2023屆江蘇省決勝新高考高三年級(jí)上冊(cè)12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023屆江蘇省決勝新高考高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知z=1±i,其中i為虛數(shù)單位，則izi=（）

i

,萬

A.gB.2C.V2D.注

22

【答案】B

【分析】化簡(jiǎn)z,利用復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算.

【詳解】因?yàn)?=叵"（而，=1_/，

iii

所以國(guó)=Jr+卜6）=2，

故選：B.

2.已知向量出。滿足，則〃與人的夾角為（）

兀c兀-5兀r2兀

A.-B.-C.—D.—

6363

【答案】D

【分析】由|“|=|切=|。+6兩邊平方，得到再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義得到

cos<a,h>=~<根據(jù)向量夾角的范圍可求出夾角.

【詳解】因?yàn)閨。|=|加=|。+加,

所以|+2°0+。-=a>所以。為=-萬1”「‘

一一1°rr1

所以|cos<〃,b>=-小?！福詂os<〃,b>=-不

22

2兀

因?yàn)??<〃,方><兀，所以<。力>=彳

所以〃與b的夾角為號(hào)27r.

故選：D

3.給定空間中的直線/與平面a,則“直線/與平面a垂直”是“直線/垂直于a平面內(nèi)無數(shù)條直線”的

（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)直線與平面垂直的定義，結(jié)合充分條件和必要條件的判定，即可求解.

【詳解】由題意，若“直線/與平面a垂直”則“直線/垂直于a平面內(nèi)無數(shù)條直線''成立的，所以充分

性是成立的；

若“直線/垂直于a平面內(nèi)無數(shù)條直線”則直線“直線/不一定平面a垂直”，所以必要性不成立，

所以“直線/與平面a垂直”是“直線/垂直于a平面內(nèi)無數(shù)條直線”成立的充分不必要條件.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記直線與平面垂直的定義，結(jié)

合充分條件和必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基

礎(chǔ)題.

4.立德中學(xué)舉行“學(xué)習(xí)黨代會(huì)，奮進(jìn)新征程”交流會(huì)，共有6位老師、4位學(xué)生進(jìn)行發(fā)言.現(xiàn)用抽簽

的方式?jīng)Q定發(fā)言順序，事件4(14厶410?€2表示“第％位發(fā)言的是學(xué)生”，則()

33

A.P(A)=-B.P(A4)=不

4

c.P(“4)=gD.P(A+4)=M

【答案】c

【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.

A9?

【詳解】因?yàn)槭?4)=時(shí)訐=三，所以A錯(cuò)誤.

A1。J

A2A82

因?yàn)镻(A4)=卡=77,所以B錯(cuò)誤.

A1。15

A書

與＞=丄，所以C正確.

因?yàn)?)=

P(4)23

5

__A2A8,

因?yàn)镻(4+4)=1"G我)=1-總*可，所以D錯(cuò)誤.

Aio3

故選：C

5.已知sin(a-e)+cosa=5，則sin12a+營(yíng))=()

3\_3

A.B.C.D.

4~24

【答案】C

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)得sin[a+^)=；,進(jìn)而采用換元法，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及二倍角

公式即可求解.

［詳解］因?yàn)閟in（aq］+cosa=；,

..........（nA.it.itJ31.（nA1

所以sinIa——+cosa=sinacos——cosasin—+cosa=2!—sina+—cosa=sina+—\=—.

I6丿6622I6丿2

令"a+2，則《=?工sinf=丄，

662

所以sin（2a+葛）=sin（2,-/［+葛］=sin（2/+桜）=cos2t=1-2sin2f=g.

故選：C

6.疫情防控期間，某單位把120個(gè)口罩全部分給5個(gè)人，使每人所得口罩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且較大

的三份之和是較小的兩份之和的3倍，則最小一份的口罩個(gè)數(shù)為（）

A.6B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式及等差數(shù)列通項(xiàng)公式聯(lián)立方程組解出即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4,公差為d＞0,由條件可知,

%+。4+。5=3(q+?2)，

即3（4+切）=3（冽+“）,

4+2d=24

即

q-2d=0

解得q=12,d=6,

所以最小一份的口罩個(gè)數(shù)為12個(gè)，

故選：C.

7.i^a=log,2,b=log64,c=log3e(2e),貝ij()

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

【答案】B

【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，結(jié)合不等式性質(zhì)或構(gòu)造/(x)=￥泮討論單調(diào)性即可判斷.

lg3+x

r注腦】5口“Ig4」g2+lg2lg(2e)_lg2+l

Ig3lg6Ig3+lg2lg(3e)lg3+l

yj17-LK

解法一：因?yàn)橐?lt;----(Z;>0,/n>72>0),所以achcc.

mm+k

解法二：設(shè)法二二髻土土」個(gè)；愴3+1,則a=/(o),b=/(ig2),c=f⑴，

lg3+xlg3+x

又因?yàn)?（幻在（0,卄）上單調(diào)遞增，所以1＜人＜。.

故選：B

8.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)仇，乂)在橢圓C:1+V=i上，且直線04,03的斜

率之積為貝IX：-y；+巖-=()

A.1B.3C.2D.-

2

【答案】A

【分析】利用橢圓方程和。4,08的斜率之積為-g,建立A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入原式化簡(jiǎn)計(jì)算

即可.

【詳解】因?yàn)檑?不兇),3(孫必)在橢圓上，

所以與+樣=1，苧+￡=1，

因?yàn)椤禞OB=~X---T.

XiX,2

所以XW=-2y%，

所以x：=2,

所以x；-y：+x；_￡=弁_(l_〃+x；-l-yj=^-+^--2=l.

故選：A.

二、多選題

9.已知/(工)=2/-9/+奴+匕在工=1處取得極大值，若有三個(gè)零點(diǎn)，則()

A.a=2B.-5<b<-4

C./(x)的極小值為4+bD.f(b2)>f(-h)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)極大值點(diǎn)可求解。=12,可判斷A,進(jìn)而可得/(X)的單調(diào)性，可判斷C,根據(jù)三個(gè)零點(diǎn)得

-5<b<T可判斷C,由單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】因?yàn)?0)=6/-18%+。，所以/'(1)=6-18+。=0,所以々=12.故A錯(cuò),

322

因?yàn)閒(x)=2x-9X+12X+b,f\x)=6x-18x+12=6(x-l)(x-2),

當(dāng)l<x<2時(shí)，r(x)<0,當(dāng)x<l和x>2時(shí)，/!^X)>0,

所以/(x)在x=2處取得極小值，在x=1處取得極大值，

極小值為/(2)=4+b,極大值為/⑴=5+A,

若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，所以4+厶<0,5+。>0,所以一5<〃<-4,故BC正確,

因?yàn)椤?<b<T,所以4<-6<5,16</<25,又因?yàn)锳x)在(2,啓)上單調(diào)遞增，所以/(/)>/(-〃),

故D正確,

故選：BCD

10.己知函數(shù)/(x)=2sin(s+W)-13eN*)在區(qū)間［0,汨上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則()

A.69=2B.f(x)的圖象關(guān)于(一弓,0)對(duì)稱

C./(x)的圖象關(guān)于直線x=^對(duì)稱D./(x)在區(qū)間號(hào)］上單調(diào)遞減

1Z._U丄/一

【答案】ACD

【分析】根據(jù)零點(diǎn)可得?vo<|,結(jié)合。eN*,所以。=2,進(jìn)而得/。)=2而(2%+^卜1,結(jié)合三

角函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)選項(xiàng)即可逐一求解.

f7T11ITTTTT51r

【詳解】令/。)=0,則sin3+彳所以GX+巴=2E+乙或公r+二=2E+把(Z:wZ),即

I3丿23636

2lat+-

一^或廣

x=--------NkeZ)

CDCD

由于函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,7tl上有且僅有2個(gè)零點(diǎn),

兀C兀C兀C兀C兀

當(dāng)k=0時(shí)，2,當(dāng)女=1時(shí)，、_2兀-6，2兀+*所以2兀-6且2兀+2所

(OCD(0CDCO

以，由于oeN*,所以0=2,所以A正確.

o2

因?yàn)?x)=2sin12x+訐1,當(dāng)x==所以〃x)的圖象關(guān)于(-己,-1卜寸稱，故B錯(cuò)

誤，

當(dāng)x=S，/信)=1，為最大值，故/(x)關(guān)于直線x=卷對(duì)稱，故C正確，

jr5jrjr27r77rjrTTSir

當(dāng)時(shí)，2x+qw—，所以/(x)在工￡上單調(diào)遞減，所以D正確.

O12J3［_3oj\_Z2j［_o12_

故選：ACD

11.正多面體統(tǒng)稱為柏拉圖體.若連接某正方體A8CC-AEGR的相鄰面的中心，可以得到一個(gè)新

4

的體積為g的柏拉圖體C.則()

A.。是正六面體

B.正方體488-48?A的邊長(zhǎng)為2

C.。與正方體A8CO-AAGA的表面積之比是亜

6

D.平面4CGA與。相交所得截面的面積是應(yīng)

【答案】BCD

【分析】畫出圖形可判斷A；設(shè)正方體ABC。-A8c。的邊長(zhǎng)為“，求出Q的體積，/=:,求出“

可判斷B；求出正方體的表面積，C的表面積可判斷C；畫出截面EQFP,且是菱形，求出

面積可判斷以D.

【詳解】對(duì)于A,如圖，。是各棱長(zhǎng)均相等的正八面體，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,設(shè)正方體ABCD-ABCI。的邊長(zhǎng)為a,C是正八面體，且NGM"是底面是對(duì)角線長(zhǎng)為。的

正方形，上下兩個(gè)四棱錐的高都為?，則C的體積為gxgxaxaxWx2=!/=g,所以。=2,所

232263

以B正確；

對(duì)于C,正方體ABCO-4MGA的表面積是6x2x2=24,。的各個(gè)側(cè)面的棱長(zhǎng)都為正等邊三角形,

所以。的表面積是8x丄x正x忘x@=4石，所以如1=立，所以C正確；

22246

對(duì)于D,如圖平面4"必與Q相交所得截面EQb,P、Q分別是HM、NG的中點(diǎn)，

且EQ、QF.FP、PE相等，EQ//FP.QF//PE,四邊形EQEP是菱形，EF=2,PQ=&,其面積

為;x2x0=&,所以D正確.

故選：BCD.

12.已知曲線UV-V-9=1,則()

A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱B.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱

C.x<--D.x2-2xy+y2>^

553

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)，利用對(duì)稱性質(zhì)判斷即可，取特殊點(diǎn)驗(yàn)證即可B選項(xiàng)；

將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次方程，由方程有解即可判斷c選項(xiàng)；

換元法，令，=工-丫，則》=>+￡代入原方程中，利用方程有解判別式

解之即可得D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸。戸)在曲線C：W-y2-孫=1上,

所以點(diǎn)耳(f-y)滿足(-x)3-(-y)2-(-x)(-y)=x2-y2-xy=1,

所以A正確；

若P(2,D,因?yàn)辄c(diǎn)尸'(-2,1)不滿足C的方程,

所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)閤?-y2-孫=1,

所以y2+孫+1--=0,

所以彳2一4(1一/”0,

所以厶叵或工之厶叵，所以C正確;

55

設(shè)/=x-y,則》=、+七

所以(>+。2->2-(>+。>=],

所以y2—"+1—廣;0,

所以『―4(1一產(chǎn))20,

所以「哆

所以爐-2孫+丫221,

所以D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.(x+l)(x-g)展開式中/的系數(shù)是

【答案】-120

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征，即可求解.

【詳解】卜一1”展開式的通項(xiàng)為小1)'/yowrwiOreN.

7

令10-2r=3nr=—(舍去)，

2

令10—2r=4nr=3,所以7；=&。(-1)3r=-120/,

綜上，/的系數(shù)是-120,

故答案為：-120

14.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②的函數(shù)/(%)=.

①/⑶)=/?+f(y)；②fix)在定義域上單調(diào)遞增.

【答案】log2x(滿足log“x(a>l)均可)

【分析】由基本初等函數(shù)性質(zhì)篩選判斷即可

【詳解】log“(MN)=log(,M+log?N,且f(x)=log,,x(a>1)單調(diào)遞增.

故答案為：kg?》(滿足log“x(”>1)均可)

22

15.己知拋物線C22=4X的焦點(diǎn)尸與雙曲線C[:呑-==l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)重合，G與g的

公共點(diǎn)為M，N,且MN=4,則C?的離心率是.

【答案】V2+l##l+V2

【分析】根據(jù)拋物線和雙曲線的對(duì)稱性可得|y”|=2,XM=\,且M尸=2應(yīng)，利用雙曲線的定義可

得“的值，進(jìn)而求解.

【詳解】因?yàn)镚與G交于點(diǎn)例，N,所以M,N關(guān)于X軸對(duì)稱，所以|加|=2,所以X,M=1.

因?yàn)槭?1,0),所以根丄xG的另一焦點(diǎn)為尸，

所以MF，=+MF?=2血，所以2a=2竝-2,

所以e=m=-2----=&+1.

2a2V2-2

故答案為：0+1.

四、雙空題

16.已知半徑為20的球。的表面上有4B,C,￡>四點(diǎn)，且滿足AD丄平面43C,

64B=8C,AB丄8C,則四面體D-/WC的體積最大值為；若M為的中點(diǎn)，當(dāng)

D到平面MBC的距離最大時(shí)，AMBO的面積為.

【答案】卷V7

【分析】第一空，設(shè)AD=h,6AB=BC=%,則滿足4〃2+〃2=(24，即可列出體積函數(shù)丫(向，

由導(dǎo)數(shù)法求最值.

第二空在平面內(nèi)過點(diǎn)。向8M作垂線，垂足為H,則。到平面M8C的距離為。H,由

DH=,1

MBMsAHDM求得[4F,由均值不等式可得最大值，即可得的各邊長(zhǎng),

標(biāo)+/

從而求得面積.

【詳解】第一空，設(shè)AD=h,gB=BC=?,球心。即為8的中點(diǎn)，所以442+庁=32.

四面體O-ABC的體積V=，x丄/力=正（32/2-//3）,所以H=

-3/z2

32241'

時(shí)，丫'>0,丫單調(diào)遞增：當(dāng)〃e[后,+8時(shí),

令丿=0,得/?=（負(fù)值舍去），當(dāng)力€0,

丿<0,丫單調(diào)遞減，所以當(dāng)〃=樣時(shí)，匕於=等血.

第二空，在平面內(nèi)過點(diǎn)。向BM作垂線，垂足為H,則。到平面M8C的距離為D7.

.人.DHDM

ZBAM=ZDHM,NBMA=ZDMH,A-T訴,n即n

因?yàn)?+*住+杯學(xué)寸8+*+*）4（8+8）=；,當(dāng)且僅當(dāng)4/=配時(shí)等號(hào)成立,

所以〃=4,a=2.此時(shí)M8=O8=2JIOM=」AC=2,所以AWBO的面積為

2

gx2xj（20=幣.

故答案為：大近;幣.

五、解答題

17.在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知8為銳角，且》sinA=Ga.

⑴求&

（2）求sinA+sinC的最大值.

【答案】⑴B=

⑵百.

【分析】（1）由2兒也厶=小結(jié)合正弦定理得到《118=且，再根據(jù)8為銳角，求出8即可得解;

2

(2)將sinA+sinC化為Gsin(A+^Jv石可求出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)?6sinA=G"，所以2=H1_.

a2sinA

在,ABC中，由正弦定理三=名，得當(dāng)=2,所以期O=H1_.

sin4sin8sinAasinA2sinA

因?yàn)镺VAVTT,所以sinAwO,所以sin8=且.

2

又因?yàn)锽為銳角，所以8=1.

(2)因?yàn)?<A<兀,所以sin4+sinC=sinA+sin(兀-4—B)=sinA+sin(A+3)

3

=Gsin(A+^)4G,當(dāng)且僅當(dāng)4=C=1時(shí)等號(hào)成立，

所以sinA+sinC的最大值是石.

18.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一規(guī)格(直徑20.0mm)的機(jī)器零件，為了比較這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的機(jī)器零

件精度的差異，隨機(jī)選取了一個(gè)時(shí)間段，對(duì)該時(shí)間段內(nèi)兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的所有機(jī)器零件直徑的大小進(jìn)

行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：

規(guī)定誤差不超過0.2mm的零件為一級(jí)品，誤差大于0.2mm的零件為二級(jí)品.

n(ad-bc)2

附K?其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(七“。)

女0

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的機(jī)器

零件的精度存在差異:

一級(jí)品二級(jí)品總計(jì)

甲機(jī)床

乙機(jī)床

總計(jì)

(2)以該時(shí)間段內(nèi)兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品的一級(jí)品和二級(jí)品的頻率代替概率，從甲機(jī)床生產(chǎn)的零件中任

取2個(gè)，從乙機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取3個(gè)，比較甲、乙機(jī)床取到一級(jí)品個(gè)數(shù)的期望的大小.

【答案】(1)表格見解析，沒有;

(2)甲的期望大.

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可以得出兩機(jī)床一、二級(jí)品的數(shù)量，將得到的數(shù)據(jù)補(bǔ)充在2x2列聯(lián)表

中，根據(jù)公式即可解出K?的值；

（2）由題意可設(shè)這2個(gè)零件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)為X,3個(gè)零件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)為匕

則隨機(jī)變量X,丫服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布，即可解出期望值，得出結(jié)果.

【詳解】（1）由已知可得，甲機(jī)床的二級(jí)品有19.7,20.3,共2個(gè)，其余16個(gè)為一級(jí)品;

乙機(jī)床的二級(jí)品有19.5,19.6,19.7,20.3,20.4,共5個(gè)，其余7個(gè)為一級(jí)品.

所以，2x2列聯(lián)表如下：

一級(jí)品二級(jí)品總計(jì)

甲機(jī)床16218

乙機(jī)床7512

總計(jì)23730

根據(jù)列聯(lián)表得宀噺詰妥=爲(wèi)3.758,

因?yàn)?.758<3.841,

所以沒有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的機(jī)器零件的精度存在差異.

答：沒有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的機(jī)器零件的精度存在差異.

（2）由（1）可知，從甲機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取1個(gè)，取到一級(jí)品的概率為口=2=，,

1oV

7

從甲機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取1個(gè)，取到一級(jí)品的概率為P2=看.

從甲機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取2個(gè)，設(shè)這2個(gè)零件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)為X,

從乙機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取3個(gè)，設(shè)這3個(gè)零件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)為Y,

則隨機(jī)變量X,y服從二項(xiàng)分布，即*~8（25

?16647

所以E(X)=2x3=￡=斗，￡(K)=3x—=7_63

9936124-36

所以甲的期望的大.

答：甲的期望的大.

19.如圖所示，在四棱錐尸-A8CD中，底面是菱形，。是A。的中點(diǎn)，點(diǎn)E在PC上，且AP

平面8OE.

⑴求重的值;

⑵若QP丄平面ABCDQE丄PC,AB=2,ABAD=60°,求直線OE與平面PBC所成角的正弦值.

PE1

【答案】（1）務(wù)=;

⑵跡

13

【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得線線平行，根據(jù)平行成比例即可求解，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角.

【詳解】（1）連接AC與8。交于點(diǎn)兄

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，。是的中點(diǎn)，所以A0//8C,且40=38。，

所以AF=』FC.因?yàn)椤薄ㄆ矫?0E,APu平面APC,

2

平面APC平面BOE=EF,

所以AP//EF,

AFPE1.PE1

所rrr以l衣=質(zhì)=3'所rrr以正二§

（2）解法一：

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，。是AO的中點(diǎn)，/B4Q=60。，所以8。丄AO.

因?yàn)?。尸丄平面ABC。,4。u平面ABC。，BOu平面ABC。，所以O(shè)P丄A￡>,OP丄80,建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

則0(0,0,0),4(1,0,0),8(0,瓜0),C(-2,區(qū)0).

設(shè)尸(0,0,〃),h>0,則PC=(-2,6,-/?),

所以O(shè)E=OP+PE=OP+；PC=-23也、

了才3

因?yàn)镺E丄PC,所以O(shè)E?PC=±+1-竺■=(),解得力=巫

332

_|,率半)BC=(-2,0,0),PB=0,6,—半).

所以。E=

設(shè)〃=（x,y,z）為平面PBC的法向量,

x=0

則〃?BC=0,〃-P8=0,得〈廠V14

v3y---------z=0

取z=26,所以〃=（0,714,2^）為平面PBC的一個(gè)法向量.

3g

因?yàn)閃s〈〃,OE〉卜

13

所以直線0E與平面所成角的正弦值是蟲.

13

解法二：因?yàn)榈酌鍭BCZ)是菱形，。是AO的中點(diǎn)，AB=2>

ZBAD=60°,所以NCDO=120。,CD=2,O￡>=1.

在"QO中，由余弦定理OC?=CD2+OD2-2xCDxODxcos120°,

得OC=幣.

因?yàn)镼P丄平面A8CD,OCu平面ABCD,所以。P丄OC.

設(shè)PE=a,CE=2a,在直角中，由射影定理0庁=PExCE,

得。后=伝?

在直角-CEO中，由勾股定理0(^=0爐+篋2,得力=：,

O

所以。后2=2/=1，所以O(shè)E=@,OP=Jc尸一6<2=巫.

332

在直角尸中，作斜邊3尸上的高OH,

因?yàn)?xOHxBP=gxOBxOP,所以舊.

因?yàn)椤Ｊ瑏A平面ABCRBCu平面438,所以O(shè)尸丄3c.

又因?yàn)?8丄8C,。8u平面OBPQPu平面OBPQBOP=P,

所以BC丄平面08P,因?yàn)镺Hu平面08尸，所以8c丄

又因?yàn)??！▉A3P,8Cu平面PBC,3尸u平面PBC,BCBP=B,

所以丄平面P8C.

因?yàn)楹?^=

OH35/13

13

3

所以直線OE與平面所成角的正弦值是追.

13

20.已知7.為正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的乘積，且q=3,7；：=。丁.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵若""=(/：'藍(lán)+i產(chǎn)求證：々-

【答案】（1）%=3"；

⑵證明見解析

【分析】（1）由匕產(chǎn)?：：：，￥=。丁,兩式相除結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算得則平=幽，代入數(shù)值可得數(shù)列

［呼｝是常數(shù)列，即可得通項(xiàng)公式；

（2）不等式由裂項(xiàng)相消法求和放縮即可證.

【詳解】（1）T.J=a：；T；=a：“，

7*2n+2

所以卷=屋I=盛r，所以県=。丁，

所以1g（暗i）=lg（。："），即"lg%=（〃+l）lga“，

所以姐旦=里區(qū),

/?+1n

當(dāng)〃=2時(shí)，豈2=（“0）2=%3,解得出=9,

所以華=華=愴3,所以數(shù)列｛腎｝是常數(shù)列，

所以地=單=愴3,所以Iga“=〃lg3=lg3",

n1

所以%=3".

（2）訐明臼為…（""+3）*3+3）*L4"

證月.因?yàn)椤埃╝向+1）0+］）4（3向+1）（3"+1）43"”+13"+1，

232,,+,

SPrl,,._444444“

1-"32+13+133+132+13n+l+13”+1

21.已知函數(shù)/（x）=lnx+@（aeR）.

x

⑴若f（x）的最小值為1,求實(shí)數(shù)4的值；

（2）若關(guān)于x的方程/。）=以有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

【答案】（1）1;

（2）0<"g.

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求解最值，進(jìn)而可求解“，

（2）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn).

【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋╫,+的，又/（幻=丄—m=三，

所以若。40,/'（的>0,/。）單調(diào)遞增，無最小值，不成立.

若a>0,當(dāng)xw(O,a)時(shí),f'(x)<O,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(a,+oo)時(shí)，f(x)>O,/(x)單調(diào)遞增，

所以/(x),*=/(a)=lna+l=l,a=l.

(2)設(shè)g(x)=lnx-or+@,則短(x)=丄一4一二二一":.一..

XXXX

當(dāng)aWO時(shí)，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)至多一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)心;時(shí)，因?yàn)?_4“2?0,所以-加+x-a40,所以g(x)4O,g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)至多一

個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)0<。<:時(shí)，令g'(x)=O,得,=1過-4),芻=1+Jl-4f,

當(dāng)內(nèi)vxv9時(shí)，g'(x)〉O，g(x)單調(diào)遞增，

又9(1)>0,所以0〈與<1<±,且g⑴=0,又因?yàn)間。)是連續(xù)的函數(shù)，

所以屋王)〈。，屋々)>。且以工)在(為，工2)上只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)%時(shí)，，*)<0,以幻單調(diào)遞減，

因?yàn)間f4]=]n丄-丄+Q3=_2]HQ'+Q3,

\aJaa

設(shè)h(a)=一2In〃一丄+a。(0<a<g),

rn.i.21_23〃4—2.(1+1

則hZ(/a)x=----1—y+3〃=---------z------>0,

aaa

所以6(a)單調(diào)遞增，所以訳a)<Ug)=ln4-2+：<0,得g(5)<0.

因?yàn)樽蠖?二紀(jì)<丄<二,又因?yàn)間(x)是連續(xù)的函數(shù)，

所以g(X)在卜2，,)上只有一個(gè)零點(diǎn)，

可得g(x)在(W，+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)吃.

因?yàn)間(%)+g]丄=lnx()-ar()+—+ln—-a—+ar()=0,所以g—=0,