吉林省吉林地區(qū)普通高中2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題

吉林地區(qū)普通高中2023—2024學(xué)年度高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題說明：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，貼好條形碼。2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆將答素寫在答題卡上。字體工整，筆跡清楚。3．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效：在試卷上、草紙上答題無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求。1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1 B．4 C．1或4 D．23．已知隨機(jī)變量，且，則（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.84．若互不相等的正數(shù)滿足，則（）A．成等差數(shù)列 B．成等比數(shù)列C．成等差數(shù)列 D．成等比數(shù)列5．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．6．已知圓錐的側(cè)面積是，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球半徑為（）A． B． C． D．7．已知圓與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若以為焦點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)，則該橢圓的離心率的最大值為（）A． B． C． D．8．已知為銳角，且，則的最大值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知集合，則（）A． B．C． D．的子集個(gè)數(shù)為210．在的展開式中，下列說法正確的是（）A．各二項(xiàng)式系數(shù)的和為64 B．各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和為729C．有理項(xiàng)有3項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)是第4項(xiàng)11．如圖1，在等腰梯形中，，且為的中點(diǎn)，沿將翻折，使得點(diǎn)到達(dá)的位置，構(gòu)成三棱錐（如圖2），則（）A．在翻折過程中，與可能垂直B．在翻折過程中，二面角無最大值C．當(dāng)三梭錐體積最大時(shí)，與所成角小于D．點(diǎn)在平面內(nèi)，且直線與直線所成角為，若點(diǎn)的軌跡是橢圓，則三棱錐的體積的取值范圍是三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中第13題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分．12．已知向量，若，則_________。13．“冰天雪地也是金山銀山”，2023-2024年雪季，東北各地冰雪旅游呈現(xiàn)出一片欣欣向榮的景象，為東北經(jīng)濟(jì)發(fā)展增添了新動(dòng)能．某市以“冰雪童話”為主題打造—圓形“夢幻冰雪大世界”，其中共設(shè)“森林姑娘”“扣像墻”“古堡滑梯”等16處打卡景觀．若這16處景觀分別用表示，某游客按照箭頭所示方向（不可逆行）可以任意選擇一條路徑走向其它景觀，并且每個(gè)景觀至多經(jīng)過一次，那么他從入口出發(fā)，按圖中所示方向到達(dá)有種_________不同的打卡路線；若該游客按上述規(guī)則從入口出發(fā)到達(dá)景觀的不同路線有條，其中，記，則_________（結(jié)果用表示）。14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過作軸垂線，垂足分別為，直線與直線交于點(diǎn)，則與的面積比值為_________。四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（I）求；（II）在方向上的投影向量是，求的面積。16．（本小題滿分15分）如圖，在四棱?錐中，平面，為中點(diǎn)，點(diǎn)在梭上（不包括端點(diǎn)）。（I）證明：平面平面；（II）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線到平面的距離．17．（本小題滿分15分）已知點(diǎn)，直線，動(dòng)圓與直線相切，交線段于點(diǎn)，且．（I）求圓心的軌跡方程，并說明是什么曲線；（II）過點(diǎn)且傾斜角大于的直線與軸交于點(diǎn)，與的軌跡相交于兩點(diǎn)，且，求的值及的取值范圍。18．（本小題滿分17分）短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點(diǎn)利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來此景點(diǎn)旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點(diǎn)對(duì)當(dāng)天前來旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人。（I）依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析南北方游客來此景點(diǎn)旅游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：單位：人游客短視頻合計(jì)收看未看南方游客北方游客合計(jì)（II）為了增加游客的旅游樂趣，該景點(diǎn)設(shè)置一款5人傳球游戲，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出。（i）求經(jīng)過次傳遞后球回到甲的概率；（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望。參考公式：，其中；附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．（本小題滿分17分）已知函數(shù)．（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)分別是的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，記．（i）證明：直線與曲線交于除外另一點(diǎn)；（ii）在（i）結(jié)論下，判斷是否存在定值且，使，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。數(shù)學(xué)試題參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．12345978ABDDCDBA二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。91011BCDABAC11題D選項(xiàng)拓展說明：平面截圓錐的側(cè)面截口曲線形狀總結(jié)：設(shè)圓錐的軸與母線所成的角為，圓錐的軸與平面所成的角為（1）當(dāng)平面過點(diǎn)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，截口曲線形狀為一個(gè)點(diǎn)；（如圖1）②當(dāng)時(shí)，截口曲線形狀為一條母線；（如圖2）③當(dāng)時(shí)，截口曲線形狀為兩條母線．（如圖3）（2）當(dāng)平面不過點(diǎn)時(shí)，圖4圖5圖6圖7①當(dāng)時(shí)，截口曲線形狀為圓；（如圖4）②當(dāng)時(shí)，截口曲線形狀為橢圓或橢圓的一部分；（如圖5）③當(dāng)時(shí)，截口曲線形狀為拋物線的一部分；（如圖6）④當(dāng)時(shí)，截口曲線形狀為雙曲線的一部分．（如圖7）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中第13題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分．12．13．8（2分）；（3分）14．1（注：寫1：1本次不扣分，但教學(xué)中注意區(qū)分“比”與“比值”）13題說明：引導(dǎo)學(xué)生了解斐波那契數(shù)列，其相關(guān)性質(zhì)可歸納得出即可．14題提示：可證直線與直線的交點(diǎn)為，且四、解答題15．【解析】（I）由正弦定理得即，又即得或（舍）又。（也可以利用，則得出）（II）（方法一）在方向上的投影向量為即由余弦定理（方法二）如圖，過作，垂足為，則為在方向上的投影向量設(shè)，則在Rt中，16．【解析】（I）證明：平面，即又為中點(diǎn)，且四邊形為正方形平面平面平面平面平面平面（II）在中，分別為中點(diǎn)平面平面平面．點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離．（方法一）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則設(shè)是平面的法向量．取，則是平面的一個(gè)法向量．點(diǎn)到平面的距離為即直線到平面的距離為（注：（1）求線面距、面面距需先證平行，未證扣2分；（2）圖形中需畫出坐標(biāo)系，格式不對(duì)或未建系扣1分；（3）若幾何特征不明確時(shí)，答題中需體現(xiàn)建系說明．）（II）（方法二）連接為等腰直角三角形平面是三棱錐的高連接，設(shè)到平面距離為，則即到平面的距離為17．【解析】（I）設(shè)點(diǎn)，圓的半徑為為到直線的距離，則．根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)的集合整理得所以，點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長、虛軸長均為的等軸雙曲線．（注：描述曲線不完整本次不扣分，教學(xué)中注意規(guī)范要求．）（II）設(shè)直線，傾斜角大于設(shè)聯(lián)立得由得的取值范圍是18．【解析】（I）將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：游客短視頻合計(jì)收看未看南方游客200100300北方游客80120200合計(jì)280220500零假設(shè)：南北方游客來此景點(diǎn)旅游與短視頻無關(guān)聯(lián)．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為南北方游客來此景點(diǎn)旅游與收看短視頻有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001（注：①結(jié)果無精確要求時(shí)，保留到0.001，但本次結(jié)果為不扣分；②未寫“零假設(shè)”或未完整作答扣1分；③閱卷時(shí)注意“有關(guān)聯(lián)”“無關(guān)聯(lián)”是否寫錯(cuò)．）（II）（i）設(shè)經(jīng)過次傳遞后回到甲的概率為是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（ii）（方法一）設(shè)第次傳遞時(shí)甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點(diǎn)分布，設(shè)前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為（方法二）設(shè)第次傳遞時(shí)，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點(diǎn)分布，由題可知又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列故19．【解析】（I）令，則，令則或在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（注：單調(diào)區(qū)間書寫不規(guī)范扣1分）（II）（i）由（I）知且，直線方程為（方法一）令，即①或設(shè)，則令，則令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單