考點三：不等式-【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學復習（解析版）

考點03不等式（9種題型11個易錯考點）

Q-、真題多維細目表

考題考點考向

2022新高考2,第12題基本不等式利用基本不等式求最值

2020新高考1,第11題不等式的概念和性質(zhì)比較大小

u二、命題規(guī)律與備考策略

本專題在高考題中多作為載體考查其他知識，例如結(jié)合不等式的解法考查集合間的關(guān)系與運算、函數(shù)的定義

域與值域、函數(shù)零點的應用等；或考查用基本不等式解決最值或恒成立問題?？碱}以中低檔為主。主要以選

擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分。對于不等式及其性質(zhì)內(nèi)容的復習，需要結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三

角函數(shù)、數(shù)列等知識綜合掌握.

U三、2022真題搶先刷，考向提前知

（多選）4.（2022?新高考H）若X,y滿足了+/-孫=1,則（）

A.x+yWlB.x+y2-2C.D.f+y221

y

X方:cose

【分析】方法一：原等式可化為，（X-Z）2+2=1,進行三角代換，令,則

2返y=sin0

2

.a,甘

x-smy+cos

l，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別求出x+y與?+/的取值范圍即可.

y—3-sme

o

J+y2

方法二：由/+/-盯=1可得，（x+y）2=1+3町＜1+32,7+y2-1=召《―，分別求出x+y

2

與/+/的取值范圍即可.

【解答】解：方法一：由/+夕-孫=1可得，G-X）2+2=1,

2

x^-=cos0sinQ+cos0

o

令V3「

「樂?fi

—^―y-sinyy—o-smd

o

，x+y=Esin8+cosS=2sin（8吟）曰一2,2],故A錯，B對，

???內(nèi)夫除ine+COS0產(chǎn)+（嚶Sin8）2=^in20-jCos291樓十儂今）

專號2】，

故C對，。錯，

方法二：對于A,B,由/+y2-孫=1可得，（x+y）2=1+3外4+3（31匕）2,即],

（x+y）2<4,二-2<x+），W2,故A錯，B對，

22

對于C,D,由/+y2-孫=1得，/+y2-l=xy4-￡/

.,./+/W2,故C對；

2,22,2。/2-2、

*.*-xy<-..--,/.1=x^+y2-xyW/+y2+_^---Y_=0：三----『一人,

222

22

Ax+y>-1,故0錯誤.

故選：BC.

【點評】本題主要考查了三角代換求最值，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了學生分析問題，轉(zhuǎn)化問

題的能力，屬于中檔題.

（多選）1.（2020?山東）已知a>0,h>0,且a+b=l,則（）

A./+房》上B.2"”>上

22

C.Iog2〃+log2人2-2D.Va+Vb<V2

【分析】直接利用不等式的性質(zhì)的應用和基本不等式的應用求出結(jié)果.

【解答】解：①已知40,匕>0,且〃+力=1,所以（a+h）2f2+2射，則a2+b2）￡,故A正確.

②利用分析法：要證2a-b>],只需證明a-Q-1即可，即4/1，由于40,b>0,且”+匕=1,

所以：a>0,-l<b-1<0,故B正確.

2

③log2a+log2b=l°g2ab《log2（W）=-2,故C錯誤.

④由于a>0,b>0,且a+b=l,

利用分析法：要證4/<正成立，只需對關(guān)系式進行平方，整理得a+b+2442,即2^<1，

故日《方=等，當且僅當〃=方=*時;等號成立.故。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查的知識要點：不等式的性質(zhì)的應用，基本不等式的應用，主要考查學生的運算能力和

轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

u四、考點清單

一.不等式的基本性質(zhì)

①對稱性：a>b=b〈a；

②傳遞性：a>b,b>c=a>c；

③可加性：a>b^>a+c>b+c.

④同向可加性：a>b,c>d=a+c>b+d；

⑤可積性：a>b,c>O=ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；

⑥同向整數(shù)可乘性：a>b>0,c>d>G=ac>bd；

⑦平方法則：a>h>O=>an>bn（nGN,且”>1）；

⑧開方法則：”>6>0=輻>版（〃6N,且〃>1）.

二.不等關(guān)系與不等式

①對任意的”，b,有“>6=4-b>0；-6=0；a<b<^>a-b<0,這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù).

②如果。>匕，那么b<a；如果那么b>a.

③如果”>〃，且6>c,那么a>c；如果a>〃，那么n+c>%+c.

推論：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果c<0,那么ac<bc.

三.不等式比較大小

不等式大小比較的常用方法

（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；

（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)募的代數(shù)式）；

（3）分析法：

（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；

（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；

（7）尋找中間量或放縮法；

（8）圖象法.其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.

四.基本不等式及其應用

1、求最值

2、利用基本不等式證明不等式

3、基本不等式與恒成立問題

4、均值定理在比較大小中的應用

【解題方法點撥】

技巧一：湊項

技巧二：湊系數(shù)

技巧三：分離

技巧四：換元

五.不等式的綜合

1、不等式的性質(zhì)

名稱不等式名稱不等式

對稱性<2>b=6<。出要條件）傳遞性a>b,b>c^a>c

>0nac>be

a>boa+c>b+c慶要條件）a>b,c<Q^>ac<bc

同向不等式可加性：

同向正數(shù)不等式可乘性：

可加性a>b,c>d=>a+ob+d可乘性a>b>Q,c>d>Q=>a:>bd

異向不等式可威性：

異向正數(shù)不等式可除性：

a>b,c<d=>a-c>b-da>Z>>0,0<c<dn%>%

K

乘方法則a>b>0na。>b(neN,n>2)開方法則a>0=%>yJb(neN3n>2)

ab>O.a>d=>—vg

倒數(shù)法則常用結(jié)論a>bo&儕要條件）

2,利用重要不等式求函數(shù)最值：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”.

3、常用不等式

（1）2i2］（4方€&,當々=方時取得）

ab

（2）a：222次421be凡當a=b時取=^）

4、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法.

比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出

結(jié)論.

常用的放縮技巧有：

—~~--<X<—7-5-~-(右邊當n>2時成立)

nn+1n(n+l)n漢”-1)M-1n

J/c+l_y[k=——=■<--="<——=■=>fk-yfk-i

-Jk+l-i-jk2-jk-Jk-i+y/k

5.常系數(shù)一元二次不等式的解法：判別式-圖象法

步驟：(1)化為一般形似：a^+bx+c^O,其中〃>0；

(2)求根的情況：0?+法+,=0能否因式分解△>()(=0,<0)；

(3)由圖寫解集：考慮y=a?+版+c(。>0)圖象得解.

6.簡單的一元高次不等式的解法：標根法：

其步驟是：

(1)分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；

(2)將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根右上方依次通過每一點畫曲線(奇穿偶回)；

(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.

7.分式不等式的解法：

分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高

次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解.解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分

母.

8、含參不等式的解法：通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵

注意：①解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”.

②按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集.

含參數(shù)的一元二次不等式的解法：三級討論法.

一般地，設(shè)關(guān)于x的含參數(shù)。的一元二次形式的不等式為：/(a)x2+￡(a)x+r(a)>0(<0).

(1)第一級討論：討論二次項系數(shù)/(a)是否為零；

(2)第二級討論：若，(a)W0時，先觀察其左邊能否因式分解，否則討論△的符號；

(3)第三級討論：若/(a)#0時，△>?時，先觀察兩根xi,r大小是否確定，否則討論兩根的大小.

注意：每一級的討論中，都有三種情況可能出現(xiàn)，即“>"，"="，“<”，應做到不重不漏.

9.不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題

常應用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法.

1)恒成立問題

若不等式/(x)>A在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D1.f(x)min>A,

若不等式/(X)<8在區(qū)間。上恒成立，則等價于在區(qū)間。上/(x)"如<8.

六.指、對數(shù)不等式的解法

【概述】

指、對數(shù)不等式的解法其實最主要的就是兩點，第一點是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二點就是學會指數(shù)和

指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運算，下面以例題為講解.

七.二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象

【二次函數(shù)】

二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自

變量的變化而變化.它的一般表達式為：y—aj^+bx+c(?^0)

【二次函數(shù)的性質(zhì)】

二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都

有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學的拋物

線的焦點、準線和曲線的平移.

這里面略談一下他的一些性質(zhì).

①開口、對稱軸、最值與x軸交點個數(shù)，當a>0(<0)時，圖象開口向上(向下)；對稱軸x=-且；最

2a

值為：/(一旦)；判別式△=序-4叱，當△=()時，函數(shù)與x軸只有一個交點；△>0時:與x軸有兩個交

2a

點；當^<0時無交點.

②根與系數(shù)的關(guān)系.若4》0,且XI、為方程>=—+法+。的兩根，則有xi+%2=-上，XI?%2=￡；

aa

③二次函數(shù)其實也就是拋物線，所以/=2Q，的焦點為(0,1),準線方程為y=-種，含義為拋物線上的

點到到焦點的距離等于到準線的距離.

④平移：當y=a(x+6)2+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成y=a(x-1+Z>)2+c；

【命題方向】

熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準確形狀，特別是注意拋物線焦點和準線的關(guān)系，拋物線最值

得取得，這也是一個常考點.

A.一元二次不等式及其應用

【概念】

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是ax1+bx+c>

0或ax1+bx+c<0(a不等于0)其中ar2+6x+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式.

【特征】

當△=廬-4妝>0時，

一元二次方程o^+bx+cuO有兩個實根，那么o^+bx+c可寫成a(x-xi)(JC-%2)

當△=層-44c=0時，

—元二次方程ar2+%x+c=0僅有一個實根，那么a^+bx+c可寫成a(x-xi)2.

當△=層-4%<0時.

一元二次方程a?+法+c=0沒有實根，那么aj^+bx+c與x軸沒有交點.

【一元二次不等式的常見應用類型】

①一元二次不等式恒成立問題：

一元二次不等式a^+fcr+c>。的解集是R的等價條件是：">0且△<()；一元二次不等式a/+/?x+c<0的解

集是R的等價條件是：a<0且△<().

②分式不等式問題：

f(X)>0可R.ga)>o；

g(x)

可(x)?g(x)<0；

g(x)

f(X)>njf(X)，g(X)>0.

g(x)Ig(x)7t0

f(x)f(X)"g(x)40

g(x)Ig(x)7t0

九.一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

【概述】

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系其實可以用一個式子來表達，即當a/+反+c=0(aW0)有解時，不妨設(shè)它的

解為xi,X2,那么這個方程可以寫成ar2-a(XI+JC2)x+aa，x2=0.即/-(xi+x2)x+x\'xi=Q.它表示根

與系數(shù)有如下關(guān)系：Xl+JC2=-—,X\'X2=—.

aa

Q五、題型方法

等式與不等式的性質(zhì)(共1小題)

1.(2023?豐臺區(qū)一模)設(shè)“，b,c6R,且則()

A.ac>bcB.A<AC.a1〉序D.a-c>b-c

ab

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：'：a>b,：,a-c>b-c,因此。正確.

cWO時，A不正確；”>0>b時，B不正確；取。=-1,b=-2,C不正確.

故選：D.

【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二.不等關(guān)系與不等式（共6小題）

2.(2023?重慶一模)設(shè)x,>GR,且0<x<y<l,貝I」()

A.x>yB.tanx>tany

C.4，>2VD.X-H—"y（2-y）

x

【分析】對選項進行逐個分析，即可解出.

【解答】解：令工=上，則/Vy2,taarVtany,故選A3錯誤；

32

令X=L,y=X,則4工=2）',故選項C錯誤；

4■2

=2

選項。，x+—>2.xx—^'y（2-y）=2y-y<2y<2,x+—>>1（2-y）,故選。正確,

xVXX

故選：D.

【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2023?吉林模擬）己知工<工<0,則下列不等式不一定成立的是（）

ba

A.a<bB.且二>2C.a」<b’D.1〃（b-a）>0

abab

【分析】A選項，由不等式基本性質(zhì)得到A正確；

B選項，利用基本不等式求出且二〉2；

ab

C選項，作差法比較出大小關(guān)系；

。選項，舉出反例即可.

【解答】解：A選項，—<C—<C0>故“<0,b<0,所以帥>0,上〈工兩邊同乘以外得，a<h,A正

baba

確；

8選項，因為aVZ><0,所以且>0,—>Q,且2#包,

abab

由基本不等式得依>2得=2’故B正確;

C選項，因為a<b〈O,所以a-b<0，—>0-

ab

(b-~)=a-b+a-(a-b)

ababab

所以a1<b二，C正確；

ab

。選項，不妨取a=-2,b=滿足a<6<0,此時加(b-a)=/〃l=0,故。錯誤.

故選：D.

【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2023?南昌縣校級二模)已知x<-l,那么在下列不等式中，不成立的是()

A.x2-1>0B.-2C.sinr-x>0D.co&x+x>0

x

【分析】根據(jù)X<-1,利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：.../-I〉。，x+工<-2,

X

又；sinx,cosx6[-1,1],

/.sinx-JC>0,cosx+x<0.

可得：ABC成立,。不成立.

故選：D.

【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

5.(2023?武漢模擬)下列不等式正確的是()

A.若ac2》從V貝ij

B.若￡■>￡?,則

ab

C.若〃+b>0,c-h>0,則

D.若a>0,b>0,m>0,且則史里〉包

b-hnb

【分析】利用不等式的性質(zhì)逐個分析各個選項即可.

【解答】解：對于A,若兒2,當c=。時，。與人的大小關(guān)系無法確定，故4錯誤,

對于8,取。=1,c=Lb=-1,則滿足￡■>￡?,但不滿足故8錯誤；

ab

對于C,取〃=7,b=2,c=3,則滿足。+6>0,。-匕>0,但不滿足〃>c,故C錯誤;

對于。，若。>0,。>0,m>0,且4Vb,則〃-q>0,

所以史+2=b(a+m)-a(b+m)=m(b-a)>0,即三也>且，故。正確.

b+mbb(b+m)b(b+m)b+mb

故選：D.

【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，考查了作差法比較大小，屬于基礎(chǔ)題

6.（2023?宣威市校級模擬）某學生月考數(shù)學成績x不低于100分，英語成績y和語文成績z的總成績高于

200分且低于240分，用不等式組表示為（）

Ax>100fx>100

A...BD.<//

200<y+z<240|200<y+z<240

C（x>100Dp>100

'（200<y+z<240'{200<y+z<240

【分析】根據(jù)題目條件直接列出不等式組即可.

【解答】解：數(shù)學成績x不低于100分表示為xN100,英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且

低于240分表示為200<j+z<240,

即（x>100

1200<y+z<240

故選：D.

【點評】本題主要考查了不等式的實際應用，屬于基礎(chǔ)題.

5

7.（2023?天津一模）設(shè)a=c|）°?5,b=（-1）°-,c=log1（log34）1則（）

7

A.c<b<aB.c<a<bC.a〈b<cD.a<c<b

【分析】根據(jù)指數(shù)基和對數(shù)的取值，分別判斷。，6,C的取值范圍，然后比較大小.

【解答】解：0<（1）0-5<1，（馬0.5〉1，

Vlog34>l,log3（log34）0>

了

即b>\,c<0,

'.c<a<h.

故選：B.

【點評】本題主要考查對數(shù)值和指數(shù)值的大小比較，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷范圍是

解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

三.不等式比較大?。ü?小題）

8.（2023?江寧區(qū)校級模擬）三個數(shù)。=3萬，b=（1）3,c=log3/的大小順序為（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

A10

【分析】根據(jù)所給的三個式子和l,和0的關(guān)系，把。與3°進行比較，把/，與（_1）進行比較，把。同

logs1進行比較，得到三個數(shù)字的大小關(guān)系.

￡

【解答】解：?.工=乩>3°=1

log3-y<log3l=0

.,.a>b>c

故選：D.

【點評】本題考查不等式比較大小，本題解題的關(guān)鍵是看出需要找兩個中間量，把三個數(shù)字分成三個層

次，本題是考查指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì).

四.基本不等式及其應用(共5小題)

9.(2023?安慶模擬)已知函數(shù)f(x)=log2Cax+b)(a>0,b>0)恒過定點(2,0),則旦二的最小值為

ab

()

A.2V2+1B.2V2C.3D.V2+2

【分析】利用基本不等式常數(shù)“1”的代換即可求出結(jié)果.

【解答】解：由題意可知2a+6=l,

則旦七卻小&華+>2后與+1=2亞+1，

abababVab

當且僅當a/ZLbW^-l時，且二的最小值為蓊+1，

2ab

故選：A.

【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2023?拉薩一模)已知實數(shù)x,y滿足2r+y=2,則夕+2義3」的最小值為()

A.6^2B.4V2c.3我D,272

【分析】直接根據(jù)基本不等式求解即可.

【解答】解：?.?實數(shù)X,y滿足2x+y=2,

..9+2X3)'=32x+2X3)'》2{32x><2X3丫=2{2><呼=6近,當且僅當［之了-2時，等號成立.

,32X=2X3y

故選：A.

【點評】本題考查了基本不等式在求最值中的應用，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2023?滁州二模)若小b,c均為正數(shù)，且滿足d+34b+3ac+9%=18,則2。+3>3c的最小值是()

A.6B.476C.6V2D.673

【分析】利用因式分解法，結(jié)合基本不等式進行求解即可.

【解答】解：c^+3ab+3ac+9bc=18=>a(a+3Z>)+3c(a+3b)=I8=>(.a+3b)(a+3<?)=18,

因為a,b,c均為正數(shù)，

所以18=(a+3b)(a+3c)<(a+3b；a+3c)2今2a+3b+3c>啦，

當且僅當a+3b=a+3c時取等號，即a+3b=3、歷，b=c時取等號，

故選：C.

【點評】本題主要考查了基本不等式的應用，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2023?文昌模擬)設(shè)x、y>l,z>0,若z2=x?y,則」工」1巳的最小值為()

21gx41gy

【分析】由已知變形可得出2/gz=/gx+/gy,可得出」絲「JiZ,利用基本不等式可

21gx41gy841gx81gy

求得匹的最小值.

21gx41gy

【解答】解：因為工、y>Ez>0,z1=x-y,則/gz?=/g(xy),即2/gz=/gx+/gy,

由題意可得/gx>0,/g.v>0,

所以，lgz]gz21gz21gz_lgx+lgy]gx+]gy__3_Igy]gx

21gx+41gy41gx+81gy41gx+_81gy_8^lgx+81gy

Jlgy.lgZj.^,

^8T41gx81gy84

當且僅當上了=旨*時,即當火=丫后時，等號成立，

41gx81gyxy

故lgz+Igz的最小值為3J巨.

21gx41gy84

故選：A.

【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)及基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2023?陜西模擬)已知mb,c為正實數(shù)且〃+2b+3c=5.

(1)求/+/+。2的最小值；

(2)當我而47§藍^^羨》5時，求a+6+c的值.

【分析】(1)由已知條件，應用三元柯西不等式求目標式的最小值，注意等號成立條件；

(2)由基本不等式可得J結(jié)合條件得J壽從而求a、b、

c的值，即可得a+b+c的值.

【解答】解：(1)由柯西不等式得，

(a2+fe2+c2)(12+22+32)》(a+26+3c)2=25,

故a2+62+c2>—；

14

當且僅當至=上=￡,即a=巨，b=5,。=」反時，等號成立；

12314714

故a2+Z?2+c2的最小值為空；

14

(2)由基本不等式可得，

a+2b22y2ab，

a+3c22{3ac，

2b+3c^yJ6bc>

故2(a+26+3c)22(V2ab+V3ac+V6bc)>

故Y2ab+V3ac+V6bcW5,

當且僅當a=26=3c,且a+26+3c=5,

即〃=￡，/)=.§.,c=反時，等號成立，

369

又'?,<V2ab+V3ac+V6bc>5，

V2ab+V3ac+V6bc=5,

即4=5,b=2,c=8,

369

a+b+c—~.

18

【點評】本題考查了三元柯西不等式及基本不等式的應用，屬于中檔題.

五.不等式的綜合(共1小題)

14.(2022?沙河口區(qū)校級一模)一般認為，民用住宅窗戶面積。與地板面積b的比應不小于10%,即

上<且<1，而且比值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時增加m,采光效果變好還是變

10b

壞？請將你的判斷用不等式表示采光效果變好，生也〉旦.

b-hnb

【分析】根據(jù)題意，設(shè)窗戶和地板同時增加m平方米，利用作差法分析三也和旦的大小，即可得答案.

b+mb

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)窗戶和地板同時增加，九平方米，有」:《包(1,

10

則有生也_a=ab+birrab-am一(b-a)m

b+mb(b-4n)b(b+m)b

又由。<從則三四-兔>0,即三也>旦，

b+mbb+mb

故采光效果變好，不等式表示為包也〉包，

b-hnb

故答案為：采光效果變好，生也〉包.

b+mb

【點評】本題考查不等式的性質(zhì)以及應用，涉及不等式大小的比較，屬于基礎(chǔ)題.

六.指、對數(shù)不等式的解法(共4小題)

15.(2023?瀘縣校級模擬)若log“3<log/>3<0,貝U()

A.0<a<h<lB.0<h<a<lC.a>h>lD.b>a>\

【分析】化Ioga3<logb3<0為log3匕Vlog3a<0,利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

【解答】解：vioga3<logz，3<0,

___--<―-—<0,

logb3loga3

即Iog3/><log3a<0,

故

故選：B.

【點評】本題考查了對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的利用，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2023?北京模擬)已知函數(shù)f(x)=log2X-(xT)2,則不等式/(》)<0的解集為()

A.(-8,1)u(2,+oo)B.(0,1)U(2,+8)

C.(1,2)D.(1,+8)

【分析】令/(x)=0求得x的值，在同一坐標系內(nèi)畫出對應函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求出不等式f(x)<

0的解集.

【解答】解：令f(x)=log2X-(xT)得log2x=(x-1)2,得尸1或x=2；

在同一坐標系內(nèi)畫出y=log2x與y=(x-1)2的圖如如圖所示，

則不等式f(x)<0的解集為(0,1)U(2,+8).

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)圖象與性質(zhì)應用問題，也考查了結(jié)合函數(shù)圖象求不等式解集的問題，是基礎(chǔ)題.

17.(2023?海淀區(qū)校級模擬)不等式21ogM-(x-1)(x-2)>0的解集為.

【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象進行求解即可.

【解答】解：由21。83乂-(x-1)(x-2)>0,log3X〉^~(xT)(x-2>

在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)=log?x,g(x)小(x-l)(x-2)的圖象如下圖所示：

32

所以由函數(shù)的圖象可知：當xw(1,3)時，有/G)>g(x),

故答案為：{X|1VR<3}.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題.

1

18.(2023?銀川模擬)關(guān)于x的不等式/2k)gd(〃>0且。對)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是」6丁一

+8).

【分析】"》logd(a>0且等價于lna>衛(wèi)生，即lna>(―)，令f(x)工1，對/小)

XxmaxX

求導，得出/G)的單調(diào)性，即可得出答案.

【解答】解：因為不等式爐Nlogax(〃>0且。W1)恒成立，可知〃>1,lna>0,

由出力Ogd(”>0且21)可得Jlna〉@(x>0),

Ina

lnx

貝I」xlna-"加e-lnxf

令〃(r)=td,h'(f)=el(r+1),

令》(r)>0,解得：r>-1；令h'(r)<0,解得：V-l,

所以/?(/)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,1)上單調(diào)遞減，

當-V0時，h(力=用<0,當/>0時，h(r)=〃>0,

因為x>0,lna>0f所以

所以要使x山〃,，'""2工/〃氏=/工加:，故只需xlna^lnx即可，

故Ina》處即可，

X

21

令f(x)^V，f'/(x)=^-45-=1-1尸=>解得：x=e，

AXX

令/(x)>0解得：0<x<e；令，(%)<0解得：x>e,

所以/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以f(x)=f(e)』，所以Ina》2，即

maxgee

所以實數(shù)a的取值范圍是［2，Q).

e

故答案為：［ee,+8).

【點評】本題考查了導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題.

七.二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象(共7小題)

19.(2023?和平區(qū)校級一模)若函數(shù)f(x)=f-4x+4在區(qū)間［a,4+1］上的最小值為4,則a的取值集合為

{-1,4}.

【分析】函數(shù)/(x)=/-4x+4=(x-2)2,對稱軸為x=2,再對。分類討論，即可求解.

【解答】解：函數(shù)/(x)=/-4x+4=(x-2)2,對稱軸為x=2,

當“+1W2,即aWl時，

2

f(x)min=f(a+1)=4,即(<2+1)-4(a+1)+4=4,解得a=-1或a=3(舍去)，

故a=-1,

當aV2Va+l,即l<a<2時，

/(x)min=f(2)=0,不符合題意，舍去，

當a22H寸，

f(x)min—f(a)=4,即。2-44+4=4,解得a=4或a=o(舍去)，

故a的取值集合為{-1,4}.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，屬于基礎(chǔ)題.

20.(2023?海淀區(qū)一模)已知二次函數(shù)f(x),對任意的x€R,有/(2x)<2f(x),則/(x)的圖象可能是

【分析】由題意可得f(0)>0,所以CQ都不可能，對于B,由圖象可知-上)>0,與x=一應時，

a2a

/(2x)=f(-2)<2/(--L)<0相矛盾，所以B不可能.

a2a

【解答】解：二次函數(shù)f(x),對任意的x€R,有/(2x)<2f(x),

令x=0得，f(0)<2f(0),即f(0)>0,故CO都不可能，

對于B,二次函數(shù)的對稱軸方程為x=-且，由圖象可知一旦)<0,

2a2a

設(shè)f(x)的圖象與x軸的兩個交點為xi,X2,且0cxicX2,

則x\+x2—-—>0,

a

所以0<*,<上<乂。<-且，所以/(-上)>0,

12azaa

當x=-旦時，y(2x)=f(-t)<2/(-<0,兩者相矛盾，故B不可能.

2aa2a

故選：A.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

21.(2023?寧波一模)若函數(shù)/(x)=F+MX+〃在區(qū)間(-1,1)上有兩個零點，則/-，*2+2〃+1的取值范

圍是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,4)D.(1,4)

【分析】由已知結(jié)合二次方程實根分布及不等式性質(zhì)即可求解.

f(-l)=l-m+n^>0

f(l)=ltmtn>0

【解答】解：由題意得、，

△=m2-4n>0

22

所以〃2-m2+2〃+]=(〃+i)-fn=(〃+]+〃力>0,

設(shè)/(x)的兩個零點為XI,X2,則f(x)=(x-xi)(x-X2),

所以(/1+1+/?2)(n+1-m)=f(1)?/(-1)=(1-xj)(1--)<1.

故選：A.

【點評】本題主要考查了二次方程實根分布及不等式的性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題.

22.(2023?會澤縣模擬)已知二次函數(shù)/(x)=a？-4x+c的值域為[0,+~),則ac的值是4；_^邑

c+1a+6

的最大值是6-276.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知a>0，A=0,然后通過變形利用基本不等式即得.

【解答】解：由題意知：a>0,f(x)的值域為[0,+8),

工A=16-4ac=0f

則ac=4,<?>0,

所以，=a+6c+12=a+6c+12=p2,

c+1a+6ac+a+6c+6a+6c+10a+6c+10

又a+6c》2>6ac=4^6?當且僅當a=6c=2通時取等號，

即I+641+~-----=6-2^6?

c+1a+64^6+10

故答案為：4；6-276.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

23.(2023?宛城區(qū)校級模擬)已知二次函數(shù)/(x)=nv?-2x+n(/H,nGR),若函數(shù)/(X)的值域是[0,+->),

22

且f(1)W2,則+_§—的取值范圍是()

n2+lm2+l

A.[0,12]B.[I,13]C.[2,12]D.[3,13]

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，〃〃=I，且，〃>0,又因為/(I)W2,所以切+工W4,再結(jié)合基本不

m

等式求解即可.

【解答】解：；二次函數(shù)F(x)^mx1-2x+n(m〃6R)的值域是[0,+°°),

A=4-4〃?〃=0,解得mn=1,且m>09

又；f(l)=w-2+”W2,〃=工，

m

n?4-—4,

m

1

2222~242,1.

...mn=mn=-^+』_=m+1=m-m+1=2」

242、2口2口112G2、2m「

n+1m+1n+1m+1l+-ym+1m[1+m)mm

m

由機+_lw4,機>0,可得2Wm?"kE-WM,

mm2

1m2

m

22

即的取值范圍是[1,13].

n+1m+1

故選：B.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了基本不等式的應用，屬于中檔題.

24.(2023?溫州模擬)已知次x)=/-ar,|/Q(x))|W2在［1,2］上恒成立，則實數(shù)a的最大值為_四叵一

4

【分析】代入x=l,2的值得到關(guān)于。的不等式組，解出即可.

【解答】解：|W2在［1,2］上恒成立，

(/(1))|W2,即，(1-a)|W2,

故城-3a+l|W2,

解得：3-VI7WaW封叵

44

同理，-(，(2))|W2,解得：iWa這工,

故

4

當4=亞叵時，設(shè)，=/G),此時包<1,

42

VxGll,2］,：.t=f(x)在U，2］遞增，

故正［1-a,4-2〃］,

此時包-(4-2a)=2-4>0,

22

故y=/(r)在［1-a,4-2a］遞減，

故「(力|W2在［1-a,4-2a］上恒成立,

只需[If(>a)|42,

八IIf(4-2a)I<21

故ams：=.

4

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查解絕對值不等式問題，是一道中檔題.

25.(2023?和平區(qū)校級一模)在①/1(4)=-1,f(3)=2,②當x=2時，/(%)取得最大值3,@f(x+2)

=/(2-x),/(0)=-1這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.

問題：己知函數(shù)/(x)---2ax+b,且.

(1)求/(x)的解析式；