2024年春季深圳市第三中學(xué)高一數(shù)學(xué)3月份考試卷附答案解析

2024年春季深圳市第三中學(xué)高一數(shù)學(xué)3月份考試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)為單位向量，，當(dāng)?shù)膴A角為時(shí)，在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．在中，，則（

）A． B．或 C． D．或4．在中，為邊上的中線，，則（

）A． B．C． D．5．在中，（分別為角的對邊），則的形狀可能是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形6．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根為（

）A．和1 B．和5 C． D．7．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行,船在處看到一個(gè)燈塔在北偏東，行駛4h后，船到達(dá)處，看到這個(gè)燈塔在北偏東，這時(shí)船與燈塔的距離為A．km B．km C．km D．km8．已知邊長為2的菱形中，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最大值為（

）A．0 B． C． D．3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，，則下列說法正確的為（

）A．若，則B．若，則與的夾角為0°C．若與的夾角為60°，則在上的投影向量為D．的取值范圍為10．設(shè)為復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積．把以上文字寫成公式，即（為三角形的面積，、、為三角形的三邊）．現(xiàn)有滿足，且的面積，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周長為 B．的三個(gè)內(nèi)角滿足C．的外接圓半徑為 D．的中線的長為第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在中，，則.13．已知平面向量，滿足，，且，則向量與的夾角的大小為.14．已知復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．設(shè)復(fù)數(shù)．(1)若是實(shí)數(shù)，求；(2)若是純虛數(shù)，求．16．已知向量，滿足，，且，的夾角為.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值；17．在銳角三角形中，，，分別為角，，所對的邊，若向量，，且.（1）求；（2）若，且，求，的值.18．在ΔABC中，P為AB的中點(diǎn)，O在邊AC上，BO交CP于R，且，設(shè)AB=，AC=(1)試用，表示；(2)若，求∠ARB的余弦值．19．在中，角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，求面積的最小值．1．D【分析】本題首先可根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得出，然后通過共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)得出，最后兩者相加，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，，故選：D.2．A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量投影的概念與計(jì)算，即可求解.【詳解】由設(shè)為單位向量，，當(dāng)?shù)膴A角為時(shí)，所以在上的投影向量為.故選：A．3．D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理，列出方程，即可求解.【詳解】在中，由，可得，可得，又由正弦定理，得，可得，所以或.故選：D.4．A【分析】根距離向量的線性運(yùn)算，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，可得，所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，可得，所以，所以.故選：A.

5．B【分析】根據(jù)條件先求出，再結(jié)合正弦定理和三角形的內(nèi)角和公式，可求出角，從而判斷三角形的形狀.【詳解】由已知，得，即，由正弦定理可得：，所以，得，在中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：B.6．D【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根即可.【詳解】由，則方程的根為.故選：D7．B【解析】作出示意圖，在中，可由正弦定理求的長.【詳解】作出示意圖如圖所示，，，，則.由正弦定理，可得，則.所以這時(shí)船與燈塔的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查正弦定理.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出相應(yīng)三角形的邊與角.8．D【分析】設(shè)，求得，得到，以與交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得，進(jìn)而求得的最大值為.【詳解】由，可得，設(shè)，可得，所以，因?yàn)?，所以，以與交點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)，且，則，，，當(dāng)時(shí)，.故選：D.

9．AC【分析】通過分析各選項(xiàng)即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，A項(xiàng)，由數(shù)量積的概念，當(dāng)時(shí)，，A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與的夾角為0°或180°，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，在上的投影向量為，C正確；D項(xiàng)，，所以的取值范圍為，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．AC【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷C選項(xiàng)；解方程，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則，A對；對于B選項(xiàng)，若，不妨取，則，但，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，若，則，故，C對；對于D選項(xiàng)，若，則，解得，D錯(cuò).故選：AC.11．AB【分析】對于選項(xiàng)A，由正弦定理得三角形三邊之比，由面積求出三邊，代入公式即可求出周長；對于選項(xiàng)B，根據(jù)余弦定理可求得的值為，可得，可得三個(gè)內(nèi)角，，成等差數(shù)列；對于選項(xiàng)C，由正弦定理可得，外接圓直徑；根據(jù)可求得，由可得的值；對于選項(xiàng)D，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求得.【詳解】A項(xiàng)：設(shè)的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，解得，則，，，故的周長為，A正確；B項(xiàng)：因?yàn)椋?，，故B正確；C項(xiàng)：因?yàn)?，所以，由正弦定理得，，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：由余弦定理得，在中，，由余弦定理得，解得，D錯(cuò)誤.故選：AB．12．##【分析】先根據(jù)正弦定理得到三邊的比例，再根據(jù)余弦定理求出角，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，不妨設(shè)，則，，由余弦定理得：，因，所以，，故答案為：13．##【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積等于，結(jié)合已知條件求出的值，利用向量夾角公式即可求解.【詳解】由，所以，即，因?yàn)?，，所以，設(shè)向量的夾角為，所以，所以.故答案為：.14．6【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)(為實(shí)數(shù))，則復(fù)數(shù)滿足的幾何意義是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)，則表示的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，所求最大值為.故答案為：6.15．(1)；(2).【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的加法及復(fù)數(shù)的分類求出，再利用復(fù)數(shù)乘法求解即得.（2）利用復(fù)數(shù)除法及復(fù)數(shù)的分類求出即得.【詳解】（1）由，得，而是實(shí)數(shù)，于是，解得，所以．（2）依題意，是純虛數(shù)，因此，解得，所以．16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合數(shù)量積的計(jì)算公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：由向量，，且，的夾角為，可得，則.（2）解：因?yàn)?，所以，即，即，可得，即，解?17．（1）或；（2），或，.【詳解】分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量垂直，列出關(guān)系式求解即可；（2）利用余弦定理即可.詳解：（1）∵，∴，由正弦定理得，∵，∴，∴或.（2）當(dāng)時(shí)，由余弦定理，得.解得：，即，或，.當(dāng)時(shí)，由余弦定理，得.解得：，∵，可得，無解，綜上，或，.點(diǎn)睛：(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷．18．(1)(2)【分析】（1）由兩個(gè)三點(diǎn)共線設(shè)出來，列出方程組求解即可；（2）由平面向量的數(shù)量積的定義求夾角的余弦值即可.【詳解】（1）因P，R，C共線，則存在使，則，整理得.由共線，則存在使，則，整理得.根據(jù)平面向量基本定理，有，則.（2）由（1），，，則，，.則；19．(1)(2)