空間直角坐標系與兩點間的距離

關于空間直角坐標系與兩點間的距離問題1:

數(shù)軸上的點M的坐標用一個實數(shù)x表示，它是一維坐標；平面上的點M的坐標用有序實數(shù)對（x，y）表示，它是二維坐標.OxxOx(x,y)y空間內點位置能用兩個數(shù)來描述嗎？該如何描述呢？第2頁,共37頁，2024年2月25日，星期天中國國家大劇院第3頁,共37頁，2024年2月25日，星期天中國國家大劇院第4頁,共37頁，2024年2月25日，星期天怎樣確切的表示室內燈泡的位置？問題2第5頁,共37頁，2024年2月25日，星期天墻墻地面

下圖是一個房間的示意圖,下面來探討表示電燈位置的方法.z134x4y15O(4,5,3)第6頁,共37頁，2024年2月25日，星期天oxyz從空間某一個定點０引三條互相垂直且有單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標系０－xyz．

點Ｏ叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、和

zOx平面．第7頁,共37頁，2024年2月25日，星期天oxyz

在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．說明:

☆本書建立的坐標系都是右手直角坐標系.第8頁,共37頁，2024年2月25日，星期天空間直角坐標系的畫法:oxyz1.X軸與y軸、x軸與z軸均成1350,而z軸垂直于y軸．135013502.y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z軸）的單位長度的一半．第9頁,共37頁，2024年2月25日，星期天坐標面把空間分成每一個部分叫卦限八個部分Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ第10頁,共37頁，2024年2月25日，星期天合作探究：

有了空間直角坐標系，那空間中的任意一點M怎樣來表示它的坐標呢？經過M點作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于三點，三點在相應的坐標軸上的坐標a,b,c組成的有序數(shù)組（a,b,c)叫做點M的坐標.記為：M（a,b,c)yxzM’OMcba第11頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

反過來，給定有序實數(shù)組（x，y，z），我們可以在x軸、y軸和z軸上依次取坐標為x，y和z的點P、Q和R，分別過P、Q和R各作一個平面，分別垂直于x軸、y軸和z軸，這三個平面的唯一交點就是有序實數(shù)組（x，y，z）確定的點M．空間直角坐標系yxzM’OMRQP第12頁,共37頁，2024年2月25日，星期天空間直角坐標系yxzPM’QOMR

這樣空間一點M的位置可以用有序實數(shù)組（x，y，z）來表示，有序實數(shù)組（x，y，z）叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M（x，y，z）．其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標．第13頁,共37頁，2024年2月25日，星期天如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長為AB=12，AD=8，AA′=5.以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體各個頂點的坐標。例1yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）第14頁,共37頁，2024年2月25日，星期天如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長為AB=12，AD=8，AA′=5.以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體各個頂點的坐標。例1yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面xOy的點有哪些?這些點的坐標有什么共性?第15頁,共37頁，2024年2月25日，星期天如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長為AB=12，AD=8，AA′=5.以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為，x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體各個頂點的坐標。例1yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面yOz的點有哪些?這些點的坐標有什么共性?第16頁,共37頁，2024年2月25日，星期天如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長為AB=12，AD=8，AA′=5.以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為，x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體各個頂點的坐標。例1yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面xOz的點有哪些?這些點的坐標有什么共性?第17頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

在空間直角坐標系中，x軸上的點、y軸上的點、z軸上的點，xOy坐標平面內的點、xOz坐標平面內的點、yOz坐標平面內的點的坐標各具有什么特點？總結:x軸上的點的坐標的特點：xOy坐標平面內的點的特點：xOz坐標平面內的點的特點：yOz坐標平面內的點的特點：y軸上的點的坐標的特點：z軸上的點的坐標的特點：Ｐ（x，0，０）Ｐ（０，y，０）Ｐ（０，0，z）Ｐ（x，y，０）Ｐ（０，y，z）Ｐ（x，0，z）第18頁,共37頁，2024年2月25日，星期天Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧⅠ(+,+,+)Ⅲ(-,-,+)Ⅱ(-,+,+)Ⅳ(+,-,+)Ⅵ(-,+,-)Ⅴ(+,+,-)Ⅶ(-,-,-)Ⅷ(+,-,-)再想一想?各個卦限中的點的符號是怎樣的呢?總結(1)在上方卦限Z坐標為正;(2)在下方卦限Z坐標為負.第19頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例2結晶體的基本單位稱為晶胞，下圖是食鹽晶胞的示意圖（可看成是八個棱長為0.5的小正方體堆積成的正方體），其中色點代表鈉原子，白點代表氯原子.如圖建立直角坐標系Oxyz，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標.xyzO解：把圖中的鈉原子分成上、中、下三層來寫它們所在位置的坐標．第20頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

上層的原子所在的平面平行于平面，與軸交點的豎坐標為1，所以，這五個鈉原子所在位置的坐標分別是:（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（，，1）．

中層的原子所在的平面平行于平面，與軸交點的豎坐標為，所以，這四個鈉原子所在位置的坐標分別是（，0，），（1，，），（，1，），（0，，）；

下層的原子全部在平面上，它們所在位置的豎坐標全是0，所以這五個鈉原子所在位置的坐標分別是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,（，，0）.xyzO第21頁,共37頁，2024年2月25日，星期天二.

空間中兩點的距離公式第22頁,共37頁，2024年2月25日，星期天長a，寬b，高c的長方體的對角線，怎么求？第23頁,共37頁，2024年2月25日，星期天在空間直角坐標系中點O(0，0，0)到點P(x0，y0，z0)的距離，怎么求？第24頁,共37頁，2024年2月25日，星期天OPzyxxyz在空間直角坐標系中,點P(x，y，z)到xOy平面的距離，怎么求？第25頁,共37頁，2024年2月25日，星期天在空間直角坐標系中,點P(x0，y0，z0)到坐標軸的距離，怎么求？第26頁,共37頁，2024年2月25日，星期天zxyOP(x,y,z)(1)在空間直角坐標系中，任意一點P(x,y,z)到原點的距離：P`(x,y,0)第27頁,共37頁，2024年2月25日，星期天兩點間距離公式類比猜想第28頁,共37頁，2024年2月25日，星期天zxyOP2(x2,y2,z2)(1)在空間直角坐標系中，任意兩點P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)間的距離：NP1(x1,y1,z1)MH第29頁,共37頁，2024年2月25日，星期天在空間直角坐標系中，點P(x1,y1,z1)和點Q(x2,y2,z2)的中點坐標(x,y,z):二、空間中點坐標公式：第30頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例1:已知三角形的三個頂點A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求:(1)三角形三邊的邊長；(2)BC邊上中線AM的長。解:第31頁,共37頁，2024年2月25日，星期天(2)解:設M(x,y,z),則：第32頁,共37頁，2024年2月25日，星期天解:原結論成立.例2:求證以,,,三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.

第33頁,共37頁，2024年2月25日，星期天設P點坐標為所求點為例3:設P在x軸上，它到的距離為到點的距離的兩倍，求點P的坐標。解:第34頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例4:已知，在平面Oyz上是否存在一點C，使為等邊三角形，如果