隨機(jī)過程的基本概念

關(guān)于隨機(jī)過程的基本概念一、直觀背景及例

第一節(jié)隨機(jī)過程的基本概念例1生物群體的增長(zhǎng)問題。在描述群體的發(fā)展或演變過程中，以群體的個(gè)數(shù)，則對(duì)每一個(gè)t，從t=0開始每隔24小時(shí)對(duì)群體的次數(shù)觀測(cè)一次，則表示在時(shí)刻t是一個(gè)隨機(jī)變量.是隨機(jī)過程。假設(shè)我們第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例2某電話交換臺(tái)在時(shí)間段[0,t]內(nèi)接到的呼喚次數(shù)是與t有關(guān)的隨機(jī)變量X(t),對(duì)于固定的t,X(t)是一個(gè)取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量。故{X(t),t∈

[0,∞]}是隨機(jī)過程。第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

由上例可見隨機(jī)過程表示依賴于一個(gè)變動(dòng)參量的一族隨機(jī)變量。它雖然不能用一個(gè)確定的函數(shù)來描述，但也是有規(guī)律的。為此，我們給出隨機(jī)過程的一般定義。第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天二、隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程說明1參數(shù)集T在實(shí)際問題中，常常指的是時(shí)間參數(shù)，但有時(shí)也用其它物理量作為參數(shù)集。

隨機(jī)過程是概率空間(

,F,P)上的一族隨機(jī)變量，其中T稱為指標(biāo)集或參數(shù)集.說明2通常將隨機(jī)過程解釋為一個(gè)物理、自然和社會(huì)的系統(tǒng)，表示系統(tǒng)在時(shí)刻t所處的狀態(tài)。第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天的所有可能狀態(tài)構(gòu)成的集合為狀態(tài)空間，記為S.一般地，如果不做說明都認(rèn)為狀態(tài)空間是實(shí)數(shù)集R或R的子集。狀態(tài)分類離散狀態(tài)連續(xù)狀態(tài)取值是離散的取值是連續(xù)的第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天說明3第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天說明4當(dāng)T取為R，或[a,b]時(shí)，稱為連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程。當(dāng)T取為Z，時(shí)，稱為離散參數(shù)的隨機(jī)過程。參數(shù)集T通常代表時(shí)間，T可取實(shí)數(shù)集R,非負(fù)實(shí)數(shù)集，整數(shù)集Z，或非負(fù)整數(shù)集等第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

參數(shù)集T是一個(gè)可列集T={0,1,2,…}離散參數(shù)連續(xù)參數(shù)參數(shù)分類參數(shù)集T是一個(gè)不可列集第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例1（隨機(jī)游動(dòng)）一個(gè)醉漢在路上行走，以概率p前進(jìn)一步，以概率1-p后退一步（假定其步長(zhǎng)相同）。以X(t)記他t時(shí)刻在路上的位置,則{X(t)}就是直線上的隨機(jī)游動(dòng)第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例2（布朗運(yùn)動(dòng)）英國植物學(xué)家布朗注意到漂浮在液面上的微小粒子不斷進(jìn)行無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)后來稱為布朗運(yùn)動(dòng)。它是分子大量隨機(jī)碰撞的結(jié)果。若以（X(t),Y(t)）表示粒子在平面坐標(biāo)上的位置，則它是平面上的布朗運(yùn)動(dòng)。第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例3

（排隊(duì)模型）顧客來到服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)。當(dāng)服務(wù)站中的服務(wù)員都忙碌，即服務(wù)員都在為別的顧客服務(wù)時(shí)，來到的顧客就要排隊(duì)等候。顧客的到來、每個(gè)顧客所需的服務(wù)時(shí)間是隨機(jī)的，所以如果X(t)表示t時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng),Y(t)表示t時(shí)刻到來的顧客所需的等待時(shí)間，則{X(t),t∈T}{Y(t),t∈T}都是隨機(jī)過程。第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)一維分布函數(shù)其分布函數(shù)為

第二節(jié)有限維分布與Kolmogorov定理第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天二維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天n維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天有限維分布族一維，二維，…，n維分布等的全體：易知第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天一個(gè)隨機(jī)過程的有限維分布族具有對(duì)稱性和相容性.(1)對(duì)稱性(2)相容性第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天Kolmogorov定理前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家1931年證明了此定理

說明隨機(jī)過程的有限分布函數(shù)族可以完整描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.設(shè)分布函數(shù)族滿足上面的對(duì)稱性和相容性，則必存在一個(gè)隨機(jī)過程{X(t),t∈T}使恰好是{X(t),t∈T}的有限維分布。第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例1

袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對(duì)每一個(gè)確定的t對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量試求這個(gè)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族。分析先求的概率分布第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天所以解P第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)求一維分布函數(shù)解:第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征1．均值函數(shù)說明第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天如果對(duì)任意的則稱隨機(jī)過程為二階矩過程第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2．方差函數(shù)說明第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天3．協(xié)方差函數(shù)二階中心混合矩注第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天4．自相關(guān)函數(shù)注

協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)過程在時(shí)刻和時(shí)的線性相關(guān)程度.第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例2解求:(1)均值函數(shù);(2)協(xié)方差函數(shù);(3)方差函數(shù)。（1）（2）（3）第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)解：例其中是相互獨(dú)立的且均服從N(0，1)分布的隨機(jī)變量第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天1.嚴(yán)平穩(wěn)過程定義1則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程第三節(jié)隨機(jī)過程的基本類型一、平穩(wěn)過程若對(duì)任意的和任意的嚴(yán)平穩(wěn)過程的有限維分布關(guān)于時(shí)間是平移不變的.第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.寬平穩(wěn)過程定義2如果它滿足：則稱為寬平穩(wěn)過程（二階平穩(wěn)過程），簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過程第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天注2注1嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程。因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)過程不一定是二階矩過程。若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。因?yàn)閷捚椒€(wěn)過程只保證一階矩和二階矩不隨時(shí)間推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分布不隨時(shí)間而推移。第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天3.平穩(wěn)過程協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3性質(zhì)1性質(zhì)4性質(zhì)2即對(duì)任意的2n個(gè)實(shí)數(shù)第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例1滿足試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。解因?yàn)樽⒃诳茖W(xué)和工程中，例1中的過程稱為“白噪聲”，它是實(shí)際中最常用的噪聲模型。第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例2解的密度函數(shù)為所以其中T={1,2,…}，試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。

是在[0，1]上服從均勻分布的隨機(jī)變量，第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)解：例其中是相互獨(dú)立的且均服從N(0，1)分布的隨機(jī)變量第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天二、獨(dú)立增量過程定義隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例3證的隨機(jī)變量序列,則令第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天三、平穩(wěn)增量過程定義第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天兼有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的過程稱為平穩(wěn)獨(dú)立增量過程.四、平穩(wěn)獨(dú)立增量過程Poisson過程和Brown運(yùn)動(dòng)都是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程.第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

在何種條件下，平穩(wěn)過程對(duì)時(shí)間的平均值可以等于過程的均值？

對(duì)于平穩(wěn)過程重要的是確定它的均值和它的協(xié)方差函數(shù)由大數(shù)定律知，可以用第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天然而對(duì)隨機(jī)過程作多次觀察一般來說比較困難，容易的是作一次觀察,獲得一條樣本路徑,我們希望由這一次觀察來估計(jì)

,對(duì)于一般的隨機(jī)過程這是不可能的，但對(duì)于平穩(wěn)過程,只要加上一些條件，就可以從一次觀察中得到

的較好的估計(jì)，這就是遍歷性定理。

介紹從一次試驗(yàn)所獲得的一個(gè)樣本函數(shù)來決定隨機(jī)過程的均值和協(xié)方差函數(shù)，從而就可以得到該過程的全部信息，即遍歷性問題。第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

定義1稱的均值有遍歷性注這里的極限是指在均方意義下的極限.稱的協(xié)方差函數(shù)有遍歷性.第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第44頁,共51頁，2024年2月25日，星期天定理（均值遍歷性定理）

第45頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例1是否具有均值遍歷性。解所以是平穩(wěn)過程。第46頁,共51頁，2024年2月25日，星期天故有即此過程是均值遍歷的。第47頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

歷第48頁,共51頁，2024年2月25