專題07空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征表面積和體積

專題07空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積知識點(diǎn)1多面體的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫棱柱。（1）有兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形；（2）其余各面叫做棱柱的側(cè)面，他們都是平行四邊形；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；（4）側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。2、棱錐：一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。（1）這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面；（2）有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；（4）各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)?！咀⒁狻坑幸粋€(gè)面是多邊形，其余各面都使三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖。棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個(gè)公共頂點(diǎn)。3、棱臺：用一個(gè)平行與棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面與截面之間的部分叫做棱臺。（1）原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；（2）其他各面叫做棱臺的側(cè)面；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱；（4）側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺的定點(diǎn)?！咀⒁狻浚?）棱臺上下底面是互相平行且相似的多邊形；（2）側(cè)面都是梯形；（3）各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)。知識點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體角圓柱。（1）旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；（2）垂直于軸的變旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；（3）平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；（4）無論轉(zhuǎn)到什么位置，平行與軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線?！咀⒁狻浚?）底面是互相平行且全等的圓面；（2）母線有無數(shù)條，都平行于軸；（3）軸截面為矩形。2、圓錐：以直角三角形的一條所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。（1）垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面；（2）直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面；（3）無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐側(cè)面的母線?！咀⒁狻浚?）底面是圓面，橫截面是比底面更小的圓面，軸截面是等腰三角形；（2）圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是圓錐的母線；（3）母線有無數(shù)條，且長度相等，側(cè)面由無數(shù)條母線組成。（4）直角三角形繞其任意一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體不一定是圓錐。3、圓臺第一種定義：用平行與圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺。第二種定義：以直角題型處置與底面的腰所在的的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體?！咀⒁狻浚?）圓臺上、下底面是半徑不相等且互相平行的圓面；（2）母線有無數(shù)條且長度相等，各母線的延長線交于一點(diǎn)；（3）軸截面為等腰梯形。4、球：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球。（1）球心：半圓的圓心叫做球的球心；（2）半徑：連接圓心與球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；（3）直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑。知識點(diǎn)3立體圖形的直觀圖1、斜二測畫法：我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法．（1）“斜”：在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x'軸承45°或135°（2）“二測”：兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x'軸或z'軸的線段長度不變；平行于y'軸的長度變成原來的一半，2、平面圖形直觀圖的畫法及要求（1）建系：在已知圖中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于O點(diǎn)，畫直觀圖時(shí)，把他們弧長對應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸相交于O'，且使∠x'O'y（2）平行不變：已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，直觀圖中分別畫出平行與x'軸或y'（3）長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?3、空間幾何體直觀圖的畫法（1）與平面圖形的直觀圖相比，多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸；（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面；（3）已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．（4）成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．4、直觀圖與原圖多邊形面積之間的關(guān)系若一個(gè)多邊形的面積為S原，它的直觀圖的面積為S直，則有S知識點(diǎn)4多面體的表面積和體積1、棱柱、棱錐、棱臺的表面積（1）棱柱的表面積：S棱柱（2）棱錐的表面積：S棱錐（3）棱臺的表面積：S2、棱柱、棱錐、棱臺的體積（1）棱住的體積：棱柱的體積等于它的底面積S底和高h(yuǎn)的乘積，即V（2）棱錐的體積：棱錐的體積等于它的底面積S底和高h(yuǎn)的乘積的13（3）棱臺的體積：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h知識點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積1、側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l2、圓柱、圓錐、圓臺的體積公式：（1）圓柱的體積公式：V（2）圓錐的體積公式：V（3）圓臺的體積公式：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h3、球的體積公式：V=43πR考點(diǎn)1多面體的結(jié)構(gòu)特征【例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）“棱柱有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要D．既非充分又非必要條件【答案】C【解析】若棱柱有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形，則兩側(cè)面的交線必定垂直于底面，所以該棱柱為直棱柱，滿足充分性；若棱柱為直棱柱，則棱柱有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形，滿足必要性；故“棱柱有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的充要條件，故選:.【變式11】（2023春·天津?yàn)I海新·高一大港一中校考階段練習(xí)）以下說法正確的是（）①棱柱的側(cè)面是平行四邊形；②長方體是平行六面體；③長方體是直棱柱；④底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；⑤直四棱柱是長方體；⑥四棱柱、五棱錐都是六面體．A．①②④⑥B．②③④⑤C．①②③⑥D(zhuǎn)．①②⑤⑥【答案】C【解析】①棱柱的兩個(gè)底面平行且側(cè)棱兩兩相互平行，故側(cè)面是平行四邊形，故正確；②平行六面體是各面都為平行四邊形的六面體，而長方體是各面都為矩形的平行六面體，故正確；③直棱柱是側(cè)棱與底面垂直的棱柱，顯然長方體的側(cè)棱與底面都垂直，故為直棱柱，故正確；④底面是正多邊形且各側(cè)面為全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐，故錯(cuò)誤；⑤底面為長方形的直四棱柱是長方體，故錯(cuò)誤；⑥四棱柱、五棱錐均有六個(gè)面，都是六面體，正確.故選：C【變式12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在2022年第二十四屆冬奧會上，中國代表隊(duì)創(chuàng)造了歷史最好成績，首都北京也成為第一座“雙奧之城”．如圖所示，坐落于北京的國家游泳中心（又稱“水立方”），是中國健兒為國爭光的地方，“水立方”可以抽象出的幾何體是（）．A．圓柱B．四棱錐C．四棱臺D．長方體【答案】D【解析】由圖可知，“水立方”是可以抽象為長方體模型，故選：D【變式13】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共項(xiàng)點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐【答案】D【解析】因?yàn)橛袃蓚€(gè)面平行，其余各面是相鄰的公共邊都相互平行的平行四邊形的幾何體叫棱柱，所以A、B錯(cuò)誤；因?yàn)橛幸粋€(gè)面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：D.【變式14】（2023·全國·高一專題練習(xí)）有下列四種敘述：①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺；④棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).其中正確的有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】B【解析】對于①：當(dāng)截面不平行于底面時(shí)，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺，①錯(cuò)；對于②③：如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長線不能相交于一點(diǎn)，不是棱臺，②③錯(cuò)；對于④：棱臺結(jié)構(gòu)特征知：側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，④正確.故選：B【變式15】（2022春·山西呂梁·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（）A．三角形的直觀圖是三角形B．直四棱柱是長方體C．平行六面體不是棱柱D．兩個(gè)平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺【答案】A【解析】對A，根據(jù)直觀圖的定義，三角形的直觀圖是三角形，故A對；對B，底面是長方形的直四棱柱是長方體，故B錯(cuò)；對C，平行六面體一定是棱柱，故C錯(cuò)；兩個(gè)平面平行，其余各面是梯形的多面體，當(dāng)側(cè)棱延長后不交于同一點(diǎn)時(shí)，不是棱臺，故D錯(cuò)；故選：A考點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體為（）A．圓錐B．圓柱C．圓臺D．球【答案】A【解析】由圓錐的定義可得直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體為圓錐，故選：A【變式21】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列幾何體表示圓錐的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A圖表示圓柱，B圖表示球，C圖表示圓錐，D圖表示四棱柱.故選：C.【變式22】（2023春·天津和平·高一第五十五中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中不正確的是（）A．圓柱?圓錐?圓臺的底面都是圓面B．正四棱錐的側(cè)面都是正三角形C．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺D．以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，另一腰和兩底邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓臺【答案】B【解析】對于A：圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，故A正確；對于B：正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B錯(cuò)誤；對于C：用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，故C正確；對于D：以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，另一腰和兩底邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓臺，故D正確．故選：B．【變式23】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列命題中正確的有（）A．圓錐、圓臺的底面都是圓面B．用一個(gè)平面去截圓柱，截面一定是圓C．用一個(gè)平面去截圓錐得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺D．分別以矩形（非正方形）的長和寬所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周后得到的兩個(gè)空間圖形是兩個(gè)不同的圓柱【答案】AD【解析】對于A，圓錐、圓臺的底面都是圓面，所以A正確，對于B，用一個(gè)平面去截圓柱，如軸截面是矩形，故B錯(cuò)誤；對于C，必須用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺，C錯(cuò)誤，對于D，分別以矩形（非正方形）的長和寬所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周后得到的兩個(gè)空間圖形是兩個(gè)不同的圓柱，所以D正確，故選：AD【變式24】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）下列說法中不正確的是（）A．將正方形旋轉(zhuǎn)不可能形成圓柱B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺D．通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn)，有無數(shù)條母線【答案】ABD【解析】對于A，將正方形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)可以形成圓柱，所以A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)這兩個(gè)平行截面與底面平行時(shí)正確，當(dāng)這兩個(gè)平行截面不與圓柱的底面平行時(shí)，夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體就不是旋轉(zhuǎn)體，所以B錯(cuò)誤；對于C，圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺，所以，C正確.對于D，通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線，所以D錯(cuò)誤．故選：ABD.考點(diǎn)3直觀圖與原圖的判斷【例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列說法正確的是（）A．相等的線段在直觀圖中仍相等B．水平放置的三角形的直觀圖仍是三角形C．相等的角在直觀圖中仍相等D．水平放置的菱形的直觀圖仍是菱形【答案】B【解析】如圖所示為正方形及其直觀圖，顯然，A錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；正方形是特殊的菱形，直觀圖為平行四邊形，D錯(cuò)誤；水平放置的三角形的直觀圖仍是三角形，B正確.故選：B.【變式31】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，是水平放置的△ABC的斜二測畫法的直觀圖，其中，則△ABC是（）A．鈍角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形【答案】C【解析】將其還原成原圖，設(shè)，則可得，，從而，所以，即，故是等腰直角三角形.故選：C.【變式32】（2021秋·陜西咸陽·高一咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）A．三角形的直觀圖是三角形B．長方形的直觀圖是長方形C．正方形的直觀圖是正方形D．菱形的直觀圖是菱形【答案】A【解析】由斜二測直觀圖的畫法規(guī)則，平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，可知三角形的直觀圖還是三角形，故A正確；長方形跟正方形的直觀圖是平行四邊形，故BC錯(cuò)誤；菱形的直觀圖是平行四邊形，故D錯(cuò)誤.故選：A【變式33】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知等腰三角形ABC，則如圖所示的四個(gè)圖中，可能是△ABC的直觀圖的是______(填寫序號)【答案】③④【解析】等腰三角形畫成直觀圖后，原來的腰長不相等，①②不正確，③為的直觀圖，④為的直觀圖.考點(diǎn)4斜二測畫法中的計(jì)算【例4】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在四邊形OABC中，OA=2，，BC=3，且，則四邊形OABC水平放置時(shí)，用斜二測畫法得到的直觀圖面積為（）A．B．5C．D．【答案】C【解析】如圖所示，為的直觀圖，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，，，平行于軸，∴該圖形的面積為．故選：C.【變式41】（2022春·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是四邊形ABCD的水平放置的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積是（）A．14B．10C．28D．14【答案】C【解析】∵A′D′∥y′軸，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原圖形是一個(gè)直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分別是2，5，8，故其面積為.故選：C【變式42】（2023春·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點(diǎn)，且軸，軸，，則（）A．的長度大于的長度B．的面積為4C．的面積為2D．【答案】B【解析】由圖象知：，，，為的中點(diǎn)，所以，A錯(cuò)誤；的面積，B正確；因?yàn)?，，所以的上的高，的面積，C錯(cuò)誤，，所以，D錯(cuò)誤.故選：B【變式43】（2023春·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習(xí)）用斜二測畫法畫△ABC的直觀圖為如圖所示的△，其中，，則△ABC的面積為（）A．1B．2C．D．【答案】C【解析】由題設(shè)，△和△均為等腰直角三角形，所以，即軸，原直角坐標(biāo)系中軸，而，則，在△中邊上的高等于的長，又，所以△ABC的面積為.故選：C【變式44】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）（多選）已知是等腰直角三角形，，用斜二測畫法畫出它的直觀圖，則的長可能是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】以BC為軸，畫出直觀圖，如圖2，此時(shí)，A正確，以BC為軸，則此時(shí)，則的長度范圍是，若以AB或AC為x軸，畫出直觀圖，如圖1，以AB為軸，則，此時(shí)過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)D，則，則，，由勾股定理得：，C正確；故選：AC考點(diǎn)5多面體的表面積計(jì)算【例5】（2023·高一單元測試）邊長為3的正方體切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積之和比原來增加了（）A．36B．72C．108D．240【答案】C【解析】由已知，邊長為3的正方體分成27個(gè)全等的小正方體，則小正方體的邊長為1，邊長為3的正方體表面積為，每個(gè)小正方體的表面積為，27個(gè)小正方體的表面積之和為，，所以表面積之和比原來增加了，故選：C．【變式51】（2022春·重慶九龍坡·高一四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知直三棱柱底面的直觀圖是一個(gè)等腰直角三角形OAB，斜邊長，若該直三棱柱的側(cè)棱長為2，則該直三棱柱的側(cè)面積為___________.【答案】【解析】由題意知：，斜二測法知：原直三棱柱中，的對應(yīng)邊長為，對應(yīng)邊長為，且對應(yīng)邊長不變，故底面周長為，而直三棱柱的側(cè)棱長為2，故其側(cè)面積為.【變式52】（2022春·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，已知，，則當(dāng)最大時(shí)，求三棱錐的表面積.【答案】【解析】設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，所以是等腰三角形，又，所以底邊上的高為，所以，，，三棱錐的表面積為：【變式53】（2023·全國·高一專題練習(xí)）為了給熱愛朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與六棱柱的高的比值為1∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，設(shè)正六邊形的邊長為a，設(shè)六棱柱的高為3b，六棱錐的高為b，正六棱柱的側(cè)面積，正六棱錐的母線長為∴正六棱錐的側(cè)面積，∵正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，∴，∴∴，故選：B．【變式54】（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，它將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭．如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高，，方亭的四個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭的體積為，則該方亭的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，，則方亭的體積為，解得，則，畫出的平面圖，作于，，，則，，則該方亭的表面積為.故選：A.【變式55】（2022春·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知長方體，，其外接球的表面積為，過??B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為10.（1）求棱的長：（2）求幾何體的表面積.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）設(shè)，，，又（R為長方體外接球半徑），∴①.又，∴.②由①②，解得∴棱長為2；（2）由（1）知，若，，則∴.考點(diǎn)6多面體的體積計(jì)算【例6】（2023春·天津?yàn)I海新·高一大港一中?？茧A段練習(xí)）長方體的體積是，若為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】長方體的體積為，三棱錐的體積為，故選：B【變式61】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則三棱錐的體積為（）A．B．C．1D．【答案】C【解析】正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，棱柱的底面面積為：．棱柱的體積為：．由三棱錐的體積的推導(dǎo)過程可知：三棱錐的體積為：．故選：C．【變式62】（2022春·河南鶴壁·高一河南省浚縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，水平放置的直三棱柱容器中，，，現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2．將容器底面的一邊AB固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面形狀恰好為三角形，如圖2，則容器的高h(yuǎn)為（）A．3B．4C．D．6【答案】A【解析】在圖1中，在圖2中，，.故選：A.【變式63】（2023春·河北邯鄲·高一校考階段練習(xí)）中國某些地方舉行婚禮時(shí)要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個(gè)裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意為糧食滿園、稱心如意、十全十美．下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，把該升斗看作一個(gè)正四棱臺，忽略其壁厚，則該升斗的容積約為（）（參考數(shù)據(jù)：，參考公式：）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，正四棱臺中，設(shè)棱臺的高為，則，故.故選：B【變式64】（2022春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和4，高為3，則此棱臺的體積為______．【答案】21【解析】因?yàn)檎睦馀_的上下底面邊長分別為1和4，高為3，所以棱臺的體積為,故答案為：21考點(diǎn)7旋轉(zhuǎn)體的表面積計(jì)算【例7】（2022春·北京·高一北京一七一中?？茧A段練習(xí)）已知圓柱的底面半徑和高都是2，那么圓柱的側(cè)面積是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)閳A柱的底面半徑和高都是，所以圓柱的側(cè)面積.故選：B.【變式71】（2022春·重慶長壽·高一重慶市長壽中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知某圓柱的軸截面為正方形，則此圓柱的表面積與此圓柱外接球的表面積之比為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍?，設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，則球的半徑，所以圓柱的表面積為：；球的表面積為，則圓柱的表面積與球的表面積之比為．故選：A．【變式72】（2022春·河北邢臺·高一邢臺市南和區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知某圓柱的內(nèi)切球半徑為，則該圓柱的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意得，該圓柱底面圓的半徑為，圓柱的高為9，所以該圓柱的側(cè)面積為.故選：D【變式73】（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）等腰直角三角形的直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為，高為，母線就是直角三角形的斜邊，故所形成的幾何體的表面積；如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，即母線長是，故所形成的幾何體的表面積，綜上所述，所形成幾何體的表面積是或.故選：B.【變式74】（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某圓臺上、下底面面積分別是、，母線長為2，則這個(gè)圓臺的側(cè)面積是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)圓臺上、下底面的半徑分別為，由圓臺上、下底面面積分別是、，則所以所以這個(gè)圓臺的側(cè)面積為，故選：A【變式75】（2022春·河北石家莊·高一?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為，則球O的表面積等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，依題意，解得，所以.設(shè)球的半徑為，則，.所以球的表面積為.故選：A考點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算【例8】（2022春·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐的體積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，高為，則，解得，，所以，所以該圓錐的體積．故選：B【變式81】（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章第術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如下圖所示的“曲池”，其高為3，底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，長度為長度的3倍，且線段，則該“曲池”的體積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)對應(yīng)半徑為R，對應(yīng)半徑為r，根據(jù)弧長公式可知，，因?yàn)閮蓚€(gè)扇環(huán)相同，長度為長度的3倍，所以，因?yàn)?，所以，所以曲池體積為.故選：D【變式82】（2022春·山東德州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，何尊是我國西周早期的青銅禮器，造型渾厚，工藝精美，其形狀可視為圓臺和圓柱的組合體，口徑為28.8cm，經(jīng)測量計(jì)算可知圓臺和圓柱的高度之比約為，體積之比約為，則圓柱的底面直徑約為（）A．4cmB．14cmC．18cmD．22cm【答案】C【解析】設(shè)圓臺的底面半徑為rcm.圓臺，圓柱的高分別為5hcm，7hcm，則，又，所以，即，解得，所以.故選：C.【變式83】（2020春·安徽宣城·高一安徽省宣城市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺?掇球壺?石飄壺?潘壺等．其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺．如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的容積約接近于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)R為圓臺下底面圓半徑，r為上底面圓半徑，高為，則，，，，故選：B．【變式84】（2023春·湖南長沙·高一長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，設(shè)半球的半徑為，連接交于點(diǎn)，連接，如圖所示：則有，易得，所以正四棱錐的體積為：，解得：，所以半球的體積為：.故選：C.【變式85】（2022春·山西晉中·高一?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B，C在球心為O的球面上，且A，B，C，O四點(diǎn)共面，若，則球O的體積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為，由A，B，C，O四點(diǎn)共面可知A，B，C在以O(shè)為圓心為半徑的圓上，由正弦定理可得，則，球的體積為.故選：A.考點(diǎn)9表面最短路徑問題【例9】（2023春·上海·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的底面邊長與側(cè)棱長相等．螞蟻甲從A點(diǎn)沿表面經(jīng)過棱、爬到點(diǎn)，螞蟻乙從B點(diǎn)沿表面經(jīng)過棱爬到點(diǎn)．設(shè)，，若兩只螞蟻各自爬過的路程最短，則______【答案】【解析】如圖所示，將三棱柱沿著側(cè)棱展開，又因?yàn)檎庵牡酌孢呴L與側(cè)棱長相等，則同理所以，又因?yàn)椋运?【變式91】（2022春·江西宜春·高一江西省萬載中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正三棱錐PABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=2，一只蟲子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】將三棱錐由PA展開，則∠APA1=90°，所求最短距離為求AA1的長度∵PA=2，∴由勾股定理可得AA1=．蟲子爬行的最短距離．故選D．【變式92】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為（）A．B．C．6D．【答案】B【解析】已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)的最短距離為，設(shè)，圓錐底面周長為，所以，所以，在中，由，得，故選：B．【變式93】（2022秋·河北滄州·高二?？奸_學(xué)考試）如圖所示，圓柱高為2，底面半徑為1，則在圓柱側(cè)面上從A出發(fā)經(jīng)過母線到達(dá)的最短距離為___________.【答案】【解析】把圓柱側(cè)面沿母線剪開攤平為一個(gè)矩形，如圖，，所求最短距離為．【變式94】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體中，棱長為2，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動，則的最小值為________【答案】3【解析】取的中點(diǎn)F，連接，如下圖：因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E、F關(guān)于平面對稱，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與平面的交點(diǎn)時(shí)等號成立；所以的最小值為，由已知為直角三角形，且，為直角，所以，所以的最小值為3.考點(diǎn)10幾何體的截面問題【例10】（2022·全國·高一專題練習(xí)）（多選）用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是三角形，這個(gè)幾何體不可能是（）A．圓柱B．圓臺C．球體D．棱臺【答案】ABC【解析】圓柱、圓臺和球體無論怎樣截，截面可能是圓面，也可能是矩形(圓柱)，不可能截出三角形.只有棱臺可以截出三角形.故選：ABC.【變式101】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知球的半徑為2，球心到平面的距離為，則球被平面截得的截面面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)截面圓半徑為，由球的性質(zhì)可知：則截面圓的半徑，所以球被平面截得的截面面積為，故選：.【變式102】（2022春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正方體的棱長為6，?分別是?的中點(diǎn)，平面截正方體所得的截面為多邊形，則此多邊形的邊數(shù)為_________，截面多邊形的周長為___________.【答案】五,.【解析】延長EF交DA的延長線于M,連接MC交AB于N,延長FE與DD1的延長線相交于點(diǎn)P,連接PC交C1D1于Q,連接EQ,則五邊形EFNCQ即為平面截正方體所得的截面.如圖所示：則有A1F=FA=AM=3,又因?yàn)榕c相似，所以，解得AN=2,所以，，同理可得：QD1=2,QC1=4，所以，，又因?yàn)?，所以五邊形EFNCQ的周長為.【變式103】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心到平面的距離為1，是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作球的截面，求截面面積的最小值．【答案】．【解析】記正三角形所在小圓的圓心為，因?yàn)榍虻陌霃綖?，球心到平面的距離為1，則，，．過點(diǎn)作球的截面，當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面面積最小，此時(shí)截面小圓半徑，面積．即截面面積的最小值為．1．（2022春·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．空間中，到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球B．以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐C．用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形【答案】D【解析】空間中，到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球面，不是球，A錯(cuò)，以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓錐，B錯(cuò)，用一個(gè)與底面平行的平面去截圓錐，才可得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺，C錯(cuò)，由棱柱性質(zhì)可得：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，D對，故選：D.2．（2022春·江蘇徐州·高一校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．多面體至少有個(gè)面B．有個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形【答案】D【解析】對于A，多面體至少有個(gè)面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，有個(gè)面平行，其余各面都是梯形，但各側(cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn)，則該幾何體不是棱臺，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，各側(cè)面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，由棱柱定義知，棱柱的各側(cè)棱平行且相等，故側(cè)面是平行四邊形，故選項(xiàng)D正確.故選：D．3．（2022春·重慶酉陽·高一?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線長為，則圓錐的體積是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)閳A錐的底面半徑為1，母線長為，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故選：C4．（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的母線長為3，若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，圓錐的母線長為3，軸截面為等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑為，所以圓錐的表面積為.故選：B5．（2022春·廣東清遠(yuǎn)·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（）A．是鈍角三角形B．的面積是的面積的2倍C．B點(diǎn)的坐標(biāo)為D．的周長是【答案】D【解析】根據(jù)題意，將還原成原圖，如圖，對于A，中，有，，所以，，故是等腰直角三角形，A錯(cuò)誤；對于B，的面積是，的高為，所以的面積為，的面積是的倍，B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椋珺的坐標(biāo)為，C錯(cuò)誤；對于D，的周長為，D正確故選：D.6．（2022春·江西宜春·高一江西省萬載中學(xué)?？茧A段練習(xí)）上、下底面面積分別為36π和49π，母線長為5的圓臺，其兩底面之間的距離為（）A．4B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)圓臺的母線長l、高h(yuǎn)和上、下兩底面圓的半徑r，R，由題意可知：，解得，如圖可得：，滿足關(guān)系式，即，求得，即兩底面之間的距離為.故選：D.7．（2022春·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長為1，則下列關(guān)于該多面體的說法中不正確的是（）A．多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為D．多面體有外接球（即經(jīng)過多面體所有頂點(diǎn)的球）【答案】B【解析】由題，連接正方體每條棱的中點(diǎn)可得到該多面體，共12個(gè)頂點(diǎn)，該多面體表面為有8個(gè)三角形面和6個(gè)正方形面，共14個(gè)面，A項(xiàng)正確；多面體表面每個(gè)三角形面積為，每個(gè)小正方形面積為，所以多面體表面積為，B項(xiàng)錯(cuò)誤；將多面體看作由正方體切去頂點(diǎn)處8個(gè)三棱錐得到，每個(gè)三棱錐體積為，所以多面體體積，C項(xiàng)正確；原正方體中心到多面體每個(gè)頂點(diǎn)（即正方體棱的中點(diǎn)）的距離都為，所以以該點(diǎn)為球心，為半徑的圓即多面體的外接圓，D項(xiàng)正確；故選：B.8．（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）一平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，B′C′∥y′軸，則四邊形OABC的面積為（）A．B．3C．3D．【答案】B【解析】設(shè)軸與交點(diǎn)為D，因O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，則，又B′C′∥y′軸，則四邊形為平行四邊形，故.又，結(jié)合A′B′⊥x′軸，則，故.則四邊形面積為，因四邊形面積是四邊形OABC的面積的倍，則四邊形OABC的面積為.故選：B9．（2022春·山西晉中·高一?？茧A段練習(xí)）已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上，若球的體積為，則到平面的距離為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題意作出如下示意圖，設(shè)為外接圓的圓心，所以為外接圓的半徑，為球體的半徑，根據(jù)球的性質(zhì)得平面，所以即為到平面的距離，所以，因?yàn)槭敲娣e為的等邊三角形，所以底邊的高為：，所以面積為：，所以，所以底邊高為：，所以，因?yàn)榍虻捏w積，解得，即，所以到平面的距離為：.故選：A.10．（2022春·江蘇常州·高一常州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知某圓錐的的底面半徑為2，側(cè)面積是底面積的3倍.將該圓錐切割成一個(gè)正四棱錐，且四棱錐的頂點(diǎn)和圓錐的頂點(diǎn)重合，四棱錐的底面是圓錐底面的內(nèi)接正方形，則該四棱錐的體積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖示，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l.O為底面圓的圓心，ABCD為底面的一個(gè)圓內(nèi)接正方形，OP為圓錐的高.由題意可得：，解得：，所以.而.所以該四棱錐的體積為.故選：D11．（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是（）A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C．長方體是直平行六面體D．存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體【答案】CD【解析】對于A:底面是正多邊形,當(dāng)頂點(diǎn)在底面的投影是正多邊形的中心才是正棱錐，其他情況不是正棱錐，A錯(cuò)誤；對于B:當(dāng)平面與圓柱的母線平行或者垂直時(shí)，截得的截面才是矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B錯(cuò)誤；對于C:長方體的側(cè)棱垂直于底面，各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所以長方體是直平行六面體，C正確;對于D:正方體中的三棱錐,四個(gè)面都是直角三角形,D正確.故選：CD.12．（2022春·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）（多選）如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D．三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小【答案】ABC【解析】依題意球的表面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以AC選項(xiàng)正確．圓錐的側(cè)面積為，所以B選項(xiàng)正確．圓錐的表面積為，圓柱的表面積為，所以D選項(xiàng)不正確．