2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)

【高考真題】2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)

閱卷人

、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

得分

1.(2023?天津卷)已知集合[/={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},則()

A.(1,3,5}B.{L3}

C.[1,2,4}D.(1,2,4,5)

2.（2023?天津卷）“次=產(chǎn)，是+廬=2時(shí)，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

3.（2023?天津卷）若。=1.01。5,b=1.O106,c=0,6OS?則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

4.（2023?天津卷）函數(shù)/（%）的圖象如下圖所示,則/（%）的解析式可能為（)

D5sinx

D?

X2+l

5(e-+eT)「5cosx

cD.-5----

X2+2%2+1

5.（2023?天津卷）已知函數(shù)f（%）的一條對(duì)稱軸為直線1=2,一個(gè)周期為4,則/（%）的解析式可能為

)

77

A.sin(^-x)B.cos(^x)C.sinQx)D.cos6%)

6.（2023?天津卷）已知｛即｝為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列｛即｝的前葭項(xiàng)和，0n+i=2Sn+2,則04的值為（)

A.3B.18C.54D.152

7.（2023?天津卷）調(diào)查某種群花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245,下列

說法正確的是（）

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒有相關(guān)性

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)

C.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

8.（2023?天津卷）在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM=qPC,線段PB上的點(diǎn)N滿足PN=

|PB,則三棱錐P—4MN和三棱錐P-4BC的體積之比為（）

A-B-C-D-

八?9939

9.（2023?天津卷）雙曲線與一4=1。>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F2.過七作其中一條漸近線

的垂線，垂足為P.已知PF2=2,直線P0的斜率為軍，則雙曲線的方程為（）

4

Ax2y2

BIC.y2D%2y1-1

A.専一彳=1,N=T-T-1

閱卷人

二'填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空

得分的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.

10-（2。23?天津卷）已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)弊的結(jié)果為--------------

11.（2023?天津卷）在（2爐一1）6的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為

12.（2023?天津卷）過原點(diǎn)的一條直線與圓C：（%+2）2+y2=3相切，交曲線y2=2px（p>0）于點(diǎn)P,若

|OP|=8,貝。的值為

13.（2023?天津卷）甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5：4：6.這三個(gè)盒子

中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的

概率為；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為

14.(2023?天津卷)在△ABC中，乙4=60。，BC=1,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，若設(shè)布=落

AC=b，則荏可用落石表示為;若蘇5=3說，則荏.希的最大值為.

15.(2023?天津卷)若函數(shù)/(%)=a/一2%一|%2一數(shù)+1|有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍

為.

閱卷人

三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程

得分或演算步驟.

16.(2023?天津卷)在4/BC中，角4B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知a=聞，b=2,乙4=

120°.

(1)求sinB的值；

(2)求c的值；

(3)求sin(B-C).

17.(2023?天津卷)三棱臺(tái)/BC-AiBiQ中，若4遇丄面厶BC,ABLAC,AB=AC=AAX=2,41Gl=

1,M,N分別是8C,BA中點(diǎn).

(1)求證：&N〃平面Ci"4

(2)求平面QAM與平面4CG4所成夾角的余弦值；

(3)求點(diǎn)C到平面CiMA的距離.

18.(2023?天津卷)設(shè)橢圓與+4=l(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A2>右焦點(diǎn)為凡已知|4/|=

3,\A2F\=1.

(1)求橢圓方程及其離心率；

(2)已知點(diǎn)p是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，直線42P交y軸于點(diǎn)Q，若三角形&PQ的面積是三角

形/2FP面積的二倍，求直線42P的方程.

19.(2023?天津卷)已知｛%｝為等差數(shù)列,a2+a5=16,a5-a3=4.

(1)求｛的3的通項(xiàng)公式和￡［；宀-1見.

I-Z

(2)已知｛3｝為等比數(shù)列，對(duì)于任意k€N*,若2?1WnS2厶—1，則氏<%<甲+i，

(I)當(dāng)k22時(shí)，求證：2卜一1<%<21+1;

(II)求｛d｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和.

20.(2023?天津卷)已知函數(shù)/(X)=?+｝ln(x+1).

(1)求曲線y=/(%)在x=2處切線的斜率；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，證明：/(x)>1；

(3)證明：1<ln(n!)—(n+^)ln(n)+n<1.

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】：U={1,2,3,4,5),4={1,3},B=[1,2,4},

：.CuB=[3,5},

：.QuB\JA={1,3,5卜

故選：A.

【分析】結(jié)合補(bǔ)集和并集對(duì)有限集運(yùn)算.

2.【答案】B

【解析】【解答】由a?=用oa=±b，a2+b2=2aba=

故由a?+b2=2ab可以推出a?=

.,.V=是％2+経=2ab”的必要不充分條件.

故選：B.

【分析】根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)結(jié)合條件的判斷即得答案.

3.【答案】D

【解析】【解答】由指數(shù)函數(shù)y=1.0產(chǎn)在R上單調(diào)遞增，

故1.01°6>1.01。?5>1,01。，即b>a>l,

由基函數(shù)y=%°5在[0,+8)上單調(diào)遞增，

故0.60,5<1。5,即C<1,

/.&>a>c,

故選：D.

【分析】由a、b同一底數(shù)結(jié)構(gòu)可利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，結(jié)合特殊值1即可得出答案.

4.【答案】D

【解析】【解答】根據(jù)圖象可知該函數(shù)為偶函數(shù)，

^(e-x_ex\

對(duì)A,/(-x)=；/=-/(X),故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

(T)2+2

對(duì)B,-%)=咨與?=-/(%),故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

(T)+1

對(duì)c,f(%)=5(e*T)5x2*r=>0,故此函數(shù)函數(shù)值均為正數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

八)X2+2X2+2X2+2

故選：D.

【分析】由函數(shù)結(jié)合奇偶性判斷可排除A、B,對(duì)C得特殊結(jié)構(gòu)利用基本不等式得出函數(shù)值為大于?？?/p>

排除，從而得岀答案D.

5.【答案】B

【解析】【解答】；T=4,

.?.3=竿=占故c、D不符合題意，錯(cuò)誤；

對(duì)A,其對(duì)稱軸為Jx=J+2kn(kez),解得x=1+2k(kez),

故此時(shí)對(duì)稱軸為奇數(shù)，不滿足對(duì)稱軸直線x=2,不符合題意，錯(cuò)誤；

對(duì)B,其對(duì)稱軸為gx=2/OT(/Cez),解得x=2k(kGz),

故此時(shí)對(duì)稱軸為偶數(shù)，滿足對(duì)稱軸直線x=2,符合題意；

故選：B.

【分析】由正余弦函數(shù)周期算法排除CD,再根據(jù)對(duì)稱軸求法排除A檢驗(yàn)B.

6.【答案】C

【解析】【解答】,：an+1=2Sn+2......①，

,,an~2Sn_]+2......(2)

由①一②得，?n+i-=2(Sn-Sn_!)=2an,即#7=3,

.\｛an｝公比為3,

當(dāng)n=l時(shí)，a2=2Si+2=2cii+2=3%,解得西=2,

?4=?1<?3=2x3，=54，

故選：C.

【分析】由遞推公式即與S”關(guān)系得出數(shù)列也4｝公比為，再由遞推公式當(dāng)n=l時(shí)，的=另求出首項(xiàng)即得

。4的值?

7.【答案】C

【解析】【解答】根據(jù)散點(diǎn)圖的數(shù)據(jù)顯示，花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)，故A、B錯(cuò)誤，C正確；

由散點(diǎn)圖相關(guān)系數(shù)反應(yīng)總體數(shù)值的趨勢(shì)走向，部分?jǐn)?shù)值則在相關(guān)系數(shù)左右波動(dòng)，

故若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245,故D錯(cuò)誤，

故選：C.

【分析1由散點(diǎn)圖與相關(guān)系數(shù)的定義得出答案.

8.【答案】B

【解析】【解答】如圖，

p

設(shè)4BPC=e,PB=3a,PC=3b,

PM=gpC,PN=芻PB，

:.PN=2a,PM=b,

“MN=S^PMN=毋N.PM.sinH=2axb=2

VP-ABCSaBC^PB-PC-smQ3ax3b9'

故選：B

【分析】利用同高將三棱錐體積之比轉(zhuǎn)化成底面積之比，由已知兩三角形邊存在數(shù)量關(guān)系易聯(lián)想正弦定

理求三角形面積得出底面積之比.

9.【答案】D

【解析】【解答】如圖所示，設(shè)Fi(—c,0),尸2(的0).

若漸近線為y=可知P點(diǎn)在第四象限，與直線PFi的斜率為正數(shù)矛盾,

故此漸近線為y=2%,^ibx-ay=0,

222

?'?y=，,OP-Jof2~PF2?=Vc—b-a，

設(shè)P(at,2t)(t>0),貝U(at)2+(2t)2=a2.解得t2=jL=4,即t=g

a"+4c"c

v2a2a42「

旭/=藍(lán)匚=西芯=訴=4,解得a=企,

??.a2=2,屬=4，所以雙曲線的方程為%[=1，

故選：D.

【分析】結(jié)合圖象分析由PF?=2結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式得出b值，易分析此時(shí)P點(diǎn)位置可用系數(shù)a、

b、c表示，進(jìn)而結(jié)合KF%=?與基本關(guān)系。2=涼+反消元解關(guān)于a的方程得出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.

10.【答案】4+i/i+4

5+14i_(5+14i)(2-3i)52+13i

【解析】【解答】

2+3i=(2+3i)(2-3i)-13

故答案填：4+i/i+4

【分析】由復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得出答案.

11.【答案】60

6

【解析】【解答】由(2%3_1),則通項(xiàng)G+1=爲(wèi)?(2爐)6一.(_》r=(_1)r.爲(wèi).26T,x18-4r,

當(dāng)18-4r=2,即r=4,此時(shí)系數(shù)(一1尸?體■26-4=1x15X4=60.

故答案填：60.

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得出通項(xiàng)，整理代入即得小項(xiàng)的系數(shù).

12.【答案】6

【解析】【解答】由C：(久+2)2+必=3,易得圓心.，(一2,0),半徑，R=a,

結(jié)合焦點(diǎn)在x軸上的拋物線y2=2Px(p>0)可知圓與拋物線均關(guān)于x軸對(duì)稱，

故不妨設(shè)過原點(diǎn)的直線為令y=kx(k>0),即kx-y=0,如下圖所示，

Vy=kx(k>0)與圓相切，

???7釬=，3,解得k=百，

卜+1

設(shè)點(diǎn)P(3V3t)(t>0),由|OP|=8,

則］產(chǎn)+(bt)2=8,解得t=4,即p(4,4V3).

將P點(diǎn)代入y2=2px(p>0)得(dVS，=2x4p>解得P=6.

故答案填：6.

【分析】由圓與直線相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離為半徑列出方程求出直線解析式，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式

代入得出p的值.

13.【答案】-L；|

【解析】【解答】第一空：由分步乘法原理得三個(gè)球都是黑球的概率為：40%x25%x50%=去；

第二空：由三個(gè)盒子總數(shù)之比為5：4：6,可設(shè)三個(gè)盒子中球的數(shù)量分別為5x,4x,6x,則總球數(shù)為：

15x；

黑球總數(shù)為5xx40%+4%x25%+6%x50%=6%,

白球的數(shù)量為9x,故任取一球是白球的概率為：留=春

故答案填：暴.

【分析】由分步乘法原理計(jì)算都拿到黑球的概率，根據(jù)黑球所占比例可進(jìn)一步算出白球所占總球數(shù)的比

例得出答案.

14.【答案】爾+資

【解析】【解答】如圖所示,

c

第一空：：點(diǎn)。為力B的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)

1-

?'-AD=?B，

由平行四邊形法則易得族=：（屍1+ZD）=3辰+/屆=蓊+/

第二空：由：麗=金麗,

T1T

；.BF=訶，

?'-AF=AB+BF=AB+^BC=AB+^（BA+AQ=鈕+蓊

，出/=僚+副.単+蓊）=胴+|b|+^|?|bcosZJ4=g|a|+||b+/冋%

又,：厶A=60°,BC=1,

同+\bI—11t2-?2

根據(jù)余弦定理得：COSZ71=J.L,=即冋?b=冋+b-1

2Plrl

|->|2t2

a+b

又.??口r<\\'

I叩b2—

2-2

?.洞2+@-w?，解得冋，限2，

,,即（+綱+貪冋問=胴，綱+言（W+阿T）=W（冋2+阿）一言時(shí)

故當(dāng)且僅當(dāng)同=忖時(shí)，視通的最大為身

故答案填：JI

【分析】根據(jù)題意，將其中兩邊視為基底向量，由平行四邊形法則易表示AE-,同理利用基底向量可表

示力F，進(jìn)而表示荏?赤，表示后的結(jié)構(gòu)易聯(lián)想到使用基本不等式求其最大值，由基底夾角結(jié)合第三邊

BC=1可聯(lián)想使用余弦定理得出平方和與乘積的等量關(guān)系，消元且使用基本不等式可求得荏.赤的最大

值.

15.【答案】(一8,0)U(0,1)U(1,+00)

【解析】【解答】令/(%)=ax2-2x-\x2-ax+1|=0,

①當(dāng)％2-ax+1>0時(shí),

BPax2—2x—(%2—ax+1)=0,整理得［(。-1)%—l］(x+1)=0,

a)若％=—1是函數(shù)零點(diǎn)，貝1」(一1)2—ax(—1)+130,解得a3一2；

b)若Q=1,此時(shí)％2一%+1=(%一；)2o,即方程［(。-1)%-1］(%+1)=0只有一個(gè)解x=-l,

c)若a。1,方程整理得％1=白y,x2=-1

i)此時(shí)若x=工是函數(shù)零點(diǎn)，則(工)2—(1*(工)+120，解得aW2；

a-1va-lyka-l7

ii)若<=一1,即a=0,且/+1丄0成立，此時(shí)方程為重根，

a—1

同理②當(dāng)/-a%+1<0時(shí)，

BPax2-2%+(x2-ax+1)=0,整理得［(a+l)x-l］(x-1)=0,

a)若％=1是函數(shù)零點(diǎn)，則1?一a+lvo,解得a>2；

b)若Q=-l,此時(shí)％2+%+1=(%+；)2+*30,與％2一Q%+1v0矛盾，

c)若a工—1,方程整理得Xi=Wy,外=1

i)此時(shí)若％=士是函數(shù)零點(diǎn)，則(上)2-。、(士)+1V0,解得@<一2；

")若Wl=1，即a=0，則”?+120與/-ax+1<0矛盾，

綜上，

(1)當(dāng)a<-2時(shí)，此時(shí)％=士使得/一。％+1<0成立，是函數(shù)零點(diǎn)；y=工使得/一。％+120也是

函數(shù)零點(diǎn)，

即當(dāng)a<—2時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是^工；

a+1a—1

(2)當(dāng)一2Wa<0,0<a<1,1<aW2時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是-1,工：

a—1

(3)當(dāng)。=0時(shí)-，函數(shù)零點(diǎn)是工(一1),此時(shí)不滿足題意，舍去；

(4)當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是-1,此時(shí)不滿足題意，舍去；

(5)當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是1,-1；

當(dāng)函數(shù)/(%)=ax2-2%-|x2-ax+1|有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，；

故答案填：(-8,0)U(0,1)U(1,+00)

［分析］令/(%)=0將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程根問題，不妨先分類%2—ax+120與必一ax+1<0去絕對(duì)值

得到含參一元二次方程，對(duì)根的情況分析且檢驗(yàn)是否滿足分類前提得岀零點(diǎn)存在時(shí)參數(shù)a的取值，對(duì)以

上參數(shù)a分類整理即可得出答案.

16.【答案】(1)*.*a=A/39?b=2,乙4=120°,

根據(jù)正弦定理a_b

sinzJl-sinz.B

,,門bsin乙4

**sin5=----a----

(2)同理，根據(jù)余弦定理得

a2=h2+c2-2bccosZj4，代入已知條件得39=4+c2+2c,

Vc>0,解得c=5.

(3)由(1)得sinB=

又,：LA=120°,

?"8€(0,60°)

??coszF=V1—sin2zB=耳羿

?o114、尺

??cos2B=1—2sin2B=sin2B=2sin5cosB=

丄J丄3

，sin(B-C)=sin[B-(180°—A—B)]=—sin(4+2B)=-sinAcos2B-cosAsin2B=-^yx1|+1x

473_-7>/3

~13：=~~26~

??sin(B—C)=

【解析】【分析】(1)由已知結(jié)合正弦定理可直接求得對(duì)邊正弦值；

(2)由已知條件結(jié)合余弦定理可列出二元一次方程求得第三邊c的值；

(3)由(1)結(jié)合三角形內(nèi)角和與誘導(dǎo)公式可將(B-C)轉(zhuǎn)化成已知角(A+2B),在(1)的基礎(chǔ)上利用同角三角基本

關(guān)系與二倍角公式可求得2B的正余弦值，進(jìn)而由正弦和角公式代入求得答案.

17.【答案】(1)證明：連接MN,

在三棱臺(tái)ABC-Ci中，

41GIIAC,

N分別是BC,BA中點(diǎn)，且AB=AC=44i=2,ArCr=1

:.MN||AC,MN=\AC=1,

，MN||&G，MN=A?

???四邊形是平行四邊形

又,.FiNC平面RAM,C\Mu平面CiM4

.?.必可//平面。1用4

（2）解：連接ZG，過點(diǎn)的作的。丄厶C交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE丄AC1交AQ于點(diǎn)E,連接MD,

ME,

若力遇丄面ABC,且M。u面ABC,

：.AXA1MD,AXA1AC,

又."1。1AC,

二四邊形力為矩形，

：.AD=&G=1=^AC,

AB1AC,

：.MD||AB,

：.MD1AC,MD丄DE且ACClAAi=4,

.?.MD丄面力i/CCi，

：.MDLACr,且DE丄AC】，MD^DE=D

；.ACi丄面MDE,

：.MElACi，

平面CiMA與平面厶所成夾為4MED,

由AB=AC=AA1=2,A1C1=1,

?"1。=底AD=1,Ci。=2,

?SA4℃]_2病

5

^-AC1

在RtAMDE中，易得MD=2AB=1

.,__________ofc

??ME=y/MD24-DE2=-

.：cos乙MED=箱=|

...平面CiMA與平面ACC14所成夾角的余弦值為|.

，

由⑵得MD丄面Ai/CCiSAAMCI=”C「ME=9,

1

S"CiC=2,ZC?Ci。=2

,*?^C-AC1M=丿M-ACC1，設(shè)點(diǎn)C到平面C1MA的距離為d,

4

=-

即WxSMCIMxd=可xS△厶goxDM==1’解得d3

.?.點(diǎn)C到平面C1MA的距離為3

【解析】【分析】(1)根據(jù)中點(diǎn)及已知數(shù)值的倍數(shù)關(guān)系結(jié)合圖形，易想到利用中位線證明平行四邊形

AGMN,故而得到&N||0M,從而證明&N〃平面的MA；

(2)由已知中點(diǎn)與線面垂直結(jié)合三垂線定理找出二面角所在平面角，利用解三角形求出各邊長(zhǎng)即可得出平

面角的余弦值.

(3)將點(diǎn)C到平面的距離轉(zhuǎn)化成求三棱錐C-CiMA的高，利用等積即可求解.

18.【答案】(1)解：=3,|i42F|=17

：.2a=\AXF\+\A2F\=4,即a=2,

此時(shí)c=a-\A2F\=2-1=1,

h2=a2—c2=3>

橢圓的方程為4+*=1，離心率為e=

43ClZ

(2)解：由⑴得,A2(2,0)，4i(-2,0).F(l,0),

設(shè)直線&P的解析式為％=ky+2,此時(shí)Q點(diǎn)易得(0,-3

'%2y2

聯(lián)立4+"T-1,整理得(3/+4)y2+12/cy=0,SPy[(3fc2+4)y+12k]=0

,x=fcy4-2

12k

Ay=一

P37+4,

6k

SAA?FP=xAFx\y\=

2p3k2+4

12/c

SJiPQ=S.&Q-SA4M2Q=2XX"-y|=2

p+-2------

3k+4

?.?三角形&PQ的面積是三角形&FP面積的二倍

?A|號(hào)|=2卜介論整理得|6必|=16k2-8|,

O/vIT,O/vIT,

解得k=±爭(zhēng)

...直線42P的解析式為x=±萼y+2，

即3x+V6y-6=0或3x—V6y-6=0.

【解析】【分析】⑴由|公尸|=3,協(xié)尸1=1得長(zhǎng)軸2a=4,c=l,結(jié)合橢圓基本性質(zhì)易得其方程與離心

率；

(2)由42P直線過X軸&(2,0)一點(diǎn)，可設(shè)直線％=/cy+2,得出yp=一——,進(jìn)而表示出三角形41PQ

3k+4

與三角形&FP面積，利用等量關(guān)系可求得k值，即得直線42P的方程.

19?【答案】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛a4｝的首項(xiàng)為由,公差為d,

1?。2+。5=2。1+d=16,旳一。3=2d=4.

解得：d=2,旳=3

，｛&i｝通項(xiàng)公式為，=%+(幾一l)d=2n+1

由求和項(xiàng)數(shù)為(2n-1)-2nt+1=2nt,

n2n2

,q為a,=2TX(2X2"T+1)+2"地？?0X2=22n-l+22n-2=3x2-=3X4吁1

⑵(I)由⑴0n=2n+l,

<n<2fc-l.

:.江+1<2n+1<2fc+1-1,即2k+1<a?<2fc+1-1,

由?:bk<a?<bk+i>

??M<2卜+1Sa”S2*1-1<bk+i，

fcfe+1

：.bk<2+1,2-1<bk+1，即2"-1<瓦，(k>2)

k

故2"-l<bk<2+l(k>2)；

證畢！

(II)由(1)得，2"—1<既<2"+15丄2),貝1J,3cb2<5

設(shè)｛“｝的公比為q,

則薪!<鑼<美A即2-爲(wèi)<q<2+馬恒成立,

33

當(dāng)71T+8，則2啟if1T3

.?.此時(shí)為使q在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)恒成立，q=2,

n2

此時(shí)bn=b2-q-=b2-2n-2

同理，由2n—l<bn<2n+l(nN2)

...2n-1<勿-2"2<2"+1

?察*〈碧,即4一號(hào)<與<4+舟恒成立，

故匕2=4,

n-2n

.*.hn=b2-2=2,

?二瓦=2,

...S-滓戶=2+-2

【解析】【分析】(1)利用通項(xiàng)公式將已知等差數(shù)列各項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公差的方程組，進(jìn)而解方程組

得出通項(xiàng)公式；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合求和符號(hào)及其意義代入計(jì)算得出￡[〉乙《；

nnn+1

(2)根據(jù)題意易得2-l<hn<2+l(n>2),從而為分析q與首項(xiàng)，即得屮十1—1<bn+1<2+

1.從而結(jié)合不等式恒成立分析得出q的值；結(jié)合n的取值此處分析。2,同理，通過不等式恒成立分析即

可得出.

20.【答案】(1)解：由/(%)=C+^)ln(x+1)得f'(x)=~ln(x+1)+G+*)(x>-l且x/0).

二k=r(2)=_竽+4

故曲線y=/(%)在x=2處切線的斜率A竽

(2)解：要證/(久)>1,即證/(%)-1=C+3ln(K+1)-1>0,

Vx>0,

即證(%+2)ln(x+1)—2%>0,

令9(%)=(%+2)ln(x+1)—2%

i

?WO)=ln(x+1)+布-1

g〃(x)=7T^>01

(x+l)

在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(一1,0)上單調(diào)遞減，且g'(0)=0,

.?.g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)g(0)min=。，

，g(x)>9(0)，即g(%)>0，

證畢

(3)解：令九(九)=ln(7t!)—(幾+])ln(7i)+n(n>0且+WN*),

則有九(九+1)=ln[(n4-1)/]-(n4-^)ln(n+1)+九+1,

1ai1

??h(n+1)—h(n)=ln(zi+1)+(n+2)ln(zi)—(n+])ln(九+1)+1=—(n+^)ln(-+1)+1,

令"nf則9⑷=-G+2)皿*+1)+1，

由⑵得一(1+J)ln(t+1)+1<0,

.\h(n+1)—h(n)<0,

即在定義域范圍內(nèi)單調(diào)遞減,

此時(shí)九(n)ma%=h(1)=1,

???有h(n)<1,即證得ln(n!)—(九+^)ln(n)+n<1；

由(2)得，當(dāng)一1V%V0,(%+2)ln(x+1)—2%V0,則(％+l)lnx-2(%-1)<0,xG(0,1)

構(gòu)造W(%)=(^%2+x)lnx—+x，

則W'(X)=(%+l)lnx—2(%—1)V0,

.'."(%)在％C(0,1)上單調(diào)遞減，則有0(%)〉W(l)min=-"

即8%2+x)lnx—和2+%>―/,

5X2_X_1

整理得Inx>『一

^x2+x

.]九、6九+1

,,lnn+T>-27x(371+2),

_(n+J)ln(i+1)+1=(n+j)ln(^)+1>(n+1)[-2語(yǔ)意J+匕

-=

整理得+1)-h(n)>-4n(3n+2)>4n(3n-3)~Tz'^1(^4)=一條(巖Y)，

二h(n)-h(n-l)>-^-告),

帥_1)_h(n_2)>一張仁一與)，

111

--

h(3)-h(2)>-12

121

h(2)-h(l)>-20

累加得：h(n)-h(l)>-^(1--

即帥)>弗+^F/

綜上所述，1<ln(n!)—(n+$ln(M)+nWL

【解析】【分析】(1)對(duì)y=/(%)求導(dǎo)，此時(shí)函數(shù)/(久)在％=2切線斜率，即為在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；

(2)為證明/(x)>1,整理式子結(jié)構(gòu)即證g(x)=(久+2)ln(x+1)-2x>0,結(jié)合求導(dǎo)對(duì)g(x)單調(diào)性進(jìn)行

分析得出答案；

(3)構(gòu)造/i(n)=ln(n!)-(n+1)ln(n)+n，由階乘(n!)與對(duì)數(shù)運(yùn)算聯(lián)想構(gòu)造九O+1)作差去階乘符號(hào)得

出九(?1+1)—h(ri)=一(n+3in(丄+1)+1?將函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成g(t)=—ln(t+1)+1的

正負(fù)性問題，求導(dǎo)分析得證Mn)單調(diào)遞減，易得出此時(shí)上限h(n)<1；為證明其下限可結(jié)合(2)中結(jié)論對(duì)

對(duì)數(shù)部分進(jìn)行不等式放縮，逆構(gòu)造0(%)=8/+x)lnx-*/+x，得出m后〉-謠荘力，進(jìn)而由

h(n+1)-八(死)進(jìn)行再裂項(xiàng)結(jié)合累加求和得證九5)下限；

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：150分

客觀題（占比）45.0(30.0%)

分值分布

主觀題（占比）105.0(70.0%)

客觀題（占比）9(45.0%)

題量分布

主觀題（占比）11(55.0%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題：本大題共6

小題，每小題5分，

共30分.試題中包

6(30.0%)30.0(20.0%)

含兩個(gè)空的，答對(duì)1

個(gè)的給3分，全部答

對(duì)的給5分.

解答題：本大題共5

小題，共75分，解

答應(yīng)寫出文字說明，5(25.0%)75.0(50.0%)

證明過程或演算步

驟.

選擇題（在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

9(45.0%)45.0(30.0%)

有一項(xiàng)是符合題目要

求的）

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號(hào)難易度占比

1普通(75.0%)

2容易(5.0%)

3困難(20.0%)

4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析

序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)

1補(bǔ)集及其運(yùn)算5.0(3.3%)1

2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和20.0(13.3%)6,19

3變量相關(guān)關(guān)系