高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法（10年高考真題）：不等式及其解法

不等式

2.1不等式及其解法

考點(diǎn)一不等式的概念和性質(zhì)

1.（2022全國(guó)甲理，12,5分）已知a=||,人=cos1,c=4sin?貝（）

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

答案A解法一：當(dāng)（0,2）時(shí),sinx<rvtanx,又工€（0；）,所以taiJ>士由J=4tanL>4x2=1,可得c>b.

當(dāng)R時(shí)，|x|>|sinx|,即x2>sin2x,所以>sin2p所以］>2sin2^=l-cosx,即cosx>l-y,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)

等號(hào)成立,所以cos；>1-,=1一5=裂，即人>口綜上可知,c>b>a,故選A.

423232

解法二：當(dāng)工￡時(shí)，sinx<r<tanx.

①比較a與b.

b=cos：=cos（2x1）=1—2sin21,故b-a=-^-2sin21=2偌—sin20=2-Q）-sin21>0,b>a.

②比較B與c.

.1

當(dāng)工￡（。,5）時(shí)，由xvtanx可知:<tan^=—今,

C°S4

...cos-1<4.s.m1Q即|-|b,<c.

44

綜上可知,c泌>a.故選A.

2.（2019課標(biāo)I理,4,5分）

古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是年（早yo.618,稱(chēng)為

黃金分割比例人著名的"斷臂維納斯”便是如此.止矽卜,最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度

第1頁(yè)共4頁(yè)

之比也是三一.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其

身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

答案B本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，以及方程思想;考查的核心素

養(yǎng)為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算.

由人體特征可知，頭頂至咽喉的長(zhǎng)度應(yīng)小于頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度,故咽喉至肚臍的長(zhǎng)度應(yīng)小于42

U.O1O

,26+42

cm,可得到此人的身高應(yīng)小于26+421^178cm;

U.olo

同理,肚臍至足底的長(zhǎng)度應(yīng)大于腿長(zhǎng)105cm,故此人的身高應(yīng)大于105+105x0.618^170cm,結(jié)合選項(xiàng)可知,

只有B選項(xiàng)符合題意，故選B.

一題多解用線段代替人，如圖.

（單位：cm）

acV5—1、1_,...._、,I,（b>105,

已知市不丁618,c<26,b>105,c+d=a,以此人身局為hcm,則a+b=h,由?00.618^a>64.89,

c<26,

由od<42.07,

c?0.618d

所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,

a<68.07,

由=>b<110.15,

aa0.618b

整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,

即169.89<h<178.22（單位:cm）.故選B.

3.（2015浙江文,6,5分）有三個(gè)房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個(gè)房間只用一種顏色,且三個(gè)房間顏色各不

相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位加）分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位:元/W）分

別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費(fèi)用（單位:元）是（）

A.ax+by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

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答案B用粉刷費(fèi)用最低的涂料粉刷面積最大的房間，且用粉刷費(fèi)用最高的涂料粉刷面積最小的房間，這

樣所需總費(fèi)用最低,最低總費(fèi)用為(az+by+cx)元,故選B.

1

4.(2015北京文,10,5分)2132,log25三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是.

答案log25

11

解析1<32<2,log5>2,

O2

??.這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為log25.

考點(diǎn)二不等式的解法

1.(2014大綱全國(guó)文,3,5分)不等式組{；；；：)>。'的解集為()

A.{x|-2<x<-l}B.{x|-l<x<0}

C.{x10<x<l}D.{x|x>l}

答案C由x(x+2)>0得x>0或x<-2;

由|x|〈l得-

所以不等式組的解集為{x10<x<l},

故選C.

2.(2014浙江文,7,5分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(T)(-2)(-3)W3,貝！J()

A.cW3B.3<cW6

C.6<cW9D.c>9

答案C由0代(-1)寸(-2)寸(-3)?3,得

0<-l+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+cW3,

由T+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①，

由-l+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-bT3=0②，

由①②,解得a=6,b=ll,

6W3,即6<cW9,故選C.

22

3.(2013重慶,7,5分)關(guān)于x的不等式x-2ax-8a<0(a>0)的解集為(xbx2),且X2-XF15,則()

57八1515

AA.-B.二C.—D.—

2242

2222

答案A解法一:?「不等式x-2ax-8a<0的解集為(xbx2),/.Xi,X2是方程x-2ax-8a=0的兩根.

占+%?=2a,

Q2

(%i%2=—8。，

第3頁(yè)共4頁(yè)

2—22

.■.x2-xi=^/+x2)4X1X2=T/(2a)-4(—8a)=15,

X'-'a>0,/.a=-,故選A.

解法二:由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,,.,a>0,

「?不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(_2a,4a),

22

又?.?不等式x-2ax-8a<0的解集為(xbx2),

2a,X2=4a.

,

,/X2-XI=15,..4a-(-2a)=15,

5

螂

曰

守a

2故選A.

4.（2015江蘇,7,5分）不等式2工r〈4的解集為.

答案｛x|-Kx<2｝

22

解析不等式本-x<4可轉(zhuǎn)化為2'利用指數(shù)函數(shù)y=2'的性質(zhì)可得,X2-X<2,解得T〈X〈2,故所求解集為

{xHl<x<2}.

5.（2015廣東,11,5分）不等式-xJ3x+4>0的解集為.（用區(qū)間表示）

答案（-4,1）

解析不等式-xJ3x+4>0等價(jià)于X2+3X-4<0,解得-4<X<1.

6.（2014湖南文,13,5分）若關(guān)于x的不等式|ax-21<3的解集為IxI-<x<-I，則a=.

答案-3

解析依題意,知aWO.|ax-2|<3=-3〈ax-2〈3OT〈ax<5,當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集為（-工,9），

\aaJ

從而有，。13'$此方程組無(wú)解.當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為（|從而有｛。；'解得a=-3.

\