數(shù)字圖像處理 四章 頻域圖像處理

數(shù)字圖像處理DigitalImageProcessing第四章

頻域圖像處理時域與頻域傅立葉變換概述21復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識3一維傅立葉變換二維傅立葉變換圖像頻域濾波456第四章

頻域圖像處理時域與頻域傅立葉變換概述21復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識3一維傅立葉變換二維傅立葉變換圖像頻域濾波4564.1時域與頻域時域與頻域是對模擬信號的兩個觀察面時域與頻域轉(zhuǎn)換滿足線性系統(tǒng)理論的圖像處理要求：變換必須是可逆的；變換不能損失信息；變換必須是有好處的；變換算法必須是不復(fù)雜的。

傅立葉變換4第四章

頻域圖像處理時域與頻域傅立葉變換概述21復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識3一維傅立葉變換二維傅立葉變換圖像頻域濾波4564.2.1傅立葉生平Fourier,JeanBaptisteJoseph1768~1830法國數(shù)學(xué)家法國科學(xué)院的終身秘書法蘭西學(xué)院院士被英國皇家學(xué)會選為外國會員傅里葉一生為人正直，他曾對許多年輕的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家給予無私的支持和真摯的鼓勵。4.2傅立葉變換概述64.2.2傅立葉變換的目的能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。傅立葉變換4.2傅立葉變換概述7棱鏡自然光光譜三棱鏡4.2傅立葉變換概述84.2.3在圖像處理中的重要作用圖像增強與圖像去噪圖像分割之邊緣檢測圖像特征提取圖像壓縮4.2傅立葉變換概述9第四章

頻域圖像處理時域與頻域傅立葉變換概述21復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識3一維傅立葉變換二維傅立葉變換圖像頻域濾波4564.3復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識4.3.1.正弦和余弦函數(shù)的周期性周期T=2,對于整數(shù)任意整數(shù)k

f(x)=cos(x)=cos(x+2)=cos(x+4)=…=cos(x+k2)

f(x)=sin(x)=sin(x+2)=sin(x+4)=…=sin(x+k2)11sin(x)在距離X=T=2

內(nèi)轉(zhuǎn)一圈，因此角頻率為：sin(3x)在2

內(nèi)轉(zhuǎn)三圈因此角頻率為3，周期T=2

/3.周期和角頻率之間的關(guān)系為：T=2

/1-10yx●●●●●●●●●●●●●4.3復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識124.3復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識4.3.2.正弦和余弦函數(shù)的正交性正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在某種意義上來說是正交的，可以生成任意頻率相位和振幅的正弦函數(shù)。函數(shù)集中任意兩個函數(shù)之間,在區(qū)間(t0,t0+Ｔ)則稱該函數(shù)集為正交函數(shù)集。

三角函數(shù)集：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx在區(qū)間（t0,t0+Ｔ）組成正交函數(shù)集。134.3復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識4.3.3.歐拉公式復(fù)數(shù)的表示：很容易將具有相同頻率的正弦函數(shù)正交對

和聯(lián)合寫成單一的函數(shù)表達式：14第四章

頻域圖像處理時域與頻域傅立葉變換概述21復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識3一維傅立葉變換二維傅立葉變換圖像頻域濾波456令f(x)

為實變量

x的周期連續(xù)函數(shù)，如果滿足下面的狄利克雷(Dirichlet)條件：在一個周期內(nèi)只有有限個間斷點；在一個周期內(nèi)有有限個極值點；在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即

注：我們遇到的周期信號都能滿足狄利克雷條件。4.4.1連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換4.4一維傅立葉變換16則有以下二式成立：x為時域變量（空間域），u為頻率變量，i為虛數(shù)單位4.4一維傅立葉變換exp(x)=cosx+isinx

F(u)的意義：變量為u,是組成f(x),cosx,sinx的加權(quán)值的函數(shù)傅立葉變換對17式中：|F(u)|被是f(x)的頻譜函數(shù)的模，也叫功率譜為頻譜函數(shù)的相角4.4一維傅立葉變換exp(x)=cosx+isinx

184.4一維傅立葉變換傅立葉變換等價形式：194.4一維傅立葉變換思考：計算矩形波的傅立葉變換20由于計算機只能計算有限長離散序列,離散傅里葉變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示法，而且由于存在有效的快速算法——快速離散傅里葉變換（FFT），因而在各種數(shù)字信號處理的算法中起著核心作用。對于離散周期信號，只需要包含M(M為一個周期內(nèi)的采樣數(shù))個采樣值的有限序列來完全表示信號本身和其傅里葉頻譜。4.4一維傅立葉變換4.4.2離散函數(shù)的傅立葉變換21設(shè)g(u)(u=0,…,M-1)是一個周期為M的離散信號其傅里葉正變換和逆變換分別為：u時域變量，m頻域變量,為基函數(shù)在M個單位距離完成的完整周期數(shù)。4.4一維傅立葉變換22第四章

頻域圖像處理時域與頻域傅立葉變換概述21復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識3一維傅立葉變換二維傅立葉變換圖像頻域濾波4564.5二維傅立葉變換4.5.1離散函數(shù)的傅立葉變換對于大小為（M,N）的周期函數(shù)g(u,v)的離散傅里葉變換(2D-DFT)公式如下：其中頻譜坐標(biāo)0≤m≤M-1,0≤n≤N-1,得到的傅里葉頻譜也是一個尺寸為M,N的離散函數(shù)，244.5二維傅立葉變換反變換如下：在圖像處理中，一般總是選擇方形數(shù)據(jù)，即Ｍ＝Ｎ254.5二維傅立葉變換264.5二維傅立葉變換4.5.2二維離散傅立葉變換性質(zhì)(1)變換域的周期性假設(shè)：傅立葉變換與逆變換均以Ｎ為周期。設(shè)m,n為整數(shù)，p,q=0,1,2…,將u+pN

和v+qN，則：為單位值274.5二維傅立葉變換(2)對稱共軛性(3)線性(4)180度旋轉(zhuǎn)性284.5二維傅立葉變換(5)可分離性294.5二維傅立葉變換4.5.3二維傅里葉頻譜可視化中心表示法304.5二維傅立葉變換31第四章

頻域圖像處理時域與頻域傅立葉變換概述21復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識3一維傅立葉變換二維傅立葉變換圖像頻域濾波4564.6圖像頻域濾波4.6.1序言輸入圖像輸出圖像334.6圖像頻域濾波4.6.2低通濾波器法(1)原理(2)理想低通濾波器(3)巴特沃思低通濾波器(4)指數(shù)低通濾波器(5)梯形低通濾波器(6)幾種低通濾波器比較344.6圖像頻域濾波(1)原理頻譜的直流低頻分量:對應(yīng)于圖像的平滑區(qū)域頻譜中頻率較高的部分:圖像的邊緣和其他灰度跳躍區(qū)，外界疊加噪聲。構(gòu)造一個低通濾波器，使低頻分量順利通過而有效地阻止高頻分量，即可濾除頻域中高頻部分的噪聲，再經(jīng)逆變換就可以得到平滑圖像。354.6圖像頻域濾波原圖像加入高斯噪聲頻譜圖像364.6圖像頻域濾波方法：通過一個線性系統(tǒng)，頻域上對一定范圍高頻分量進行衰減能夠達到平滑化；這種線性系統(tǒng)稱為低通濾波器法。H374.6圖像頻域濾波卷積定理：假設(shè)兩個函數(shù)g(x)和h(x)的傅里葉頻譜分別為G(w)和H(w)，

如果將原函數(shù)進行卷積，所得結(jié)果的傅里葉變換等于傅里葉變換G(w)和H(w)的乘積：

g(x)*h(x)←→G(w)H(w)

反過來也有相同的結(jié)論：

g(x)h(x)←→G(w)*H(w)對于一個M×M大小的圖像和N×N大小的濾波器,

卷積時間復(fù)雜度：O(M2N2),FFT時間復(fù)雜度O(Mlog2M)384.6圖像頻域濾波(2)理想（圓形）低通濾波器（ILPF）定義：以D0為半徑的圓內(nèi)所有頻率分量無損的通過，圓外的所有頻率分量完全衰減。D0是一個非負量，叫截止頻率。H(u,v)uvD0394.6圖像頻域濾波問題：如何確定D0信號能量ET

：將u,v=0，1，N-1的每一點（u,v）的能量相加起來得到傅立葉信號能量ET。404.6圖像頻域濾波舉例：觀察有高斯噪聲Lenna圖像的傅立葉譜和不同半徑下的譜圖像的信號能量。D0=5D0=10D0=20D0=50譜圖像414.6圖像頻域濾波D0=5D0=10D0=20D0=50對于半徑為5，包含了全部90%的能量。但嚴(yán)重的模糊表明了圖片的大部分邊緣信息包含在濾波器濾去的10%能量之中。隨著濾波器半徑增加，模糊的程度就減少。424.6圖像頻域濾波圓形(理想)低通濾波器為物理不可實現(xiàn)濾波器，會發(fā)生圖像模糊現(xiàn)像——振鈴現(xiàn)像。解釋：現(xiàn)設(shè)f(x,y)是1幅只有1個亮像素的簡單圖像，這個亮點可看做1個脈沖的近似。將點圖像看成一個沖擊函數(shù)xf(x,y)y434.6圖像頻域濾波卷積定理：f(x,y)*h(x,y)←→F(u,v)H(u,v)對1個理想低通濾波器，h(x)可通過反傅里葉變換得到，如圖(a)。

h(x)和f(x)的卷積實際上是把h(x)曲線的中心復(fù)制到f(x)中亮點的位置。H444.6圖像頻域濾波(3)巴特沃思低通濾波器（BLPF）D0D(u,v)H(u,v)1/21n為階次或454.6圖像頻域濾波與理想圓形低通濾波器相比：沒有明顯的跳躍模糊程度減少尾部含有較多的高頻，對噪聲的平滑效果不如ILPFD0=10D0=20D0=50噪聲圖像D0D(u,v)H(u,v)1/21464.6圖像頻域濾波(4)指數(shù)低通濾波器(ELPF)有更加平滑的過渡帶，平滑后的圖像沒有跳躍現(xiàn)像。與BLPF相比，衰減更快，經(jīng)過ELPF濾波的圖像比BLPF處理的圖像更模糊一些。ELPF

BLPF

TLPF474.6圖像頻域濾波(5)梯形低通濾波器1D0D(u,v)H(u,v)D1其中D0

<D1。通過調(diào)整D1能保證既能平滑噪聲又使圖像保持允許的清晰程度。484.6圖像頻域濾波(6)幾種低通濾波器比較一般很輕無BLPF（巴氏）一般較輕無ELPF

（指數(shù)）好輕較輕TLPF

（梯形）最好嚴(yán)重嚴(yán)重ILPF（理想）噪聲平滑模糊程度振鈴程度類別494.6圖像頻域濾波4.6.3高通濾波器法(1)原理(2)理想高通濾波器(3)巴特沃思低通濾波器(4)指數(shù)高通濾波器(5)梯形高通濾波器504.6圖像頻域濾波4.6.3高通濾波器法(1)原理圖像銳化處理的目的是使模糊圖像變得清晰。通常圖像模糊是由于圖像受到平均或積分運算，因此圖像銳化采用微分運算。在頻域處理上，即采用高通濾波器法。注意：進行處理的圖像必須有較高的信噪比，否則圖像銳化后，圖像信噪比會更低。514.6圖像頻域濾波(2)理想（圓形）高通濾波器（IHPF）定義：以D0為半徑的圓外所有頻率分量無損的通過，圓內(nèi)的所有頻率分量完全衰減。1D0D(u,v)H(u,v)524.6圖像頻域濾波(3)巴特沃思高通濾波器（BHPF）N=1階巴特沃思高通濾波器D0D(u,v)H(u,v)1/21534.6圖像頻域濾波(4)指數(shù)高通濾波器(EHPF)原圖IHPFBHPFEHPF高通濾波器會強烈地抑制低頻成分，會使得圖像變暗544.6圖像頻域濾波(4)梯形高通濾波器(EHPF)1D1D(u,v)H(u,v)D0554.6圖像頻域濾波4.6.3帶通和帶阻濾波器(1)理想帶通濾波器564.6圖像頻域濾波(2)理想帶阻濾波器574.6圖像頻域濾波(3)通用帶通濾波器584.6圖像頻域濾波4.6.4偽彩色處理空域上的灰度—彩色變換函數(shù)594.6圖像頻域濾波頻域上的偽彩色處理（舉例）低通濾波器：以圍繞圖像能量90％的圓作為截止點，半徑為5，傅立葉反變換后作為紅色分量；帶通濾波器：以圍繞圖像能量83％的圓作為截止點，帶寬以圍繞圖像能量93％的圓，半徑為4到20，傅立葉反變換后作為蘭色分量；高通濾波器：以圍繞圖像能量95％