第4講三角函數(shù)與解三角形解答題原卷版

第3講三角函數(shù)與解三角形解答題目錄第一部分：知識強化第二部分：重難點題型突破突破一：三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間突破二：三角函數(shù)最值（值域）問題突破三：與三角函數(shù)有關的零點問題角度1：零點個數(shù)問題角度2：零點代數(shù)和問題突破四：三角函數(shù)中的恒（能）成立問題突破五：三角形中線問題突破六：三角形角平分線問題突破七：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問題突破八：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）突破九：三角形中邊長的代數(shù)關系突破十：四邊形（多邊形）問題突破十一：三角函數(shù)與解三角形實際應用

第三部分：沖刺重難點特訓第一部分：知識強化1、中線：在中，設是的中點角,,所對的邊分別為，，1.1向量形式：（記憶核心技巧，結論不用記憶）核心技巧：結論：1.2角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、角平分線如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，2.1內(nèi)角平分線定理：核心技巧：或2.2等面積法核心技巧2.3角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;3、三角形面積的計算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).4、三角形面積最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.5、三角形面積取值范圍：核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.6、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在結合余弦定理求周長取值范圍；7、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周長（邊長）公式，再結合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.第二部分：重難點題型突破突破一：三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間1．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測）已知函數(shù)，其中向量，．(1)求的解析式及對稱中心和單調(diào)減區(qū)間；2．（2022·寧夏·平羅中學高三期中（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中的圖像與軸的一個交點的橫坐標為.(1)求這個函數(shù)的解析式，并寫出它的遞增區(qū)間；3．（2022·陜西·渭南市瑞泉中學高三階段練習（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；4．（2022·河南·汝陽縣一高高三階段練習（理））已知函數(shù)．(1)求的最小值，并寫出此時x的取值集合；(2)若，求的單調(diào)遞減區(qū)間．5．（2022·浙江·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期以及在上的單調(diào)遞增區(qū)間；6．（2022·山東濟寧·高一期中）已知函數(shù)(1)求的定義域和最小正周期；(2)求的單調(diào)區(qū)間．突破二：三角函數(shù)最值（值域）問題1．（2022·全國·武功縣普集高級中學模擬預測（理））已知，．(1)若，且，時，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；(2)若，函數(shù)，求的最小值．2．（2022·湖南·模擬預測）函數(shù)的初相為，且對任意的實數(shù)x都成立．(1)求的最小值；(2)在（1）的條件下，函數(shù)左平移個單位后，縱坐標不變，橫坐標伸長為原米的4倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間以及最小值．3．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）設內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，函數(shù)．(1)若，求的面積；(2)當時，取最大值，求在上的值域.4．（2022·浙江·杭州高級中學模擬預測）設.(1)若，求使函數(shù)為偶函數(shù)；(2)在（1）成立的條件下，當，求的取值范圍.5．（2022·上海·華師大二附中模擬預測）已知函數(shù).(1)解不等式；(2)若，且的最小值是，求實數(shù)的值.突破三：與三角函數(shù)有關的零點問題角度1：零點個數(shù)問題1．（2022·廣東·肇慶市外國語學校模擬預測）已知向量，函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域;(2)函數(shù)在上有10個零點，求的取值范圍．2．（2022·北京海淀·一模）設函數(shù).已知存在使得同時滿足下列三個條件中的兩個：條件①：；條件②：的最大值為；條件③：是圖象的一條對稱軸.(1)請寫出滿足的兩個條件，并說明理由；(2)若在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.3．（2022·陜西·寶雞中學高三階段練習（理））已知向量，函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．4．（2022·江西·崇仁縣第二中學高三階段練習（文））已知是函數(shù)的兩個相鄰的對稱中心的點的橫坐標.(1)若對任意，都有，求的取值范圍；(2)若關于的方程在區(qū)間上有兩個不同的根，求的取值范圍.5．（2022·北京市第十一中學實驗學校高三階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間[，m]上有且僅有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍.角度2：零點代數(shù)和問題1．（2022·遼寧·大連二十四中高三階段練習）已知函數(shù)，其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，_________，從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中．①函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱且；②函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，函數(shù)存在兩個不同零點，求的值．2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若方程在上有三個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍及的值．3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)所在勻上有兩個不同的零點，，求實數(shù)的取值范圍，并計算的值．4．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數(shù)f(x)＝sinsinx－cos2x＋（1）求f(x)的最大值及取得最大值時x的值；（2）若方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2，求cos(x1－x2)的值．5．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，當時，求函數(shù)的值域.（3）對于第（2）問中的函數(shù)，記方程在，上的根從小到依次為，試確定n的值，并求的值.突破四：三角函數(shù)中的恒（能）成立問題1．（2022·北京市昌平區(qū)第二中學高三期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2022·北京·北師大實驗中學高三期中）已知函數(shù).(1)求的值并求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求證：當時，恒有.3．（2022·北京·清華附中高三階段練習）已知函數(shù)，且．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若對于任意的，總有，直接寫出m的最大值．4．（2022·山西·平遙縣第二中學校高三階段練習）已知點，是函數(shù)圖象上的任意兩點，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=對稱，且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，當時，的最小值為．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當x∈時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．5．（2022·河南省駐馬店高級中學模擬預測（理））已知函數(shù)，對任意都有．(1)求的解析式；(2)對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．突破五：三角形中線問題1．（2022·廣東·深圳中學高二期中）如圖，在中，已知，，，BC邊上的中線為AM．(1)求的值；(2)求．2．（湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校20222023學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題）在中，角所對的邊分別為，且，的中線長為．(1)證明：；(2)求的面積最大值．3．（2022·廣東·韶關市張九齡紀念中學高二期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求角B；(2)若的面積為，求BC邊上中線的長．4．（2022·安徽·合肥一六八中學高三階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且向量與向量共線．(1)求角；(2)請從條件①、條件②條件③這三個條件選擇一個作為已知，使得存在且唯一確定，并求AC邊上中線的長．條件①：，；條件②：，；條件③，．5．（2022·山西太原·高三期中）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)記分別為內(nèi)角的對邊，且，的中線，求面積的最大值．6．（2022·新疆·兵團第一師高級中學高三階段練習（理））已知中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且(1)求；(2)若邊上的中線長為，，求的面積．7．（2022·福建泉州·高一期末）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答．三個內(nèi)角的對應邊分別為，且滿足．(1)求角B的大??；(2)若D為邊AC的中點，且，求中線BD長．注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個解答計分．突破六：三角形角平分線問題1．（2022·全國·高三專題練習）1.已知，，分別是的內(nèi)角，，所對的邊，，再從下面條件①與②中任選個作為已知條件，完成以下問題．(1)證明：為銳角三角形；(2)若，為的內(nèi)角平分線，且與邊交于，求的長．①；②．2．（2021·遼寧朝陽·高三開學考試）已知三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，角的角平分線交于點，，求的長.3．（2019·安徽·二模（理））在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，；.（1）求角的大?。唬?）在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，若，，，求三角形的內(nèi)角平分線的長.4．（2022·江蘇連云港·模擬預測）在△中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且，．(1)證明：；(2)從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知，求△的面積．條件①：△的中線；條件②：△的角平分線．5．（2022·全國·高三專題練習）在中，，．(1)求的大??；(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出的長．①；②截得角的角平分線的線段長為1；③面積為．突破七：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問題1．（2022·云南師大附中高三階段練習）的內(nèi)角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，點O為的內(nèi)心，記，，的面積為，，，已知，．(1)求角B；(2)在①；②；③這三個條件中任選一個，判斷三角形是否存在？若存在，求出三角形面積，若不存在，請說明理由．2．（2022·海南·高三階段練習）已知的內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求A；(2)若，且，求的面積.3．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若的外接圓半徑為，求面積的最大值.4．（2022·河南·汝陽縣一高高三階段練習（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．(1)求角C的大小；(2)若△ABC為銳角三角形，且，求△ABC面積的取值范圍．5．（2022·浙江杭州·高三期中）銳角中，已知．(1)求角B；(2)若，求的面積S的取值范圍．突破八：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）1．（2022·全國·高三專題練習）在中，已知．(1)若，求．(2)若，求．2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）在中，角的對邊分別為已知.(1)求角的大??；(2)邊上有一點，滿足，且，求周長的最小值.3．（2022·山東煙臺·高三期中）在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充到下面的橫線上，并給出解答．問題：已知中，角、、的對邊分別為、、，是邊的中點，，且______．(1)求的值；(2)若的平分線交于點，求的周長．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．4．（2022·廣東江門·高三階段練習）在中，內(nèi)角的對邊長分別為，設為的面積，滿足.(1)求角的大??；(2)若為銳角三角形，其外接圓半徑為，求周長的取值范圍.5．（2022·浙江浙江·高三期中）在中，內(nèi)角所對的邊分別為,已知．(1)求的值；(2)若的面積為，求周長的最小值．6．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習）在①；②；③；在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．在銳角中，內(nèi)角、、，的對邊分別是、、，且______(1)求角的大?。?2)若，求周長的范圍．突破九：三角形中邊長的代數(shù)關系1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高三階段練習）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，的面積．(1)若，求的值；(2)求的最大值．2．（2022·江蘇·南京市第十三中學高三階段練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求B；(2)記的面積為，且的外接圓面積為，求的取值范圍.3．（2022·重慶·西南大學附中高三階段練習）記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求；(2)記的面積為，求的最大值．4．（2022·江蘇·南京師大蘇州實驗學校高三階段練習）在中，角A，B，C成等差數(shù)列，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．(1)若，判斷的形狀；(2)若不是鈍角三角形，求的取值范圍．5．（2022·遼寧·鞍山一中二模）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知(1)求角A；(2)若為銳角三角形，且的面積為S，求的取值范圍．6．（2022·河南·高三階段練習（理））在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，且(1)求；(2)若的外接圓的半徑為1，求的取值范圍.突破十：四邊形（多邊形）問題1．（2022·全國·高三專題練習）如圖，AD＝BC＝6，AB＝20，O為AB中點，曲線CMD上任一點到O距離相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q關于OM對稱，MO⊥AB；(1)若點P與點C重合，求∠POB的大?。?2)P在何位置，求五邊形面積S的最大值．2．（2022·江西贛州·高三期中（理））“我將來要當一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說，除了我．”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田．假設霍爾頓在一塊平面四邊形的麥田里成為守望者．如圖所示，為了分割麥田，他將B，D連接，經(jīng)測量知，．(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，都為一個定值，請你證明霍爾頓的結論，并求出這個定值；(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長和發(fā)育與分割土地面積的平方和呈正相關關系，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值．3．（2022·山西忻州·高三階段練習）在平面四邊形中，，，．(1)若，求的長；(2)求四邊形周長的最大值．4．（2022·廣東·深圳中學高三階段練習）如圖，在平面四邊形中，，，．(1)若，求．(2)若，求．5．（2022·遼寧·朝陽市第一高級中學高三階段練習）如圖，在平面凹四邊形中，，，.(1)若且，求凹四邊形的面積；(2)若，求凹四邊形的面積的最小值.6．（2022·湖南省臨澧縣第一中學高三階段練習）已知在四邊形中，，，且.(1)證明：；(2)若，求四邊形的面積.突破十一：三角函數(shù)與解三角形實際應用

1．（2022·山東省實驗中學模擬預測）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15°(∠BAC＝15°)方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，測得山頂P位于北偏東60°方向上，此時測得山頂P的仰角60°，若山高為2千米．(1)船的航行速度是每小時多少千米？(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達D處，問此時山頂位于D處的南偏東什么方向？2．（2022·上海市青浦高級中學模擬預測）釣魚島及其附屬島嶼是中國固有領土，如圖：點A、B、C分別表示釣魚島、南小島、黃尾嶼，點C在點A的北偏東47°方向，點B在點C的南偏西36°方向，點B在點A的南偏東79°方向，且A、B兩點的距離約為3海里.（1）求A、C兩點間的距離；（精確到0.01）（2）某一時刻，我國一漁船在A點處因故障拋錨發(fā)出求救信號.一艘R國艦艇正從點C正東10海里的點P處以18海里/小時的速度接近漁船，其航線為PCA（直線行進），而我東海某漁政船正位于點A南偏西60°方向20海里的點Q處，收到信號后趕往救助，其航線為先向正北航行8海里至點M處，再折向點A直線航行，航速為22海里/小時.漁政船能否先于R國艦艇趕到進行救助？說明理由．3．（2022·上海市實驗學校模擬預測）如圖所示，是某海灣旅游區(qū)的一角，其中，為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會決定在直線海岸和上分別修建觀光長廊和AC，其中是寬長廊，造價是元/米，是窄長廊，造價是元/米，兩段長廊的總造價為120萬元，同時在線段上靠近點的三等分點處建一個觀光平臺，并建水上直線通道（平臺大小忽略不計），水上通道的造價是元/米．(1)若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂項目，要求的面積最大，那么和的長度分別為多少米？(2)在(1)的條件下，建直線通道還需要多少錢？4．（2022·湖北孝感·高三階段練習）如圖，某地出土一塊三角形石器，其一角已破損．為了復原該三角形石器，現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：，，，．（參考數(shù)據(jù)：取）(1)求三角形石器另外兩邊的長；(2)求D，E兩點之問的距離．5．（2022·四川省綿陽南山中學高三階段練習（理））如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準備在河岸一側建造一個觀景臺，已知射線，為兩邊夾角為的公路（長度均超過3千米），在兩條公路，上分別設立游客上下點，，從觀景臺到，建造兩條觀光線路，，測得千米，千米.(1)求線段的長度；(2)若，求兩條觀光線路與所圍成的面積的最大值.6．（2022·安徽·肥東縣綜合高中高三階段練習）現(xiàn)代傳媒大廈是我市最高的標志性建筑.某學習小組要完成兩個實習作業(yè)：驗證百度地圖測距的正確性及測算傳媒大廈的高度.如圖（1）.龍城大道沿線的水平路面上有兩點A.B其中指向正西方向，首先利用百度地圖測距功能測出AB長度為2km，接著在飛龍路沿線選定水平路面上可直接測距的C.D兩點，測得，學習小組根據(jù)上述條件計算出CD長度，并將其與CD的實際長度2.84km進行比較，若誤差介于20米~20米之間，則認為百度地圖測距是正確的.(1)通過計算說明百度地圖測距是否正確？（）(2)如圖（2），小組在A處測得現(xiàn)代傳媒大廈樓頂M在西偏北方向上，且仰角，在B處測得樓頂M在西偏北方向上，通過計算得，，若百度地圖測出的AB=2km是準確的，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)測算出傳媒大廈的高度（精確到1米）第三部分：沖刺重難點特訓1．（2022·浙江紹興·一模）已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)若在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，求的周長的取值范圍.2．（2022·四川省綿陽南山中學模擬預測（理））已知相鄰兩條對稱軸之間的距離為．(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知，，求的值．3．（2022·黑龍江·哈九中模擬預測（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若銳角中角A、，所對的邊分別為、、，且，求的取值范圍．4．（2022·全國·模擬預測）銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.5．（2022·遼寧·東北育才雙語學校一模）已知函數(shù)（，）.再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)解析式的兩個合理條件作為已知，條件①：的最大值為1；條件②：的一條對稱軸是直線；條件③：的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.求：(1)求函數(shù)的解析式；并求的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱中心坐標；(