工程力學(xué)-靜力學(xué)基本原理與方法應(yīng)用于彈性體

第二篇材料力學(xué)工程力學(xué)第二篇材料力學(xué)工程力學(xué)1第5章桿件的內(nèi)力圖

第二篇材料力學(xué)工程力學(xué)第5章桿件的內(nèi)力圖第二篇材料力學(xué)工程力學(xué)2桿件在外力作用下，橫截面上將產(chǎn)生軸力、剪力、扭矩、彎矩等內(nèi)力分量。在很多情形下，內(nèi)力分量沿桿件的長(zhǎng)度方向的分布不是均勻的。研究強(qiáng)度問(wèn)題，需要知道哪些橫截面可能最先發(fā)生失效，這些橫截面稱(chēng)為危險(xiǎn)面。內(nèi)力分量最大的橫截面就是首先需要考慮的危險(xiǎn)面。研究剛度問(wèn)題雖然沒(méi)有危險(xiǎn)面的問(wèn)題，但是也必須知道內(nèi)力分量沿桿件長(zhǎng)度方向是怎樣變化的。為了確定內(nèi)力分量最大的橫截面，必須知道內(nèi)力分量沿著桿件的長(zhǎng)度方向是怎樣分布的。桿件的內(nèi)力圖就是表示內(nèi)力分量變化的圖形。本章首先介紹內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則；然后介紹軸力圖、扭矩圖和剪力圖與彎矩圖，重點(diǎn)是剪力圖與彎矩圖；最后討論載荷、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系及其在繪制剪力圖和彎矩圖中的應(yīng)用。

第5章桿件的內(nèi)力圖

桿件在外力作用下，橫截面上將產(chǎn)生軸力、剪力、3

基本概念與基本方法

軸力圖與扭矩圖

剪力圖與彎矩圖

結(jié)論與討論第5章桿件的內(nèi)力圖

返回總目錄基本概念與基本方法軸力圖與扭矩圖剪力圖4返回

基本概念與基本方法第5章桿件的內(nèi)力圖

返回基本概念與基本方法第5章桿件的內(nèi)力圖5確定外力作用下桿件橫截面上的內(nèi)力分量，重要的是正確應(yīng)用平衡的概念和平衡的方法。這一點(diǎn)與靜力分析中的概念和方法相似，但又不完全相同。主要區(qū)別在于，在靜力分析中只涉及共同系統(tǒng)或單個(gè)剛體的平衡，而在確定時(shí)，不僅要涉及單個(gè)構(gòu)件以及構(gòu)件系統(tǒng)的平衡，而且還要涉及構(gòu)件的局部的平衡。因此，需要將平衡的概念加以擴(kuò)展和延伸。

基本概念與基本方法確定外力作用下桿件橫截面上的內(nèi)力分量，重要的是正確應(yīng)6

整體平衡與局部平衡的概念

內(nèi)力與外力的相依關(guān)系

基本概念與基本方法

控制面

桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則

指定截面上內(nèi)力分量的確定整體平衡與局部平衡的概念內(nèi)力與外力的相依關(guān)系7

整體平衡與局部平衡的概念

基本概念與基本方法整體平衡與局部平衡的概念基本概念與基本方法8彈性桿件在外力作用下若保持平衡，則從其上截取的任意部分也必須保持平衡。前者稱(chēng)為整體平衡或總體平衡（overallequilibrium）；后者稱(chēng)為局部平衡（loca1equilibrium）。

整體平衡與局部平衡的概念

基本概念與基本方法彈性桿件在外力作用下若保持平衡，則從其上截整體9整體是指桿件所代表的某一構(gòu)件；局部是指：可以是用一截面將桿截成的兩部分中的任一部分；也可以是無(wú)限接近的兩個(gè)截面所截出的一微段；還可以是圍繞某一點(diǎn)截取的微元或微元的局部；等等。

整體平衡與局部平衡的概念

基本概念與基本方法整體是指桿件所代表的某一構(gòu)件；局部是指：可以是10

內(nèi)力與外力的相依關(guān)系

基本概念與基本方法內(nèi)力與外力的相依關(guān)系基本概念與基本方法11應(yīng)用截面法可以證明，當(dāng)桿件上的外力（包括載荷與約束力）沿桿的軸線(xiàn)方向發(fā)生突變時(shí)，內(nèi)力的變化規(guī)律也將發(fā)生變化。

內(nèi)力與外力的相依關(guān)系

基本概念與基本方法所謂外力突變，是指有集中力、集中力偶作用的情形；分布載荷間斷或分布載荷集度發(fā)生突變的情形。應(yīng)用截面法可以證明，當(dāng)桿件上的外力（包括載荷與約12

內(nèi)力與外力的相依關(guān)系

基本概念與基本方法所謂外力突變，是指有集中力、集中力偶作用的情形；分布載荷間斷或分布載荷集度發(fā)生突變的情形。所謂內(nèi)力變化規(guī)律是指表示內(nèi)力變化的函數(shù)或變化的圖線(xiàn)。這表明，如果在兩個(gè)外力作用點(diǎn)之間的桿件上沒(méi)有其他外力作用，則這一段桿件所有橫截面上的內(nèi)力可以用同一個(gè)數(shù)學(xué)方程或者同一圖線(xiàn)描述。

內(nèi)力與外力的相依關(guān)系基本概念與基本方法13

某一截面上的內(nèi)力與作用在該截面一側(cè)局部桿件上的外力相平衡；

在荷載無(wú)突變的一段桿的各截面上內(nèi)力按相同的規(guī)律變化；

內(nèi)力與外力的相依關(guān)系

基本概念與基本方法某一截面上的內(nèi)力與作用在該截面一側(cè)局部桿件上的外力14

基本概念與基本方法

控制面基本概念與基本方法控制面15根據(jù)以上分析，在一段桿上，內(nèi)力按某一種函數(shù)規(guī)律變化，這一段桿的兩個(gè)端截面稱(chēng)為控制面（controlcross-section）。據(jù)此，下列截面均可為控制面：

集中力作用點(diǎn)的兩側(cè)截面；

集中力偶作用點(diǎn)的兩側(cè)截面；

均布載荷（集度相同）起點(diǎn)和終點(diǎn)處的截面。

基本概念與基本方法

控制面根據(jù)以上分析，在一段桿上，內(nèi)力按某一種函數(shù)規(guī)16外力規(guī)律發(fā)生變化截面—集中力、集中力偶作用點(diǎn)、分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫截面。

基本概念與基本方法

控制面外力規(guī)律發(fā)生變化截面—集中力、集中力偶作用點(diǎn)、分布荷17

基本概念與基本方法

桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則基本概念與基本方法桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則18同一位置處左、右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負(fù)號(hào)。

基本概念與基本方法

桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則同一位置處左、右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負(fù)號(hào)。19

基本概念與基本方法

桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則FNFN軸力FNx或FN—無(wú)論作用在哪一側(cè)截面上，使桿件受拉者為正；受壓者為負(fù)。

扭矩Mx—扭矩矢量方向與截面外法線(xiàn)方向一致者為正；反之為負(fù)。剪力FQ(FQy或FQz)一使截開(kāi)部分桿件產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為正；逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為負(fù)。

FQFQ彎矩M(My或Mz)一作用在左側(cè)面上使截開(kāi)部分逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；或者作用在右側(cè)截面上使截開(kāi)部分順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為正；反之為負(fù)。

基本概念與基本方法桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則FN20FNFNFQFQ

基本概念與基本方法

桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則FNFNFQFQ基本概念與基本方法桿件內(nèi)力分量的21

基本概念與基本方法

指定截面上內(nèi)力分量的確定基本概念與基本方法指定截面上內(nèi)力分量的確定22應(yīng)用截面法可以確定桿件任意橫截面上的內(nèi)力分量

用假想截面從所要求的截面處將桿截為兩部分

考察其中任意一部分的平衡

由平衡方程求得橫截面的內(nèi)力分量C

基本概念與基本方法

指定橫截面上內(nèi)力分量的確定應(yīng)用截面法可以確定桿件任意橫截面上的內(nèi)力分量用假想截面從23

基本概念與基本方法

指定橫截面上內(nèi)力分量的確定FPll例題1ABCD一端固定另一端自由的梁，稱(chēng)為懸臂梁(cantileverbeam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用。MO=2FPl

試確定:截面C及截面D上的剪力和彎矩。C、D截面與加力點(diǎn)無(wú)限接近。基本概念與基本方法指定橫截面上內(nèi)力分量的確定FP24

基本概念與基本方法

指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例題1FPFPllABCDMO=2FPl

解：1.應(yīng)用靜力學(xué)平衡方程確定固定端的約束力。2.應(yīng)用截面法確定C截面上的內(nèi)力分量用假想截面將梁C截面處截開(kāi)，以左邊部分為平衡對(duì)象。因?yàn)橥饬εc梁軸線(xiàn)都在同一平面內(nèi)，而且沒(méi)有沿桿件軸線(xiàn)方向的外力作用，所以橫截面上沒(méi)有軸力和扭矩，只有剪力和彎矩兩種內(nèi)力分量。MA＝0AClFPMA＝0基本概念與基本方法指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例25

基本概念與基本方法

指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例題1FQCMCFPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：2.應(yīng)用截面法確定C截面上的內(nèi)力分量CAFPlMA＝0假設(shè)截開(kāi)橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據(jù)截開(kāi)的局部平衡建立平衡方程：所得結(jié)果均為正值，這表明所假設(shè)的C截面上的剪力和彎矩的正方向是正確的?；靖拍钆c基本方法指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例26

基本概念與基本方法

指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例題1FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：3.應(yīng)用截面法確定D截面上的內(nèi)力分量AFPMA＝0llMO=2FPlD用假想截面將梁D截面處截開(kāi)，以左邊部分為平衡對(duì)象。基本概念與基本方法指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例27

基本概念與基本方法

指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例題1FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：3.應(yīng)用截面法確定D截面上的內(nèi)力分量假設(shè)截開(kāi)橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據(jù)截開(kāi)的局部平衡建立平衡方程：因?yàn)镈截面無(wú)限接近B截面，所以式中MDFQDAFPMA＝0llMO=2FPlD基本概念與基本方法指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例28

基本概念與基本方法

指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例題1解：4.討論本例中所選擇的研究對(duì)象都是C、D截面以左部分梁，因而需要首先確定左端的約束力。如果以C、D截面以右部分梁作為平衡對(duì)象，則無(wú)需確定約束力。計(jì)算過(guò)程會(huì)更簡(jiǎn)單些。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl基本概念與基本方法指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例29返回

軸力圖與扭矩圖

第5章桿件的內(nèi)力圖

返回軸力圖與扭矩圖第5章桿件的內(nèi)力圖30

軸力圖

扭矩圖

軸力圖與扭矩圖

軸力圖扭矩圖軸力圖與扭矩圖31

軸力圖

軸力圖與扭矩圖

軸力圖軸力圖與扭矩圖32

軸力圖

軸力圖與扭矩圖

沿著桿件軸線(xiàn)方向作用的載荷，通常稱(chēng)為軸向載荷(normalload)。桿件承受軸向載荷作用時(shí)，橫截面上只有軸力一種內(nèi)力分量FN。桿件只在兩個(gè)端截面處承受軸向載荷時(shí)，則桿件的所有橫截面上的軸力都是相同的。如果桿件上作用有兩個(gè)以上的軸向載荷，就只有兩個(gè)軸向載荷作用點(diǎn)之間的橫截面上的軸力是相同的。

表示軸力沿桿件軸線(xiàn)方向變化的圖形，稱(chēng)為軸力圖（diagramofnormalforce）。

軸力圖軸力圖與扭矩圖沿著桿件33CAB

軸力圖

軸力圖與扭矩圖

直桿，A端固定，在B、C兩處作用有集中載荷F1和F2，其中F1＝5kN，F(xiàn)2＝10kN。F1F2llCABllF1F2FA試畫(huà)出：桿件的軸力圖。

例題2解：1.確定A處的約束力

A處雖然是固定端約束，但由于桿件只有軸向載荷作用，所以只有一個(gè)軸向的約束力FA。求得FA＝5kN由平衡方程

CAB軸力圖軸力圖與扭矩圖直桿，A端固定，34

軸力圖與扭矩圖

軸力圖－例題2

解：2.確定控制面3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開(kāi)，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開(kāi)后下面部分的平衡。

CABF1F2llCABllF1F2FA在集中載荷F2、約束力FA作用處的A、C截面，以及集中載荷F1作用點(diǎn)B處的上、下兩側(cè)橫截面都是控制面。

B"B'軸力圖與扭矩圖軸力圖－例題2解：2.35

軸力圖與扭矩圖

軸力圖－例題2

3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開(kāi)，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開(kāi)后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'CABllF1F2FNA軸力圖與扭矩圖軸力圖－例題23.應(yīng)用截面36

軸力圖與扭矩圖

軸力圖－例題2

3.應(yīng)用截面法應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開(kāi)，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開(kāi)后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'CBlF1F2B"FNB''

軸力圖與扭矩圖軸力圖－例題23.應(yīng)用截面法37

軸力圖與扭矩圖

軸力圖－例題2

3.應(yīng)用截面法應(yīng)用截面法求控制面上的軸力

用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開(kāi)，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開(kāi)后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'FNB'ClF2B'軸力圖與扭矩圖軸力圖－例題23.應(yīng)用38

軸力圖與扭矩圖

軸力圖－例題2

3.應(yīng)用截面法應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開(kāi)，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開(kāi)后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'FNCClF2軸力圖與扭矩圖軸力圖－例題23.應(yīng)39

軸力圖－例題2

4.建立FN－x坐標(biāo)系，畫(huà)軸力圖

軸力圖與扭矩圖

FN－x坐標(biāo)系中x坐標(biāo)軸沿著桿件的軸線(xiàn)方向，F(xiàn)N坐標(biāo)軸垂直于x軸。將所求得的各控制面上的軸力標(biāo)在FN－x坐標(biāo)系中，得到a、和c四點(diǎn)。因?yàn)樵贏(yíng)、之間以及、C之間，沒(méi)有其他外力作用，故這兩段中的軸力分別與A（或）截面以及C（或）截面相同。這表明a點(diǎn)與點(diǎn)心”之間以及c點(diǎn)之間的軸力圖為平行于x軸的直線(xiàn)。于是，得到桿的軸力圖。

軸力圖－例題24.建立FN－x坐標(biāo)系，40FN/kNOx

軸力圖－例題2

CABF1F2llCABllF1F2FNAFNB''

CBlF1F2B"FNB'ClF2B'FNCClF2

軸力圖與扭矩圖

b"5b'10c105aFN/kNOx軸力圖－例題2CABF1F2llCAB41根據(jù)以上分析，繪制軸力圖的方法

軸力圖

軸力圖與扭矩圖

確定約束力；

根據(jù)桿件上作用的載荷以及約束力，確定控制面，也就是軸力圖的分段點(diǎn)；

應(yīng)用截面法，用假想截面從控制面處將桿件截開(kāi)，在截開(kāi)的截面上，畫(huà)出未知軸力，并假設(shè)為正方向；對(duì)截開(kāi)的部分桿件建立平衡方程，確定控制面上的軸力

建立FN－x坐標(biāo)系，將所求得的軸力值標(biāo)在坐標(biāo)系中，畫(huà)出軸力圖。

根據(jù)以上分析，繪制軸力圖的方法軸力圖軸力圖與扭矩42

扭矩圖

軸力圖與扭矩圖

扭矩圖軸力圖與扭矩圖43

扭矩圖

軸力圖與扭矩圖

作用在桿件上的外力偶矩，可以由外力向桿的軸線(xiàn)簡(jiǎn)化而得，但是對(duì)于傳遞功率的軸，通常都不是直接給出力或力偶矩，而是給定功率和轉(zhuǎn)速。因?yàn)榱ε季卦趩挝粫r(shí)間內(nèi)所作之功即為功率，于是有

其中T為外力偶矩；

為軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；P為軸傳遞的功率。扭矩圖軸力圖與扭矩圖作用在桿件44

扭矩圖

軸力圖與扭矩圖

考慮到：1kW＝l000N·m/s，上式可以改寫(xiě)為其中功率P的單位為kW；n為軸每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，用r/min表示。扭矩圖軸力圖與扭矩圖考慮到：1kW＝l00045

扭矩圖

軸力圖與扭矩圖

在扭轉(zhuǎn)外力偶作用下，圓軸橫截面上將產(chǎn)生扭矩。確定扭矩的方法也是截面法，即假想截面將桿截開(kāi)分成兩部分，橫截面上的扭矩與作用在軸的任一部分上的所有外力偶矩組成平衡力系。據(jù)此，即可求得扭矩的大小與方向。如果只在軸的兩個(gè)端截面作用有外力偶矩，則沿軸線(xiàn)方向所有橫截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在軸上的外力偶矩。當(dāng)軸的長(zhǎng)度方向上有兩個(gè)以上的外力偶矩作用時(shí)，軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的，這時(shí)需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。扭矩沿桿軸線(xiàn)方向變化的圖形，稱(chēng)為扭矩圖(diagramoftorsionmoment)。繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似，這里不再重復(fù)。扭矩圖軸力圖與扭矩圖在扭轉(zhuǎn)外力46

扭矩圖

軸力圖與扭矩圖

例題2圓軸受有四個(gè)繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。試：畫(huà)出圓軸的扭矩圖。

扭矩圖軸力圖與扭矩圖例題2圓軸受有四47

扭矩圖－例題3

軸力圖與扭矩圖

解：1．確定控制面

外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。

2．應(yīng)用截面法由平衡方程確定各段圓軸內(nèi)的扭矩

。

扭矩圖－例題3軸力圖與扭矩圖解：1．確定控制48

扭矩圖－例題3

軸力圖與扭矩圖

3．建立Mx－x坐標(biāo)系，畫(huà)出扭矩圖建立Mx－x坐標(biāo)系，其中x軸平行于圓軸的軸線(xiàn)，Mx軸垂直于圓軸的軸線(xiàn)。將所求得的各段的扭矩值，標(biāo)在Mx－x坐標(biāo)系中，得到相應(yīng)的點(diǎn)，過(guò)這些點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)，即得到所需要的扭矩圖。

扭矩圖－例題3軸力圖與扭矩圖49返回

剪力圖與彎矩圖第5章桿件的內(nèi)力圖

返回剪力圖與彎矩圖第5章桿件的內(nèi)力圖50

剪力方程與彎矩方程

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖剪力方程與彎矩方程載荷集度、剪力、彎矩之間剪51

剪力方程與彎矩方程

剪力圖與彎矩圖剪力方程與彎矩方程剪力圖與彎矩圖52

剪力方程與彎矩方程

剪力圖與彎矩圖一般受力情形下，梁內(nèi)剪力和彎矩將隨橫截面位置的改變而發(fā)生變化。描述梁的剪力和彎矩沿長(zhǎng)度方向變化的代數(shù)方程，分別稱(chēng)為剪力方程(equationofshearingforce)和彎矩方程(equationofbendingmoment)。為了建立剪力方程和彎矩方程，必須首先建立Oxy坐標(biāo)系，其中O坐標(biāo)原點(diǎn)，x坐標(biāo)軸與梁的軸線(xiàn)一致，坐標(biāo)原點(diǎn)O一般取在梁的左端，x坐標(biāo)軸的正方向自左至右，y坐標(biāo)軸鉛垂向上。

剪力方程與彎矩方程剪力圖與彎矩圖53

剪力方程與彎矩方程

剪力圖與彎矩圖建立剪力方程和彎矩方程時(shí)，需要根據(jù)梁上的外力(包括載荷和約束力)作用狀況，確定控制面，從而確定要不要分段，以及分幾段建立剪力方程和彎矩方程。確定了分段之后，在每一段中任意取一橫截面，假設(shè)這一橫截面的坐標(biāo)為x，然后從這一橫截面處將梁截開(kāi)，并假設(shè)所截開(kāi)的橫截面上的剪力FQ(x)和彎矩M(x)都是正方向，最后分別應(yīng)用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和彎矩M(x)的表達(dá)式，這就是所要求的剪力方程FQ(x)和彎矩方程M(x)。剪力方程與彎矩方程剪力圖與彎矩圖54

剪力方程與彎矩方程

剪力圖與彎矩圖需要特別注意的是，在剪力方程和彎矩方程中，x是變量，而FQ(x)和M(x)則是x的函數(shù)。這一方法和過(guò)程實(shí)際上與前面所介紹的確定指定橫截面上的內(nèi)力分量的方法和過(guò)程是相似的，所不同的，現(xiàn)在的指定橫截面是坐標(biāo)為x的橫截面。剪力方程與彎矩方程剪力圖與彎矩圖55

剪力方程與彎矩方程

剪力圖與彎矩圖一端為固定鉸鏈支座、另一端為輥軸支座的梁，稱(chēng)為簡(jiǎn)支梁(simplesupportedbeam)。梁上承受集度為q的均布載荷作用，梁的長(zhǎng)度為2l。

試寫(xiě)出：該梁的剪力方程和彎矩方程矩圖。

qllBAC例題4剪力方程與彎矩方程剪力圖與彎矩圖一端為固56

剪力方程與彎矩方程－例題4

剪力圖與彎矩圖解：1．確定約束力llBACqFRBFRA因?yàn)橹挥秀U垂方向的外力，所以支座A的水平約束力等于零。又因?yàn)榱旱慕Y(jié)構(gòu)及受力都是對(duì)稱(chēng)的，故支座A與支座B處鉛垂方向的約束力相同。于是，根據(jù)平衡條件不難求得：

剪力方程與彎矩方程－例題4剪力圖與彎矩圖解：57Oyx解：2．確定控制面和分段因?yàn)榱荷现蛔饔糜羞B續(xù)分布載荷(載荷集度沒(méi)有突變)，沒(méi)有集中力和集中力偶的作用，所以，從A到B梁的橫截面上的剪力和彎矩可以分別用一個(gè)方程描述，因而無(wú)需分段建立剪力方程和彎矩方程。llBACqFRBFRA

3．建立Oxy坐標(biāo)系以梁的左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立Oxy坐標(biāo)系，

剪力方程與彎矩方程－例題4

剪力圖與彎矩圖Oyx解：2．確定控制面和分段因?yàn)榱荷现蛔?8xxFRAFQ(x)M(x)OyxllBACqFRBFRA

解：4．確定剪力方程和彎矩方程由左段梁的平衡條件

以A、B之間坐標(biāo)為x的任意截面為假想截面，將梁截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象，在截開(kāi)的截面上標(biāo)出剪力FQ(x)和彎矩M(x)的正方向。

剪力方程與彎矩方程－例題4

剪力圖與彎矩圖xxFRAFQ(x)M(x)OyxllBACqFRBFRA59OyxllBACqFRBFRA

解：4．確定剪力方程和彎矩方程由左段梁的平衡條件

得到梁的剪力方程和彎矩方程分別為

這一結(jié)果表明，梁上的剪力方程是x的線(xiàn)性函數(shù)；彎矩方程是x的二次函數(shù)。

xFQ(x)M(x)FRA

剪力方程與彎矩方程－例題4

剪力圖與彎矩圖OyxllBACqFRBFRA解：4．確定剪力方程和60

剪力方程與彎矩方程

剪力圖與彎矩圖例題5懸臂梁在B、C二處分別承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl作用。梁的全長(zhǎng)為2l。

試寫(xiě)出：梁的剪力方程和彎矩方程矩圖。

FPllABCMO=2FPl剪力方程與彎矩方程剪力圖與彎矩圖例題561

剪力方程與彎矩方程－例題5

剪力圖與彎矩圖解：1．確定控制面和分段本例將通過(guò)考察截開(kāi)截面的右邊部分平衡建立剪力方程和彎矩方程，因此可以不必確定左端的約束力。

2．建立Oxy坐標(biāo)系以梁的左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立Oxy坐標(biāo)系，

由于梁在固定端A處作用有約束力、自由端B處作用有集中力、中點(diǎn)C處作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均為控制面。因此，需要分為AC和CB兩段建立剪力和彎矩方程。

FPllABMO=2FPlCOyx剪力方程與彎矩方程－例題5剪力圖與彎矩圖62

剪力方程與彎矩方程－例題5

剪力圖與彎矩圖解：3．建立剪力方程和彎矩方程FPllABMO=2FPlOyxCx1x2在A(yíng)C和CB兩段分別以坐標(biāo)為x1和x2的橫截面將截開(kāi)，并在截開(kāi)的橫截面上，假設(shè)剪力FQ(x1)、FQ(x2)和彎矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截開(kāi)的右邊部分梁的平衡，由平衡方程即可確定所需要的剪力方程和彎矩方程。剪力方程與彎矩方程－例題5剪力圖與彎矩圖63

剪力方程與彎矩方程－例題5

剪力圖與彎矩圖解：3．建立剪力方程和彎矩方程FQ(x)M(x)

對(duì)于A(yíng)C段梁的剪力和彎矩方程，在x1處截開(kāi)后，考察右邊部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB根據(jù)平衡方程x1剪力方程與彎矩方程－例題5剪力圖與彎矩圖64

剪力方程與彎矩方程－例題5

剪力圖與彎矩圖解：3．建立剪力方程和彎矩方程得到AC段的剪力方程與彎矩方程：

FQ(x1)M(x1)FPMO=2FPll2l－x1CB剪力方程與彎矩方程－例題5剪力圖與彎矩圖65

剪力方程與彎矩方程－例題5

剪力圖與彎矩圖FQ(x2)M(x2)解：3．建立剪力方程和彎矩方程得到CB段的剪力方程與彎矩方程：

FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2B上述結(jié)果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；彎矩方程不同，但都是x的線(xiàn)性函數(shù)。

對(duì)于CB段梁的剪力和彎矩方程，在x2處截開(kāi)后，考察右邊部分的平衡。根據(jù)平衡方程x2剪力方程與彎矩方程－例題5剪力圖與彎矩圖FQ66

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間剪力圖與彎矩圖67

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖作用在梁上的平面載荷，如果不包含縱向力，這時(shí)梁的橫截面上將只有彎矩和剪力。表示剪力和彎矩沿梁軸線(xiàn)方向變化的圖線(xiàn)，分別稱(chēng)為剪力圖（diagramofshearingforce）和彎矩圖（diagramofbendingmoment）。

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系剪力圖與彎矩圖68

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖

繪制剪力圖和彎矩圖有兩種方法：第一種方法是：根據(jù)剪力方程和彎矩方程，在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中首先標(biāo)出剪力方程和彎矩方程定義域兩個(gè)端點(diǎn)的剪力值和彎矩值，得到相應(yīng)的點(diǎn)；然后按照剪力和彎矩方程的類(lèi)型，繪制出相應(yīng)的圖線(xiàn)，便得到所需要的剪力圖與彎矩圖。載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系剪力圖與彎矩圖69

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖

繪制剪力圖和彎矩圖的第二種方法是：先在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中標(biāo)出控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值，然后應(yīng)用載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系，確定控制面之間的剪力和彎矩圖線(xiàn)的形狀，二無(wú)需首先建立剪力方程和彎矩方程。

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系剪力圖與彎矩圖70

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖根據(jù)相距dx的兩個(gè)橫截面截處微段的平衡，可以得到載荷集度、剪力、彎矩之間存在下列的微分關(guān)系：

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系剪力圖與彎矩圖71

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖將FQ(x)對(duì)x求一次導(dǎo)數(shù)，將M(x)對(duì)x求一次和二次導(dǎo)數(shù)，得到OyxllBACqFRBFRA載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系剪力圖與彎矩圖72

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖式中等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)，是由于作用在梁上的均布載荷是向下的。因此，規(guī)定：對(duì)于向上的均布載荷，微分關(guān)系(5－2)式中的載荷集度q為正值；對(duì)于向下的均布載荷，載荷集度q為負(fù)值。載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系剪力圖與彎矩圖73

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖上述微分關(guān)系，也說(shuō)明剪力圖和彎矩圖圖線(xiàn)的幾何形狀與作用在梁上的載荷集度有關(guān)。載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系剪力圖與彎矩圖74

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

剪力圖與彎矩圖

剪力圖的斜率等于作用在梁上的均布載荷集度；彎矩圖在某一點(diǎn)處斜率等于對(duì)應(yīng)截面處剪力的數(shù)值。

如果一段梁上沒(méi)有分布載荷作用，即q＝0，這一段梁上剪力的一階導(dǎo)數(shù)等于零，彎矩的一階導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)，因此，這一段梁的剪力圖為平行于x軸的水平直線(xiàn)；彎矩圖為斜直線(xiàn)。

如果一段梁上作用有均布載荷，即q＝常數(shù)，這一段梁上剪力的一階導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)，彎矩的一階導(dǎo)數(shù)為x的線(xiàn)性函數(shù)，因此，這一段梁的剪力圖為斜直線(xiàn)；彎矩圖為二次拋物線(xiàn)。

彎矩圖二次拋物線(xiàn)的凸凹性，與載荷集度q的正負(fù)有關(guān)：當(dāng)q為正(向上)時(shí)，拋物線(xiàn)為凹曲線(xiàn)，凹的方向與M坐標(biāo)正方向一致，：當(dāng)q為負(fù)(向下)時(shí)，拋物線(xiàn)為凸曲線(xiàn)，凸的方向與M坐標(biāo)正方向一致。

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系剪力圖與彎矩圖75

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖76

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系繪制剪力圖與彎矩圖的方法，與繪制軸力圖和扭矩圖的方法大體相似，但略有差異，主要步驟如下：

根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制面；

應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值；

建立FQ－x和M－x坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在上述坐標(biāo)系中，得到若干相應(yīng)的點(diǎn)；

應(yīng)用微分關(guān)系確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的圖線(xiàn)，得到所需要的剪力圖與彎矩圖。

剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖載荷集度77BA簡(jiǎn)支梁受力的大小和方向如圖示。例題61kN.m2kN1.5m1.5m1.5m

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖

試畫(huà)出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對(duì)值的最大值。

解：1．確定約束力求得A、F

二處的約束力FAy＝0.89kN,FFy＝1.11kNFRAFRB根據(jù)力矩平衡方程

BA簡(jiǎn)支梁受力的大小和方向如圖示。例題61kN.m2kN1.78

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖－例題6

BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRB解：2．確定控制面在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均為控制面。

3．建立坐標(biāo)系建立FQ－x和M－x坐標(biāo)系

xFQ/kNOxM/kN.mOBCDE剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖－例題6BA1k79

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖－例題6

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線(xiàn)因?yàn)榱荷蠠o(wú)分布載荷作用，所以剪力FQ圖形均為平行于x軸的直線(xiàn)；彎矩M圖形均為斜直線(xiàn)。于是，順序連接FQ－x和M－x坐標(biāo)系中的a、b、c、d、e、f各點(diǎn)，便得到梁的剪力圖與彎矩圖。

xFQ/kNOxM/kN.mO解：4．應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中。BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRBBCDE1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖－例題680

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖－例題6

5．確定剪力與彎矩的最大絕對(duì)值xFQ/kNOxM/kN.mOBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRBBCDE1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對(duì)值的最大值分別為

(發(fā)生在EF段)

(發(fā)生在D、E截面上)

剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖－例題681

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖－例題6

從所得到的剪力圖和彎矩圖中不難看出AB段與CD段的剪力相等，因而這兩段內(nèi)的彎矩圖具有相同的斜率。此外，在集中力作用點(diǎn)兩側(cè)截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用處兩側(cè)截面上的彎矩是不相等的，其差值分別為集中力與集中力偶的數(shù)值，這是由于維持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。建議大家自行加以驗(yàn)證。

xFQ/kNOxM/kN.mOBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRBBCDE1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖－例題6從82例題7

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖qBADa4aqlFAyFBy梁由一個(gè)固定鉸鏈支座和一個(gè)輥軸支座所支承，但是梁的一端向外伸出，這種梁稱(chēng)為外伸梁(overhangingbeam)。梁的受力以及各部分尺寸均示于圖中。

試畫(huà)出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對(duì)值的最大值。

解：1．確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由

求得A、F

二處的約束力例題7剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖qBADa483

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖－例題7

qBADa4aqlFAyFByCOxFQOxM解：2．確定控制面由于A(yíng)B段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個(gè)截面為控制面，約束力FBy右側(cè)的C截面，以及集中力qa左側(cè)的D截面，也都是控制面。

3．建立坐標(biāo)系建立FQ－x和M－x坐標(biāo)系

剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖－例題7qBAD84

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖－例題7

qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a9qa/4bdqacqaadb,cqa2解：4．確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中。剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖－例題7qBAD85

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖－例題7

qBADa4aqlFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線(xiàn)對(duì)于剪力圖：在A(yíng)B段，因有均布載荷作用，剪力圖為一斜直線(xiàn)，于是連接a、b兩點(diǎn)，即得這一段的剪力圖；在CD段，因無(wú)分布載荷作用，故剪力圖為平行于x軸的直線(xiàn)，由連接c、d二點(diǎn)而得，或者由其中任一點(diǎn)作平行于x軸的直線(xiàn)而得。

剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖－例題7qBAD86

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖－例題7

qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線(xiàn)對(duì)于彎矩圖：在A(yíng)B段，因有均布載荷作用，圖形為二次拋物線(xiàn)。又因?yàn)閝向下為負(fù)，彎矩圖為凸向M坐標(biāo)正方向的拋物線(xiàn)。于是，AB段內(nèi)彎矩圖的形狀便大致確定。為了確定曲線(xiàn)的位置，除AB段上兩個(gè)控制面上彎矩?cái)?shù)值外，還需確定在這一段內(nèi)二次拋物線(xiàn)有沒(méi)有極值點(diǎn)，以及極值點(diǎn)的位置和極值點(diǎn)的彎矩?cái)?shù)值。從剪力圖上可以看出，在e點(diǎn)剪力為零。

9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖－例題7qBAD87OxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖－例題7

MEqAExE

6．確定彎矩圖極值點(diǎn)的位置。OxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a9q88OxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

剪力圖與彎矩圖

剪力圖與彎矩圖－例題7

7．確定剪力與彎矩的最大絕對(duì)值從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對(duì)值的最大值分別為

OxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a9q89OxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

剪力圖與彎矩圖