2022-2023學年甘肅省武威市重點學校高二（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年甘肅省武威市重點學校高二（下）期中數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共U小題，共55.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知雙曲線的一個頂點是（0,2）,其漸近線方程為y=±2x,則雙曲線的標準方程是（）

A.x2-?=lB.?-y2=lC.ζ-χ^=lD.?-?=l

44J444

2.已知三角形三個頂點A（-5,0）,B（3,-3）,C（0,2）,則BC邊上中線所在直線方程是（）

A.X-13y+5=0B.%—13y—5=0C.x+13y+5=0D.x+13y=0

3.直線ax-2y=0的斜率與直線4%+2丫-1=0的斜率互為倒數(shù)，則ɑ等于（）

A.2B.—?C.1D.-1

4.己知直線經(jīng)過點4（3,-1）和點8（0,2）,則直線AB的傾斜角為（)

A.30oB.60oC.120oD.135°

5.已知數(shù)列｛arι｝的通項公式為an=3"T,那么9是它的（）

A.第10項B.第4項C.第3項D.第2項

6.已知數(shù)列｛%l｝的前?I項和Sn=4-2n+1,則%=()

A.2B.3C.4D.5

7.若2α+1是a-1與4α-2的等差中項，則實數(shù)a的值為（）

_iB—C-D

A.4o?io-3u?5

8.己知橢圓菅+—l（b>0）的離心率為貝Ib=（）

A.<7B.√^3C.2D.3

9.若直線x+2y-5=0的一個方向向量是記=（2,k）,則實數(shù)k的值為（）

A.4B.—4C.1D.—1

10.設橢圓C；最+，=l（α>b>O）的半焦距為c,若。-。=4"=6,則。的離心率為（）

?-?b?Ic??d??

11.已知橢圓方程￡+*=1，橢圓上點M到該橢圓一個焦點Fl的距離是2,N是MFl的中點，

。是橢圓的中心，那么線段ON的長是（）

A.2B.4C.8D.I

二、多選題（本大題共1小題，共5.0分。在每小題有多項符合題目要求）

12.已知。為坐標原點，拋物線C：%2=2口、@>0)與曲線￡；了=，豆的交于點4,其橫坐

標為X=4,記C平行于04的切線為及，E平行于OA的切線為，2,則()

A.p=4B.。4的方程為久一2y=0

C.的方程為x-2y-1=0D.，2的方程為％-2y-1=0

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知直線αx—3y+2=0與2x+(α—3)y+1=0垂直，則α=.

14.圓心為(1,-2),半徑為2√"5的圓在X軸上截得的弦長等于.

15.在等比數(shù)列｛αrι｝中，若t?=1,a5=—8,則(?=.

16.己知F是雙曲線C：冒—*l(α>0,b>0)的一個焦點，C的離心率為全M,N是C上

關于原點對稱的兩點，∣FM∣-IFNl=6.則雙曲線C的標準方程為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知在第一象限的△4BC中，4(1,1),8(5,1),Z/1=60°,/8=45。，求：

(IMB邊所在直線的方程；

(2)4C邊與BC邊所在直線的方程.

18.(本小題12.0分)

已知直角三角形4BC的斜邊為AB,且4(-1,0),B(3,0),求：

(1)直角頂點C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.

19.(本小題12.0分)

已知拋物線必=2px(p>0)過點(1,2).

(1)求拋物線的標準方程；

(2)過拋物線焦點尸作直線/與拋物線交于C,。兩點，已知線段CC的中點M橫坐標為4,求弦CD

的長度.

20.(本小題12.0分)

己知圓C的方程：X2+y2-2x-4y+m=0.

(1)求實數(shù)Tn的取值范圍；

(2)若圓C與直線&x+2y-3=0交于M,N兩點，且IMNl=亨，求Tn的值.

21.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛斯｝的前幾項和Sn=3n2-5n,則

(I)求的值；

求的通項公式.

(2)｛azι｝

22.(本小題12.0分)

某團隊在。點西側、東側20千米處分別設有力、B兩站點，測量距離時發(fā)現(xiàn)一點P滿足∣P4∣-

?PB?=20千米，且以。點為原點，東側為X軸正半軸，北側為y軸正半軸建立平面直角坐標系，

點P在點。的北偏東60。方向上.

(1)求點P的坐標；

(2)該團隊又在。點南側、北側15千米處分別設有C,D兩站點，測量距離時發(fā)現(xiàn)一點Q滿足

?QA?-?QB?=30千米，IQCl-IQDl=10千米,求∣QO∣(精確至IJl米)和Q點的位置(精確到1。).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：雙曲線的一個頂點是(0,2),開始雙曲線方程為:《一5=1,其漸近線方程為y=±2x,

所以b=1,

所求雙曲線方程為：?-χ2=1.

故選：C.

利用雙曲線的頂點坐標，結合漸近線方程，求解雙曲線方程即可.

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，是基礎題.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

由中點坐標公式求得BC的中點坐標，再求出BC邊上中線的斜率，由直線方程的點斜式得答案.

本題考查直線方程的求法，考查中點坐標公式的應用，是基礎題.

【解答】

解：由B(3,-3),C(0,2),得BC的中點坐標為。(|,一手，

又4(-5,0),

,_T-O_1

,,,酸。=%=一百.

2十J

BC邊上中線所在直線方程是y-O=-W(X+5),即％+13y+5=0.

故選：C.

3.【答案】D

【解析】解：由題意得(—2)=1,得α=-1.

故選：D.

由兩直線的斜率列式求解即可.

本題考查直線的斜率，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：設直線的傾斜角為ɑ,

直線經(jīng)過點4(3,-1)和點8(0,2),

則直線4B的斜率k=tana==—1,

因為0°≤α<180°,

所以a=135°.

故選：D.

設直線的傾斜角為α,求出直線的斜率即得解.

本題主要考查直線的斜率，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：Tan-3n^1=9=32,n=3.

故選：C.

n

把α71=3τ中的an換成9,解出n值即可.

本題考查數(shù)列的概念及表示法，考查運算能力，屬于基礎題.

6.【答案】B

2

【解析】解：因為數(shù)列｛αjl｝的前n項和Sn=n-2n+l,

所以?=S3—S?=(9-6+1)—(4-4+1)=3.

故選：B.

根據(jù)數(shù)列｛afl｝的前n項和公式，求通項公式即可.

本題考查了的前n項和公式與通項公式的應用問題，是基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：由題意知2α+1是α-1與4α-2的等差中項，

故2(2α+1)=α-1+4α—2,

則α=5.

故選：D.

根據(jù)等差中項的概念，列式即可求得答案.

本題考查了等差中項的概念，是基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：橢圓的焦點在X軸上時，爐<4,故b”

橢圓的焦點在y軸上時，b2>4,

23

故選：B.

對橢圓的焦點在工軸上和y軸上進行分類討論，即可解出.

本題考查了橢圓的性質，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

9.【答案】D

【解析】解：直線工+2丫-5=0的斜率為一看所以?=—：,解得∕c=-L

故選：D.

計算出直線的斜率，從而列出方程，求出實數(shù)k的值.

本題主要考查直線的方向向量，考查運算求解能力，屬于基礎題.

io.【答案】c

α—c=4

【解析】解：根據(jù)題意可得b=6,

(α2=b2+c2

解得a=?,e=

???C的離心率為￡=K"

a21313

故選：C.

根據(jù)橢圓的幾何性質，方程思想，即可求解.

本題考查橢圓的幾何性質，方程思想，屬基礎題.

11.【答案】B

【解析】解：???橢圓方程為各9=1，

，a2=25,可得Q=5

???△”&尸2中，N、O分別為MFI和MFlF2的中點

????ON?=^?MF2?

「點M在橢圓盤+4=1上，可得IMFiII+[MF2I=2α=10

259

ΛIMF21=10-∣MF1∣=8,

由此可得|。Nl=^?MF2?=∣×8=4

故選：B

根據(jù)橢圓的方程算出α=5,再由橢圓的定義，可以算出∣MF2∣=10-IMFll=8.因此，在△MF/?

中利用中位線定理，得至IJloNl∣MF2∣=4.

本題給出橢圓一條焦半徑長為2,求它的中點到原點的距離，著重考查了三角形中位線定理、橢圓

的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題.

12.【答案】ABC

【解析】解：對于4因為點4的橫坐標為％=4,點4在曲線E：y=C上，

所以4(4,2),

又因為點4在拋物線C：X2=2py(p>0)上，

所以42=2pX2,解得P=4,故A正確；

對于8：因為4(4,2),0(0,0),所以得。力的方程為％-2y=0,故B選項正確；

(x2=8y

對于C：由選項A可知C的方程為/=8y,設I：y=j1%+m,聯(lián)立|ι,Wx2—4x—8m=

2=-x+m

0,

因為k與C相切，所以/=(一4)2-4x(-8m)=0,解得血=一；，

所以Ly=緊一：，即及的方程為x-2y-l=0,故C選項正確；

1(y=

對于D,設"：y=?X+聯(lián)立；1,得/+4(九—1)%+4九2=0,

Ly=-%z+n

因為L與E相切，所以4=16(n—I)2—4×(4n2)=0,解得n=

所以Ly=卜+：,即。的方程為x-2y+l=0,故。錯誤；

故選：ABC.

選項A：利用點4的坐標計算出P即可；選項3：利用。，4兩點坐標計算出。4的方程即可；選項C：

設出，1的方程，利用4與C相切，然后求出直線方程即可；選項D設出。的方程，利用％與E相切，

然后求出直線方程即可.

本題考查直線與圓錐曲線的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】9

【解析】解：因為直線Lαx-3y+2=O與。：2x+(α-3)y+1=O垂直，

所以2α-3(α-3)=0,

所以a=9.

故答案為：9.

利用直線垂直的條件建立關于ɑ的方程，即可求解.

本題主要考查了直線垂直條件的應用，屬于基礎題.

14.【答案】8

【解析】解：圓心(1,—2)到X軸的距離d=2,圓的半徑r=2K,

圓在X軸上截得的弦長等于2√產(chǎn)-cf2=2√20-4=8.

故答案為：8.

根據(jù)弦長公式可求出結果.

本題考查直線與圓相交的弦長的方法，屬于基礎題.

15.【答案】64

【解析】

【分析】

本題考查等比數(shù)列的通項公式、性質的應用，屬基礎題.

利用等比數(shù)列的通項公式或性質即可得出.

【解答】

43

解：設等比數(shù)列｛arι｝的公比為q,則c?=αIq=l,as=a1q=8,兩式相除得q3=8.?α8=asq=

8×8=64.

或利用磅=解得?

故答案為64.

16.【答案】?-?=ι

916

【解析】解：設Fl為雙曲線的另外一個焦點,

由雙曲線圖象的對稱性可得INFl=IMFI

又FMl-IFNl=6,

則IFMl-?MF1?=6,

則20=6,

則Q=3,

即C=5,

則b=√c2—a2=4?

則雙曲線C的標準方程為qY=1，

故答案為：?-?=ι.

916

由雙曲線的性質，結合雙曲線的標準方程的求法求解即可.

本題考查了雙曲線的性質，重點考查了雙曲線的標準方程的求法，屬基礎題.

17.【答案】解：⑴因為4(1,1),B(5,l),所以4B〃X軸，

所以48邊所在直線的方程為y=1；

(2)因為乙4=60。，所以%c=tan60。=15，

所以直線ZC的方程為y—1=√-3(x—1).

即y=Cx+l-q,因為NB=45。，

所以∕?c=t0∏135o=—1,

所以直線BC的方程為y—1=—(X—5),即y=—x+6.

【解析】(1)根據(jù)4,B兩點的坐標求得直線力B的方程；

(2)結合直線4C、BC的傾斜角和斜率，求得直線AC和直線BC的方程.

本題主要考查了直線的一般方程，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)設AB中點為D,由中點坐標公式得C(1,O),由直角三角形的性質知，ICDl=

1?AB?=2,

由圓的定義知，動點C的軌跡是以0(1,0)為圓心，2為半徑長的圓(由于4B,C三點不共線，所以應

除去與X軸的交點).

所以直角頂點C的軌跡方程為(X-l)2+y2=4(x≠3且X≠-1).

(2)設點M(X,y)，點C(%o,yo),

因為B(3,0),M是線段BC的中點，由中點坐標公式得X=竽(X￥3且％力1),y=第

于是由XO=2x-3,y0=2y.

由(1)知，點C在圓(X-I/+y2=4(χ≠3且X≠—1)上運動，

將x<j,M)代入該方程得Qx-4)2+(2y)2=4,即(x—2)2+y2=ι.

因此動點M的軌跡方程為(X-2)2+y2=I(X≠3且X≠1).

【解析】(1)利用直角三角形的性質，圓的定義，即可求出直角頂點C的軌跡方程：

(2)利用代入法，求出直角邊BC的中點M的軌跡方程.

本題考查圓的方程，考查代入法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：CL)因為拋物線y2=2px(p>0)過點(1,2),則有2?=2p,解得P=2,

所以拋物線的標準方程為y2=4x.

(2)由(1)知，拋物線y2=4x的焦點F(1,0),準線方程為X=-1,

設點C,。的橫坐標分別為xi，x2,而線段C。的中點M橫坐標為4,則有與+小=8,

因為點C,。是過拋物線焦點尸的直線，與拋物線的兩個交點，

因此ICDl=?CF?+?DF?=x1+1+x2+1=10,

所以弦CD的長度為10.

【解析】(1)把給定點的坐標代入拋物線方程，求出P值作答.

(2)由(1)求出焦點F,再根據(jù)給定中點橫坐標求出C,。橫坐標和，結合拋物線定義求解作答.

本題主要考查直線與拋物線的綜合，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)方程/+y2-2x-4y+m=0,可化為(X-I)2+(y-2>=5-m,

???此方程表示圓，

?5—τn>0.即Tn<5.

(2)圓的方程化為(x-l)2+(y-2)2=5-m,圓心C(l,2),半徑r=√5-m，

∣l+2×2-3|2

則圓心C(l,2)到直線X+2y-3=O的距離為4=不委-=%，

由于IMNl=*，則有N=cp+G∣MN∣)2,

.?.5—m=(煮)2+(?)2，得m=4,

【解析】本題考查了直線與圓的位置關系，考查代數(shù)運算能力，屬中檔題.

(1)將方程轉化為圓的標準方程，根據(jù)半徑大于O求解即可；

(2)利用點到直線的距離公式及垂徑定理列式解得.

21.【答案】解：(1)由題α?=$6-Ss=3x62-5X6-3X52+52=28.

,ne

(2)由題,an=n≥2則%=-2,

當Ti≥2時，Qn-Sn—S?nτ—3τχ2—5Ti—3(π-1)2+5(π—1)—6τι—8,

又n=1時，Ql=6—8=—2,則｛αn｝的通項公式為αn=6九一8,n∈N*.

【解析】由an=t】'：：lτι>2,∏WN*可得答案.

l?n?n-1>"三,

本題主要考查數(shù)列的前n項和，屬于基礎題.

22.【答案】解：(1)由題意易知點P在以4B為焦點的雙曲線上，設其標準方程為w一^=l(α>

0,b>0).

由題意可得α=10,c=20,所以爐=300,所以雙曲線的標準方程為系