全國2011年中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編-專題30等腰三角形

全國2011年中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(181套）專題30：等腰三角形一、選擇題1.（浙江舟山、嘉興3分）如圖，邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，則四邊形BCED的面積為（A） （B） （C） （D）【答案】B?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理或正弦函數(shù)。【分析】根據(jù)邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，得出DE=2，BD=2，∠B=600。從而DF=（可用勾股定理或正弦函數(shù)求得）。再利用梯形的面積公式求出：。故選B。2.（浙江衢州3分）衢州市新農(nóng)村建設(shè)推動(dòng)了農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡AF、AG分別架在墻體的點(diǎn)B、點(diǎn)C處，且AB=AC，側(cè)面四邊形BDEC為矩形．若測得∠FAG=110°，則∠FBD= A、35° B、40°C、55° D、70°【答案】C?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平角的定義?！痉治觥扛鶕?jù)已知∠FAG=110°，在等腰△ABC中根據(jù)等邊對(duì)等角求出角∠ABC=∠ACB=35°，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可知矩形的每個(gè)內(nèi)角都為90°，這樣得出∠DBC=90°，最后觀察圖形可知∠ABC、∠DBC和∠FBD構(gòu)成一個(gè)平角，再根據(jù)平角的定義即可求出∠FBD=180°﹣∠ABC﹣∠DBC=180°﹣35°﹣90°=55°。故選C。3.（遼寧沈陽4分）如圖，矩形ABCD中，AB＜BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則圖中的等腰三角形有A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【答案】B。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OB=OC=OD，從而得出圖中等腰三角形中的個(gè)數(shù)：∵矩形ABCD中，AB＜BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OA=OB=OC=OD，∴圖中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC四個(gè)。故選B。4.（廣西來賓3分）如圖，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC=2，O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓弧分別與AB、AC相切于點(diǎn)D、E，則圖中陰影部分的面積 A、 B、QUOTEπ4 C、 D、【答案】A?！究键c(diǎn)】等腰直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算?！痉治觥窟B接OD，OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥AB，OE⊥AC，則四邊形OEAD為正方形，而AB=AC=2，O為BC的中點(diǎn)，則OD=OE=1，再根據(jù)正方形的面積公式和扇形的面積公式，利用S陰影部分=S正方形OEAD﹣S扇形OED，進(jìn)行計(jì)算即可：S陰影部分=S正方形OEAD﹣S扇形OED=。故選A。5.（廣西河池3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36o，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．BD平分∠ABCB．△BCD的周長等于AB＋BCC．AD＝BD＝BCD．點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)【答案】D?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理?！痉治觥扛鶕?jù)等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可作出判斷：A．∵AB＝AC，∠A＝36o，∴根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，得∠ABC＝72o，又∵DE是AB的垂直平分線，∴根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得∠ABD＝∠A＝36o，∴∠DBC＝36o，∴∠ABD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC。結(jié)論正確。B．∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴△BCD的周長AD＋DC＋BC＝AB＋BC。結(jié)論正確。C．∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，又∵∠BDC＝∠ABD＋∠A＝72o＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC。結(jié)論正確。D．∵在△BCD中，∠C＝72o，∠CBD＝36o，∴∠C＞∠CBD，∴BD＞CD，∴AD＞CD，∴點(diǎn)D不是線段AC的中點(diǎn)。結(jié)論錯(cuò)誤。故選D。6.（山東濟(jì)寧3分）如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是5cm和6cm，那么此三角形的周長是A.15cmB.16cmC.17cmD.16cm或17cm【答案】D?！究键c(diǎn)】等腰三角形的定義。【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，5cm為底，周長是17cm；6cm為底，周長是16cm。故選D。7.（山東泰安3分）如圖，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C在直線m上，若∠β=20°，則∠α的度數(shù)為 A、25° B、30°C、20° D、35°【答案】A?！究键c(diǎn)】鄰補(bǔ)角的定義，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)平角的定義求出∠ACR＝180°－∠ABC－∠β＝70°；根據(jù)平行線內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)得出∠FDC＝∠ACR=70°；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠A＝45°；根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和的性質(zhì)求出∠AFD＝∠FDC－∠A＝70°－45°＝25°；根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)得到∠α＝∠AFD＝25°。故選A。8.（江西省B卷3分）如圖,將矩形ABCD對(duì)折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使點(diǎn)C恰好落在折痕PQ上的點(diǎn)C′處，點(diǎn)D落在D′處，其中M是BC的中點(diǎn).連接AC′，BC′，則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是A.1B.2C.3D.4【答案】C?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），平行的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)翻折，平行及軸對(duì)稱的知識(shí)找到所有等腰三角形的個(gè)數(shù)即可：∵C′在折痕PQ上，∴AC′=BC′，∴△AC′B是等腰三角形；∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM=MC，∴△BMC是等腰三角形；由翻折可得∠CMF=∠C′MF，∵PQ∥BC，∴∠PFM=∠CMF，∴∠C′MF=∠PFM，∴C′M=C′F，∴△C′MF是等腰三角形。共有3個(gè)等腰三角形，故選C。9.（山西省2分）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上，四邊形DEFG是正方形．若DE=2cm，則AC的長為A．cm B．4cmC．cmD．cm【答案】D?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥扛鶕?jù)三角形的中位線定理可得出BC=4，由AB=AC，可證明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE=，即可得出AC=2。故選D。10.（內(nèi)蒙古呼和浩特3分）如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm，那么它的周長是A、9cm B、12cmC、15cm或12cm D、15cm【答案】D?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系?！痉治觥壳蟮妊切蔚闹荛L，即要確定等腰三角形的腰與底的長，根據(jù)三角形三邊關(guān)系知當(dāng)6為腰，3為底時(shí)，6﹣3＜6＜6+3，能構(gòu)成等腰三角形，周長為6+6+3=15；當(dāng)3為腰，6為底時(shí)，3+3=6，不能構(gòu)成三角形。故選D。11.（四川巴中3分）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則這個(gè)等腰三角形的頂角是A．30°B．60°C．150°D．30°或150°【答案】D?！究键c(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理和外角定理，平角的定義。【分析】如圖，當(dāng)點(diǎn)D在AB上，由CD與AC的夾角為60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠A=30°；如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BA延長線上，由CD與AC的夾角為60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠CAD=30°，由平角的定義，得∠BAC=150°。故選D。12.（四川內(nèi)江3分）如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，則△ABC的面積為A、B、15C、D、【答案】C?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊摺鰽BC是等邊三角形，∠ADE=60°，∴∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC。∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠ADE+∠DAC，∴∠ADB=∠DEC。∴△ABD∽△DCE。∴。∵BD=4，CE=，設(shè)AB=x，則DC=x－4，∴，解得x=6?！郃B=6。過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，在Rt△ABF中，AF=AB?sin60°=6×=3，∴S△ABC=BC?AF=×6×3=9。故選C。13.（四川涼山4分）如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則DE等于A．B．C．D．【答案】C?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥靠捎妹娣e相等求出DE的長，知道三邊的長，可求出BC邊上的高，連接AD，△ABC的面積是△ABD面積的2倍：連接AD，∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=CD=×10=5。∴?！摺鰽BC的面積是△ABD面積的2倍，∴2?AB?DE=?BC?AD。∴。故選C。14.（青海西寧3分）如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADB＋∠EDC＝120°，BD＝3，CE＝2，則△ABC的邊長為A．9 B．12 C．16 D．18【答案】A?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊摺鰽BC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°（等邊三角形每個(gè)內(nèi)角等于60°）。∵∠ADB＋∠EDC＝120°，∴∠ADB＝120°－∠EDC。∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB（三角形內(nèi)角和定理）＝180°－60°－（120°－∠EDC）（等量代換）＝∠EDC∴△ABD∽△DCE（相似三角形的判定）?！啵ㄏ嗨迫切蔚男再|(zhì)）。設(shè)△ABC的邊長為x，則BD＝3，CE＝2，AB＝x，DC＝x－3?！啵獾脁＝9。故選A。15.（新疆烏魯木齊4分）如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，且BP=1，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，若∠APD=60°，則CD的長為A． B． C． D．1【答案】B?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角定義，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可證得ABP∽△PCD，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得CD的長∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°（等邊三角形每個(gè)內(nèi)角等于60°）?！摺螦PD=60°，∴∠BAP＝180°－∠B－∠APB（三角形內(nèi)角和定理）＝180°－∠B－（180°―∠APD―∠CPD）（平角定義）＝180°－60°－（180°―60°―∠CPD）（等量代換）＝∠CPD∴△ABP∽△PCD（相似三角形的判定）?！啵ㄏ嗨迫切蔚男再|(zhì)）?！叩冗吶切蜛BC的邊長為3，即AB=3，BP=1，∴PC=2?！啵碈D＝。故選B。16.（安徽蕪湖4分）如圖，已知△ABC中，∠ABC=45°，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，CD=4，則線段DF的長度為A．B．4C．D．【答案】B?！究键c(diǎn)】等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD=AB，從而根據(jù)全等三角形AAS的判定，可有△BDF≌△ADC，因此DF=DC=4。故選B。17.（貴州銅仁4分）下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯(cuò)誤的是Ａ、等腰三角形兩底角相等；B、等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合；C、等腰三角形是中心對(duì)稱圖形；D、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形．【答案】C。【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形。【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)作出判斷：：A、等腰三角形兩底角相等，故本選項(xiàng)正確；B、等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合，故本選項(xiàng)正確；C、等腰三角形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確。故選C。18.（貴州黔南4分）如圖，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接DE，則△BDE的周長是A、B、10 C、 D、12

【答案】B?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，先求出BE，再利用中位線定理求出DE即可：∵在△ABC中，AB=AC=6，AE平分∠BAC，∴BE=CE=BC=4。又∵D是AB中點(diǎn)，∴BD=AB=3，DE是△ABC的中位線。∴DE=AC=3。∴△BDE的周長為BD+DE+BE=3+3+4=10，故選B。19.（福建莆田4分）等腰三角形的兩條邊長分別為3，6，那么它的周長為 A．15 B．12 C．12或15 D．不能確定【答案】A?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系?！痉治觥扛鶕?jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，可求出第三條邊長，即可求得周長：∵當(dāng)腰長為3時(shí)，3+3=6，顯然不成立，∴腰長為6?！嘀荛L為6+6+3=15。故選A。CBA20.（福建寧德4分）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形CBAC在半圓圓心上，點(diǎn)B在半圓上，則∠A的度數(shù)約為.A．10°B．20°C．25°D．35°【答案】C?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理。【分析】如圖，設(shè)AB交半圓于點(diǎn)D，由量角器的讀數(shù)，得∠ACB=1600－500=1100，∠DCB=1600－700=900?！逤B=CD，∴∠DBC=450?！唷螦=1800－∠ACB－∠DBC=25°。故選C。21.（福建南平4分）邊長為4的正三角形的高A．2 B．4 C．eq\r(,3) D．2eq\r(,3)【答案】D?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，即可得D為BC的中點(diǎn)，即可求BD的值，已知AB、BD根據(jù)勾股定理即可求AD的值：∵等邊三角形三線合一，∴D為BC的中點(diǎn)。∴BD=BC=2。在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，則AD=A。故選D。二、填空題1.（浙江舟山、嘉興4分）如圖，在△ABC中，AB=AC，，則△ABC的外角∠BCD＝▲度．【答案】110。【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B=∠ACB=（180°﹣∠A）=70°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出答案：∠BCD=∠A+∠B=40°+70°=110°。2.（浙江杭州4分）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，過點(diǎn)C作直線∥AB，F(xiàn)是上的一點(diǎn)，且AB=AF，則點(diǎn)F到直線BC的距離為▲【答案】。【考點(diǎn)】等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，。【分析】（1）如圖，延長AC，做FD⊥BC交點(diǎn)為D，F(xiàn)E⊥AC，交點(diǎn)為E，易得，四邊形CDFE是正方形，即，CD=DF=FE=EC。∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AF，∴AB=。∴AF=。∴在Rt△AEF中，（1＋EC）2＋EF2=AF2，即(1＋DF)2＋DF2=()2。解得，DF=。（2）如圖，延長BC，做FD⊥BC，交點(diǎn)為D，延長CA，做FE⊥CA于點(diǎn)E，易得，四邊形CDFE是正方形，即，CD=DF=FE=EC。同上可得，在Rt△AEF中，（EC－1）2＋EF2=AF2，即(FD－1)2＋FD2=(2)2。解得，F(xiàn)D=。綜上所述，F(xiàn)D=。3.（浙江衢州4分）在一自助夏令營活動(dòng)中，小明同學(xué)從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了200m到達(dá)B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達(dá)目的地C（如圖），那么，由此可知，B、C兩地相距▲m．【答案】200?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定?！痉治觥坑梢阎赏瞥觥螦BC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，再由三角形內(nèi)角和定理得∠ACB=30°，從而根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的判定求出B、C兩地的距離BC=AB=200。4.（浙江寧波）如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，則BC=▲cm．【答案】8?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)?！痉治觥垦娱LED交BC于M，延長AD交BC與N，作DF∥BC，交BE于F?！逜B=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM為等邊三角形?！唷鱁FD為等邊三角形?！連E=6cm，DE=2cm，∴DM=4?！摺螻DM=30°，∴NM=2?！郆N=4?！郆C=8。5.（黑龍江牡丹江3分）腰長為5，一條高為4的等腰三角形的底邊長為▲．【答案】6或或?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】根據(jù)不同邊上的高為分3類討論即可得到本題的答案：①如圖1，當(dāng)AB=AC=5，AD=4，則BD=CD=3，∴底邊長為6；②如圖2，當(dāng)AB=AC=5，CD=4時(shí)，則AD=3，∴BD=2，∴BC=，∴此時(shí)底邊長為；③如圖3：當(dāng)AB=AC=5，CD=4時(shí)，則AD=3，∴BD=8，∴BC=∴此時(shí)底邊長為。6.（湖南張家界3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∠BAD=20°，則∠C=▲.【答案】70°?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥坑梢阎獥l件，利用等腰三角形底邊上的高、中線和頂角平分線三線合一的性質(zhì)求解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形?！逥是BC邊上的中點(diǎn)，∴AD是BC邊上的高且平分∠BAC?！摺螧AD=20°．∴∠C=90°－20°=70°。7.（湖南懷化3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分線交BC邊于點(diǎn)D，AB=5，BC=6，則AD=▲【答案】4?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥扛鶕?jù)等腰三角形底邊上的高、中線和頂角平分線三線合一的性質(zhì)求出BD=DC=BC=3，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD=。8.（湖南邵陽3分）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A＝▲．【答案】800。【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥坷玫妊切蔚捉窍嗟鹊男再|(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理∠A=1800－2×500=800。9.（江蘇鹽城3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，E是AC的中點(diǎn)．若DE＝5，則AB的長為▲．【答案】10。【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)?！痉治觥俊逜B＝AC，AD⊥BC∴D是BC的中點(diǎn)。又∵E是AC的中點(diǎn)．∴DE是Rt△ABC斜邊上的中線，∴AB＝AC＝2DE＝10。10.（山東煙臺(tái)4分）等腰三角形的周長為14，其一邊長為4，那么，它的底邊為▲.【答案】4或6【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，解一元一次方程?！痉治觥糠謨煞N情況討論：（1）當(dāng)4為底邊時(shí)，腰長為（14－4）÷2＝5，5+4＞5，5－4＜5，滿足三邊關(guān)系定理；（2）當(dāng)4為腰長時(shí)，底邊為14－4×2＝6，且4+4＞6，6－4＜4，滿足三邊關(guān)系定理。∴該等腰三角形的底邊為4或611.（山東濰坊3分）如圖，已知等腰三角形ABC，AB=AC，底邊BC的長為2，DE是它的中位線，則下面三個(gè)結(jié)論：（1）DE=1；（2）△ADE∽△ABC；（3）△ADE的面積與△ABC的面積之比為1︰4.其中正確的有．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】D?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)逐個(gè)分析，即可得出正確答案：（1）∵△ABC中，BC=2，DE是它的中位線，∴DE=1，故此選項(xiàng)正確。（2）∵△ABC中，DE是它的中位線，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本選項(xiàng)正確；（3）∵△ADE∽△ABC，相似比為1：2，∴△ADE的面積與△ABC的面積之比為1：4．故本選項(xiàng)正確。故選D。12.（山東棗莊3分）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），若點(diǎn)P在軸上，且△APC是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能是A．（2，0）B．（4，0）C．（－，0）D．（3，0）【答案】D?！究键c(diǎn)】等腰三角形的判定，勾股定理?！痉治觥咳鐖D知，當(dāng)AO為等腰三角形底邊時(shí)，P1（2，0）滿足條件；當(dāng)AO為等腰三角形腰時(shí)，P2（4，0），P3（－，0）滿足條件。故選D。13.（山東濱州4分）邊長為6cm的等邊三角形中，其一邊上高的長度為▲．【答案】?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】根據(jù)等邊三角形三角都是60°的性質(zhì)，利用三角函數(shù)可求得其高：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°?！逜B＝6cm，BD=3cm，∴根據(jù)勾股定理，得AD＝。14.（山東濟(jì)寧3分）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則▲?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角三角函數(shù)?！痉治觥窟^點(diǎn)C作CH⊥AB。由已知可得△AEC≌△CDB，∴∠CAE=∠BCD。由AG⊥CD，CH⊥AB可得∠GAD=∠HCD。又∵△ABC是等邊三角形，CH⊥AB，∴∠CAB=∠ACB=600，∠BCH=300?！唷螩AE+∠GAD=∠BCD+∠HCD=∠BCH=300?！唷螰AG=∠CAB－（∠CAE+∠GAD）=600－300=300?！嘣赗t△FAH中，。15.（山東萊蕪4分）如圖，已知在△ABC中，AB＝BC，∠B＝1200，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D。若AC＝6cm，則AD＝▲cm。【答案】2?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥窟^點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)F。∵在△ABC中，AB＝BC，∠B＝1200，AC＝6cm，∴∠A＝300，AE＝3cm?！郃B＝。又∵DF是AB的垂直平分線，∴AF＝?！郃D＝。16.（山東棗莊4分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=14cm，則陰影部分的面積是▲cm2.【答案】。【考點(diǎn)】特殊角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥坷锰厥饨侨呛瘮?shù)的定義，直接得出結(jié)果：，由相似三角形的判定和性質(zhì)得CF=AC=7，所以陰影部分的面積是。17.（廣東茂名3分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=▲度．【答案】15?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)等邊三角形三個(gè)角相等的性質(zhì)，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等的性質(zhì)即可得出∠E的度數(shù)：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°。又∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°。又∵DF=DE，∴∠E=15°。18.（河南省3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，則∠BDC的度數(shù)為▲．【答案】72°?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥俊逜B=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，∴∠B=（180°－36°）÷2=72°，∠DCB=36°?！唷螧DC=72°。19.（江西省B卷3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E,F,P分別是AB,AC,BC邊上一點(diǎn)，且BE=BP，CP=CF，則∠EPF=▲度.【答案】50。【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，平角定義。【分析】在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，利用三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出∠B=∠C=50°，同理，由BE=BP，CP=CF，求出∠BEP=∠BPE=65°，∠CPF=∠CFP=65°。根據(jù)平角定義，可求得∠EPF=180°﹣65°﹣65°=50°。ADBCEO20.（ADBCEO【答案】①②。【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定?！痉治觥俊摺鰽BD、△AEC都是等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°?！唷螪AC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°?！唷螪AC=∠BAE?！唷鱀AC≌△BAE（SAS）?！郆E=DC?！劲僬_】∴∠ADC=∠ABE。∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO=60°?！劲谡_】∵由△DAC≌△BAE和AB≠AC，得∠ADC≠∠AEB，∴∠ODB≠∠OEC。又∵∠ODB＜60°，∠OCE＞60°，∴∠ODB≠∠OCE。而∠DOB=∠EOC，∴△BOD和△COE不相似?！劲坼e(cuò)誤】21.（四川達(dá)州3分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，已知扇形EAD和扇形FBD的圓心分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B，且AC=2，則圖中陰影部分的面積為▲（結(jié)果不取近似值）．【答案】?！究键c(diǎn)】扇形面積的計(jì)算，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥坑萌切蜛BC的面積減去扇形EAD和扇形FBD的面積，即可得出陰影部分的面積：∵BC=AC，∠C=90°，AC=2，∴AB=2?！唿c(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD=。∴S陰影=S△ABC﹣S扇形EAD－S扇形FBD。22.(四川德陽3分)在等腰三角形ABC中，AB=AC，腰AB的高CD與腰AC的夾角為30°，且CD=，則底邊BC的長為▲．【答案】4或?！究键c(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理和外角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，當(dāng)點(diǎn)D在AB上，由CD與AC的夾角為30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠A=60°；因?yàn)锳B=AC，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，得∠B=60°；因此根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得BC=CD÷sin60°=4。如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BA延長線上，由CD與AC的夾角為30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠CAD=60°；因?yàn)锳B=AC，根據(jù)三角形外角定理和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得∠B=30°；因此根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得BC=CD÷sin30°=。23.（云南曲靖3分）如圖，等邊三角形ABC的邊長是6cm，BD是中線，延長BC至E,使CE=CD，連接DE，則DE的長是▲cm【答案】?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形?！痉治觥扛鶕?jù)等邊三角形每個(gè)內(nèi)角都等于600的性質(zhì)，得∠CED＝120°，又因?yàn)镃E＝CD，所以∠E＝30°。作輔助線，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，則由BD是中線和等邊三角形ABC的邊長是6，有CE＝CD＝3。從而在Rt△CEF中，EF＝CEcos∠E＝3cos300＝。因此DE＝2EF＝。24.（福建泉州4分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，則∠A=▲來【答案】100°?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥坑葾B=AC，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到∠B=∠C=40°，再由三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠A=180°－40°－40°=100°。三、解答題1.（遼寧沈陽10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)，∠B=30°，∠DAB=45°．⑴求∠DAC的度數(shù)；⑵求證：DC=AB【答案】解：⑴∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°?！摺螩＋∠BAC＋∠B=180°，∴∠BAC=180°－30°－30°=120°?！摺螪AB=45°，∴∠DAC=∠BAC－∠DAB=120°－45°=75°。⑵證明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B＋∠DAB=75°。∴∠DAC=∠ADC?！郉C=AC。又∵AB=AC，∴DC=AB。【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理。【分析】（1）由AB=AC，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等得到∠B=∠C=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，則∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°。（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)和得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根據(jù)等腰三角形的判定可得DC=AC，這樣即可得到結(jié)論。2.（湖南株洲6分）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=360，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連結(jié)EC．（1）求∠ECD的度數(shù)；（2）若CE=5，求BC長．【答案】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE∴∠ECD=∠A=360。（2）∵AB=AC，∠A=360，∴∠B=∠ACB=720。∵∠ECD=360，∴∠BCD=∠ACB－∠ECD=720－360=360?！唷螧EC=720=∠B?！郆C=EC=5?！究键c(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角定理?！痉治觥浚?）ED是AC的垂直平分線，可得AE=EC；∠ECD=∠C；已知∠A=360，即可求得。（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5。2.（江蘇揚(yáng)州10分）已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由．【答案】解：（1）證明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝900?！逴B＝OC，∴∠OBC＝∠OCB。又∵BC＝BC，∴△BEC≌△CDB（AAS）?！唷螦BC＝∠ACB?！郃B＝AC，即△ABC是等腰三角形。（2）點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上。理由如下：∵△BEC≌△CDB，∴BD＝CE。又∵OB＝OC，∴OD＝OE。又∵OD⊥AC，OE⊥AB，點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的判定?！痉治觥浚?）要證△ABC是等腰三角形，只要∠ABC＝∠ACB，只要△BEC≌△CDB。由已知，用AAS即可證明。（2）要證點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上．只要證點(diǎn)O到兩邊的距離相等OD＝OE。而由（1）的證明有△BEC