高中數(shù)學一輪復習 對數(shù)

第2.5章基本初等函數(shù)

2.5.4對數(shù)

鱉課程要求了修?求心中有敷

理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然(常

高中要求1

用)對數(shù);通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用.

LJ基礎知識夯實基.，■立完整知識體系

1對數(shù)的概念

(1)概念

一般地，如果d=/7缶>0,且(141),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logaN.

(a底數(shù)，N真數(shù)，logaN對數(shù))

(2)兩個重要對數(shù)

常用對數(shù)以10為底的對數(shù)，10gl°N記為IgN；

自然對數(shù)以無理數(shù)e為底的對數(shù)的對數(shù),logeN記為InN.

(3)對數(shù)式與指數(shù)式的互化

x=logaNo凝=N

對數(shù)式指數(shù)式

【例】(1)計算108,(2)解方程3,=7.

解(1)設尤=/。見8,則萬=8,二%=3,即/。。28=3；

(2)3,=7今x=log37=

(4)結論

(1)負數(shù)和零沒有對數(shù)(2)/。/。=1,logal=0.

特別地，IglO-1,Igl=0,Ine=1,Ini-0.

2對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a〉0,a41,M>0,N>0,有

①log￡MN)=logaM+logaN②log/=logaM-logaN

n④a】ogaM=

(3)logaM=nlogaM(nGR)M

（每條等式均可證明）

比較對數(shù)的運算法則與指數(shù)的運算法則的聯(lián)系

指數(shù)對數(shù)

mnm+n

a-a=aloga(MN)=logaM+logaN

amM

——=

loga-=logaM-logaN

mnmnn

(a)=alogaM=nlogaM

特別注意：EogaMNHlogaM-logaN,loga(M±N)王logaM±logaN.

【例1】證明Zog/MN)=logaM+logaN.

y

證明設％=ZogaM,y=logaN,則a"=M,a=N,

xyx+y

???MN=aa=a,log^MN)=x+y=logaM+logaN.

【例2】計算

(l)21og122+log123；(2)Ig600-lg6；(3)已知lg2=0.3,lg3=0.48,求1g聞.

2

解⑴210gl22+log123=log1224-log123=log124+log123=log1212=1；

(2聞600~lg6=e100=2；

(3)lgV45=lg45I=?g45=]lg(5x9)=1(lg5+lg9)

=1(igy+lg32)=1(1-lg2+21g3)=0.83.

3換底公式

⑴公式

g

logab=-°—(a>0,aM1,c>0,cy1,b>O')

logca、

(2)公式推導

x

設=x,貝!Jlogcb=xlogca=logcaf

x

.?.b=afx=log。b,=log/,

logca

⑶推論

①lo9ab=7^—②logb-logc=logc③log產(chǎn)〃=^logb

logb。abama

證明①logab=#=:；

logbalog/,a

②1嗚人嗨。=吃卷=蕾=bgaC；

③10gam〃=loga加_九10ga)=51°ga，

m

logaam

【例】求警I的值.

log23

lg9

繇Iog89_lj8_21g3lg2_2

用牛log23一譬一31g2'lg3~3

lg2

卷經(jīng)典例題從典例中

【題型1】對數(shù)式與指數(shù)式的互換

【典題1】求下列各式中久的值：

(1)log2(logsX)=o；⑵logz27=

1

解析(1)1log2(log5%)=0,log5x=2°=1..*.%=5=5.

O34

4

(2)logx27=-,x?=27,x=(27)3=3=81.

變式練習

1.完成下表指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)換.

題號指數(shù)式對數(shù)式

(1)103=1000

(2)10g2io=久

(3)3=x

答案(1)1g1000=3(2)*=10(3)Inx=3.

解析⑴103=1000QIg1000=3.

(2)log210=x=2,=10.

(3)e3=xqIn久=3.

2.若xlog23=1,則3X+/的值為.

答案6

解析Vxlog23=1,x=log32.

3X=3噫2=2,9X=(3*)2=4.

則3,+9,=2+4=6.

3.已知a>0,b>0,若log4a=log66=［，貝哼=

答案y

解析t.?a>O,b>0,log4a=log66=-,

A-uaV4V6

???Q=42=2n,D=62,—

by/63

【題型2】對數(shù)的化簡、求值問題

【典題1】化簡求值

(1)4Ig2+31g5-Igi；

⑵210g32-log3y+log38-5嗨3；

解析

(I)41g2+31g5-lgi

=lg24+lg^-lg^

—1g2f—=1g104=4.

5

103

(2)21og32-log3^+log38-5^

=210g32-(log332-log39)+310g32-3

=510g32-(51og32-21og33)-3

=-1.

變式練習

1.若4M=3,貝Ijlog312=()

Am+1「2m+l八m+2「2m+

A.------D.-------C.------D.——

mmm2m

答案A

m

解析4=3,m=log43,

則log312=log33+log34=1+，=故選：A.

2.若3。=2,則21og36-logs16=(用a表示).

答案2-2a

解析由3°=2,得a=log32,

4

所以2logg6—logs16=2log32x3—log32=21og324-2-41og32

=2—210g=2—2a.

3.已知3%=2,y=log318,則％=；y—x=.

答案log32,2

解析因為吏=2,所以x=log32,

又y=log318,貝-x=log318-log32=log39=2.

4.已知1g2=a,1g3=b,.則log36=.(用a,b表示)

答案—

b

解析由換底公式得10g36=譬=半守=華警=胃.

1g31g3lg3b

5.已知3,=4?=6,貝d+工=__.

xy

答案2

解析根據(jù)題意，3%=4y=6,

則％=log36,y=log46,則工=log63,-=log64

xy

貝壯+-=21og63+log64=log636=2.

xy

2

6.求1g25+21g2-(-1)+log48.

答案

解析原式=21g(5x2)-9+,=-5.

1.下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化中，不正確的一組是（）

A.10°=1與1g1=0B.27-5=g與log271=一1

1

C.log39=2與疹=3D.log55=1與51=5

答案C

解析指數(shù)式與對數(shù)式的互化中，其底數(shù)都不變，指數(shù)式中的函數(shù)值與對數(shù)式中的真數(shù)相對應，對于C,

2

log39=23=9或9,=3-?log93=|.故選C.

2.下列四個等式:

①lg(lglO)=O；②In(Ine)=0；③若lgx=10,貝|x=100；④若lnx=e,則x=e?.

其中正確的是()

A.①③B.②④C.①②D.③④

答案C

解析因為1g10=1,所以lg(1g10)=0,故正確；In(Ine)=In1=0,故正確；

由Igx=10可得x=故錯誤；由Inx=e可得x=e，，故錯誤；

故選：C.

3.設alog34=2,則4一。=()

D.1

6

答案B

解析因為alog34=2,則log34a=2,則4a=32=9

則4-。/=(，

故選：B.

4.若lg2=a,lg3=b,則然等于()

.2a+bD2a+ba+2ba+2b

/i.D.c.

1—a+b1+a+b1—a+b1+a+b

答案A

解析S12/g(3x4)_S3+1g4Jg3+2S2_Ig3+2lg2

用牛1n證第g(3x5)-Ig3+lg5~Ig3+lg^-~Ig3+l-lg2f

lg2=a,lg3=b,A^|=-2A+\故選：A.

uulgl51-a+b

5.若2a=5b=10,則工+；=()

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log710

答案C

ab

解析2=5=10,a=log210,b=log510,

=------1------=lo6g1i0n2+login5=lg10=1,

ab