安徽省滁州市2023屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題 含解析

滁州市2023年高三第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名和座位號填在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡

“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息，點(diǎn)涂

黑；如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以

上要求作答無效.

4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合'{∣g},{,,貝U'Ca"()

A.0B.{-2,-l}C.{1,2}D.{-2,-1,0)

【答案】D

【解析】

【分析】利用對數(shù)的單調(diào)性解不等式求集合出再由集合的交、補(bǔ)運(yùn)算求集合即可.

【詳解】由∕={x∣lgx20=lgl}={x∣x21},故4N={x∣x<l},

所以8c44={-2,—1,0}.

故選：D

2.若(l+i)2=(l—i)z,則彳在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除、乘方運(yùn)算化簡求復(fù)數(shù)，進(jìn)而求共粗復(fù)數(shù)彳，根據(jù)其對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)判斷所在象限.

3

(l+i)2i(l+i)1.πl(wèi)-

【詳解】Z=----------=--------=-l÷ι,則z=-l-i,

(l-i)(l÷i)2

所以I對應(yīng)點(diǎn)為（-1,-1）,在第三象限.

故選：C

3.在下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=2SinlX+；J在其中單調(diào)遞減的區(qū)間是（）

4（嗚）B-?π）C［π4）d'（T'2π

【答案】B

【解析】

【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間判斷.

Ttπ3τtTt7兀

【詳解】由2左兀+—<x+—<2Λπd得2左兀+—<X<24兀+一，ZeZ,

23266

π7兀

/（χ）的減區(qū)間是（2左兀4—,2kτtH）,kwZ,

66

只有選項(xiàng)B的區(qū)間（［,兀］=（；，=），

\2）66

故選：B.

4.由中國古代勞動人民發(fā)明于東周春秋時(shí)期，距今已2000多年.龍被視為中華古老文明的象征，大型龍類

風(fēng)箏放飛場面壯觀，氣勢磅碉，因而廣受喜愛.某團(tuán)隊(duì)耗時(shí)4個多月做出一長達(dá)200米、重約25公斤，“龍

身”共有180節(jié)“鱗片”的巨龍風(fēng)箏.制作過程中，風(fēng)箏骨架可采用竹子制作，但竹子易斷，還有一種耐用

的碳桿材質(zhì)也可做骨架，但它比竹質(zhì)的成本高.最終團(tuán)隊(duì)決定骨架材質(zhì)按圖中規(guī)律排列（即相鄰兩碳質(zhì)骨架

之間的竹質(zhì)骨架個數(shù)成等差數(shù)列），則該“龍身”中竹質(zhì)骨架個數(shù)為（）

A.161B.162C.163D.164

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)有〃個碳質(zhì)骨架，由條件列關(guān)系式求碳質(zhì)骨架的個數(shù)，此可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)有〃個碳質(zhì)骨架，及wN*,

由已知可得〃+1+2+3H--F(M-I)+??>180,

如果只有n-1個碳質(zhì)骨架，則骨架總數(shù)少于180,

所以(〃-1)+1+2+3+-+(〃-1)<180,

所以〃2+3”N360,且〃2+〃<362,又〃eN*

解得〃=18,

所以共有碳質(zhì)骨架18個，故竹質(zhì)骨架有162個,

故選：B.

5.如圖是下列某個函數(shù)在區(qū)間卜2,2］的大致圖象，則該函數(shù)是()

d+3χ2—3x

b?/(X)=

X2+1

Cr(???-X^+XX1-5%

c/(X)=??vrD/")=—:---COSX

x2+l

【答案】A

【解析】

【分析】用特殊值結(jié)合排除法求解.由/(1)正負(fù)、/(2)的大小及函數(shù)的零點(diǎn)排除三個選項(xiàng)得正確結(jié)論.

丫3*a2_&1A

【詳解】對B,由/(X)='土?_±L,知/(2)=—>2,但由圖象知/(2)<2,故可排除B,

對C,因?yàn)?(X)=))■+XSinX=X(L「X+DsinX在X∈(0,D上/(x)>0，而由函數(shù)圖象知函數(shù)一

X2+1X2+1

個零點(diǎn)在(0,1)上，而排除C；

對D,由/(X)=EL型CoSX知/(l)<0,而由函數(shù)圖象可知/(D>0,故可排除D.

v,X2+1

故選：A.

6.如圖，在正四棱臺/3CD-44CQ中，AB=2AA∣=2A∣B?=26,且各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該

球體的表面積為()

44

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由圖構(gòu)造直角三角形，即可求得&2,由求得表面積公式求得球體的表面積.

【詳解】如圖所示的正四棱臺Z3CZ)-44GA取上下兩個底面的中心M,N,連接MN,AyM,AN,

過點(diǎn)4作底面的垂線與ZN相交于點(diǎn)E,

因?yàn)樗睦馀_為6C?！?4GA為正四棱臺，所以外接球的球心一定在直線MN上，

在MN上取一點(diǎn)。為球心，連接。4。4,則。Z=O4=H,設(shè)ON=Zz,

A

因?yàn)閆8=2A4∣=248∣=2√L所以/N=&，4M=/，

2222

MN=AxE=7JJ1-AE=y∣AA^-(AN-EN)=y∣AA；-(AN-A1M)=?

所以EM√4為正方形，故。必在MN延長線上,

在RtA3N中，OA2=AN2+ON2>即N=指力2,

在RtZ?O4M中，。彳=OΛ∕2+4Λ∕2,即火2

?15

解得爐=一，所以S=4τιR2=30,

27t

故選：D.

7.已知α=e°4-l,6=0.4-21nl.2,c=0.2,則α,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】

【分析】分別構(gòu)造/(x)=e2'—Ir和g(x)=x-21n(l+x),求導(dǎo)判斷出在(0,1)上的單調(diào)性，比較出函

數(shù)值與端點(diǎn)值的大小關(guān)系，進(jìn)而得出a,b,c的大小關(guān)系.

【詳解】令/(x)=e2'_1-x,xe(0,l),

則/'(x)=2e2'-1>0恒成立，即〃x)在(0,1)上單調(diào)遞增,且/(0)=0,

故/(x)>∕(0)=0,取X=O?2,則/(0.2)>0,即e°4—1-0.2〉0，

可得e°?4-1>0.2，即。>。；

令g(x)=x-2In(I+x),Xe(0,1),

2γ_1

則g'(x)=l-------=—；<0恒成立，即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，且g⑼=0,

故g(x)<g(0)=0,取X=O.2,則g(0.2)<0,即0.2-21nl.2<0,

可得0.4—21nl.2<0.2,即b<c；

綜上可得：α,6,c的大小關(guān)系為α>c>6

故選：B

8.若a,b,C均為正數(shù)，且滿足/+3αb+3αc+9bc=18，則2α+3b+3c的最小值是()

A.6B.4√6C.6√2D.6√3

【答案】C

【解析】

【分析】利用因式分解法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】/+3αb+34c+9bc=18=>α(α+3b)+3c(α+3b)=18=>(α+3b)(α+3c)=18,

因?yàn)椤?，b,C均為正數(shù)，

所以有]8=(α+36)(a+3c)≤(α+3∕'+α+3c[=2α+3b+3c≥6√Σ，

當(dāng)且僅當(dāng)α+3b=a+3c時(shí)取等號，即α+3b=3√∑,b=c時(shí)取等號,

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知4B為兩個隨機(jī)事件，且P(∕)=0.4,P(B)=0.6,則()

A.P(A+B)<?

B.若48為互斥事件，則尸(力8)=0

C.若尸(ZB)=O.24,貝IJ/,8為相互獨(dú)立事件

D.若8為相互獨(dú)立事件，則P(N月)=P(NB)

【答案】BCD

【解析】

【分析】由互斥事件且P(N)+尸(8)=1可得Zc8=0且Z+8=C,即可判斷A、B：利用獨(dú)立事件的

性質(zhì)及已知概率值判斷C、D.

【詳解】若48為互斥事件，又P(N)+P(8)=1,則4c8=0且Z+8=C,故P(∕+6)=l,

P(AB)=O,故A錯誤，B正確；

若尸(ZB)=0.24,即P(NB)=P(Z)P(8),故/,8為相互獨(dú)立事件，C正確；

若/,8為相互獨(dú)立事件，則N,耳也相互獨(dú)立，即尸(彳耳)=P(I)P(A),又尸(I)=O.6,P(與)=0.4,

而P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(J)][1-P(B)]=1-[P(J)+P(B)]+P(A)P(B)=P(A)P(B),

故尸(彳可=尸(/8),D正確.

故選：BCD

10.已知拋物線V=4χ的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，過點(diǎn)尸作P尸的垂線且與拋物線交于力，8兩點(diǎn)，則

()

A.I尸刊最小值為2B.若，訓(xùn)=IpSI,則|4用=2IpFl

C.若∣N8∣=8,則IPbI=2√ΣD.若點(diǎn)尸不在X軸上，則∣E4∣?∣ES∣>∣尸殲

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、拋物線的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】點(diǎn)尸(1,0),拋物線的準(zhǔn)線方程為X=-1,

222

設(shè)P(-l,m),?PF?=λ∕[l-(-l)]+τn=√4+w≥"=2，

所以點(diǎn)尸在橫軸上時(shí)IP可有最小值2,所以選項(xiàng)A正確；

若?P∕?=?PB?,根據(jù)拋物線的對稱性可知點(diǎn)P在橫軸上，

把x=l代入「=4χ中，得y=±2,|/邳=2-(-2)=4,此時(shí)|P耳=2,

于是有∣Z6∣=2∣P產(chǎn)所以選項(xiàng)B正確；

因?yàn)閨/邳=8,顯然點(diǎn)P不在橫軸上，

則有％PF=3=>KS=2,

-2m

2

所以直線的方程為y=±(x-1)代入拋物線方程中，得

m

4J?-4X(2+〃?2)+4=0,設(shè)/(網(wǎng)，必)，8(》2，歹2)，石+/=2+掰2

∣∕?β∣=x1+l+x2+1=8=>2+m^+2=8=>"∕=4,

IP尸I=-?∣22+m2=J4+4=2y∣2,所以選項(xiàng)C正確,

2

點(diǎn)尸不在X軸上，由上可知：xi+x2-2+m,XlX2=1，

22

∣E4∣?∣F5∣=(xl+l)(x2+l)=x1+x2+xix2+?=2+m+2=m+4,

而IPRI2=4+加2,顯然|切卜|用I=IPR『，所以選項(xiàng)D不正確，

故選：ABC

H.已知函數(shù)/(χ)及其導(dǎo)函數(shù)/(χ)的定義域均為R,記g(χ)=∕'(χ),若/(；一.，g(ι+χ)均為奇

函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(0)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(4)

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)/[g-χ)為奇函數(shù)可得/(一χ)=-∕(χ+i),再由導(dǎo)數(shù)相等可得g(-χ)=g(χ+i)，又

g(l+χ)為奇函數(shù)可得g(l+χ)=-g(i-χ)，兩式結(jié)合可得g(D=0，g(0)=0,且可推出函數(shù)周期為2,

據(jù)此判斷BD,由上述條件可知/W關(guān)于(<,θ)中心對稱，g(x)關(guān)于(1,0)中心對稱且周期為2,取滿足條

件的函數(shù)，即可判斷AC.

【詳解】因?yàn)椤x域均為R的奇函數(shù)，

所以/(；一X)=~∕(→X)，即/(-X)=-/U+1)，

所以以〃一切'=='(X+D，即Λ-X)=f\x+1).

所以g(-χ)=g(χ+i)，

又g(l+x)為奇函數(shù)，所以g(l+x)=-g(l-x),

當(dāng)X=O時(shí)，g⑴=-g(l)=g(0),即g⑴=0,g(0)=0,故B正確;

Xg(-x)=-g(l-x),所以g(x)=-g(l+x),

?g(x+2)=-g(l+x)=g(x),即函數(shù)g(x)的周期為2,

所以g(T)=g⑴=0,g(4)=g(0)=0,即g(-l)=g(4),故D正確;

由一%］為奇函數(shù)可知，即/⑴的圖象關(guān)于成中心對稱，不妨取

/(X)=LCOSTI(X-I),則g(x)=—sinπ(x-1)滿足周期為2,關(guān)于(1,0)中心對稱條件，因?yàn)榘恕?=—工，

ππ

/(-l)=?,/(4)=一工，可知AC錯誤.

ππ

故選：BD

12.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，ANB為等腰三角形，頂角/38=6,點(diǎn)。(3,0)為48的中點(diǎn)，i^?OΛβ

的面積S=/(。)，則()

?/??18Sine

A.f(θ)=------------B.S的最大值為6

5-4cos6

C.卜目的最大值為6D.點(diǎn)B的軌跡方程是x2+∕-4x=0(y≠0)

【答案】ABD

【解析】

【分析】令N(XJ)且0,根據(jù)題設(shè)及兩點(diǎn)距離公式求A軌跡為(x-4)2+J√=4且y≠0,應(yīng)用余弦

定理、三角形面積公式求s=/(e)表達(dá)式，利用SqlS=smo+s，皿，結(jié)合圓的性質(zhì)求面積、|/用最大

X=6-m

值，令B(m,n),貝八代入A軌跡求8的軌跡方程，即可判斷各項(xiàng)的正誤.

y=-n≠O

【詳解】由NoZB=。，∣CM∣=∣Z邳，。(3,0)為48的中點(diǎn)，

若Z(X,y)且歹#0,則8(6-X,-y),故F+/=(6-2χF+(-2y)2=4(x-3)2+4步,

整理得：(x-4)2+y2=4,則A軌跡是圓心為(4,0),半徑為2的圓(去掉與X軸交點(diǎn)),

如下圖，由圓的對稱性，不妨令A(yù)在軌跡圓的上半部分，即0＜以≤2,

令I(lǐng)oH=MBl=2∣ZZ>∣=2a,則?θD^OA^+?AD∣2-2?θA^AD?cosθ,

?9

所以5。2-4。2cos。=9，則Q=----------?

5-4COSe

所以S.°AB=SmD+久皿=；IoHIZ8∣Sine=2/sin6=,A正確；

25-4cos^

由SQB=SmD+-?0D?+^?yβ?-?0D?=3為e(0,6],則S的最大值為6,B正確;

由下圖知：∣04∣=∣48∣e(2,6),所以“卻無最大值，C錯誤;

x=6-m、c

令8(加,〃)，則VjC代入A軌跡得(加一2p+"2=4,即加2_癡+〃2=0，

舊=一〃￥0

所以8軌跡為M-4χ+j?=O且D正確;

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

1"+:)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

13.

【答案】—##105

2

【解析】

【分析】寫出展開式的通項(xiàng)公式，令X的指數(shù)為0,求得參數(shù)%即可求得答案.

119?3Γ

【詳解】由題意的通項(xiàng)公式為&I=CK4)9τ(一y=(_yc"2“=0,1,2,…,9,

2x2

9-3r

令7D=o,.?.尸=3,

21

展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

T

21

故答案為：±1

2

X22

14.已知橢圓+:=l(0<b<2)與X軸正半軸交于點(diǎn)兒與N軸正半軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)F是橢圓的一個

焦點(diǎn)，若A∕8尸是等腰三角形，則從的值為.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的對稱性，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題意可知：A(b,0),β(0,2),因?yàn)?<b<2,所以0=2,c=6F，

因?yàn)槭堑妊切危?/p>

所以由橢圓的性質(zhì)可知尸是橢圓的下焦點(diǎn)，

所以∣∕8∣=?BF?=>2+y∣4-b2=-?∣4+b2=>b，=2??∕3，

故答案為：2JG

15.已知平面向量,，B滿足同=1,∣2萬一同=2,貝陽+孫3的最大值為-

【答案】20

【解析】

【分析】不妨設(shè)￡=(1,0)，b=(x,y),可求得(X-2)2+∕=4,計(jì)算

C+B)?B=(1+X,y)?(XJ)=(X+g)2+V_；,尸(χ,y)表示圓(X—2)2+歹2=4上的點(diǎn)，(χ+；)2+y2表

1

示IPC「9(其中C(―二。))，由圓的性質(zhì)可得最大值.

【詳解】不妨設(shè)Q=(1,0)，b=(x9y),則2α-B=(2-x,-y)

則忻-Λ∣=√(2-x)2+/=2,即(x—2)2+/=4,

222Z?\22?

(a+b)?b=(l+x,j^)?(x9y)=x(x+l)+γ,

%+X+By=X+a+'~~4

取6(2,0),ɑ(-?,θ),∣^C∣=∣-

設(shè)點(diǎn)P(x,丁)在圓(x-2)2+/=4上，(χ+；/+/表示PCI2,

1CQ1

因此(x+-)2+y2的最大值為(→2)2=j,

從而(xH—)2+V—最大值為------=20.

2444

故答案為：20.

16.如圖，正方體48CD—44G。的棱長為2,點(diǎn)E,F在棱月B上，點(diǎn)H,G在棱CD上，點(diǎn)E∣,HI在

棱4A上，點(diǎn)￡,Gl在棱與￡上，NE=BE=IW=CG=4片=8尸I=I=GGt=g,則六面體

EFGH-EIFlGIHl的體積為________.

13

【答案】y

【解析】

【分析】根據(jù)所給圖形觀察，六面體的體積可以看作正方體去掉四個相同的三棱柱和四個相同的五面體,

五面體可分割為四棱錐和一個三棱錐，分別求出體積即可得解.

【詳解】取∕N=OΛ∕=2P=g,連接MH,MHPH∣,ME1,NE,NE],HP,如圖，

所求幾何體可以看作正方體去掉4個體積相同的三棱柱（如圖中三棱柱。）,

再去掉四個五面體（如圖中HlEl-MNEH）,

五面體可分割為一個四棱錐g-MVE”與一個三棱錐H-Hl”耳,

因?yàn)槠呃庵?。；DH-DM-DDi=/i×*2=：,

小棱錐馬-A/NEH=§S梯形MN?NEx=-×(l+2)×-×-×2

匕棱錐〃-M〃禺=gs^w〃聲=:χ:χ2χlχg=

所以修

13

故答案為：—

3

四、解答題：本題共6小題，共70分?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若%=1,且％,a2,S3成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)“=右二，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和人

43.一1

【答案】（1）??=2?-1

【解析】

【分析】（1）由等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式列方程求公差，即可寫出通項(xiàng)公式;

（2）由（1）得6.=」（一1-------）,應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求7；.

22n-?2〃+1

【小問1詳解】

若等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由W=%S3,則（l+d）2=lx?（2；2d）=3（i+d）,

所以d=—1或d=2,

當(dāng)d=T時(shí)，a2=Q,與外,a2,S3成等比數(shù)列矛盾,排除；

所以d=2,則%=1+2(〃-1)=2〃-1.

【小問2詳解】

n(l+2n-l),11111、

由(1)知：S----------------n2,W∣Jb=-：—=------------------=—(z-----------------)

"2"4/-I(2/7-1)(2/7+1)22Λ-12n+Y

L…F111111、1八1、n

所以北=—a—+—+...+----------------)=—(1--------)=—.

,2335212/7+122/7+12w+l

18.在446C中，角4B,C所對的邊分別為α,b,c,且2萬?就+3瓦彳?萬心=而?訴.

（1）求2；

c

71

（2）已知8=—，α=2,求ZU5C的面積.

4

【答案】（I）√3

（2）

2

【解析】

【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果;

（2）由正弦邊角關(guān)系得SinC=Y5，cosC=-.結(jié)合SinN=Sin（5+C）求值，應(yīng)用正弦定理求c,

66

進(jìn)而求出三角形的面積.

【小問1詳解】

由已知2同同COS/+3畫畫cos8=∣畫冏CoSC,

所以2bccosA÷3。CCOSB=ClbcosC,

結(jié)合余弦定理，2（∕>2+c2-α2）+3（a2+c2-b2>）=a2+b2-c2,

化簡得：3。2=/，所以2=百.

c

【小問2詳解】

bsinB.?sinBTr

由正弦定理知一=——，即SmC=又6='，所以SinC=之，

csmC√346

>C，即8>c,故COSC=畫,

顯然6=y∣3c

6

由sin∕=sin(8+C)=sin8cosC+cos8sinC=^χ^+^χ^=^i2^,

26266

πacr1.as?nC>∕66√fθ^-S^

又一.---=—√>則C=-----------=——x-=——J==---------------,

sιnJSinCSinN3√j15+√32

所以一3。的面積S^c=LaCSin8=4x2x而一&x克=避二?

“以22222

19.大氣污染物PM25（大氣中直徑小于或等于2.5μm的顆粒物）的濃度超過一定的限度會影響人的身體健

康.為了研究PMZ5的濃度是否受到汽車流量等因素的影響，研究人員選擇了24個社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相近的

城市，在每個城市選擇一個交通點(diǎn)建立監(jiān)測點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)每個監(jiān)測點(diǎn)24h內(nèi)過往的汽車流量（單位：千輛），同

時(shí)在低空相同的高度測定每個監(jiān)測點(diǎn)空氣中PM”的平均濃度（單位：μg∕m3）,得到的數(shù)據(jù)如下表：

城市編號汽車流量PM25濃度城市編號汽車流量PM25濃度

11.3066111.82135

21.4476121.4399

30.7821130.9235

41.65170141.4458

51.75156151.1029

61.75120161.84140

71.2072171.1143

81.51120181.6569

91.20100191.5387

101.47129200.9145

（1）根據(jù)上表，若24h內(nèi)過往的汽車流量大于等于1500輛屬于車流量大，PM”大于等于75μg∕n√屬于

空氣污染.請結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為車流量大小與空氣污染有關(guān)

聯(lián)？

(2)設(shè)PM25濃度為y,汽車流量為X.根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立PM”濃度關(guān)于汽車流量的線性回歸模型，并求

出對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)精確到0.01).

附：_______n(ad-be^______,

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

a0.1000.0500.010

2.7063.8416.635

2020202020

2

ZXj=27.8Zy?=1770,40.537,∑λ=193694,ZMj=2680.48,在經(jīng)驗(yàn)回歸方程

/=1/=1/=1/=1/=1

j

?b=H∑i----------------

J=bx+G中,∑(χ,.-χ)2-

n

a-y-hx

【答案】(1)依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為車流量大小與空氣污染有關(guān)聯(lián)

(2)j>=116.19x-73.00

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知完善列聯(lián)表，應(yīng)用卡方公式求卡方值，結(jié)合獨(dú)立檢驗(yàn)基本思想即可得結(jié)論;

(2)應(yīng)用最小二乘法求回歸直線方程即可.

【小問1詳解】

由表格，可得如下列聯(lián)表，

車流量小車流量大合計(jì)

空氣無污染819

空氣污染4711

合計(jì)12820

所以上若黑第“5.69?！?.841

故依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為車流量大小與空氣污染有關(guān)聯(lián).

【小問2詳解】

由亍」式=空“39,7=?=lZZθ=88.5,

20￡'2020孑'20

2020

Z（X,—?。ㄘ啊酰?ZXa-20xy=2680.48-20×1.39×88.5=220.18,

Z=I/=1

2020

∑（x,?-?。?∑x,2-20X2=40.537-20×1.392=1.895,

I=I1=1

A22018

所以b=—≈H6.19,則G=88.5—116.19x1.3973.00,

1.895

故回歸直線為j>=116.19x-73.00.

20.如圖，在四棱錐尸-Z8CZ）中，平面PZO_L平面/8CD,底面XBCO是直角梯形,AD//BC,

NDAB=90°,AB=BC=4,PA=PC=5.

(1)求證：PB1AC；

(2)若平面PBZ)_L平面P8C,且AP4Z)中，邊上的高為3,求ZO的長.

【答案】(1)證明見解析

、64

(2)—

25

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)線段Ze的中點(diǎn)為E,連接EB,PE,

因?yàn)?B=BC,所以BElNC,

又因?yàn)镠=PC,所以PE_L4C,

因?yàn)椤?∏尸￡=E,EB,PEU平面PBE,

所以ZCJ_平面PBE,PBU平面PBE,

所以「81NC；

【小問2詳解】

過點(diǎn)尸作PO垂直直線AD于。，則有OP=3,

因?yàn)槠矫媸?O_L平面/88,平面PZoj"平面"8C。=/。，POU平面PZD,

所以尸Ol平面/8Cr),

連接OC,因?yàn)镻4=尸C=5,OP=3,

所以可得。C=OZ=4,

而ZB=BC=4,所以四邊形ONBC是菱形，而NQNB=90°,

所以四邊形。ZBC是正方形，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)。。=α,則P(0,0,3),D(0,α,0),8(4,4,0),C(4,0,0),

P5=(0,α,-3),P5=(4,4,-3),5C=(0,-4,0),PC=(4,0,-3),

設(shè)平面尸8。的法向量為浣=(Xl,乂,z∣),

［和上°=口T=O=玩,臼

［w?P5=014x∣+4%-3z∣=OI43)

同理可得平面PeC的法向量為I=(X2，8，Z2)，

∣H?PC=0^f4x2-3z2=0

［萬?P6=014x2+4?2-3z2=OI3J

因?yàn)槠矫媸?0,平面尸8C,

LLtl一一八Ci-4U4?36._.3664

所以加?〃=O=>-------1+—x—=0=>α=——=>AD=4------=——.

2525

21.已知雙曲線C：與一方=1(a>0,?>0)的焦距為2百，離心率e=

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)P,。為雙曲線C上異于點(diǎn)〃(缶,b)的兩動點(diǎn)，記直線/P,M。的斜率分別為占，k2,若

kx+k1=2kik2,求證：直線PQ過定點(diǎn).

丫2

【答案】(1)---/?l

2

（2）證明過程見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率公式，結(jié)合雙曲線焦距定義進(jìn)行求解即可；

（2）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合直線斜率公式

進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)殡p曲線C：?-?=l（?！?，?>0）的焦距為26，離心率e=Y5,

α2b22

￡-12,L=√Jr2

所以有〈a2=（L=°-=L-a~=1=-----y~=l；

2c=2√i1”拉2

【小問2詳解】

由題意可知直線尸。存在斜率，所以直線PQ的方程設(shè)為y=kx+m,

y=