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2024年春季深圳市第三中學(xué)高一數(shù)學(xué)3月份考試卷(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)注意事項(xiàng):1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答第Ⅰ卷時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則(
)A. B. C. D.2.設(shè)為單位向量,,當(dāng)?shù)膴A角為時(shí),在上的投影向量為(
)A. B. C. D.3.在中,,則(
)A. B.或 C. D.或4.在中,為邊上的中線,,則(
)A. B.C. D.5.在中,(分別為角的對邊),則的形狀可能是(
)A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形6.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根為(
)A.和1 B.和5 C. D.7.一船以每小時(shí)15km的速度向東航行,船在處看到一個(gè)燈塔在北偏東,行駛4h后,船到達(dá)處,看到這個(gè)燈塔在北偏東,這時(shí)船與燈塔的距離為A.km B.km C.km D.km8.已知邊長為2的菱形中,點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足,,則的最大值為(
)A.0 B. C. D.3二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知,,則下列說法正確的為(
)A.若,則B.若,則與的夾角為0°C.若與的夾角為60°,則在上的投影向量為D.的取值范圍為10.設(shè)為復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),下列命題正確的有(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則11.中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”,即以小斜冪,并大斜冪,減中斜冪,余半之,自乘于上;以小斜冪乘大斜冪,減上,余四約之,為實(shí);一為從隅,開平方得積.把以上文字寫成公式,即(為三角形的面積,、、為三角形的三邊).現(xiàn)有滿足,且的面積,則下列結(jié)論正確的是(
)A.的周長為 B.的三個(gè)內(nèi)角滿足C.的外接圓半徑為 D.的中線的長為第Ⅱ卷三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.在中,,則.13.已知平面向量,滿足,,且,則向量與的夾角的大小為.14.已知復(fù)數(shù)滿足,則(為虛數(shù)單位)的最大值為.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)復(fù)數(shù).(1)若是實(shí)數(shù),求;(2)若是純虛數(shù),求.16.已知向量,滿足,,且,的夾角為.(1)求;(2)若,求實(shí)數(shù)的值;17.在銳角三角形中,,,分別為角,,所對的邊,若向量,,且.(1)求;(2)若,且,求,的值.18.在ΔABC中,P為AB的中點(diǎn),O在邊AC上,BO交CP于R,且,設(shè)AB=,AC=(1)試用,表示;(2)若,求∠ARB的余弦值.19.在中,角,,的對邊分別為,,,.(1)求;(2)若點(diǎn)是上的點(diǎn),平分,且,求面積的最小值.1.D【分析】本題首先可根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得出,然后通過共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)得出,最后兩者相加,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,,,故選:D.2.A【分析】根據(jù)題意,結(jié)合向量投影的概念與計(jì)算,即可求解.【詳解】由設(shè)為單位向量,,當(dāng)?shù)膴A角為時(shí),所以在上的投影向量為.故選:A.3.D【分析】根據(jù)題意,結(jié)合正弦定理,列出方程,即可求解.【詳解】在中,由,可得,可得,又由正弦定理,得,可得,所以或.故選:D.4.A【分析】根距離向量的線性運(yùn)算,得到,結(jié)合,即可求解.【詳解】由,可得,所以,因?yàn)闉檫吷系闹芯€,可得,所以,所以.故選:A.
5.B【分析】根據(jù)條件先求出,再結(jié)合正弦定理和三角形的內(nèi)角和公式,可求出角,從而判斷三角形的形狀.【詳解】由已知,得,即,由正弦定理可得:,所以,得,在中,所以,又,所以,即三角形為直角三角形.故選:B.6.D【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根即可.【詳解】由,則方程的根為.故選:D7.B【解析】作出示意圖,在中,可由正弦定理求的長.【詳解】作出示意圖如圖所示,,,,則.由正弦定理,可得,則.所以這時(shí)船與燈塔的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用,考查正弦定理.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出相應(yīng)三角形的邊與角.8.D【分析】設(shè),求得,得到,以與交點(diǎn)為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),求得,進(jìn)而求得的最大值為.【詳解】由,可得,設(shè),可得,所以,因?yàn)?,所以,以與交點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,設(shè),且,則,,,當(dāng)時(shí),.故選:D.
9.AC【分析】通過分析各選項(xiàng)即可得出結(jié)論.【詳解】由題意,A項(xiàng),由數(shù)量積的概念,當(dāng)時(shí),,A正確;B項(xiàng),當(dāng)時(shí),與的夾角為0°或180°,故B錯(cuò)誤;C項(xiàng),在上的投影向量為,C正確;D項(xiàng),,所以的取值范圍為,D錯(cuò)誤.故選:AC.10.AC【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng);利用特殊值法可判斷B選項(xiàng);利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷C選項(xiàng);解方程,可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng),若,則,A對;對于B選項(xiàng),若,不妨取,則,但,B錯(cuò);對于C選項(xiàng),若,則,故,C對;對于D選項(xiàng),若,則,解得,D錯(cuò).故選:AC.11.AB【分析】對于選項(xiàng)A,由正弦定理得三角形三邊之比,由面積求出三邊,代入公式即可求出周長;對于選項(xiàng)B,根據(jù)余弦定理可求得的值為,可得,可得三個(gè)內(nèi)角,,成等差數(shù)列;對于選項(xiàng)C,由正弦定理可得,外接圓直徑;根據(jù)可求得,由可得的值;對于選項(xiàng)D,由余弦定理得,在中,由余弦定理即可求得.【詳解】A項(xiàng):設(shè)的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、,因?yàn)?,所以由正弦定理可得,設(shè),,,因?yàn)?,所以,解得,則,,,故的周長為,A正確;B項(xiàng):因?yàn)椋?,,故B正確;C項(xiàng):因?yàn)?,所以,由正弦定理得,,C錯(cuò)誤;D項(xiàng):由余弦定理得,在中,,由余弦定理得,解得,D錯(cuò)誤.故選:AB.12.##【分析】先根據(jù)正弦定理得到三邊的比例,再根據(jù)余弦定理求出角,進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)?,由正弦定理得,不妨設(shè),則,,由余弦定理得:,因,所以,,故答案為:13.##【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積等于,結(jié)合已知條件求出的值,利用向量夾角公式即可求解.【詳解】由,所以,即,因?yàn)?,,所以,設(shè)向量的夾角為,所以,所以.故答案為:.14.6【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)(為實(shí)數(shù)),則復(fù)數(shù)滿足的幾何意義是以原點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓上的點(diǎn),則表示的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離,根據(jù)圓的性質(zhì)可知,所求最大值為.故答案為:6.15.(1);(2).【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的加法及復(fù)數(shù)的分類求出,再利用復(fù)數(shù)乘法求解即得.(2)利用復(fù)數(shù)除法及復(fù)數(shù)的分類求出即得.【詳解】(1)由,得,而是實(shí)數(shù),于是,解得,所以.(2)依題意,是純虛數(shù),因此,解得,所以.16.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意,結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確計(jì)算,即可求解;(2)根據(jù)題意,得到,結(jié)合數(shù)量積的計(jì)算公式,列出方程,即可求解.【詳解】(1)解:由向量,,且,的夾角為,可得,則.(2)解:因?yàn)?,所以,即,即,可得,即,解?17.(1)或;(2),或,.【詳解】分析:(1)由兩向量的坐標(biāo),根據(jù)兩向量垂直,列出關(guān)系式求解即可;(2)利用余弦定理即可.詳解:(1)∵,∴,由正弦定理得,∵,∴,∴或.(2)當(dāng)時(shí),由余弦定理,得.解得:,即,或,.當(dāng)時(shí),由余弦定理,得.解得:,∵,可得,無解,綜上,或,.點(diǎn)睛:(1)解三角形時(shí),如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷:已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.18.(1)(2)【分析】(1)由兩個(gè)三點(diǎn)共線設(shè)出來,列出方程組求解即可;(2)由平面向量的數(shù)量積的定義求夾角的余弦值即可.【詳解】(1)因P,R,C共線,則存在使,則,整理得.由共線,則存在使,則,整理得.根據(jù)平面向量基本定理,有,則.(2)由(1),,,則,,.則;19.(1)(2)
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