廣東省2021年春季高考數(shù)學模擬試卷五（含解析）

2021年廣東春季高考數(shù)學模擬試卷(5)

注：本卷共22小題，滿分150分。

一、單選題(本大題共15小題，每小題6分，滿分90分)

1.已知集合2={1,3,4,5},集合8={xeZ|x2—4x—5<0},則工08的子集個數(shù)

為()

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】

試題分析：由》2-4*一5<0,解得一1<X<5,所以8={0,1,2,3,4},所以

Zc8={l,3,4},所以的子集個數(shù)為23=8,故選C.

考點：1、不等式的解法；2、集合的交集運算；3、集合的子集.

2.下列各式正確的是()

A.=aB.a()=1

C?D.雙—兀y=_%

【答案】D

【解析】

【分析】

根式化簡及零指數(shù)意義.

【詳解】

對于A，必?=〃，當。為負數(shù)時等式不成立，故A不正確;

對于B,片>=1，當4=0時無意義，故B不正確；

對于C,0(Y)4=4左邊為正，右邊為負，故C不正確;

對于D,3(一萬)5=—71>故D正確.

故選：D.

【點睛】

根式化簡注意根指數(shù)的奇偶性.

3.函數(shù)/(x)=/+x—2的零點所在的區(qū)間是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用零點存在定理計算得到答案.

【詳解】

/(x)=e'+x-2,易知函數(shù)單調(diào)遞增，

/(0)=e°+0-2=-l<0,/(l)=e+l—2=e—1>0,故函數(shù)在(0,1)上有唯一零點.

故選：B.

【點睛】

本題考查了零點存在定理的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.

4.已知tana=3,則s”[2a=()

1+cos2a

A.—3B.—C.—D.3

33

【答案】D

【解析】

分析：先將二sin一2‘a(chǎn)根據(jù)二倍角公式化簡即可求值.

1+cos2a

詳解：由題可得：

sin2a2sinacosa

---------=-------、------=tana=3

1+cos2a2cosa

故選D.

點睛：考查三角函數(shù)的二倍角公式的運用，屬于基礎題.

5.在△NBC中，若coMcos8>sirL4sinS,則△NBC一定為（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.直角三角形

【答案】B

【解析】

分析：將條件的原式移項，結(jié)合三角和差公式即可得出結(jié)論.

詳解：由題可知：cosAcosB>sinAsinB=>cos（A+5）>0,故/+8為銳角，由三角

形的內(nèi)角和為180°可知C為鈍角，故三角形為鈍角三角形，所以選B.

點睛：考查三角和差公式的應用，結(jié)合三角形的內(nèi)角和結(jié)論即可，屬于基礎題.

6.如圖，設點48在河的兩岸，一測量者在4的同側(cè)所在的河岸邊選定一點C.測出

4。兩點間的距離為50m.N4C8=45°,NC48=105°,則48兩點間的距離為（）

m.

25^2

L.--------------B.250C.505/2D.50百

2

【答案】C

【解析】

【分析】

一C

先根據(jù)三角形內(nèi)角和求N/8C,再根據(jù)正弦定理----------求解.

sin乙4cBsin/.ABC

【詳解】

在中，AC=50m,ZACB=45°,ZCAB=105°,

則48C=30°

AC

由正弦定理得———

sinZ.ACBsinZ.ABC

，nV2

ACsinZACBX??A

所以48=-----------------=-50V2m.

sinNABC

2

故選：C.

t點睛】

本題考查解三角形的實際應用，正弦定理余弦定理是常用方法，屬基礎題.

7.下列各組向量中，可以作為基底的是（）.

A.耳=（0,0）,&=。,-2）B.0=（-L2）,瓦=（5,7）

C.耳=（3,5）,&=（6』0）D.4=（2,-3）,e2

【答案】B

【解析】

【分析】

不共線的非零向量可以作為向量的基底.

【詳解】

因為耳=（一1,2）與&=（5,7）不共線，其余選項中不、馬均共線，所以B選項中的兩向

量可以作為基底.

故選：B

【點睛】

本題考查平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎題.

8.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開

為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關擬，解之為二，又合

面為一“?在某種玩法中，用表示解下〃(〃W9,雌)個圓環(huán)所需的移動最少次

f2a?,-1,〃為偶數(shù)

數(shù)，若&=1.且n-跖，則解下5個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為()

[2%+2,〃為奇數(shù)

A.7B.13C.16D.22

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)已知的遞推關系求為,從而得到正確答案.

【詳解】

'?,4=1,

/.a、—2al—1=1,a3—2a,+2=4,a4—2%—1=7,a5—2a4+2=16,

所以解下5個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為16.

故選：C

【點睛】

本題考查以數(shù)學文化為背景，考查遞推公式求指定項，屬于基礎題型.

9.下列命題正確的是()

A.若a>b,則ac>bcB.若。>6,c>d,則ac>6d

C.若ab>O,a>b,則一<—D.若a>b,c〉d,則一>一

abcd

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)每個選項的條件取特殊值或利用不等式的基本性質(zhì)判斷即可.

【詳解】

對4.取c=0,則不成立，故/錯誤；

對6.當q〉b〉O,0<d<。時，ac>bd不成立,故8錯誤；

對C.丁>0,a>b,(!?-->b*—-,—>一,故C正確；

ababha

對。.根據(jù)a>b,0(1,取c=0,則3>2不成立，故C錯誤.

cd

故選：C.

【點睛】

本題考查不等式的基本性質(zhì)，屬基礎題.

x>0

10.不等式組20表示的平面區(qū)域的面積是()

x+y-2<0

A.4B.2C.1D.—

2

【答案】B

【解析】

【分析】

x>0

畫出不等式組<歹20表示的平面區(qū)域，根據(jù)其形狀代入面積公式求解.

x+y-2<0

【詳解】

x>0

不等式組,丁20表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分：

x+y-240

所以5砕=1XQ1X^=LX2X2=2,

CI.AUD22

故選：B

【點睛】

本題主要考查不等式組與平面區(qū)域及其面積的求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬

于基礎題.

11.己知加，〃是兩條不重合的直線，名尸為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若加，〃是異面直線，那么"與a相交

B.若m//a,a丄則加丄/

C.若a丄丄a,貝U加//夕

D.若"?丄a,a〃￡,則〃？丄/

【答案】D

【解析】

【分析】

采用逐一驗證法，結(jié)合線面以及線線之間的位置關系，可得結(jié)果.

【詳解】

若"?ua/cza,心,〃是異面直線，

“與a也可平行，故A錯

若〃?//a,aA.（3,

加也可以在用內(nèi)，故B錯

若a丄",丄a

加也可以在戶內(nèi)，故C錯

若加丄a,a〃4，

則〃7丄尸，故D對

故選：D

【點睛】

本題主要考查線面以及線線之間的位置關系，屬基礎題.

12.已知兩平行直線x+2y-5=0,2x+4y+加=0的距離為則勿的值為（）

A.0或10B.0或20C.15或25D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

化簡直線方程2尤+4^+〃?=0得：x+2y+-=0,利用兩條平行線間的距離公式計

算可得.

【詳解】

化簡2x+4y+m=0得：x+2y+—=0,

mI-+5|I-+5I

兩平行直線x+2y—5=0,x+2y+,=0的距離為：\2|」2|,

2J=7f7F=-vr

...加=0或〃？=—20,

故選：B.

【點睛】

此題考兩條平行線間的距離公式，關鍵是化簡直線方程，使兩個直線方程X,y的對應

系數(shù)相同，屬于簡單題a.

13.甲、乙兩名學生的六次數(shù)學測驗成績（百分制）的莖葉圖如圖所示.

①甲同學成績的中位數(shù)大于乙同學成績的中位數(shù)；

②甲同學的平均分比乙同學的平均分高；

③甲同學的平均分比乙同學的平均分低；

④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.

上面說法正確的是()

A.③④B.①②④

C.②④D.①③④

【答案】A

【解析】

由莖葉圖知甲同學的成績?yōu)?2,76,80,82,86,90；乙同學的成績?yōu)?9,78,87,88,92,96.

故甲同學成績的中位數(shù)小于乙同學成績的中位數(shù)，①錯：

計算得甲同學的平均分為81,乙同學的平均分為85,故甲同學的平均分比乙同學的平

均分低，因此②錯、③對；計算得甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差，故④對.

14.書架上有兩套我國四大名著，現(xiàn)從中取出兩本.設事件〃表示“兩本都是《紅樓

夢》”；事件N表示“一本是《西游記》，一本是《水滸傳》”；事件P表示“取出的

兩本中至少有一本《紅樓夢》”.下列結(jié)論正確的是()

A.M與P是互斥事件B.河與N是互斥事件

C.N與尸是對立事件D.M-N,尸兩兩互斥

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)互斥事件、對立事件的概念，對三個事件進行分析，由此確定正確選項.

【詳解】

由于事件加包含于事件尸，〃與尸是既不是對立也不是互斥事件，河與N是互斥事

件，N與P是互斥事件.所以A,C,D三個選項錯誤.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查對立事件和互斥事件的辨析，屬于基礎題.

15.定義域和值域均為[一。,4(常數(shù)。＞0)的函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象如圖所

示，則方程/[g(x)]=O解的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

由圖象可得方程/(x)=0在[-。,句上有三個實數(shù)解，結(jié)合函數(shù)g(x)的值域與單調(diào)性

即可得解.

【詳解】

由圖(a)可知，方程/(x)=0在[―。,句上有三個實數(shù)解，

由圖(6)可知，函數(shù)g(x)在[一。同上單調(diào)遞減,且值域為可，

所以方程/[g(x)]=0有三個實數(shù)解.

故選：C.

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖象的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎題.

二、填空題

16.在中，tanZ,tan8是方程2x2+3x17=0的兩根，則tanC=.

【答案】-

3

【解析】

【分析】

根據(jù)韋達定理以及兩角和的正切公式計算即可.

【詳解】

由題可知：1211力/2118是方程2》2+3工一7=0的兩根

37

所以tan力+tan8=——，tan4tan8=——

22

tanA+tanB_1

所以tanC=-tan(Z+8)

1-tanAtanB3

故答案為：-

3

【點睛】

本題主要考查兩角和的正切公式，牢記公式，細心計算，屬基礎題.

17.已知向量機，〃夾角為60°，且|機|=1,|2比+萬|=JIG,則冋二

【答案】V7-1

【解析】

由已知,根據(jù)向量數(shù)量積定義，得而?萬=H|M|COS60°=；|司，又〔2加+“二Jid,兩

邊平方,得4而2+4而.萬+為2=10，貝I同-+2同一6=0，解得冋=近一1（|萬|20）.

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為，（〃乃），（,則：

18.S“%=cosneN*)S2020

【答案】0

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，先確定數(shù)列｛%｝的周期，再由分組求和，即可得出結(jié)果.

【詳解】

由an=cos(〃4)得a“+2=cos(〃乃+2乃)=cos(〃/r)=an,

所以數(shù)列｛4｝以2為周期，

又％=cos7=-I,a2=cos2^-=1,

所以S2020=101°x(q+4)=0.

故答案為：0.

【點睛】

本題主要考查求數(shù)列的和，根據(jù)數(shù)列的周期性，以及分組求和的方法即可求解，屬于基

礎題型.

19.在三棱錐尸―Z3C中，PZ丄平面力BC,NB4c=90°,PN=48=4C=2則

該三棱錐的外接球的表面積為.

【答案】1271

【解析】

【分析】

由已知中川丄平面NBC,AB1AC,可得：三棱錐外接球等同于以為

長寬高的正方體的外接球，進而得到答案.

【詳解】

：A4丄平面48C，AB1AC,

故三棱錐外接球等同于以“民力C,/P為長寬高的正方體的外接球，

故三棱錐外接球的表面積S=(2)+2?+22>=127r,

故答案為12萬.

【點睛】

本題考查的知識點是球的表面積，根據(jù)已知借助正方體模型求出球的半徑，是解答的關

鍵.屬于中檔題.

三、解答題

20.中國移動通信公司早前推出“全球通”移動資費“個性化套餐”，具體方案如下:

方案代號基本月租（元）免費時間（分鐘）超過免費時間的話費（元/分鐘）

130480.60

2981700.60

31683300.50

42686000.45

538810000.40

656817000.35

778825880.30

（1）寫出“套餐”中方案1的月話費V（元）與月通話量，（分鐘）（月通話量是指

一個月內(nèi)每次通話用時之和）的函數(shù)關系式；

（2）學生甲選用方案1,學生乙選用方案2,某月甲乙兩人的資費相同,通話量

也相同，求該月學生甲的資費；

（3）某用戶的月通話量平均為320分鐘，則在表中所列出的七種方案中，選擇哪種

方案更合算，說明理由.

30,04/448,

【答案】（1）歹=(2)98元.（3）見解析

0.6Z-1.2t>48.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意分OWf448和/〉48兩種情況求得關系式，寫成分段函數(shù)的

形式；（2）設該月甲乙兩人的資費均為。元，通話量均為b分鐘，分0W6W48,

48<bW170和b>170三種情形分別求解判斷；（3）分別求出三種方案中的月話費，

通過比較大小可得結(jié)論.

試題解析：

（1）由題意得，當0W/W48時，y=30；

當f>48時，y=30+0.6x（/—48）=0.67-1.2.

30,0</<48,

故所求解析式為丁=

0.6/—1.2,/>48.

（2）設該月甲乙兩人的資費均為。元，通話量均為b分鐘.

①當0W6W48時，甲乙兩人的資費分別為30元，98元，不相等;

②當6>170時，甲乙兩人的資費分別為必=30+0.6（6-48）（元），

y2=98+0.6。―170）元，y2-y1=-5.2<0,y2<y］；

③當48<b<170時，甲乙兩人的資費分別為。=30+0.6僅一48）（元），

484

a=98（元），解得6=亠.

3

所以該月學生甲的資費98元.

（3）月通話量平均為320分鐘，方案1的月話費為：（元）；

方案2的月話費為：98+0.6X（320170）=188（元）；

方案3的月話費為168元.其它方案的月話費至少為268元.

經(jīng)比較，選擇方案3更合算.

21.如圖，已知4尸丄平面力88,四邊形/8所為矩形，四邊形為直角梯形,

ZDAB=90°,AB//CD,AD=AF=CD=2,AB=4.

（D求證：/C丄平面BCE；

(2)求三棱錐E-8C尸的體積.

8

【答案】(1)見解析；(2)-

3

【解析】

【分析】

(1)過點C作CA/丄力8,垂足為何，利用勾股定理證明4c丄8C,利用E8丄平

ffiABCD,證明ZC丄E8,即可證明ZC丄平面8CE；

(2)證得CA/丄平面/8EF,利用曉TCF=匕＞8￡/，即可求解E-BCF的體積.

【詳解】

(1)證明：過點C作CM丄AB,垂足為M,因為AD丄DC,

所以四邊形ADCM為矩形，所以AM=MB=2,

又AD=2,AB=4,所以AC=2/,CM=2,BC=2^，

所以AC+BC?AB?,所以AC丄BC,因為AF丄平面ABCD,AF〃BE,

所以BE丄平面ABCD,所以BE丄AC.

又BEU平面BCE,BCU平面BCE,且BEABC=B,

所以AC丄平面BCE.

(2)因為AF丄平面ABCD,所以AF丄CM,

又CM丄AB,AFU平面ABEF,

ABU平面ABEF,AFDAB=A,所以CM丄平面ABEF.

|i|R

VE_BCP=Vc_BBF=ixiXBEXEFXCM=iX2X4X2=2

【點睛】

本題考查線面位置關系的判定與證明，以及幾何體的體積的計算，其中熟練掌握空間中

線面位置關系的定義、判定、幾何特征是解答的關鍵，其中垂直、平行關系證明中應用

轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)

證