=/+/

所以動點(diǎn)P的軌跡方程W為y=%2+/

（2）將在W上的三點(diǎn)記為A,B,C,設(shè)4（x;y）'2），C（%3,為）且％1H不。％3,

=0,

-'-BABC=(xt-%2^丫1-?(右一%2,y3-y2)

222

，(X1-X2)(%3-%2)+(、1-，2)°3-y-2)=(勺一初)(％3-%2)+(%/-X2\x3-X2)=。，

又欠1H%2。尤3，**?(%1+%2)(%3+%2)=—1，

2222

矩形ABCD周長C=2|B*+2|BC|=(xr-x2)+(yr-y2~)+yj(x3-