湖南省長沙市長郡中學2022-2023學年高二上學期第二次模塊檢測數(shù)學試題(學生版+解析)

長郡中學2022—2023學年度高二第一學期第二次模塊檢測數(shù)學命題人：陳濤本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共8頁.時量120分鐘.滿分150分.第Ⅰ卷一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.直線的一個方向向量是()A B. C. D.2.設，是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A.若，，,則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，，則3.設數(shù)列｛｝的前n項和=，則的值為A.15 B.16 C.49 D.644.若，則()A. B.C D.5.如圖，在正四棱臺中，點，分別是棱，的中點，，則下列判斷錯誤的是()A.,，，共面 B.平面C.，，交于同一點 D.平面6.已知是函數(shù)的導數(shù)，則不等式的解集是()A B. C. D.7.已知數(shù)列滿足，，若不等式對任意的都成立，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.如圖，在底面半徑為1，高為5圓柱內放置兩個球，使得兩個球與圓柱側面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側面，得到的截線是一個橢圓．則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9.(多選題)等差數(shù)列的前n項和為，若，公差，則下列命題正確的是()A.若，則必有=0B.若，則必有是中最大的項C.若，則必有D.若，則必有10.如圖，正方體的棱長為，，，分別為，，的中點，則()A.直線與直線垂直B.直線與平面平行C.平面截正方體所得的截面面積為D.點與點到平面的距離相等11.已知拋物線：與圓：交于，兩點，且，直線過的焦點，且與交于，兩點，則下列說法正確的是()A.若直線的斜率為，則B.的最小值為C.若以為直徑的圓與軸的公共點為，則點的橫坐標為D.若點，則周長的最小值為12.已知函數(shù)，則下列結論正確的是()．A.函數(shù)有極小值B.函數(shù)在處的切線與直線垂直C.若有三個實根，則的取值范圍為D.若時，，則的最小值為3第Ⅱ卷三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.對任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.14.若空間兩個單位向量、與夾角都等于，則______．15.設F1，F(xiàn)2是雙曲線C，(a>0,b>0)的兩個焦點．若在C上存在一點P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則C的離心率為________________.16.已知函數(shù)．為函數(shù)的導函數(shù)，若對任意恒成立，則整數(shù)k的最大值為________．四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知為圓上的動點，的坐標為，在線段的中點.(1)求的軌跡的方程.(2)過點的直線與交于、兩點，且，求直線的方程.18.已知數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.19.已知函數(shù).(1)當時，求的圖像在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.20.如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點．(１)證明：平面平面；(２)若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積．21.已知橢圓的離心率為，焦距為2．(1)求的標準方程．(2)過的右焦點F作相互垂直的兩條直線，(均不垂直于x軸)，交于A，B兩點，交于C，D兩點．設線段AB，CD的中點分別為M，N，證明：直線MN過定點．22.設函數(shù).(1)討論的單調性；(2)若函數(shù)存在兩個零點，證明：.長郡中學2022—2023學年度高二第一學期第二次模塊檢測數(shù)學命題人：陳濤本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共8頁.時量120分鐘.滿分150分.第Ⅰ卷一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.直線的一個方向向量是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結果.【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，又因為與共線，所以的一個方向向量可以是，故選：A.2.設，是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A.若，，,則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)面面平行性質可說明可能異面可能平行，判斷A;利用平面的法向量的關系可判斷B;根據(jù)，，，可判斷可能平行，不一定垂直，判斷C;根據(jù)面面平行的判定可判斷D.【詳解】對于A，若，，，則可能異面可能平行，A錯誤；對于B，若，，則可在直線m上取向量作為平面的法向量，可在直線n上取向量作為平面的法向量，因為，故，所以，B正確；對于C，若，，，則可能平行，不一定垂直，C錯誤；對于D,若，，，，由于可能平行直線，此時可能相交，D錯誤，故選：B.3.設數(shù)列｛｝的前n項和=，則的值為A.15 B.16 C.49 D.64【答案】A【解析】【分析】利用求解即可.【詳解】因為數(shù)列｛｝的前n項和=，所以，故選：A.【點睛】本題主要考查本題主要考查數(shù)列的通項公式與前項和公式之間的關系，屬于中檔題.已知數(shù)列前項和，求數(shù)列通項公式，常用公式.4.若，則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)討論單調性即可判斷A和B，再構造，利用導數(shù)討論單調性即可判斷C和D.【詳解】令，則，令恒成立，即在定義域單調遞增，且因此在區(qū)間上必然存在唯一使得，所以當時單調遞減，當時單調遞增，故A，B均錯誤；令，，當時，，∴在區(qū)間上為減函數(shù)，∵，∴，即，∴選項C正確，D不正確.故選:C.5.如圖，在正四棱臺中，點，分別是棱，的中點，，則下列判斷錯誤的是()A.,，，共面 B.平面C.，，交于同一點 D.平面【答案】D【解析】【分析】根據(jù)棱臺的結構特征，即各側棱延長后交于一點可判斷A;連接，證明，說明，共面，判斷B;利用平面基本定理可證明，，交于同一點，判斷C;連接，交于，連接，證明，由與平面相交于點，可判斷D.【詳解】對于選項，由棱臺的性質，延長正四棱臺的側棱，相交于點，則,，，共面，A選項正確；對于選項，連接，則，而，所以，所以，共面，則平面，B選項正確；對于選項，由于，共面，,則，不平行，設，因為平面，平面，所以平面，平面，又平面平面直線，所以直線，所以、、交于同一點，C選項正確；對于選項，連接，交于，連接，因為，所以為的中點，而為的中點，所以，而與平面相交于點，所以與平面不平行，所以與平面不平行，D選項錯誤，故選：D.6.已知是函數(shù)的導數(shù)，則不等式的解集是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設，求出函數(shù)的導數(shù)，得到在上單調遞增，問題等價于，即可解決．【詳解】令，則，

因為，所以，即，

設，所以，

因為，所以，所以在上單調遞增，

因為，所以，所以等價于，

則，即，解得．所以不等式的解集是．故選：C7.已知數(shù)列滿足，，若不等式對任意的都成立，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將兩邊取倒數(shù)，可得是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，求得，進而將不等式對任意的都成立轉化為恒成立，利用基本不等式求得的最值，可得答案.【詳解】由數(shù)列滿足，，可得，可知，因為，所以，所以，因為，所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以且，因為不等式恒成立，所以恒成立，因為，當且僅當時取等號，所以，即實數(shù)的取值范圍是，故選：A.8.如圖，在底面半徑為1，高為5的圓柱內放置兩個球，使得兩個球與圓柱側面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側面，得到的截線是一個橢圓．則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出軸截面圖形，根據(jù)幾何關系即可求解．【詳解】如圖所示，，，，則，∴，即，而，即，∴，∴．故選：C．二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9.(多選題)等差數(shù)列的前n項和為，若，公差，則下列命題正確的是()A.若，則必有=0B.若，則必有是中最大的項C.若，則必有D.若，則必有【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質依次分析即可得答案.【詳解】解：對于A.，若，則，所以，所以，故A選項正確；對于B選項，若，則，由于，公差，故，故，所以是中最大的項；故B選項正確；C.若，則，由于，公差，故，故，的符號不定，故必有，無法確定；故C正確，D錯誤．故選：ABC．【點睛】本題考查數(shù)列的前項和的最值問題與等差數(shù)列的性質，是中檔題．10.如圖，正方體的棱長為，，，分別為，，的中點，則()A.直線與直線垂直B.直線與平面平行C.平面截正方體所得的截面面積為D.點與點到平面的距離相等【答案】BC【解析】【分析】(1)利用空間向量的坐標運算確定直線與直線的位置關系；(2)根據(jù)面面平行來證明線面平行；(3)先根據(jù)四點共面確定截面，進而算截面面積；(4)利用等體積法思想證明求解.【詳解】對于選項A，以點為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則，，，.從而，，從而，所以直線與直線不垂直，選項錯誤；對于選項，取的中點為，連接，，則易知，又平面，平面，故平面，又，平面，平面，所以平面，又，，平面，故平面平面，又平面，從而平面，選項正確；對于選項C，連接，，如圖所示，∵正方體中，∴，，，四點共面，∴四邊形為平面截正方體所得的截面四邊形，且截面四邊形為梯形，又由勾股定理可得，，，∴梯形為等腰梯形，高為，∴，選項C正確；對于選項D，由于，，而，，∴，即，點到平面的距離為點到平面的距離的2倍，選項錯誤.故選:BC.11.已知拋物線：與圓：交于，兩點，且，直線過的焦點，且與交于，兩點，則下列說法正確的是()A.若直線的斜率為，則B.的最小值為C.若以為直徑的圓與軸的公共點為，則點的橫坐標為D.若點，則周長的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】首先求出拋物線的解析式，設出的坐標，聯(lián)立進行求解，當時，，進而判斷選項A錯誤；再根據(jù)韋達定理和不等式求最小值后進行判斷選項B；畫出大致圖象，過點作準線的垂線，垂足為，交軸于，結合拋物線定義判斷選項C；過作垂直于準線，垂足為，結合的周長，進而判斷選項D即可.【詳解】由題意得點在拋物線上，所以，解得，所以，則，設直線，與聯(lián)立得，設，，所以，，所以，當時，，A項錯誤；，則，當且僅當，時等號成立，B項正確；如圖，過點作準線的垂線，垂足為，交軸于，取的中點為，過點作軸的垂線，垂足為，則，是梯形的中位線，由拋物線的定義可得，所以，所以以為直徑的圓與軸相切，所以點為圓與軸的切點，所以點的縱坐標為，又為的中點，所以點的縱坐標為，又點在拋物線上，所以點的橫坐標為，C項正確；過作垂直于準線，垂足為，所以的周長為，當且僅當點的坐標為時取等號，D項正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)，則下列結論正確的是()．A.函數(shù)有極小值B.函數(shù)在處切線與直線垂直C.若有三個實根，則的取值范圍為D.若時，，則的最小值為3【答案】AD【解析】【分析】對函數(shù)求導，利用極小值的定義、導數(shù)的幾何意義逐一判斷即可.【詳解】由已知，，當或時，，時，，所以在和上遞減，在上遞增，極小值為，極大值為，A正確；切線斜率，直線斜率，，兩直線不垂直，B錯誤；時，，時，，若有三個實根，則；當時，只有兩個根，C錯誤；若時，，則，的最小值為3，D正確．故選：AD．第Ⅱ卷三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.對任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.【答案】【解析】【分析】采用倒序相加法即可求得結果.【詳解】由題意得：，，，……，，，，解得：.故答案為：.【點睛】本題考查利用倒序相加法求和的問題，屬于基礎題.14.若空間兩個單位向量、與的夾角都等于，則______．【答案】.【解析】分析】利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】因為是單位向量，所以有，因為與的夾角都等于，所以，所以有，，故答案為：15.設F1，F(xiàn)2是雙曲線C，(a>0,b>0)的兩個焦點．若在C上存在一點P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則C的離心率為________________.【答案】；【解析】【詳解】設點P在雙曲線右支上,由題意,在Rt△F1PF2中,|F1F2|=2c,∠PF1F2=30°,得|PF2|=c,|PF1|=c,根據(jù)雙曲線的定義:|PF1|-|PF2|=2a,即(-1)c=2a,e===+1.16.已知函數(shù)．為函數(shù)導函數(shù)，若對任意恒成立，則整數(shù)k的最大值為________．【答案】3【解析】【分析】先求得函數(shù)的導函數(shù)，轉化問題為對恒成立，即求在時的最小值，令，構造函數(shù)，則再將問題轉化為求在時的最大值，借助導函數(shù)判斷的單調性，進而求解.【詳解】由題，，因為，對恒成立，則對恒成立，令，則對恒成立，令，則，令，則當時，，所以在上單調遞增，又，，，當，，則，此時單調遞減；當，，則，此時單調遞增，則，又，代入，則整數(shù).故答案為：3四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知為圓上的動點，的坐標為，在線段的中點.(1)求的軌跡的方程.(2)過點的直線與交于、兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)；(2)或.【解析】【分析】(1)設點的坐標為，A，由中點坐標公式可得，利用相關點法計算可得點的軌跡的方程.(2)由題意可得原點到直線的距離，分直線斜率不存在與存在兩種情況討論，利用點到線的距離公式求出參數(shù)的值，即可得解.【小問1詳解】解：設點的坐標為，點的坐標為，依題意得，，解得，又，所以，即，所以點的軌跡的方程為.【小問2詳解】解：因為直線與曲線交于、兩點，且，所以原點到直線的距離.若斜率不存在，直線的方程為，此時符合題意；若斜率存在，設直線的方程為，即，則原點到直線的距離，解得，此時直線的方程為，所以直線的方程為或.18.已知數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)計算即可；(2)數(shù)列的前項和可用錯位相減法求得．【小問1詳解】解：當，，解得，當時，，，兩式相減得，化簡得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】解：由(1)可得，①，②，由①②得，所以.19.已知函數(shù).(1)當時，求的圖像在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)將代入，得到切點坐標，求導得到切線斜率，然后根據(jù)直線的點斜式方程，即可得到切線方程.(2)根據(jù)導數(shù)求得函數(shù)的極值，求出端點值，，然后根據(jù)在上有兩個零點，列出不等式求解即可得到的范圍.【小問1詳解】當時，，則，切點坐標為，則切線的斜率，則函數(shù)的圖像在處的切線方程為即.【小問2詳解】，則，，∴由，得.當，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，故當時，函數(shù)取得極大值，又，，且，∴在上有兩個零點需滿足條件，解得故實數(shù)取值范圍是.20.如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點．(１)證明：平面平面；(２)若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積．【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ).【解析】【詳解】試題分析：(１)由面面垂直的判定定理很容易得結論；(２)所求三棱錐底面積容易求得，是本題轉化為求三棱錐的高，利用直線與平面所成的角為，作出線面角，進而可求得的值，則可得的長．試題解析：(1)如圖，因為三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的邊的中點，所以又，因此平面而平面，所以平面平面(2)設的中點為，連結,因為是正三角形，所以又三棱柱是直三棱柱，所以因此平面，于是為直線與平面所成的角，由題設，，所以在中，，所以故三棱錐的體積考點：直線與平面垂直的判定定理；直線與平面所成的角；幾何體的體積．21.已知橢圓的離心率為，焦距為2．(1)求的標準方程．(2)過的右焦點F作相互垂直的兩條直線，(均不垂直于x軸)，交于A，B兩點，交于C，D兩點．設線段AB，CD的中點分別為M，N，證明：直線MN過定點．【答案】(1)；(2)證明見解析．【解析】【分析】(1)由焦點得，由離心率可求得，再由求得后可得橢圓方程；(2)設直線AB的方程為，，，直線方程代入橢圓方程整理后應用韋達定理得，從而得點坐