初中七年級(jí)數(shù)學(xué) 集合與不等式 等式與不等式的性質(zhì)

努力的你，未來(lái)可期!

第一篇集合與不等式

專題L03等式與不等式的性質(zhì)

【考試要求】梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).

【知識(shí)梳理】

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>O<=>a>b,

⑴作差法<a—b=O<=>a=b,

.a-b<O?a<b.

r>l(a￡R,b>0)<=>a>b(a￡R,b>0),

b

<

(2)作商法曰=l=a=b(a,b#0),

<a、

r<l(a￡R,b>0)=avb(a￡R,b>0).

D

2.等式的性質(zhì)

⑴對(duì)稱性：若a=b,則

(2)傳遞性：若a=b,b=c,則。=c.

(3)可加性:若a=b,則a+c=b+c.

(4)可乘性：若則〃c=bc；若a=b,c=d,則

3.不等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：a>b?b<a；

(2)傳遞性:a>b,b>c=^a>c；

(3)可加性：a>b?a+c>b+c；a>b,c>d=>a+c>b+d；

(4)可乘性：a>b,c>O=ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc：a>b>0,c>d>O=>ac>bd；

(5)可乘方：a>b>O^an>bn(n￡N,n>l)；

(6)可開方：a>b>0=^>証(ndN,n>2).

【微點(diǎn)提醒】

1.在不等式的兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變.

2.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

mbb+mbb—m

⑴若a>b>0,m>0,則-<—r—；->----—(b—m>0).

aa+maa—m

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⑵若ab>0,且a>b<=>~<r.

ao

【疑誤辨析】

i.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打y”或“X”)

(I)a>b<=>ac2>bc2.()

(2)a=b=ac=bc.()

(3)若去>1,則a>b.()

(4)0<a<x<b或a<x<b<0=>^<r-<^.()

【答案】(l)x(2)x(3)x(4)<

【解析】(1)由不等式的性質(zhì)，ac2>bc2=>a>b；反之，c=0時(shí),a>b=ac2Abe2.

(2)由等式的性質(zhì)，a=b=ac=bc；反之，c=0時(shí)，，ac=bc不能推出a=b

(3)a=—3,b=-1,則去>1,但avb,故(3)錯(cuò).

【教材衍化】

2.(必修5P74例1改編)若a>b>0,c<d<0,則一定有()

abab

一

-一-

cc

-d-ad

-

abcb

-

一-

cdd

【答案】B

【解析】因?yàn)閏<d<0,所以兩邊同乘一1,得一、>一1>0，又a>b>0,故由不等式的性質(zhì)

可知一.>—?兩邊同乘一1，得。

3.(必修5P75A2⑵改編)比較兩數(shù)的大小：帀+?^3+714.

【答案】>

【解析】(S+聞)2=17+2聞，(4+遮)2=17+26，

(V?+VT0)2>(>/3+^/14)2,帀+回砧+小.

【真題體驗(yàn)】

4.(2018?衡陽(yáng)聯(lián)考)若〃，b,c為實(shí)數(shù)，且〃<%<(),則下列命題正確的是()

A.ac2<bciB.-<r

ab

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D.a2>ab>b2

【答案】D

.丄八r丄,q-r-亠亠11b-ac__…babi-ai（/?+?）（/?—?）__

【解析】c=0時(shí)，A項(xiàng)不成立；--選項(xiàng)B錯(cuò)；[一衛(wèi)=一疝一=-------茄-------<0,選項(xiàng)C

錯(cuò).由a<h<0,.\a2>ah>h2,D正確.

5.（2017?北京卷改編）能夠說(shuō)明“設(shè)小5c是任意實(shí)數(shù),若a>b>c,則a+b>c”說(shuō)法不正確的一組整數(shù)a,b,

c的值依次為.

【答案】一1,-2,一3（答案不唯一）

【解析】因?yàn)?>b>c,所以4>c,b>c,則a+Z?>2c.所以a+b>c不一定正確.因?yàn)?c與c的大小關(guān)系不確

定，當(dāng)c=0時(shí)>2c=c；當(dāng)c>0時(shí)，，2c>c；當(dāng)cvO時(shí)，2c<c.不妨令a=—1,b=—2,c=—3,則〃+b=c.

6.（2019?運(yùn)城模擬）若一聲收與則a—￡的取值范圍是.

【答案】（-71,0）

7t71717C,

【解析】由一1vac],—^<—^<2，a</3,得一兀〈心一夕<0.

【考點(diǎn)聚焦】

考點(diǎn)一比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小

【例1】⑴已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足b+c=6—4a+3“2,c—%=4—4a+〃2,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c>b>aB.a>c>b

C.c>b>aD.a>c>b

(2)已知%,4￡(0,1),記M=a產(chǎn)2，%=4+4—1，則M與N的大小關(guān)系是（）

A.M<WB.M>N

C.M=ND.不確定

InIn4InS

（3）（一題多解）若。=亍，b=~,c=M，則（）

\.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

【答案】（1）A（2）B（3）B

【解析】

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(1)Vc—Z?=4—4d+n2=(d；—2)2>0,:?c?.又Z?+c=6—4々+3。2,.\2h=2+2a2,',h=ai+1,?\h-a=a2

—〃+l=Q-'+(>°，:.b>a,/.c>b>a.

(2)M-N=a]a2—(a1+a1~\)=aia2-a]—a9+1=a](a2-l)—(a1—1)=(4—1)(?2—1),

又因?yàn)榘汀?(),1),tz2e(O,1),所以4—kO,%—lvO.所以(4—1)(4-1)>0，即“一心0,所以

⑶法一易知a,b,c都是正數(shù)，^=|j^-1=log8164<l,所以a>Z?；(=霜"|=

log6251024>l,所以b>c.即c<h<a.

法二構(gòu)造函數(shù)月x)=￥,則/(x)=l，吟,

由/(x)>0,得0<x<e；由/(x)<0,得x>e.

.?J(x)在(0,e)為增函數(shù)，在(e,+8)為減函數(shù).

?'?八3)/4)/5)，即a>b>c.

【規(guī)律方法】

1.作差法一般步驟：

(D作差；(2)變形；(3)定號(hào)；(4)結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積

式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差.

2.作商法一般步驟：

(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大小；(4)結(jié)論.

3.函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.

4.特殊值法：對(duì)于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.

【訓(xùn)練1】(1)若“，力為正數(shù)，且a處，則43+加42力+而2(用符號(hào),、<、>SW填空).

(2)若0<aQ,且a+b=l,則將a,b,3，2ab,02+82從小到大排列為.

【答案】(1)>(2]a<2ab<^<a2+hi<b

【解析】(1)(。3+in)一(公萬(wàn)+abz)=a3-\-b3—a2b—ab2

=az(a—b)~bi(a—b)=(a—b)(a2—hi)

—(a-b)2(a+b),

?>0>b>0且.'.(a—b)2>0,a+b>0,

(<Z3+&3)—(azb—ah2)>0,即ai+b3>a2b+ab2.

(2)：0<a<b且a+b=1,.".fz<^<Z?<l,2b>1且2a<1,

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，av2/7?a=24(l-[)=-2或+2〃=-+；<)口卩a<2ab<^.

又a2+b2=(a+b)2—2ab=1-2ab>\一；=g，即a2+te>；.

***gvbvl,，(42+核)一b=[(1—。)2+b2]—6=2垃一3b+1=(2。-1)S—1)vO.

考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)

【例2】⑴己知。，4c滿足c〈Z?vm且ocvO,那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()

A.ab>acB.c(b—a)<0

C.cb2<abiD.ac(a-c)>0

(2)(一題多解)若^<|<0,給出下列不等式：①，工<￡;?\a\+b>0；③。―今汕一5；④Ina2>ln枕.其中

正確的不等式是()

A.①④B.??C.①③D.@@

【答案】(1)A(2)C

【解析】⑴由c<b<a且ac<Or知cvO且。>0.由b>c,得ab>ac一定成立.

(2)法一因?yàn)椋?lt;/<0,故可取“=-1,b=-2.

顯然⑷+/7=1-2=—1<0,所以②錯(cuò)誤；因?yàn)镮n02=ln(-l)2=0,In歷=ln(-2)2=ln4>0,所以④錯(cuò)誤.

綜上所述，可排除A,B,D.

法二tlj-<T<0.可知b<“<0.①中，因?yàn)閍+h<0,ab>0,所以]厶<0,丄>0.故有[人<丄,即①

aba+baba+bab

正確：

②中，因?yàn)椤╒a<0,所以一6>—a>0.故一6>lal,即lal+/><0,故②錯(cuò)誤；

③中，因?yàn)?VaVO,又34<0,則一十>卄>。,

所以“一、>/>—1,故③正確；

④中，因?yàn)楦鶕?jù)y=x2在(-8,0)上為減函數(shù)，可得歷>〃2>0,而)=lnx在定義域(0,+oo)±

為增函數(shù)，所以InZn>ln“2,故④錯(cuò)誤.由以上分析，知①③正確.

【規(guī)律方法】

解決此類題目常用的三種方法：

(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；

(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件；

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(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)

等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

【訓(xùn)練2】(1)(2019?東北三省四市模擬)設(shè)a,b均為實(shí)數(shù),則%>1勿”是“。3>加,'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(2)設(shè)a>6>l,c<0,給出下列三個(gè)結(jié)論:

①品糸?ac<bc-,③log/。-c)>log“(b—c).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①B.①?C.②③D.①②③

【答案】(1)A(2)D

【解析】(1)。>同能推出進(jìn)而得。3>加;當(dāng)G>加時(shí)，有42，但若b<z/<0,則。>依不成立，所以%>必|”

是“公>加”的充分不必要條件.

(2)由不等式性質(zhì)及。>比>1,知U，又c<0,

二%糸①正確；構(gòu)造函數(shù)y=x。，??'ey。，，尸/在⑴，+s)上是單調(diào)遞減的,

又a>b>l,a(<bc,②正確；Va>h>l,c<0,'.a—c>b—c>\,

log/；(a—c)>log(((a—c)>log(((b~c),③正確.

考點(diǎn)三不等式及其性質(zhì)的應(yīng)用

角度1不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

【例3一1](2017?北京卷)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：

(1)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；

(2)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；

(3)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).

①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為.

②該小組人數(shù)的最小值為.

【答案】①6②12

【解析】令男學(xué)生、女學(xué)生、教師人數(shù)分別為x,y,z，且2Z>A>)>Z，①若教師人數(shù)為4,貝ij4<y<r<8,

當(dāng)x=7時(shí)，y取得最大值6.②當(dāng)z=l時(shí)，l=z<ya<2,不滿足條件；當(dāng)z=2時(shí)，2=z<ya<4,不滿足條件;

當(dāng)z=3時(shí)，3=Z<)<A<6,y=4,x=5,滿足條件.所以該小組人數(shù)的最小值為3+4+5=12.

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角度2利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

【例3—2】(經(jīng)典母題)已知一1。<4,2<)，<3,則x—y的取值范圍是,3x+2y的取值范圍是.

【答案】(-4,2)(1,18)

【解析】因?yàn)橐籰<r<4,2<><3,所以一3〈一)，〈一2,所以一4<x-yv2.山一l<x<4,2<><3,得一3v3xvl2,

4<2y<6,所以l<3x+2><18.

【遷移探究1】將本例條件改為“一1。<產(chǎn)3"，求x—y的取值范圍.

【答案】見解析

【解析】因?yàn)橐??3,-所以一3v—yvl,-4<x—y<4.①又因?yàn)閤vy,所以x—yvO,②，由①②

得一4<x—y<0,故x—y的取值范圍是(一4,0).

【遷移探究2】將本例條件改為“已知一la—y<4,2<x+y<3"，求3x+2y的取值范圍.

【答案】見解析

【解析】設(shè)3x+2y=，x—y)+Mx+y),即3x+2y=q+〃)x+a—2)y,

r.=i

U+//=3,，—亍i5

于是｛,解得］_???3尤+2丫=式￥—y)+5(x+y).<—1<%—yv4,2<x+yv3,

，T=2,I522.

fi2,

一：<；(%—y)v2,5<|(x+y)<^?y)+1(x+y)<-^.

故3x+2y的取值范圍是g,y).

【規(guī)律方法】

1.解決有關(guān)不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)抓住關(guān)鍵字詞，例如“要”“必須”“不少于”“大于”等，從而建立相應(yīng)的方

程或不等式模型.

2.利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在

多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的

整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.

【訓(xùn)練3】(1)已知甲、乙兩種食物的維生素A,B含量如下表：

甲乙

維生素A(單位/kg)600700

維生素B(單位/kg)800400

設(shè)用甲、乙兩種食物各xkg、ykg配成至多100kg的混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生

素A和62000單位維生素B,則x,y應(yīng)滿足的所有不等關(guān)系為.

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(2)(2019?青島測(cè)試)已知實(shí)數(shù)ad(l,3),￡),則￡的取值范圍是.

x+y<100,

<6x+7y>560,

【答案】⑴C丄.…⑵(4,24)

2x+y>155,

%0,y>0

【解析】（l）x,y所滿足的關(guān)系為

A+><100,x+><100,

<600x+700y>56000,<6x+7y>560.

即

800x+400y>62000,2.r+y>155,

x>0,>>0,x>0,y>0.

（2）依題意可得4<\<8,又l<a<3,所以4<，<24.

【反思與感悟】

1.比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比較法之一作差法的主要步驟為作

差——變形——判斷正負(fù).

2.判斷不等式是否成立，主要有利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗(yàn)證兩種方法，特別是對(duì)于有一定條件限制的選

擇題，用特殊值驗(yàn)證的方法更簡(jiǎn)單.

【易錯(cuò)防范】

1.運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，注意不等式性質(zhì)成立的條件以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，比如減法可以轉(zhuǎn)化為加

法，除法可以轉(zhuǎn)化為乘法等.但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性

質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍.

2.形如例3—2探究2題型的解決途徑：先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，再通過(guò)“一次

性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.

【分層訓(xùn)練】

【基礎(chǔ)鞏固題組】（建議用時(shí)：35分鐘）

一、選擇題

1.限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40km/h,寫成不等式為（）

A.v<40km/hB.v>40km/h

C.v/40km/hD.v<40km/h

【答案】D

【解析】由汽車的速度v不超過(guò)40km/h,即小于等于40km/h,即心40km/h,故選D.

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2.若貝X)=3.V2—x+1,g(x)=2x2+x—1,則/(x),g(x)的大小關(guān)系是()

A於)=g(x)B式x)>g(x)

C貝x)Vg(x)D.隨x的值變化而變化

【答案】B

【解析】f（x）-g（x）=x2—2x+2=（x—l）2+l>0=f（x）>g（x）.

3.若°,b都是實(shí)數(shù)，則“/一徳>0”是S一拉>0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】,一的>0=>/ii*E=a>b=a2>b2,但由a2—b2>0不能推出出一.故選A.

4.若a,b&R,且。+而<0,則下列不等式中正確的是（）

A.〃一。>0B.〃3+b3>0

C.a2~b2<0D.a+b<0

【答案】D

【解析】由。+冏<0知，a<0,且⑷>lbl,當(dāng)桁0時(shí)，a+Z?<0成立，當(dāng)AO時(shí).，〃+反0成立，所以“+A0,

故選D.

5.（2019?北京東城區(qū)綜合練習(xí)）已知x,yGR,那么“x>y”的充要條件是（）

A.2v>2yB.lgx>lgy

11

c->-D.x2>y2

xy

【答案】A

【解析】因?yàn)?x>2yox>y,所以“2x>2y”是“x>y”的充要條件，A正確;1gx>lgyox>y>0,則“l(fā)gx>lgy”

是“x>y”的充分不必要條件，B錯(cuò)誤；和“x2>y2”都是“x>y”的既不充分也不必要條件.

6.（2018?湖州質(zhì)檢）若實(shí)數(shù)加，〃滿足心〃>0,則（）

ii

A.-----<----

tnn

D.m2<mn

【答案】B

【解析】取，”=2,n=\,代入各選擇項(xiàng)驗(yàn)證A,C,D不成立.近一1V6二T只有B項(xiàng)成立.

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7.已知Ov號(hào),且知=擊+之，％=言+備，則M,N的大小關(guān)系是（）

A.M＞NB.MvN

C.M=ND.不能確定

【答案】A

【解析】因?yàn)镺vavJ,所以l+a>0,1+/?>0,1一出?>0,所以丄"+H=1J厶>0.故選A.

b1+以\+b1+a+b+ab

8.已知函數(shù)/(x)=x3+ar2+bx+c.且0<択-1)=八-2)=八-3)^3,則()

A.c<3B.3<c<6

C.6<c<9D.c?>9

【答案】C

【解析】由八-1)=./(-2)=/(—3)

-1+〃-b+c=-8+4。一2b+c,a=6,

得解得則/U)=X3+6X2+llx+c,

-1+a-b+c=-21+9a-3b+cf。=11,

由吋(一1)W3,得0<—1+6—11+cS3,B|j6<c<9.

二、填空題

9.泌修5P75A2改編）昔%______&_1_帀（填，"Y或

【答案】＜

【解析】分母有理化有游鼻=木+2,而、底=&+,，顯然小+2＜灰+4，所以心不加1覧.

10.設(shè)犬x）=ox2+bx,若IV—1）02,2＜/（1）＜4,則八-2）的取值范圍是.

【答案】（5,10]

【解析】設(shè)八-2）=旬（-1）+唄”為待定系數(shù)），則4a—2b=Ma-b）+“（a+?,

即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.

[m+n=4,f/n=3,

于是得c解得??\A—2)=浜-l)+y(l).又???ig(-1)W2,2<?1)<4.

[n-m=-2f1/1=1.

.?.5<3/(-i)+y(i)<io,故5gL2)wo.

IL已知小b,c,〃均為實(shí)數(shù)，則下列命題：

①若ab>0,bc—ad>09則；—3。；

②若ab>Oj^>0,則bc-ad>0；

cd

③若bc—ad>0,--^>0,則ah>0.

拼搏的你，背影很美!

努力的你，未來(lái)可期!

其中正確的命題是（填序號(hào)）.

【答案】①②③

/?//be-ad

【解析】bc~ad>0,~癡~>0,???①正確；

cdbe-ad_

Vab>0,又[一石>°，即-正~>0,：.bc—ad>3???②正確；

Vbc-ad>0i又￡—（>0,即厶"">0,...出>0,???③正確.故①②③都正確.

12.已知Q>0,fe>0,〃邦，則次電與（"）四的大小關(guān)系是.

2

【答案】aubb>（ab尸1

2

【解析】一2.當(dāng)“泌>。時(shí)，^>1?^丄>0，則2>1?:?aubb>（abf".

2

（ab）2

a~~b

當(dāng)/?0時(shí)，0<^<1,42則2>1，:.aabb>（abf'j

【能力提升題組】（建議用時(shí)：20分鐘）

13.已知0<〃&,且〃+b=l,則下列不等式中正確的是（）

A.logw>0B.2?-/><2

C.log2?+log26V—2D.2：+"$

【答案】C

【解析】由題意知0v〃vl,此時(shí)log/zvO,A錯(cuò)誤；由已知得0<avl,0</?<1,所以一lv—。<0,又a<b,

所以一l<a—從0,所以《<2K1,B錯(cuò)誤；因?yàn)椋╔aQ,所以"2>2、應(yīng)=2,所以唳+纟>22=4,D錯(cuò)誤;

2bababa

由。+6=1>2^^,得〃bv；,因此Iog2〃+log2b=log2（〃b）vlog2"=-2,C正確.

[a,a<b