2023中考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)匯編特訓(xùn) 專題13二次函數(shù)解答壓軸題(共30道)(原卷版+解析)

專題13二次函數(shù)解答壓軸題（30道）一、解答題1．（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，射線軸于點(diǎn)，若，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，連接，若，求面積．2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式．(2)直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作直線軸，交于點(diǎn)F，連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)M．若，，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．3．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．(3)如圖2，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與平行，則在直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求，的值；(2)如圖①，是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；(3)如圖②，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作的垂線與過(guò)點(diǎn)且平行于的直線交于點(diǎn)，為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，使，是軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè)，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，使，若，求直線的解析式．5．（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與拋物線交于B，C兩點(diǎn)（B在C的左邊）．

(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A，，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；(3)定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作格點(diǎn)，如，等均為格點(diǎn)．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，求a的取值范圍．6．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于B，D兩點(diǎn)，以為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，圓C與直線m交于對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，直線m上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于1．(1)求拋物線的解析式；(2)證明：圓C與x軸相切；(3)過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E，再過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，求的值．7．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門(mén)，并要求所設(shè)計(jì)的拱門(mén)的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案．現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門(mén)的跨度，拱高．其中，點(diǎn)N在x軸上，，．方案二，拋物線型拱門(mén)的跨度，拱高．其中，點(diǎn)在x軸上，，．要在拱門(mén)中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)）．方案一中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在方案一中，當(dāng)時(shí)，求矩形框架的面積并比較，的大?。?．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式和的值．(2)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖（2），作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接，作以為直徑的圓．點(diǎn)是圓在軸上方圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與圓弧的端點(diǎn)重合，但與圓弧的另一個(gè)端點(diǎn)可以重合），平移線段，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，線段的對(duì)應(yīng)線段為，連接，，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)，求的值．9．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)，在軸上，，．拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)如圖1，若拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若拋物線與正方形恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．11．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探究完成任務(wù)．如何把實(shí)心球擲得更遠(yuǎn)？素材1小林在練習(xí)投擲實(shí)心球，其示意圖如圖，第一次練習(xí)時(shí)，球從點(diǎn)A處被拋出，其路線是拋物線．點(diǎn)A距離地面，當(dāng)球到OA的水平距離為時(shí)，達(dá)到最大高度為．

素材2根據(jù)體育老師建議，第二次練習(xí)時(shí)，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點(diǎn)A處被拋出，恰好越過(guò)橫線，測(cè)得投擲距離．

問(wèn)題解決任務(wù)1計(jì)算投擲距離建立合適的直角坐標(biāo)系，求素材1中的投擲距離．任務(wù)2探求高度變化求素材2和素材1中球的最大高度的變化量任務(wù)3提出訓(xùn)練建議為了把球擲得更遠(yuǎn)，請(qǐng)給小林提出一條合理的訓(xùn)練建議．12．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作直線，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．13．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；②過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)，在軸正半軸上，，點(diǎn)在線段上，以線段，為鄰邊作矩形，連接，設(shè)．連接，當(dāng)與相似時(shí)，求的值；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．15．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點(diǎn)，且自變量的部分取值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值如下表：

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求的值；(3)若將線段先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，其中為常數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．16．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸是直線．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小．求點(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．17．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求k的值；(3)如圖2，如果把直線沿y軸向上平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線的交點(diǎn)分別是，，直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若．求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)B在拋物線上，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C、當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求出此三角形的邊長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在二次函數(shù)對(duì)稱軸上，當(dāng)面積為5時(shí)，求P坐標(biāo)；(3)小明認(rèn)為，在第三象限拋物線上有一點(diǎn)D，使；請(qǐng)判斷小明的說(shuō)法是否正確，如果正確，請(qǐng)求出D的坐標(biāo)；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．

(1)如圖，若，拋物線的對(duì)稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出時(shí)的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若為軸上的點(diǎn)，為軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；(3)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，且，求正整數(shù)m，n的值．21．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為．(1)若對(duì)于，有，求的值；(2)若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．23．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)，將直線沿直線翻折，交x軸于點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，以線段為邊向上作正方形．①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為時(shí)，求a的值．24．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出，的值；(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．25．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)連接，求線段的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．比較大?。篲__________；(3)若點(diǎn)在拋物線上，，求的取值范圍．26．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，連接．點(diǎn)分別在線段上，連接與交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)隨著點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；②線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)線段的中點(diǎn)在該二次函數(shù)的因象的對(duì)稱軸上時(shí)，的面積為．27．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．28．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點(diǎn)在處，對(duì)稱軸與水平線垂直，，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離是1．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點(diǎn)，加裝拉桿，同時(shí)使拉桿的長(zhǎng)度之和最短，請(qǐng)你幫小星找到點(diǎn)的位置并求出坐標(biāo)；(3)為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計(jì)拋物線，其表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．29．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)該拋物線與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求的值．(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿足條件的的值．30．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)是線段上一點(diǎn)，連接，且．①求證：是直角三角形；②的平分線交線段于點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

專題13二次函數(shù)解答壓軸題（30道）一、解答題1．（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，射線軸于點(diǎn)，若，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，連接，若，求面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將點(diǎn)，代入拋物線得到，解方程組即可得到答案；（2）設(shè)，，則，則，，從而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線解析式，求出的值即可得到答案；（3）求出直線的表達(dá)式，利用，得到，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)，，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）解：，設(shè)，，，，，點(diǎn)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，，解得：（舍去）或，；（3）解：設(shè)點(diǎn)，直線的解析式為，，，解得：，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，，，在拋物線中，當(dāng)時(shí)，，，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合，主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、三角形面積的計(jì)算，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式．(2)直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作直線軸，交于點(diǎn)F，連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)M．若，，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求解函數(shù)的解析式；（2）分別過(guò)，向軸作垂線，垂足為，，根據(jù)證得，從而，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出，坐標(biāo)，再列方程求解即可；（3）將平移到，連接，則；過(guò)作于，過(guò)作軸于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交軸于，設(shè)，則，，，由可得，從而，設(shè)由可得，，，再求出點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線解析式中即可求得或，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把和代入到解析式中可得，解得，拋物線的解析式為：；（2）直線中，令，則，所以，直線中，令，則，所以，分別過(guò)，向軸作垂線，垂足為，，

根據(jù)題意可得，軸，軸，和為直角三角形，在和中，，，，設(shè)，則，，，從而，，則有，解得（舍去），或，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；（3）將平移到，連接，則四邊形為平行四邊形，，過(guò)作于，過(guò)作軸于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交軸于，，可設(shè)，則，∴，則，

設(shè)，軸，，，，，，，，，，，，，，，，則，，，，代入拋物線解析式中有：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與相似三角形綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切的定義等知識(shí)，解題關(guān)鍵是在坐標(biāo)系中利用等線段構(gòu)造全等進(jìn)行計(jì)算，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．3．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．(3)如圖2，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與平行，則在直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式直接得出結(jié)果；（2）作于，作于，交于，先求出拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而求得，坐標(biāo)及的長(zhǎng)，從而得出過(guò)的直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，根據(jù)的△求得的值，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得上的高的值，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，設(shè)，根據(jù)求得的值，可推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣方法得出結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：如圖1，作于，作于，交于，，，，，拋物線的對(duì)稱軸是直線：，，，，，故只需的邊上的高最大時(shí)，的面積最大，設(shè)過(guò)點(diǎn)與平行的直線的解析式為：，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，由得，，由△得，得，，，，，，，，；（3）解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，設(shè)，由得，，，（舍去），，∵，，，四邊形是平行四邊形，，，∴；如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由上可知：，同理可得：，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分類討論．4．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求，的值；(2)如圖①，是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；(3)如圖②，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作的垂線與過(guò)點(diǎn)且平行于的直線交于點(diǎn)，為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，使，是軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè)，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，使，若，求直線的解析式．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）把點(diǎn)，代入拋物線解析式，得方程組，求出，的值即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，由（1）知，拋物線的解析式是，得，根據(jù)“是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為”，得，根據(jù)，代入整理即可得到關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）以為一邊作，的另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；作，垂足為；作，垂足為；作軸，垂足為；根據(jù)和，求出，根據(jù)“，，，”推理出，，得到，結(jié)合，推理出，用證，用證，推理出，根據(jù)“，”，得出，，，代入，求出，勾股定理算出，根據(jù)“，”，設(shè)，則，，代入，算出，運(yùn)用勾股定理計(jì)算，計(jì)算，結(jié)合點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，得，設(shè)直線的解析式為，把，代入求出完整解析式即可．【詳解】（1）點(diǎn)，在拋物線上，，解得：，，（2）由（1）知，拋物線的解析式是，是拋物線與軸的交點(diǎn)，時(shí)，，，，如下圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，是第二象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，（3）如下圖，以為一邊作，的另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；作，垂足為；作，垂足為；作軸，垂足為，，由（2）知，，，，，，，，即，，，，，，，，，又，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，軸，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，又點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得：，解得：，直線的解析式為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，難度大，結(jié)合全等三角形、勾股定理、三角函數(shù)解直角三角形知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用知識(shí)、畫(huà)出輔助線、數(shù)形結(jié)合、分析與計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與拋物線交于B，C兩點(diǎn)（B在C的左邊）．

(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A，，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；(3)定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作格點(diǎn)，如，等均為格點(diǎn)．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）對(duì)于直線，令，求出x，即可求解；（2）表示出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，利用勾股定理解方程求解，注意直角頂點(diǎn)不確定，需分類討論；（3）直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點(diǎn)只能落在軸和直線上，各為13個(gè)，分別求出的范圍．【詳解】（1）解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：聯(lián)立直線與拋物線得：，，或，，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，，，，若，則，即，所以，若，則，即，所以，若，則，即，此方程無(wú)解．或；（3）解：如圖，直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點(diǎn)只能落在軸和直線上，

，，，，格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，落在軸和直線上的格點(diǎn)數(shù)應(yīng)各為13個(gè)，落在軸的格點(diǎn)應(yīng)滿足，即，①若，即，所以線段上的格點(diǎn)應(yīng)該為，，，，②若，，，所以線段上的格點(diǎn)正好13個(gè)，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是弄清格點(diǎn)只能落在軸和直線上，各為13個(gè)，并對(duì)點(diǎn)、進(jìn)行定位．6．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于B，D兩點(diǎn)，以為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，圓C與直線m交于對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，直線m上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于1．(1)求拋物線的解析式；(2)證明：圓C與x軸相切；(3)過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E，再過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，求的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】〔1〕可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，再結(jié)合拋物線過(guò)點(diǎn)，可求得拋物線的解析式；〔2〕聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，那么可求得C點(diǎn)坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)，可求得圓的半徑，可證得結(jié)論；〔3〕過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，連接，可求得，利用〔2〕中所求B、D的坐標(biāo)可求得，那么可求得和的長(zhǎng)，可求得其比值．【詳解】（1）解：拋物線的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可設(shè)拋物線解析式為，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得，

拋物線解析式為；（2）解：聯(lián)立直線和拋物線解析式可得，解得或，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，圓的半徑為，點(diǎn)到軸的距離等于圓的半徑，圓與軸相切；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為H，連接，由〔2〕可知，，在中，由勾股定理可求得，，，，．【點(diǎn)睛】此題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．在〔1〕中注意利用拋物線的頂點(diǎn)式，在〔2〕中求得B、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在〔3〕中求得、的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．此題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，難度較大．7．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門(mén)，并要求所設(shè)計(jì)的拱門(mén)的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案．現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門(mén)的跨度，拱高．其中，點(diǎn)N在x軸上，，．方案二，拋物線型拱門(mén)的跨度，拱高．其中，點(diǎn)在x軸上，，．要在拱門(mén)中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)）．方案一中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在方案一中，當(dāng)時(shí)，求矩形框架的面積并比較，的大?。敬鸢浮?1)(2)，【分析】（1）利用待定系數(shù)法則，求出拋物線的解析式即可；（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比較大小即可．【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入得：，解得：，∴；∴方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：在中，令得：，解得或，∴，∴；∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法則，求出函數(shù)解析式．8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式和的值．(2)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖（2），作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接，作以為直徑的圓．點(diǎn)是圓在軸上方圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與圓弧的端點(diǎn)重合，但與圓弧的另一個(gè)端點(diǎn)可以重合），平移線段，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，線段的對(duì)應(yīng)線段為，連接，，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)，求的值．【答案】(1)，(2)不存在，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入得到二元一次方程組求解可得，的值，可確定二次函數(shù)的解析式，再令，解關(guān)于的一元二次方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定的值；（2）不存在．設(shè)，根據(jù)，可得，根據(jù)，可確定方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即可作出判斷；（3）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及判定可得，，再根據(jù)為圓的直徑，可得，然后分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，由平移的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，從而得到，，再證明，可得，可得的值；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得，，代入可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，得：，解得：，，∴，∴二次函數(shù)的解析式為，；（2）不存在．理由如下：如圖，設(shè)，∵，，，∴，，，∵點(diǎn)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上，且，∴，整理得：，∵，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴不存在符合條件的點(diǎn)；

（3）如圖，設(shè)交軸于點(diǎn)，∵，，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∵，∴，∴，∵為圓的直徑，∴，∵平移線段，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，線段的對(duì)應(yīng)線段為，①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，在和中，∵，，∴，∵，∴，又∵，在和中，，∴，∴，∴，∴，②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，，∴，綜上所述，的值為．

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程的應(yīng)用，直徑所對(duì)的圓周角為直角，對(duì)稱和平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了分類討論的思想．找到全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）方法一：連接，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．先求得直線的表達(dá)式為：．再設(shè)，，則，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；方法二：令拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；（3）如下圖，連接，，由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明得．從而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解，又連接，，，證．得，又證．得．進(jìn)而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，解得．∴拋物線的表達(dá)式為：．（2）解：方法一：如下圖，連接，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．∵，∴．令中，則，解得或，∴，設(shè)直線為，∵過(guò)點(diǎn)，，，∴，解得，∴直線的表達(dá)式為：．設(shè)，，∴．∴．∵，∴．整理得，解得．∴．方法二：如下圖，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，∴，∴．∵，∴．整理得，解得．∴．（3）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．如下圖，連接，，∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴是等邊三角形．∴，∵，，，∴，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，，∴是等邊三角形，，∴，∴即，，∴．∴．∴直線的表達(dá)式為：．與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．如下圖，連接，，，同理可證：是等邊三角形，是等邊三角形，．∴，∵，，∴．∴．∴．∴直線的表達(dá)式為：．與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的應(yīng)用，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)，在軸上，，．拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)如圖1，若拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若拋物線與正方形恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）將點(diǎn)，代入拋物線，利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，再令，求出值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入解析式，利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)平移的性質(zhì)，得到點(diǎn)，將點(diǎn)P代入，求出的值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)正方形和點(diǎn)C的坐標(biāo)，得出，，，將代入，求得，進(jìn)而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，分兩種情況討論：①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在正方形內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)拋物線與直線交點(diǎn)在點(diǎn)上方，且與直線交點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，分別列出不等式組求解，即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線過(guò)點(diǎn)，，解得：，拋物線表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去），，；（2）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，直線過(guò)點(diǎn)，，，解得：，直線的表達(dá)式為：，點(diǎn)在拋物線上，設(shè)點(diǎn)，，，且由平移得到，點(diǎn)向左平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，

點(diǎn)在直線上，將代入，，整理得：，解得：，（舍去），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）解：四邊形是正方形，，，，，點(diǎn)A和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，將代入，得：，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，①如圖，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在正方形內(nèi)部時(shí)，與正方形有兩個(gè)交點(diǎn)，

，解得：；②如圖，當(dāng)拋物線與直線交點(diǎn)在點(diǎn)上方，且與直線交點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，與正方形有兩個(gè)交點(diǎn)，

，解得：，綜上所述，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與直線交點(diǎn)問(wèn)題，解一元二次方程，解一元一次不等式組等知識(shí)，利用分類討論的思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探究完成任務(wù)．如何把實(shí)心球擲得更遠(yuǎn)？素材1小林在練習(xí)投擲實(shí)心球，其示意圖如圖，第一次練習(xí)時(shí)，球從點(diǎn)A處被拋出，其路線是拋物線．點(diǎn)A距離地面，當(dāng)球到OA的水平距離為時(shí)，達(dá)到最大高度為．

素材2根據(jù)體育老師建議，第二次練習(xí)時(shí)，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點(diǎn)A處被拋出，恰好越過(guò)橫線，測(cè)得投擲距離．

問(wèn)題解決任務(wù)1計(jì)算投擲距離建立合適的直角坐標(biāo)系，求素材1中的投擲距離．任務(wù)2探求高度變化求素材2和素材1中球的最大高度的變化量任務(wù)3提出訓(xùn)練建議為了把球擲得更遠(yuǎn)，請(qǐng)給小林提出一條合理的訓(xùn)練建議．【答案】任務(wù)一：4m；任務(wù)二：；任務(wù)三：應(yīng)該盡量提高擲出點(diǎn)的高度、盡量提高擲出點(diǎn)的速度、選擇適當(dāng)?shù)臄S出仰角【分析】任務(wù)一：建立直角坐標(biāo)系，由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出解析式，當(dāng)時(shí)求出x的值即可得到；任務(wù)二：建立直角坐標(biāo)系，求出任務(wù)二的拋物線解析式，得到頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，與任務(wù)一的縱坐標(biāo)相減即可；任務(wù)三：根據(jù)題意給出合理的建議即可．【詳解】任務(wù)一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，得（舍去），∴素材1中的投擲距離為4m；（2）建立直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)素材2中拋物線的解析式為，由題意得，過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，（m），∴素材2和素材1中球的最大高度的變化量為；任務(wù)三：應(yīng)該盡量提高擲出點(diǎn)的高度、盡量提高擲出點(diǎn)的速度、選擇適當(dāng)?shù)臄S出仰角．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求函數(shù)解析式，求拋物線與坐標(biāo)軸的距離，正確理解題意建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵．12．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作直線，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)直角三角形三角函數(shù)值可得，，進(jìn)而可得的周長(zhǎng)，結(jié)合已知條件可得，設(shè)，則，，從而可得方程，解方程即可；（3）先求出，，設(shè)，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，通過(guò)證明，求出，再求出直線的解析式為，將點(diǎn)代入解析式求出n的值即可．【詳解】（1）解：將，代入，可得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：，，，，，，，的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍，，設(shè)直線的解析式為，將，代入可得，解得，直線的解析式為，設(shè)，則，，，，，解得，（舍），，；（3）解：，當(dāng)時(shí)，y取最大值，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，

由題意知，，，，又，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得或，或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；②過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)①當(dāng)時(shí)，的面積由最大值，最大值為；②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，易得，根據(jù)的面積，可得的面積，即可求解；②由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為，則，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，可得：，解得：，即：，；（2）①由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)的解析式為：，將，代入中，可得，解得：，∴的解析式為：，過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，

∵，則，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為，則縱坐標(biāo)為，∴，的面積，∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為；②存在，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．理由如下：由①可知，由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵軸，∴，，則，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時(shí)，即點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時(shí)：，即點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行分類討論．14．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)，在軸正半軸上，，點(diǎn)在線段上，以線段，為鄰邊作矩形，連接，設(shè)．連接，當(dāng)與相似時(shí)，求的值；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①或；②或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①利用已知條件用含a的代數(shù)式表示出點(diǎn)E，D，F(xiàn)，G的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段的長(zhǎng)度，利用分類討論的思想方法和相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于a的方程，解方程即可得出結(jié)論；②利用已知條件，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)求得，和的長(zhǎng)，利用分類討論的思想方法分三種情形討論解答利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)度即可得出結(jié)論；【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，解得：此拋物線的解析式為（2）令，則解得：或，∴．∵,∴四邊形為矩形，∴∴∴Ⅰ當(dāng)時(shí)，∴∴∴Ⅱ當(dāng)時(shí)，∴∴∴綜上，當(dāng)與相似時(shí)，的值為或；點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴∴∴

四邊形為平行四邊形，在和中，Ⅰ、當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，，，三點(diǎn)在一條直線上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則∴此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

Ⅱ當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，，，設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則軸，．，，．，．，，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；Ⅲ當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，，，，，，三點(diǎn)在一條直線上，則，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．綜上，當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度和正確利用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵15．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點(diǎn)，且自變量的部分取值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值如下表：

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求的值；(3)若將線段先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，其中為常數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)且或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的表達(dá)式即可；（2）連接，，過(guò)點(diǎn)R作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，分別表示出、的長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義即可得到的值；（3）分和兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由表格可知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，代入得到，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)R作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)，則，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即，則，∴，，∴，即的值為；（3）由表格可知點(diǎn)、，將線段先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到、，由題意可得，二次函數(shù)，與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在下方，當(dāng)時(shí)，，即，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，即，解得，∴，此時(shí)滿足題意，當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在上時(shí)，，解得，此時(shí)滿足題意，將點(diǎn)代入得到，解得，將點(diǎn)代入得到，解得，∴，此時(shí)滿足題意，

綜上可知，且或．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、不等式的應(yīng)用等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．16．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸是直線．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)，的最小值為(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，求出直線的解析式，解析式與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng)，即為的最小值；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，設(shè)，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)為；（2）當(dāng)時(shí)，，∴，連接，

∵，∴，∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，∵點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，∴；∴點(diǎn)，的最小值為；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，設(shè)拋物線的解析式為：，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則：，由（2）知：直線：，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對(duì)稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．17．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求k的值；(3)如圖2，如果把直線沿y軸向上平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線的交點(diǎn)分別是，，直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若．求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為，，，，把，代入，得：，解得：，拋物線的解析式為（2）直線表達(dá)式，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，將過(guò)點(diǎn)的直線旋轉(zhuǎn)觀察和新圖象的公共點(diǎn)情況把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的解析式為，新圖象表達(dá)式為：時(shí)，；或時(shí)，，如下圖當(dāng)直線與翻折上去的部分拋物線相切時(shí)，和新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，

聯(lián)立，得：，整理得：，，，，，時(shí)，即如上圖所示，符合題意，時(shí)，如下圖所示，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

不符合題意，故舍去，如下圖，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，和新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，

把代入，得：，解得：，綜上所述，當(dāng)平面內(nèi)的直線與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的值為或（3）在拋物線上，設(shè)坐標(biāo)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，（舍去），，代入，點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合、翻折、交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合一元二次方程、三角函數(shù)解直角三角形知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握、綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．18．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)B在拋物線上，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C、當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求出此三角形的邊長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在點(diǎn)F，當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸和過(guò)點(diǎn)列二元一次方程組求解即可；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)M作交于D，設(shè)點(diǎn)，則；然后表示出，再根據(jù)是等邊三角形可得,，根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形可得，進(jìn)而求得即可解答；（3）如圖可知：線段為菱形的邊和對(duì)角線，然后通過(guò)作圖、結(jié)合菱形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解答．【詳解】（1）解：由題意可得：，解得：，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；當(dāng)時(shí)，，則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（2）解：如圖：過(guò)點(diǎn)M作交于D，設(shè)點(diǎn)，則,∴，∵是等邊三角形,∴,∴,即，解得：或（舍去）∴，，∴該三角形的邊長(zhǎng)．（3）解：存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形①如圖：線段作為菱形的邊，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，作關(guān)于直線的對(duì)稱線段交于E，連接,作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，即為菱形，由對(duì)稱性可得F的坐標(biāo)為，故存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，此時(shí)．當(dāng)為菱形對(duì)角線時(shí)，，設(shè)，，則，解得：或，∴或②線段作為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖：設(shè)∵菱形,∴,的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴，解得，∴，設(shè)，則有：，解得：，∴．

綜上，當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．19．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在二次函數(shù)對(duì)稱軸上，當(dāng)面積為5時(shí)，求P坐標(biāo)；(3)小明認(rèn)為，在第三象限拋物線上有一點(diǎn)D，使；請(qǐng)判斷小明的說(shuō)法是否正確，如果正確，請(qǐng)求出D的坐標(biāo)；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或(3)正確，【分析】（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）首先求出直線解析式，然后通過(guò)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，并表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用“割補(bǔ)法”計(jì)算的面積表達(dá)式并建立方程求解即可；（3）首先連接，，設(shè)與對(duì)稱軸交點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)為，連接，延長(zhǎng)與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，根據(jù)已知信息求出，然后推出，從而在中求出，確定出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線解析式，通過(guò)與拋物線解析式聯(lián)立，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：將代入得：，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：由拋物線可知，其對(duì)稱軸為直線，，設(shè)直線解析式為：，將，代入解得：，∴直線解析式為：，此時(shí)，如圖所示，作軸，交于點(diǎn)，

∵點(diǎn)P在二次函數(shù)對(duì)稱軸上，∴設(shè)，則，∴，∴，∵要使得面積為5，∴，解得：或，∴的坐標(biāo)為或；（3）解：正確，，理由如下：如圖所示，連接，，設(shè)與對(duì)稱軸交點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)為，連接，延長(zhǎng)與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，

由（1）、（2）可得，，∴，，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，，∴，，∵，∴，∴，在中，，∵且，∴，∴，即：在中，，∵，∴，∴，設(shè)直線解析式為：，將、代入解得：，∴直線解析式為：，聯(lián)立，解得：或（不合題，舍去）∴小明說(shuō)法正確，D的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問(wèn)題，包括“割補(bǔ)法”計(jì)算面積，以及解直角三角形等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并熟練運(yùn)用解三角形的方法進(jìn)行數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．20．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．

(1)如圖，若，拋物線的對(duì)稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出時(shí)的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若為軸上的點(diǎn)，為軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；(3)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，且，求正整數(shù)m，n的值．【答案】(1)；(2)；或,；(3)，或，【分析】（1）根據(jù)，拋物線的對(duì)稱軸為，待定系數(shù)法求解析式即可求解；當(dāng)時(shí)，求得的范圍，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象即可求解；（2）①連接，，交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，由四點(diǎn)共圓，得，證明，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，確定直線的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，勾股定理即可求解；②由①可得，則當(dāng)與重合時(shí)也存在等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．（3）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，可得拋物線對(duì)稱為直線，則，則，進(jìn)而令，求得的范圍，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象可知或，進(jìn)而分別討論求得的值，即可求解．【詳解】（1）解：∵，拋物線的對(duì)稱軸為．∴解得：∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，即解得：，∴當(dāng)時(shí)，（2）解：①如圖所示，連接，，交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，

∵，∴，則∴，，∵為等邊三角形，∴，∴，∴四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴．∴，∴，∵，，∴，∴，則，設(shè)直線的解析式為則解得：所以直線的解析式為聯(lián)立解得：或∴，∵，設(shè)，∵∴解得：∴；②由①可得，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，為等邊三角形則與對(duì)稱，此時(shí)，，綜上所述；；或，；（3）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，∴拋物線對(duì)稱為直線，則，則∴拋物線解析式為∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，解得：或∵，且為正整數(shù)，過(guò)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，∴或，當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入解析式，解得：∵則，當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入解析式解得：∵則，綜上所述，，或，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)特三角函數(shù)求角度，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意求得，，求得，則，進(jìn)而求得直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，證明，根據(jù)已知條件得出設(shè)，則，將點(diǎn)代入，即可求解．（3）根據(jù)題意可得，以為對(duì)角線作正方形，則，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，則對(duì)稱軸為直線，∴，解得：∴拋物線解析式為；（2）解：由，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，則，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，

∵，∴∵∴，則設(shè)，則即，將點(diǎn)代入即解得：或（舍去）當(dāng)時(shí)，，∴；（3）∵，，則，是等腰直角三角形，∴，由（2）可得，∵∴，由（2）可得，設(shè)直線的解析式為，則解得：∴直線的解析式為如圖所示，以為對(duì)角線作正方形，則，

∵，則，則，，設(shè)，則，解得：，，則，，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為則，，解得：，，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，∴解得：，則，解得：,則，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為．(1)若對(duì)于，有，求的值；(2)若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱軸即可求解；（2）根據(jù)題意可得離對(duì)稱軸更近，，則與的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，根據(jù)對(duì)稱性求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵對(duì)于，有，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵拋物線的對(duì)稱軸為．∴；（2）解：∵當(dāng)，，∴，，∵，，∴離對(duì)稱軸更近，，則與的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．23．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)，將直線沿直線翻折，交x軸于點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，以線段為邊向上作正方形．①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為時(shí)，求a的值．【答案】(1)，(2)(3)①，，；②【分析】（1）先求出，再求出拋物線對(duì)稱軸，根據(jù)題意可知C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，據(jù)此求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；（2）先求出，如圖，設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，利用勾股定理建立方程組，解得或（舍去），則，求出直線的解析式為，然后聯(lián)立，解得或，則；（3）分圖3-1，圖3-2，圖3-3三種情況，利用到x軸的距離之差即為縱坐標(biāo)之差結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∵拋物線解析式為，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∵過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D，∴C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，當(dāng)，即，解得或，∴；如圖，設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，∴，解得：，即∴，∴，解得或（舍去），∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或∴；

（3）解：①當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線恰好經(jīng)過(guò)；∵拋物線對(duì)稱軸為直線，由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過(guò)，∴點(diǎn)時(shí)拋物線與正方形的一個(gè)交點(diǎn)，又∵點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，∴拋物線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)；綜上所述，正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)為，，；

②如圖3-1所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、D，∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，∴點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為，∴，∴，解得（舍去）或；

如圖3-2所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、S，∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，∴，解得（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)D下方）

如圖3-3所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、S，∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，∴，∴，∴，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴不符合題意；

綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等等，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．24．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出，的值；(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點(diǎn)，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時(shí)，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時(shí)，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設(shè)直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點(diǎn)，使得，∴，設(shè)，則，則，解得，∴，即．如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，又∵，設(shè)，則．分類討論：ⅰ當(dāng)時(shí)，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．ⅱ當(dāng)時(shí)，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．綜上所示，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)連接，求線段的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．比較大?。篲__________；(3)若點(diǎn)在拋物線上，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）知道拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而求出結(jié)果；（2）用兩點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式，把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，再把，代入比較即可；（3）根據(jù)，則點(diǎn)P離對(duì)稱軸更近，可得，解不等式即可．【詳解】（1）解：由題意可得：，，∴；（2）解：由題意得：設(shè)拋物線：，拋物線：，由（1）得：，，∴，∴，∴，把代入拋物線得：，把代入拋物線得：，∵，∴；（3）解：∵，∴點(diǎn)P離對(duì)稱軸更近，∴，∴，∴；∴或∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)壓軸題，綜合性強(qiáng)，掌握數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．26．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，連接．點(diǎn)分別在線段上，連接與交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)隨著點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；②線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)線段的中點(diǎn)在該二次函數(shù)的因象的對(duì)稱軸上時(shí)，的面積為．【答案】(1)，(2)①的大小不變，理由見(jiàn)解析；②線段的長(zhǎng)度存在最大值為(3)【分析】（1）得，解方程即可求得的坐標(biāo)，把化為頂點(diǎn)式即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①在上取點(diǎn)，使得，連接，證明是等邊三角形即可得出結(jié)論；②由，得當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)最大，即當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最大，進(jìn)而解直角三角形即可求解；（3）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證四邊形是菱形，得，進(jìn)而證明得，再證，得即，結(jié)合三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴頂點(diǎn)為，令，，解得或，∴；（2）解：①的大小不變，理由如下：在上取點(diǎn)，使得，連接，

∵，∴拋物線對(duì)稱軸為，即，∵將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，，，∴，，，∴，

∴是等邊三角形，，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，又，∴是等邊三角形，∴，即的大小不變；②，∵，∴當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)最大，即當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最大，∵是等邊三角形，∴∴，∴，

∴，∴，∴，即線段的長(zhǎng)度存在最大值為；（3）解：設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴，，∵的中點(diǎn)為點(diǎn)，∴，

∴，∴，∵，∴，，∵的中點(diǎn)為點(diǎn)，是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴即，∴，

∴，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)以及解直角三角形，題目綜合性較強(qiáng)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．27．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線的解析式為，設(shè)，則，利用對(duì)稱性質(zhì)求得，推出，，利用矩形周長(zhǎng)公式列一元二次方程計(jì)算即可求解；（3）先求得直線的解析式為，分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設(shè)，則，由點(diǎn)M在直線上，列式計(jì)算，可求得m的值，利用平移的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴，