備考2024年中考數(shù)學專題突破（全國通用）專題1-4 一文搞定反比例函數(shù)7個模型13類題型（原卷版）

專題1-4一文搞定反比例函數(shù)7個模型，13類題型知識點梳理 2題型一|k|模型 題型二面積模型 題型三垂直模型 題型四比例端點模型 題型五矩形模型（平行，比例性質(zhì)） 題型六等線段模型 題型七等角模型 題型八反比例函數(shù)中的設(shè)而不求法 題型九反比例函數(shù)與相似相似三角形結(jié)合 題型十反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合 題型十一反比例函數(shù)中的探究類問題 題型十二反比例函數(shù)與與幾何綜合 題型十三反比例函數(shù)的找規(guī)律問題 知識點梳理【模型1】|k|模型結(jié)論1：S矩形＝|k|：結(jié)論2：S三角形＝|k|【模型2】面積模型（四類）類型一結(jié)論：證明：．類型二結(jié)論：①AO=BO，AB關(guān)于原點對稱，②S△ABC=4|k|類型三結(jié)論：①ABCD為平行四邊形，②S四邊形ABCD=4S△AOB類型四結(jié)論：S四邊形ABOC=k2－k1【模型3】垂直模型結(jié)論：證明：作BC⊥x軸，AD⊥x軸，則△BCO∽△ODA，∴【模型4】比例端點模型出現(xiàn)比例端點時可以考慮作垂線構(gòu)造相似或設(shè)點坐標來轉(zhuǎn)化結(jié)論：證明：過點D作DE⊥x軸，，，【模型5】矩形模型（平行性質(zhì)和比例性質(zhì)）一、比例性質(zhì)如圖,A,B是反比例函數(shù)y=圖象上任意兩點，過A、B作x軸、y軸垂線段線段比（共線的線段之比為定值）證明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，∴證明二：∵結(jié)論：二、平行性質(zhì)如圖1、圖2、圖3，點A、B是反比例函數(shù)y＝EQ\F(k,x)圖象上的任意兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為點C，過點B作x軸的垂線，垂足為點D，連接AB、CD，則AB∥CD．yyODBxAC圖1yODAxBC圖2圖3OxABDCy下面以圖1為例來證明（圖2、圖3證法類似）：法一：面積法（等積變形）如圖，易知S△ACE＝S△ADE，因為兩個三角形同底等高，故ED∥CA由平行關(guān)系還可以得出其它性質(zhì)：，(平行線分線段成比例)補充簡證簡證證明一:由比例性質(zhì)可知，,,根據(jù)相似可知AB∥CD∥GF證明二:∵∴∴，同理可證CD∥GF方法二：連接OA、OB，延長CA、DB交于點EyyODBxEAC則OC＝DE，OD＝CE由k的幾何意義可知S△AOC＝S△BOD，，又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD方法三：延長CA、DB交于點EyyODBxEAC設(shè)，，則又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD補充拓展：矩形模型中的翻折如圖，矩形OABC頂點A，C分別位于x軸，y軸正半軸，反比例函數(shù)在第一象限圖象交矩形OABC兩邊于D，E點，將△BED沿ED翻折，若B點剛好落在x軸上的點F處，則EO=EF【模型六】等線段模型如圖1、圖2，點A、B是反比例函數(shù)y＝EQ\F(k,x)圖象上的任意兩點，直線AB交y軸于點C，交x軸于點D，則AC＝BD．xxyBACDO圖1xyBACDO圖2證明：作AE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F由平行性質(zhì)可知AB∥EF∴四邊形CEFB和四邊形AEFD均為平行四邊形∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BDxyxyBACDOFExyBACDOFE【模型七】等角模型模型一：如圖，點A、B是反比例函數(shù)圖象上的任意兩點，直線OB交反比例函數(shù)的圖象于另一點C，直線AC交x軸于點D，交y軸于點E，直線AB交x軸于點F，交y軸于點G，則∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE．AABOxCyDFEG證明：作CN∥x軸，AN∥y軸，BM⊥AN于MAABOxCyMNDFEG則∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM設(shè)A（a，EQ\F(k,a)），B（b，EQ\F(k,b)），則C（－b，－EQ\F(k,b)）∴CN＝a＋b，AN＝EQ\F(k,a)＋EQ\F(k,b)，BM＝b－a，AM＝EQ\F(k,a)－EQ\F(k,b)∴tan∠ACN＝EQ\F(AN,CN)＝EQ\F(EQ\F(k,a)＋EQ\F(k,b),a＋b)＝EQ\F(k,ab)，tan∠ABM＝EQ\F(AM,BM)＝EQ\F(EQ\F(k,a)－EQ\F(k,b),b－a)＝EQ\F(k,ab)∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG∴AE＝AG∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF模型二：如圖，平行四邊形ABCD頂點A，B位于反比例函數(shù)在第一象限的圖象上，C，D分別位于x軸正半軸和y軸正半軸上，則必然有∠1=∠2，∠3=∠4證明1：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn)。取AB中點G，連GO交DC于H。由反比例函數(shù)圖象基本結(jié)論知，G也是EF中點?！唷?=∠5=∠2，∴H為DC中點，∴GO∥BC∴∠1=∠6=∠2，進而可知∠3=∠7=∠4證明2：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn)。過C點作y軸平行線，交AB于I，構(gòu)平行四邊形EDCI∴EI=DC=AB，即EA=IB，又由基本結(jié)論知EA=BF∴IB=BF，∴∠2=∠5=∠1，同理可證∠3=∠4模型三：如圖，平行四邊形ABCD頂點A，B位于反比例函數(shù)在第一象限的圖象上，C，D分別位于y軸負半軸和x軸負半軸上，則必然有∠1=∠2，∠3=∠4證明1：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn)。取AB中點G，連GO并延長交DC于H。由反比例函數(shù)圖象基本結(jié)論知，G也是EF中點?！唷?=∠5=∠7=∠6，∴H為DC中點，∴GH∥BC∴∠1=∠6=∠2，進而可推∠3=∠4證明2：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn)。過C作x軸垂線，交直線AB于I，構(gòu)平行四邊形DCIF∴FI=DC=AB,又由基本結(jié)論知AE=BF,∴BE=BI∴∠1=∠5=∠2，進而可推∠3=∠4題型一|k|模型如圖是反比例函數(shù)和在第一象限的圖象，直線軸，并分別交兩條曲線于兩點，若，則的值是（

）A．1 B．2 C．4 D．8如圖，過軸正半軸上的任意一點，作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于點和點，點是軸上的任意一點，連接、，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．82023年遼寧省丹東市中考數(shù)學真題如圖，點A是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點A作軸，垂足為點C，延長至點B，使，點D是y軸上任意一點，連接，，若的面積是6，則．2022年湖南省郴州市中考數(shù)學真題如圖，在函數(shù)的圖像上任取一點A，過點A作y軸的垂線交函數(shù)的圖像于點B，連接OA，OB，則的面積是（

）A．3 B．5 C．6 D．10如圖，直線與反比例函數(shù)、的圖象分別交于B、C兩點，A為y軸上任意一點，的面積為3，則k的值為．2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題如圖，點A在反比例函數(shù)圖像的一支上，點B在反比例函數(shù)圖像的一支上，點C，D在x軸上，若四邊形是面積為9的正方形，則實數(shù)k的值為．

題型二面積模型兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在的圖象上，軸于點C，交的圖象于點A，軸于點D，交的圖象于點B，當點P在的圖象上運動時，以下結(jié)論：①與的面積相等；②四邊形的面積不會發(fā)生變化；③與始終相等；④當點是的中點時，點一定是的中點．其中，正確的結(jié)論有（）個A．1 B．2 C．3 D．42022年山東省日照市中考數(shù)學試卷如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點M，N，與反比例函數(shù)（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點B，連接OM，ON．若四邊形OMBN的面積為3，則k1-k2=（

）A．3 B．-3 C． D．如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有兩點A，B，它們的橫坐標分別是2，6，則△AOB的面積是．2023·廣西·統(tǒng)考中考真題如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）

A．4 B．3 C．2 D．12023年湖北省黃石市中考數(shù)學真題如圖，點和在反比例函數(shù)的圖象上，其中．過點A作軸于點C，則的面積為；若的面積為，則．

2023年湖南省湘西中考真題如圖，點A在函數(shù)的圖象上，點B在函數(shù)的圖象上，且軸，軸于點C，則四邊形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4江蘇省南京市2021年中考數(shù)學試卷如圖，正比例函數(shù)與函數(shù)的圖像交于A，B兩點，軸，軸，則．題型三垂直模型 已知點A，B分別在反比例函數(shù)（x＞0），（x＞0）的圖象上且OA⊥OB，則tanB為（

）A． B． C． D．如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)．若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)、的圖象交于B、A兩點，則∠OAB大小的變化趨勢為（

）A．逐漸變小 B．逐漸變大 C．時大時小 D．保持不變?nèi)鐖D，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，第二象限內(nèi)的點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且OA⊥OB，cosA＝，則k的值為（

）A．－12 B．－16 C．－6 D．－18如圖，已知A是雙曲線上一點，過點A作軸，交雙曲線于點B，若，則的值為（）A． B． C． D．2023·福建·統(tǒng)考中考真題如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)和的圖象的四個分支上，則實數(shù)的值為（）

A． B． C． D．32023·四川達州·統(tǒng)考中考真題如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點，以為邊作等邊三角形，若反比例函數(shù)的圖象過點，則的值為．

如圖，點A是雙曲線y＝上的動點，連結(jié)AO并延長交雙曲線于點B，將線段AB繞B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BC，點C在雙曲線y＝上的運動，則k＝．

如圖，點A是雙曲線在第二象限分支上的一個動點，連接AO并延長交另一個分支于點B，以AB為底作等腰且，點C在第一象限，隨著點A的運動，點C始終在雙曲線上運動，則．如圖，的頂點與坐標原點重合，，，當點在反比例函數(shù)的圖象上移動時，點坐標滿足的函數(shù)解析式為．題型四比例端點模型如圖，在平面直角坐標系中，梯形OACB的頂點O是坐標原點，OA邊在y軸正半軸上，OB邊在x軸正半軸上，且OA∥BC，雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過AC邊的中點，若S梯形OACB=4，則雙曲線y=的k值為（）A．5 B．4 C．3 D．22022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題如圖，在中，邊在軸上，邊交軸于點．反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點，與邊交于點．若，，，則=．廣東深圳·統(tǒng)考中考真題如圖，雙曲線經(jīng)過Rt△BOC斜邊上的點A，且滿足，與BC交于點D，S△BOD=21，求k=．如圖，Rt△BOC的一條直角邊在x軸正半軸上，雙曲線過的斜邊的中點，與另一直角邊相交于點，若的面積是6，則k的值是．如圖，雙曲線經(jīng)過斜邊上的點，且滿足，與交于點，的面積為，則．如圖，已知三角形的頂點在反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，頂點在軸的負半軸上，頂點在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，邊與軸交于點，，邊與軸交于點，，若面積為，則．

如圖，矩形的頂點，分別在軸、軸的正半軸上，它的對角線與函數(shù)的圖象相交于點，且，若矩形的面積為，則的值是．如圖，Rt△BOC的一條直角邊在x軸正半軸上，雙曲線過的斜邊的中點，與另一直角邊相交于點，若的面積是6，則k的值是．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形的頂點A，C分別在軸，軸的正半軸上，點在第一象限，反比例函數(shù)的圖象交矩形的對角線于點，分別交，于點E，F(xiàn)，連接，．若，，則．

如圖，已知梯形ABCO的底邊AO在x軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過點C的雙曲線交OB于點D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面積等于6，則k的值為．題型五矩形模型（平行，比例性質(zhì)）如圖，已知雙曲線經(jīng)過矩形邊的中點F，交于點E，且四邊形的面積為3，則．2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學真題在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，平行于x軸，點B，C的橫坐標都是3，，點D在上，且其橫坐標為1，若反比例函數(shù)（）的圖像經(jīng)過點B，D，則k的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．2023年遼寧省本溪市、鐵嶺市、遼陽市中考數(shù)學真題如圖，矩形的邊平行于軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，對角線的延長線經(jīng)過原點，且，若矩形的面積是8，則的值為．

2023年浙江省紹興市中考數(shù)學真題如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)（為大于0的常數(shù)，）圖象上的兩點，滿足．的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸正半軸上，OA＝6，OC＝4，點P是BC邊上一個動點，過點P的反比例函數(shù)y＝EQ\F(k,x)圖象與AB邊交于點Q，若將△BPQ沿PQ折疊，點B的對應點D恰好落在對角線AC上，則k的值是___________．OOACxyBDPQ如圖，直線y＝－3x＋4與雙曲線y＝EQ\F(k,x)交于A、B兩點，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥y軸于D，連接CD，若四邊形ACDB的面積為10，則k的值為___________．xxyOABCD如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為（8，4），反比例函數(shù)y＝EQ\F(k,x)的圖象分別與邊AB、BC交于點E、F，將△BEF沿EF翻折，點B恰好落在x軸上點D處，則△BEF的面積為___________．xxODABCEFy如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，是邊上的一個動點（不與、重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，將沿對折后，點恰好落在上的點處，則的值為．如圖，矩形的頂點，分別在軸，軸正半軸上，反比例函數(shù)的圖象分別與矩形兩邊，交于點，，沿直線將翻折得到，且點恰好落在直線上．下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的有．（僅填代號即可）題型六等線段模型如圖，已知函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點、，與雙曲線交于點、，若，則的值為．2023年遼寧省錦州市中考數(shù)學真題如圖，在平面直角坐標系中，的邊在y軸上，點C在第一象限內(nèi)，點B為的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點．若的面積是6，則k的值為．

如圖，直線y＝2x與雙曲線y＝EQ\F(k,x)交于A、B兩點，AC⊥AB交雙曲線于點C，連接BC，則sin∠ABC的值是___________．OOxyABC如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝EQ\F(3,2)x與雙曲線y＝EQ\F(6,x)相交于A，B兩點，C是第一象限內(nèi)雙曲線上一點，連接CA并延長交y軸于點P，連接BP，BC．若△PBC的面積是20，則點C的坐標為___________．OOxACPyB如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝mx與雙曲線y＝EQ\F(k,x)（k＞0）相交于A、B兩點，直線y＝EQ\F(1,2)mx＋n經(jīng)過點B，與雙曲線交于另一點C，若△ABC的面積為6，則k的值為___________．yyxOABC如圖，直線l與反比例函數(shù)y＝EQ\F(k,x)的圖象在第二象限交于B，C兩點，與x軸交于點A，連接OC，∠ACO的角平分線交x軸于點D．若AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，△COD的面積為6，則k的值為_________．yylxODABC如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝EQ\F(m,x)的圖象相交于A、B兩點，與x軸交于點C（－eq\r(,3)，0），連接BO并延長交反比例函數(shù)y＝EQ\F(m,x)的圖象于點D，若∠BAD＝120°，△ABD的面積為2eq\r(,3)，則點A的坐標為___________．xxOyDACB湖北隨州·統(tǒng)考中考真題如圖，直線與雙曲線在第一象限內(nèi)交于、兩點，與軸交于點，點為線段的中點，連接，若的面積為3，則的值為．2021·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，且，連接OA．已知的面積為12，則k的值為．如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，與雙曲線y＝（x＞0）交于C、D兩點，且∠AOC＝∠ADO，則k的值為．江蘇省宿遷市2021年中考數(shù)學真題如圖，點A、B在反比例函數(shù)的圖像上，延長AB交軸于C點，若△AOC的面積是12，且點B是AC的中點，則=．如圖，A，B是反比例函數(shù)(k≠0)圖象上的兩點，延長線段AB交y軸于點C，且B為線段AC的中點，過點A作AD⊥x軸于點D，E為線段OD的三等分點，且OE＜DE．連接AE，BE．若S△ABE＝7，則k的值為．題型七等角模型如圖，直線y＝kx與反比例函數(shù)y＝EQ\F(m,x)的圖象交于A、B兩點，過點A作AD∥x軸，交y軸于點D，直線BD交反比例函數(shù)y＝EQ\F(m,x)的圖象于另一點C，則EQ\F(CA,CB)的值為___________．xxyOBCAD如圖，直線y＝2x與雙曲線y＝eq\f(k,x)交于A、B兩點，過點A作AC⊥AB交y軸于點C，連接BC并延長交雙曲線于點D，連接AD，則EQ\F(AD,BD)的值為__________．xxyOBACD如圖，在平面直角坐標系中，□ABCD的頂點A、B分別在y軸、x軸的正半軸上，頂點C、D在反比例函數(shù)y＝EQ\F(k,x)的圖象上，若AB＝2AD，OA＝2，□ABCD的面積為8，則點D的坐標為___________．xxOByACD湖北武漢·中考真題如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝2AB，A，B兩點的坐標分別是(-1，0)，(0，2)，C，D兩點在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值等于．如圖，在直角坐標系中，平行四邊形的頂點、在y軸、x軸上，另兩個頂點C、D在第一象限內(nèi)，且；若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過C，D兩點，則k的值是．如圖，平行四邊形的頂點，的坐標分別是，，頂點，在雙曲線上，邊交軸于點，且四邊形的面積是面積的5倍，則．題型八反比例函數(shù)中的設(shè)而不求法（2023·深圳市一模）如圖，A、B是函數(shù)y＝上兩點，P為一動點，作軸，軸．若，則S△ABP＝（）A．3.6 B．4.8 C．5.4 D．6湖北武漢·中考真題如圖，點A在雙曲線y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y軸與點B，點C在x軸正半軸上，且OC＝2AB，點E在線段AC上，且AE＝3EC，點D為OB的中點，若△ADE的面積為3，則k的值為．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點D，分別與對角線AC，邊BC交于點E，F(xiàn)，連接EF，AF．若點E為AC的中點，的面積為1，則k的值為（

）A． B． C．2 D．32022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點．在中，，邊在軸上，點是邊上一點，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點交于點，連接．若，則的值為．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，位于平面直角坐標系中，點B在x軸正半軸上，點A及的中點D在反比例函數(shù)的圖象上，點C在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為．（2022上·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在函數(shù)的圖象上，頂點B在x軸正半軸上，邊，分別交的數(shù)，的圖象于點M，N．連接，若軸，則的面積為．題型九反比例函數(shù)與相似相似三角形結(jié)合江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題如圖，點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在x軸負半軸上，直線AB交y軸于點C，若＝，△AOB的面積為6，則k的值為．深圳統(tǒng)考真題如圖，已知點A在反比例函數(shù)y＝（x＜0）上，作RtABC，點D是斜邊AC的中點，連接DB并延長交y軸于點E，若BCE的面積為7，則k的值為．徐州·統(tǒng)考真題如圖，平面直角坐標系中，為原點，點A、B分別在y軸、x軸的正半軸上．的兩條外角平分線交于點P，P在反比例函數(shù)的圖像上．PA的延長線交x軸于點C，PB的延長線交y軸于點D，連接CD．若，，則k的值為．如圖，已知雙曲線y＝（x＜0）和y＝（x＞0），與直線交于點A，將直線OA向下平移與雙曲線y＝，與y軸分別交于點，與雙曲線y＝交于點，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，則k的值為．2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題如圖，在平面直角坐標系中，點，都在反比例函數(shù)的圖象上，延長交軸于點，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接.若，的面積是，則的值為.

（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，在軸上，平分，平分，與相交于點，且，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為．諾貝爾物理學獎是有關(guān)于“復雜系統(tǒng)的理解”，我們可以用動力系統(tǒng)的方法來研究復雜系統(tǒng)．已知直線，雙曲線，點A1（1，－1），我們從A1點出發(fā)構(gòu)造無窮點列A2（x2，y2），A3（x3，y3）…構(gòu)造規(guī)則為：若點An（xn，yn）在直線上，那么下一個點An＋1（xn＋1，yn＋1）就在雙曲線上，且xn＋1＝xn；若點An（xn，yn）在雙曲線上，那么下一個點An＋1（xn＋1，yn＋1）就在直線上，且yn＋1＝y(tǒng)n，根據(jù)規(guī)則，點A3的坐標為．無限進行下去，無限接近的點的坐標．2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點．(1)_________，_________；(2)連接并延長，與反比例函數(shù)的圖像交于點，點在軸上，若以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標．2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點，點C在x軸負半軸上，．

(1)______，______，點C的坐標為______．(2)點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象分別交于點，點，與軸，軸分別交于點，點，作軸，垂足為點，．

(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)在第二象限內(nèi)，當時，直接寫出的取值范圍；(3)點在軸負半軸上，連接，且，求點坐標．2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題如圖，在平面直角坐標系中，直線與y軸交于點A，與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為，過點B作AB的垂線l．

(1)求點A的坐標及反比例函數(shù)的表達式；(2)若點C在直線l上，且的面積為5，求點C的坐標；(3)P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫，使它與位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點P的坐標及m的值．題型十反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合【題型梳理】1、比大小，2、由交點個數(shù)求參數(shù)的值或范圍，3、一次函數(shù)平移后相關(guān)問題；4、與幾何結(jié)合定義：在平面直角坐標系中，函數(shù)圖象上到兩條坐標軸的距離之積等于的點，叫做該函數(shù)圖象的“n階積點”．例如，點為一次函數(shù)圖象的“階積點”．若y關(guān)于x的一次函數(shù)圖象的“n階積點”恰好有3個，則n的值為．（2023·江西吉安·校考三模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)于點B，與x軸交于點A，與y軸交于點D，C為反比例函數(shù)的圖象上的點，且于點A

(1)求的面積．(2)若，求k的值．2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題如圖，直線與雙曲線相交于點，．

(1)求雙曲線及直線對應的函數(shù)表達式；(2)將直線向下平移至處，其中點，點在軸上．連接，，求的面積；(3)請直接寫出關(guān)于的不等式的解集．2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點，與軸交于點，軸于點，，點關(guān)于直線的對稱點為點．(1)點是否在這個反比例函數(shù)的圖像上？請說明理由；(2)連接、，若四邊形為正方形．①求、的值；②若點在軸上，當最大時，求點的坐標．

2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第一象限交于、兩點，垂直x軸于點，為坐標原點，四邊形的面積為38．(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；(2)點P是反比例函數(shù)第三象限內(nèi)的圖象上一動點，請簡要描述使的面積最小時點P的位置（不需證明），并求出點P的坐標和面積的最小值．2022·四川資陽·中考真題如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點和點．(1)求一次函數(shù)的表達式；(2)結(jié)合圖象，寫出當時，滿足的x的取值范圍；(3)將一次函數(shù)的圖像平移，使其經(jīng)過坐標原點．直接寫出一個反比例函數(shù)表達式，使它的圖像與平移后的一次函數(shù)圖像無交點．2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，點的坐標為．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)求的面積；(3)過動點作軸的垂線，與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象分別交于，兩點，當在的上方時，請直接寫出的取值范圍．2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題如圖，一次函數(shù)與函數(shù)為的圖象交于兩點．

(1)求這兩個函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足時x的取值范圍；(3)點P在線段上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)的圖象于點Q，若面積為3，求點P的坐標．題型十一反比例函數(shù)中的探究類問題2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題綜合與實踐如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．

【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數(shù)圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．

（1）根據(jù)小穎的思路點撥思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由．【問題延伸】當木欄總長為時，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點．（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．【拓展應用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題【問題情境

建構(gòu)函數(shù)】（1）如圖1，在矩形中，是的中點，，垂足為．設(shè)，試用含的代數(shù)式表示．

【由數(shù)想形

新知初探】（2）在上述表達式中，與成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示．若取任意實數(shù)，此時的函數(shù)圖像是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補全函數(shù)圖像．

【數(shù)形結(jié)合

深度探究】（3）在“取任意實數(shù)”的條件下，對上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值隨的增大而增大；②函數(shù)值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個交點；④在圖像上存在四點，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【抽象回歸

拓展總結(jié)】（4）若將（1）中的“”改成“”，此時關(guān)于的函數(shù)表達式是__________；一般地，當取任意實數(shù)時，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過程，探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫出3條即可）．2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題小華同學學習函數(shù)知識后，對函數(shù)通過列表、描點、連線，畫出了如圖1所示的圖象．x…－4－3－2－101234…y…12410－4－2－1…請根據(jù)圖象解答：(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】①寫出函數(shù)的兩條性質(zhì)：______；______；②若函數(shù)圖象上的兩點，滿足，則一定成立嗎？______．（填“一定”或“不一定”）(2)【延伸探究】如圖2，將過，兩點的直線向下平移n個單位長度后，得到直線l與函數(shù)的圖象交于點P，連接PA，PB．①求當n＝3時，直線l的解析式和△PAB的面積；②直接用含n的代數(shù)式表示△PAB的面積．2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若該矩形為正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都為邊長為2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）繼續(xù)探究，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為長為3，寬為2的矩形的2倍？同學們有以下思路：設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，再探究根的情況：根據(jù)此方法，請你探究是否存在一個矩形，使其周長和面積都為原矩形的倍；如圖也可用反比例函數(shù)與一次函數(shù)證明：，：，那么，①是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？_______．②請?zhí)骄渴欠裼幸恍戮匦沃荛L和面積為原矩形的，若存在，用圖像表達；③請直接寫出當結(jié)論成立時k的取值范圍：．2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題【背景】在一次物理實驗中，小冉同學用一固定電壓為的蓄電池，通過調(diào)節(jié)滑動變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡（燈絲的阻值）亮度的實驗（如圖），已知串聯(lián)電路中，電流與電阻之間關(guān)系為，通過實驗得出如下數(shù)據(jù)：…1346……432.42…

(1)_______，_______；(2)【探究】根據(jù)以上實驗，構(gòu)建出函數(shù)，結(jié)合表格信息，探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．①在平面直角坐標系中畫出對應函數(shù)的圖象；

②隨著自變量的不斷增大，函數(shù)值的變化趨勢是_________．(3)【拓展】結(jié)合（2）中函數(shù)圖象思路點撥，當時，的解集為________．2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題視力表中蘊含著很多數(shù)學知識，如：每個“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．素材1

國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標系中描點如圖1．探究1

檢測距離為5米時，歸納n與b的關(guān)系式，并求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．素材2

圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角，視力值與分辨視角（分）的對應關(guān)系近似滿足．探究2

當時，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對應的分辨視角的范圍．素材3

如圖3，當確定時，在A處用邊長為的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同．探究3

若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．題型十二反比例函數(shù)與與幾何綜合如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸負半軸上，邊與軸交于點，連接，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，及邊上一點，，若，則的值為．

2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的負半軸上，，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖像經(jīng)過點C的反比例函數(shù)的解析式是，則圖像經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式是．2023·山東·統(tǒng)考中考真題如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數(shù)的圖象上．點的坐標為．連接．若，則的值為．

2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，垂直于x軸，以為對稱軸作的軸對